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Notizen/Physik/Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik
AT · Matura

Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik

Beschreibung von Bewegungen mit Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung sowie Erklärung durch Kräfte. Grundlage aller weiteren Themen der klassischen Mechanik.

6 Abschnitte·~24 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·0111 / 11
Prüfungsprofil
W-1 · Wissen über Bewegung, Kraft und Energie strukturiert wiedergebenE-1 · Bewegungsdiagramme messen, auswerten und interpretierenS-1 · Physikalische Modelle auf Verkehr, Sport und Technik anwenden
Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik
    • 01Kinematik - Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung○
    • 02Newtonsche Gesetze○
    • 03Wurfbewegung und Superposition◐
    • 04Gleichförmige Kreisbewegung◐
    • 05Reibung und schiefe Ebene◐
    • 06Rotation, Drehmoment und Drehimpuls●

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 11 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Kinematik - Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung#

~5 Min Lesezeit●○○BasisLPPHY-Mech-1.1

v(t) bei a = 2 \mathrm{m/s²}

v(t) bei a = 2 m/s^2Schaubild von v(t) = a·t, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 102468105101520v(t) = a·tv in m/st in s
Abb. 2Lineare Zunahme: v(t)=a tv(t) = a\,tv(t)=at.

Kernpunkte

Die Kinematik beschreibt Bewegungen rein geometrisch: Sie sagt, wo ein Körper wann ist und wie schnell er sich bewegt, ohne nach den Ursachen (den Kräften) zu fragen. Dazu genügen drei Größen, die durch Ableiten auseinander hervorgehen - der Ort s(t)s(t)s(t), die Geschwindigkeit v(t)v(t)v(t) als seine zeitliche Änderung und die Beschleunigung a(t)a(t)a(t) als Änderung der Geschwindigkeit. Wer diese Kette aus Ort, erster und zweiter Ableitung verstanden hat, kann jede geradlinige Bewegung vollständig analysieren.
Man unterscheidet streng zwischen mittlerer und momentaner Geschwindigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit vˉ=ΔsΔt\bar v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}vˉ=ΔtΔs​ ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und benötigter Zeit - im sss-ttt-Diagramm die Steigung der Sekante zwischen Anfangs- und Endpunkt. Lässt man das Zeitintervall immer kleiner werden (Δt→0\Delta t\to 0Δt→0), geht die Sekante in die Tangente über, und man erhält die momentane Geschwindigkeit v(t)=dsdtv(t)=\dfrac{ds}{dt}v(t)=dtds​. Wer 100100100 m in 101010 s läuft, hat zwar vˉ=10\bar v=10vˉ=10 m/s, kann zwischendurch aber deutlich schneller oder langsamer gewesen sein.
Die Beschleunigung a=dvdt=d2sdt2a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}a=dtdv​=dt2d2s​ misst, wie rasch sich die Geschwindigkeit ändert; sie ist die Ableitung von vvv und damit die zweite Ableitung des Ortes. Entscheidend ist ihr Vorzeichen relativ zur Bewegungsrichtung: Zeigt aaa in Bewegungsrichtung, wird der Körper schneller, zeigt es entgegen, wird er langsamer (Bremsen). Ein Auto, das in 8,08{,}08,0 s aus dem Stand auf 282828 m/s kommt, hat a=28/8,0=3,5a=28/8{,}0=3{,}5a=28/8,0=3,5 m/s2^{2}2 - in jeder Sekunde nimmt vvv um 3,53{,}53,5 m/s zu.
Ist die Beschleunigung konstant, lassen sich die beiden zentralen Bewegungsgleichungen v=v0+atv=v_{0}+atv=v0​+at und s=s0+v0t+12at2s=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}s=s0​+v0​t+21​at2 unmittelbar durch Integration aus den Ableitungen zurückgewinnen. Die erste ist eine Gerade im vvv-ttt-Diagramm, die zweite eine nach oben geöffnete Parabel im sss-ttt-Diagramm. Wichtigster Spezialfall ist der freie Fall mit a=g≈9,81a=g\approx 9{,}81a=g≈9,81 m/s2^{2}2: Aus der Ruhe gilt dann v=gtv=gtv=gt und s=12gt2s=\tfrac{1}{2}gt^{2}s=21​gt2.
Im vvv-ttt-Diagramm () lassen sich beide Kerngrößen direkt ablesen: Die Steigung des Graphen ist die Beschleunigung, die Fläche zwischen Graph und Zeitachse der zurückgelegte Weg. Das ist kein Zufall, sondern die geometrische Form der Integration s=∫v dts=\int v\,dts=∫vdt. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist diese Fläche ein Dreieck oder Trapez, sodass man sss ohne Einsetzen in eine Formel allein aus dem Diagramm bestimmen kann - eine in der Matura häufig verlangte Auswertung.

v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung

v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte BewegungSchaubild von v(t), Steigung a, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 512345246810v(t), Steigung av in m/st in s
Abb. 1Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.
Abb. 1 ↓
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind gerichtete (vektorielle) Größen; bei geradliniger Bewegung genügt ein Vorzeichen zur Angabe der Richtung. Eine beliebte Falle: a=0a=0a=0 bedeutet nicht v=0v=0v=0, sondern nur konstante Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung). Umgekehrt ist im höchsten Punkt eines senkrechten Wurfs v=0v=0v=0, während a=ga=ga=g unverändert weiterwirkt. Zusammengesetzte Bewegungen (beschleunigen - gleichförmig - bremsen) behandelt man abschnittsweise und setzt die Teilwege am Ende zusammen.
Konsequente SI-Einheiten sind Pflicht: [s]=[s]=[s]= m, [v]=[v]=[v]= m/s, [a]=[a]=[a]= m/s2^{2}2. Geschwindigkeiten in km/h rechnet man durch Division mit 3,63{,}63,6 in m/s um, also 727272 km/h =20=20=20 m/s. Vor dem Anschreiben eines Ergebnisses lohnt stets ein Größenordnungs- und Plausibilitätscheck: Eine Fußgängergeschwindigkeit von 505050 m/s oder eine Bremsbeschleunigung von 500500500 m/s2^{2}2 ist physikalisch unsinnig und verrät einen Rechenfehler.

Vokabeln

→ Kartei
  • MomentangeschwindigkeitGeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt; Steigung der Tangente im s-t-Diagramm.
  • mittlere Geschwindigkeit$\bar v=\tfrac{\Delta s}{\Delta t}$; Steigung der Sekante über ein Intervall.
  • BeschleunigungÄnderungsrate der Geschwindigkeit, $a=\tfrac{\Delta v}{\Delta t}$, in $\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$.
  • gleichförmige BewegungBewegung mit konstanter Geschwindigkeit; im s-t-Diagramm eine Gerade.
  • gleichmäßig beschleunigte BewegungBewegung mit konstanter Beschleunigung; im s-t-Diagramm eine Parabel.
  • BezugssystemFestgelegter Ursprung samt positiver Richtung; ohne ihn sind Vorzeichen bedeutungslos.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

v(t)=v0+at,s(t)=s0+v0t+12at2v(t)=v_{0}+at,\quad s(t)=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}v(t)=v0​+at,s(t)=s0​+v0​t+21​at2

v0v_{0}v0​ und s0s_{0}s0​ sind Geschwindigkeit und Ort zum Zeitpunkt null, aaa die konstante Beschleunigung in ms2\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}s2m​. Beim Bremsen ist aaa negativ zu zählen, wenn die Fahrtrichtung positiv gewählt wurde.

s(t) beim freien Fall

s(t) beim freien FallSchaubild von s(t) = ½·g·t², Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 51234520406080100120s(t) = ½·g·t²s in mt in s
Abb. 3s(t) = 0.5 g t^2 mit g = 9.81 m/s^2.

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Musterbeispiel

Höhenberechnung beim freien Fall

Ein Stein wird aus Ruhe fallen gelassen und schlägt nach t=2,5t=2{,}5t=2,5 s auf. Wie hoch war der Abwurfpunkt? Luftwiderstand vernachlässigbar, g=9,81g=9{,}81g=9,81 m/s2^{2}2.

  1. 01Modell

    Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v0=0v_{0}=0v0​=0, a=ga=ga=g.

  2. 02Formel

    h=12gt2h=\tfrac{1}{2}gt^{2}h=21​gt2.

  3. 03Einsetzen

    h=12⋅9,81⋅(2,5)2=30,66h=\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}81\cdot (2{,}5)^{2}=30{,}66h=21​⋅9,81⋅(2,5)2=30,66 m.

  4. 04Auftreffgeschwindigkeit

    v=gt=9,81⋅2,5≈24,5v=g t=9{,}81\cdot 2{,}5\approx 24{,}5v=gt=9,81⋅2,5≈24,5 m/s.

Ergebnis: Abwurfhöhe etwa 30,730{,}730,7 m; Auftreffgeschwindigkeit etwa 24,524{,}524,5 m/s.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Bewegung beschreibt sich am einfachsten über Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung als zeitliche Ableitungen voneinander.

    v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung

    v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte BewegungSchaubild von v(t), Steigung a, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 512345246810v(t), Steigung av in m/st in s
    Abb.Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.
  2. 2

    Im v-t-Diagramm steht die Steigung für die Beschleunigung und die Fläche unter dem Graphen für den zurückgelegten Weg.

  3. 3

    Prüfe Einheiten und Vorzeichen, bevor du eine Geschwindigkeit als Endergebnis ablieferst.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe anhand eines selbst gewählten Beispiels die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung. Skizziere ein v-t-Diagramm für eine zweistufige Bewegung (Beschleunigung und anschließende gleichförmige Fahrt) und erläutere, was die Fläche unter dem Graphen beschreibt.

Maturafokus

  • Ordne s-t-, v-t- und a-t-Diagramme einander zu: Die Steigung des einen ist der Wert des nächsten, die Fläche unter dem einen die Änderung des vorigen.
  • Unterscheide Mittelwert und Momentanwert: vˉ=ΔsΔt\bar v=\tfrac{\Delta s}{\Delta t}vˉ=ΔtΔs​ beschreibt ein Intervall, v(t)v(t)v(t) einen Zeitpunkt.
  • Zerlege gemischte Bewegungen in Abschnitte - Beschleunigen, gleichförmig Fahren, Bremsen - und rechne jeden getrennt.
  • Führe zu jedem Ergebnis den Einheiten- und Größenordnungscheck: 100 km/h sind rund 28 m/s.
  • Setze die Beschleunigung beim Bremsen mit NEGATIVEM Vorzeichen an, wenn die Fahrtrichtung positiv gezählt wird.

Typische Fehler

  • Die mittlere Geschwindigkeit wird als Mittel der Endgeschwindigkeiten gebildet statt als ΔsΔt\tfrac{\Delta s}{\Delta t}ΔtΔs​ - bei ungleich langen Abschnitten ist das falsch.
  • Beschleunigung und Geschwindigkeit werden verwechselt; a=0a=0a=0 bedeutet konstante Geschwindigkeit, nicht Stillstand.
  • Das Vorzeichen der Bremsbeschleunigung fehlt; der Bremsweg kommt dadurch negativ heraus.
  • Die Fläche unter dem v-t-Diagramm wird nicht als zurückgelegter Weg gelesen.
  • Geschwindigkeitsangaben in km/h werden ohne Umrechnung in Formeln mit Sekunden eingesetzt.

§ 01

Aktive Wiederholung

Ein Auto fährt 303030 s lang mit konstanten 545454 km/h, beschleunigt dann in 101010 s auf 909090 km/h und bremst in 555 s zum Stillstand. Skizziere v(t)v(t)v(t) und berechne den gesamten zurückgelegten Weg.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Kinematics (OpenStax) · Demtröder Experimentalphysik 1 - Mechanik (Springer)

§ 02
§ 02

Newtonsche Gesetze#

~4 Min Lesezeit●○○BasisLPPHY-Mech-1.2

Kernpunkte

Die drei Newtonschen Gesetze verbinden die Beschreibung einer Bewegung mit ihrer Ursache und bilden das Fundament der gesamten klassischen Dynamik. Sie beantworten die Frage, warum Körper beschleunigen - nämlich genau dann, wenn eine resultierende Kraft auf sie wirkt.
1. Newton (Trägheitsgesetz): Ohne resultierende Kraft verharrt ein Körper in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig geradlinig weiter. Trägheit ist also kein „Kraftverbrauch", sondern der Normalzustand - ein Eishockey-Puck gleitet nahezu kräftefrei fast unbeschleunigt weiter. Das Gesetz gilt nur in Inertialsystemen, also in unbeschleunigten Bezugssystemen.
2. Newton (Aktionsprinzip): Die resultierende Kraft erzeugt eine zu ihr gleichgerichtete Beschleunigung, die der Kraft proportional und der Masse umgekehrt proportional ist: F⃗=ma⃗\vec F=m\vec aF=ma. Die Masse mmm ist dabei das Maß für die Trägheit - dieselbe Kraft beschleunigt einen schweren Körper weniger stark. Aus F=maF=maF=ma folgt unmittelbar die SI-Einheit 111 N =1=1=1 kg⋅\cdot⋅m/s2^{2}2.
3. Newton (Wechselwirkungsprinzip, actio = reactio): Zu jeder Kraft gehört eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft - entscheidend ist, dass beide Kräfte an verschiedenen Körpern angreifen. Der Fuß drückt nach hinten gegen den Boden, der Boden treibt den Läufer nach vorn; das Triebwerk stößt Gas aus, das Gas schiebt die Rakete an. Weil die Partnerkräfte an unterschiedlichen Körpern wirken, heben sie einander nie auf.
Auf der Erdoberfläche ist die wichtigste Kraft die Gewichtskraft Fg=mgF_{g}=mgFg​=mg mit dem Ortsfaktor g≈9,81g\approx 9{,}81g≈9,81 m/s2^{2}2. Sie ist von der trägen Masse begrifflich zu trennen, auch wenn beide proportional sind: Die Masse bleibt überall gleich, das Gewicht hängt vom Ort ab (auf dem Mond rund ein Sechstel).
Wirken mehrere Kräfte, zählt stets ihre Vektorsumme, die resultierende Kraft. Deshalb beginnt jede Dynamik-Aufgabe mit dem Freikörperbild (): Man zeichnet den Körper frei und trägt alle angreifenden Kräfte als Pfeile ein - Gewichtskraft, Normalkraft, Reibung, Seil- oder Antriebskraft. Erst danach zerlegt man in geeignete Richtungen und wendet F⃗=ma⃗\vec F=m\vec aF=ma komponentenweise an.

Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

Freikörperbild - Block auf schiefer EbeneKräfteplan, F_g: 270°, F_N: 120°, F_HA: 210°, F_R: 30°FgFNFHAFR
Abb. 4Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
Abb. 4 ↓

Vokabeln

→ Kartei
  • TrägheitsgesetzErstes Newtonsches Gesetz: Ohne resultierende Kraft bleibt der Bewegungszustand erhalten.
  • resultierende KraftVektorsumme aller an einem Körper angreifenden Kräfte.
  • FreikörperbildSkizze eines herausgelösten Körpers mit allen an ihm angreifenden Kräften.
  • NormalkraftKraft senkrecht zur Auflagefläche; im Aufzug das scheinbare Gewicht.
  • WechselwirkungsprinzipDrittes Newtonsches Gesetz: Kräfte treten paarweise an zwei verschiedenen Körpern auf.
  • InertialsystemUnbeschleunigtes Bezugssystem, in dem die Newtonschen Gesetze ohne Scheinkräfte gelten.

2. Newtonsches Gesetz

F⃗res=m a⃗\vec{F}_{\text{res}}=m\,\vec{a}Fres​=ma

F⃗res\vec F_{\text{res}}Fres​ ist die VEKTORSUMME aller angreifenden Kräfte in N, mmm die Masse in kg, a⃗\vec aa die Beschleunigung. Eine einzelne Kraft eingesetzt statt der Resultierenden ist der häufigste Fehler.

Gewichtskraft

Fg=m gF_{g}=m\,gFg​=mg

mmm ist die ortsunabhängige Masse in kg, ggg der Ortsfaktor mit rund 9,81 Nkg9{,}81\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}9,81kgN​ auf der Erdoberfläche. Die Gewichtskraft ist damit ortsabhängig, die Masse nicht.

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Musterbeispiel

Kraft an einem fahrenden Wagen

Ein 150015001500 kg schwerer PKW beschleunigt in 8,08{,}08,0 s aus dem Stand auf 100100100 km/h. Welche Antriebskraft wirkt im Mittel?

  1. 01Geschwindigkeit umrechnen

    v=100/3,6≈27,78v=100/3{,}6\approx 27{,}78v=100/3,6≈27,78 m/s.

  2. 02Beschleunigung

    a=Δv/Δt=27,78/8,0≈3,47a=\Delta v/\Delta t=27{,}78/8{,}0\approx 3{,}47a=Δv/Δt=27,78/8,0≈3,47 m/s2^{2}2.

  3. 03Newton 2

    F=ma=1500⋅3,47≈5,21⋅103F=ma=1500\cdot 3{,}47\approx 5{,}21\cdot 10^{3}F=ma=1500⋅3,47≈5,21⋅103 N.

Ergebnis: Mittlere Antriebskraft etwa 5,25{,}25,2 kN.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Das 1. Newton-Gesetz beschreibt die Trägheit: ohne resultierende Kraft bleibt die Geschwindigkeit unverändert.

  2. 2

    Das 2. Gesetz gibt die quantitative Beziehung F = m a; im Freikörperbild werden alle Kräfte eingezeichnet.

    Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

    Freikörperbild - Block auf schiefer EbeneKräfteplan, F_g: 270°, F_N: 120°, F_HA: 210°, F_R: 30°FgFNFHAFR
    Abb.Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
  3. 3

    Das 3. Gesetz besagt, dass Kräfte immer paarweise an verschiedenen Körpern auftreten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die drei Newtonschen Gesetze und veranschauliche das 2. und 3. Gesetz jeweils an einem Alltagsbeispiel (z. B. Sicherheitsgurt im Auto, Raketenantrieb). Berechne ergänzend die mittlere Bremskraft, die ein Sicherheitsgurt auf einen 757575 kg schweren Insassen ausübt, wenn dieser bei einem Aufprall in 0,100{,}100,10 s von 505050 km/h auf null abgebremst wird.

Maturafokus

  • Zeichne VOR jeder Rechnung ein Freikörperbild mit allen angreifenden Kräften und benenne sie.
  • Wende das zweite Gesetz auf die RESULTIERENDE Kraft an: F⃗res=m a⃗\vec F_{\text{res}}=m\,\vec aFres​=ma, nicht auf eine Einzelkraft.
  • Beschreibe Wechselwirkungskräfte ausdrücklich als an VERSCHIEDENEN Körpern angreifend - deshalb heben sie einander nie auf.
  • Berechne im Aufzugbeispiel die Normalkraft aus FN=m(g±a)F_{N}=m(g\pm a)FN​=m(g±a) und deute sie als scheinbares Gewicht.
  • Nenne beim Trägheitsgesetz die Voraussetzung: Es gilt in einem Inertialsystem.

Typische Fehler

  • Aktion und Reaktion werden als Kräftepaar am selben Körper gedeutet; dann wäre keine Beschleunigung möglich.
  • Die Reibungskraft fehlt im Freikörperbild oder erhält das falsche Vorzeichen.
  • Im Aufzug werden Normalkraft und Gewichtskraft gleichgesetzt; sie stimmen nur bei a=0a=0a=0 überein.
  • Die Masse wird mit der Gewichtskraft verwechselt: Masse in kg ist ortsunabhängig, die Gewichtskraft in N nicht.
  • Das zweite Gesetz wird in einem beschleunigten Bezugssystem angewandt, ohne Scheinkräfte zu berücksichtigen.

§ 02

Aktive Wiederholung

Ein Block auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel 20∘20^{\circ}20∘ und Reibungskoeffizient μ=0,25\mu=0{,}25μ=0,25 wird losgelassen. Bestimme die Beschleunigung des Blocks.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.01 Classical Mechanics Lectures 4-6 (MIT OpenCourseWare) · OpenStax College Physics - Newton Laws (OpenStax)

§ 03
§ 03

Wurfbewegung und Superposition#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPPHY-Mech-1.3

Kernpunkte

Nach dem Abwurf wirkt auf einen Wurfkörper nur noch die Schwerkraft. Der Schlüssel zur Analyse ist das Superpositionsprinzip: Die Bewegung lässt sich in zwei voneinander unabhängige Teilbewegungen zerlegen, die gleichzeitig und ungestört nebeneinander ablaufen und sich erst in der Bahnkurve überlagern.
Horizontal liegt eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit vx=v0cos⁡θv_{x}=v_{0}\cos\thetavx​=v0​cosθ vor, weil in dieser Richtung keine Kraft wirkt. Vertikal handelt es sich um einen freien Fall mit vy=v0sin⁡θ−gtv_{y}=v_{0}\sin\theta-g tvy​=v0​sinθ−gt: Die Anfangsgeschwindigkeit nach oben wird von der Schwerkraft gleichmäßig abgebaut, kehrt sich um und wächst nach unten wieder an.
Die Überlagerung beider Komponenten ergibt die Bahnkurve y(x)=xtan⁡θ−gx22v02cos⁡2θy(x)=x\tan\theta-\dfrac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}y(x)=xtanθ−2v02​cos2θgx2​ - eine nach unten geöffnete Parabel (). Dass die Wurfbahn parabelförmig ist, war eine der ersten großen Erkenntnisse Galileis und folgt zwingend aus der Unabhängigkeit der beiden Komponenten.

Schiefer Wurf - Bahnkurve

Schiefer Wurf - BahnkurveSchaubild von y(x), Nullstellen bei x = 0, 10, Hochpunkt bei (5, 2.5), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 102468100.511.522.5hmaxWy(x)yx
Abb. 5Wurfweite und Steighöhe bei Startwinkel θ\thetaθ; Bahn ist Parabel.
Abb. 5 ↓
Die maximale Steighöhe erreicht der Körper, wenn vy=0v_{y}=0vy​=0 wird: h=(v0sin⁡θ)22gh=\dfrac{(v_{0}\sin\theta)^{2}}{2g}h=2g(v0​sinθ)2​. Die gesamte Flugdauer bis zur Ausgangshöhe beträgt tges=2v0sin⁡θgt_{ges}=\dfrac{2 v_{0}\sin\theta}{g}tges​=g2v0​sinθ​, also die doppelte Steigzeit, da Auf- und Abstieg symmetrisch verlaufen.
Die größte Wurfweite bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich für den Abwurfwinkel θ=45∘\theta=45^{\circ}θ=45∘ - allerdings nur, wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind. Bei einem Wurf von einer Klippe oder aus Schulterhöhe verschiebt sich der optimale Winkel zu einem etwas kleineren Wert; die Flugzeit bestimmt man dann aus einer quadratischen Gleichung in ttt.
All das gilt im idealisierten Modell ohne Luftwiderstand. Realer Luftwiderstand wächst mit der Geschwindigkeit, krümmt die Bahn unsymmetrisch (der Abstieg wird steiler) und verkürzt die Wurfweite spürbar - bei einem scharf geschossenen Ball erheblich, bei einem langsam geworfenen Stein kaum merklich.

Vokabeln

→ Kartei
  • SuperpositionsprinzipUnabhängige Überlagerung zweier Teilbewegungen zur Gesamtbewegung.
  • waagrechter WurfSonderfall mit $v_{0y}=0$; die Bahn ist eine halbe Parabel.
  • schiefer WurfWurf unter einem Winkel; die Bahn ist eine vollständige Parabel.
  • WurfweiteWaagrechte Entfernung zwischen Abwurf und Auftreffen.
  • SteigzeitZeit bis zum höchsten Punkt; dort ist die senkrechte Geschwindigkeit null.
  • Fallbeschleunigung$g\approx9{,}81\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$; wirkt ausschließlich senkrecht nach unten.

Wurfweite (Abwurf-/Auftrefflänge auf gleicher Höhe)

W=v02sin⁡(2θ)gW=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}W=gv02​sin(2θ)​

v0v_{0}v0​ ist die Abwurfgeschwindigkeit, θ\thetaθ der Abwurfwinkel gegen die Waagrechte. Die Formel gilt NUR bei gleicher Abwurf- und Auftreffhöhe; dort wird die Weite bei θ=45∘\theta=45^{\circ}θ=45∘ maximal, weil sin⁡(2θ)\sin(2\theta)sin(2θ) dann eins wird.

Steighöhe

h=v02sin⁡2θ2gh=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}h=2gv02​sin2θ​

Nur die SENKRECHTE Komponente v0sin⁡θv_{0}\sin\thetav0​sinθ trägt zur Steighöhe bei. Im höchsten Punkt ist die senkrechte Geschwindigkeit null, die waagrechte bleibt unverändert.

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Musterbeispiel

Schiefer Wurf - Maximalweite

Ein Ball wird mit v0=20v_{0}=20v0​=20 m/s unter θ=30∘\theta=30^{\circ}θ=30∘ gegen die Horizontale geworfen. Berechne Steighöhe, Flugdauer und Wurfweite.

  1. 01Komponenten

    vx=v0cos⁡θ=20⋅cos⁡30∘≈17,32v_{x}=v_{0}\cos\theta=20\cdot\cos 30^{\circ}\approx 17{,}32vx​=v0​cosθ=20⋅cos30∘≈17,32 m/s; vy0=20⋅sin⁡30∘=10v_{y0}=20\cdot\sin 30^{\circ}=10vy0​=20⋅sin30∘=10 m/s.

  2. 02Steigzeit

    ts=vy0/g=10/9,81≈1,02t_{s}=v_{y0}/g=10/9{,}81\approx 1{,}02ts​=vy0​/g=10/9,81≈1,02 s.

  3. 03Steighöhe

    h=vy02/(2g)=100/19,62≈5,10h=v_{y0}^{2}/(2g)=100/19{,}62\approx 5{,}10h=vy02​/(2g)=100/19,62≈5,10 m.

  4. 04Wurfweite

    W=v02sin⁡(2θ)/g=400⋅sin⁡60∘/9,81≈35,3W=v_{0}^{2}\sin(2\theta)/g=400\cdot\sin 60^{\circ}/9{,}81\approx 35{,}3W=v02​sin(2θ)/g=400⋅sin60∘/9,81≈35,3 m.

Ergebnis: h≈5,1h\approx 5{,}1h≈5,1 m, tges≈2,04t_{ges}\approx 2{,}04tges​≈2,04 s, W≈35,3W\approx 35{,}3W≈35,3 m.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Beim schiefen Wurf zerlegt sich die Bewegung in eine horizontale gleichförmige und eine vertikale beschleunigte Komponente.

    Schiefer Wurf - Bahnkurve

    Schiefer Wurf - BahnkurveSchaubild von y(x), Nullstellen bei x = 0, 10, Hochpunkt bei (5, 2.5), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 102468100.511.522.5hmaxWy(x)yx
    Abb.Wurfweite und Steighöhe bei Startwinkel θ\thetaθ; Bahn ist Parabel.
  2. 2

    Beide Komponenten überlagern sich zur parabelförmigen Bahn.

  3. 3

    Die maximale Wurfweite ergibt sich bei 45 Grad - sofern Abwurf- und Aufschlaghöhe gleich sind.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre das Superpositionsprinzip am Beispiel des waagrechten Wurfs. Ein Stein wird aus 252525 m Höhe horizontal mit 121212 m/s abgeworfen. Bestimme die Flugzeit und die Reichweite. Diskutiere kurz, wie sich Luftwiderstand qualitativ auswirken würde.

Maturafokus

  • Zerlege die Bewegung in zwei unabhängige Teile: waagrecht gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt.
  • Dokumentiere die Komponentenzerlegung: v0x=v0cos⁡θv_{0x}=v_{0}\cos\thetav0x​=v0​cosθ und v0y=v0sin⁡θv_{0y}=v_{0}\sin\thetav0y​=v0​sinθ.
  • Bestimme bei Höhenunterschied die Flugzeit aus der quadratischen Gleichung und verwirf die negative Lösung mit Begründung.
  • Merke die Bedingung für die maximale Wurfweite bei 45°: Sie gilt NUR bei gleicher Abwurf- und Auftreffhöhe.
  • Prüfe die Plausibilität der Zahlen - Wurfweiten von Kilometern oder Geschwindigkeiten über der Schallmauer verraten einen Fehler.

Typische Fehler

  • Die Fallbeschleunigung wird auch waagrecht angesetzt; die Bahn wäre dann keine Parabel.
  • Wurfweite und Wurfhöhe werden verwechselt.
  • Die 45°-Regel wird auf Würfe mit Höhenunterschied übertragen, wo der optimale Winkel darunter liegt.
  • Die Anfangsgeschwindigkeit wird nicht zerlegt; es wird mit v0v_{0}v0​ in beiden Richtungen gerechnet.
  • Der Luftwiderstand wird stillschweigend vernachlässigt, ohne diese Modellannahme zu nennen.

§ 03

Aktive Wiederholung

Ein Fussballer schiesst den Ball aus 1,01{,}01,0 m Höhe mit v0=25v_{0}=25v0​=25 m/s unter 40∘40^{\circ}40∘. Bestimme den Auftreffpunkt am Boden und die Auftreffgeschwindigkeit.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Projectile Motion (OpenStax)

§ 04
§ 04

Gleichförmige Kreisbewegung#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPPHY-Mech-1.4

Kernpunkte

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant, ihre Richtung ändert sich aber ständig. Da die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe ist, bedeutet schon die Richtungsänderung eine Beschleunigung - und das, obwohl der Tacho die ganze Zeit denselben Wert anzeigt.
Zur Beschreibung dient die Winkelgeschwindigkeit ω=2πT=2πf\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi fω=T2π​=2πf, also der pro Sekunde überstrichene Winkel im Bogenmaß. Bahn- und Winkelgeschwindigkeit hängen über den Radius zusammen: v=ωrv=\omega rv=ωr. Weiter außen liegende Punkte einer rotierenden Scheibe sind demnach schneller, obwohl alle dieselbe Winkelgeschwindigkeit besitzen.
Die ständige Richtungsänderung ist eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung az=v2r=ω2ra_{z}=\dfrac{v^{2}}{r}=\omega^{2} raz​=rv2​=ω2r. Sie steht stets senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit und ändert deshalb nur deren Richtung, nicht ihren Betrag ().

Kreisbewegung - Geschwindigkeit und Zentripetalkraft

M v Fz v ⊥ Fz → gleichförmige Bahn
Abb. 6v tangential, F_z zum Zentrum gerichtet; betragsmäßig konstant bei gleichförmiger Bahn.
Abb. 6 ↓
Nach F=maF=maF=ma erfordert diese Beschleunigung eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft Fz=mv2rF_{z}=\dfrac{m v^{2}}{r}Fz​=rmv2​. Entscheidend: Sie ist keine neue, eigenständige Kraftart, sondern die Rolle, die eine bereits vorhandene resultierende Kraft übernimmt - die Haftreibung bei der Kurvenfahrt, die Seilkraft beim Kettenkarussell, die Gravitation beim Satelliten.
Periodendauer TTT und Drehzahl nnn sind zueinander reziprok (n=1/Tn=1/Tn=1/T); eine in Umdrehungen pro Minute gegebene Drehzahl muss vor jeder Rechnung in Umdrehungen pro Sekunde umgerechnet werden. Aus der Kurvenbedingung μmg≥mv2r\mu m g\geq \dfrac{m v^{2}}{r}μmg≥rmv2​ folgt etwa die größtmögliche kurvensichere Geschwindigkeit auf ebener Strecke.
Die häufig genannte Zentrifugalkraft ist keine reale Kraft im Inertialsystem, sondern eine Scheinkraft, die nur im mitrotierenden (beschleunigten) Bezugssystem auftritt. Wer von außen zusieht, braucht sie nicht - er erkennt allein die nach innen gerichtete Zentripetalkraft, die den Körper auf der Bahn hält.

Vokabeln

→ Kartei
  • Zentripetalbeschleunigung$a_{z}=\tfrac{v^{2}}{r}=\omega^{2}r$; sie zeigt stets zum Kreismittelpunkt.
  • ZentripetalkraftResultierende Kraft, die den Körper auf der Kreisbahn hält.
  • ZentrifugalkraftScheinkraft im mitrotierenden Bezugssystem; im Inertialsystem existiert sie nicht.
  • Winkelgeschwindigkeit$\omega=\tfrac{2\pi}{T}$ in $\tfrac{1}{\mathrm{s}}$; Drehwinkel je Zeiteinheit.
  • UmlaufdauerZeit für eine volle Umdrehung.
  • DrehzahlUmdrehungen je Zeiteinheit; vor der Rechnung auf Umdrehungen je Sekunde umzurechnen.

Zentripetalbeschleunigung

az=v2r=ω2ra_{z}=\dfrac{v^{2}}{r}=\omega^{2}raz​=rv2​=ω2r

vvv ist die Bahngeschwindigkeit in ms\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}sm​, rrr der Bahnradius, ω\omegaω die Winkelgeschwindigkeit in 1s\tfrac{1}{\mathrm{s}}s1​. Die Beschleunigung zeigt stets zum Kreismittelpunkt, obwohl der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt.

Zentripetalkraft

Fz=mv2rF_{z}=\dfrac{m v^{2}}{r}Fz​=rmv2​

Dies ist keine zusätzliche Kraft, sondern die RESULTIERENDE der real wirkenden - Seilspannung, Reibung, Gravitation oder Normalkraft. In der Aufgabe ist stets zu benennen, welche das ist.

Musterbeispiel

Mindestreibung in der Kurve

Auto mit v=72v=72v=72 km/h, r=80r=80r=80 m; bestimme μmin⁡\mu_{\min}μmin​.

  1. 01Geschwindigkeit

    v=72/3,6=20v=72/3{,}6=20v=72/3,6=20 m/s.

  2. 02Bedingung

    Haftkraft FR=μmgF_{R}=\mu m gFR​=μmg muss Zentripetalkraft Fz=mv2/rF_{z}=m v^{2}/rFz​=mv2/r liefern.

  3. 03Auflösen

    μ=v2rg=40080⋅9,81≈0,51\mu=\dfrac{v^{2}}{r g}=\dfrac{400}{80\cdot 9{,}81}\approx 0{,}51μ=rgv2​=80⋅9,81400​≈0,51.

Ergebnis: Minimaler Haftreibungskoeffizient ca. 0,510{,}510,51 (trockener Asphalt erfüllt das gerade noch).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Bei gleichförmiger Kreisbewegung ändert sich der Geschwindigkeitsvektor ständig in der Richtung.

    Kreisbewegung - Geschwindigkeit und Zentripetalkraft

    M v Fz v ⊥ Fz → gleichförmige Bahn
    Abb.v tangential, F_z zum Zentrum gerichtet; betragsmäßig konstant bei gleichförmiger Bahn.
  2. 2

    Die Zentripetalbeschleunigung zeigt zum Mittelpunkt und beträgt v Quadrat durch r.

  3. 3

    In der Kurve liefern Reibung oder Seilkraft genau diese resultierende Zentripetalkraft.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe Größen und Gesetze der gleichförmigen Kreisbewegung. Erläutere am Beispiel eines Kettenkarussells (Armlänge 4,04{,}04,0 m, 202020 Umdrehungen pro Minute), wie sich die Seilkraft und der Auslenkwinkel ergeben.

Maturafokus

  • Identifiziere die Zentripetalkraft als RESULTIERENDE der real vorhandenen Kräfte - sie wird nie zusätzlich addiert.
  • Benenne bei jeder Aufgabe, welche reale Kraft die Zentripetalkraft liefert: Reibung, Seilspannung, Gravitation oder Normalkraft.
  • Rechne Drehzahlen vor der Rechnung in Umdrehungen je Sekunde um und daraus ω=2πn\omega=2\pi nω=2πn.
  • Trenne Bahngeschwindigkeit vvv von Winkelgeschwindigkeit ω\omegaω; es gilt v=ωrv=\omega rv=ωr.
  • Löse Kurvenfahrten über die Bedingung μ m g≥m v2r\mu\,m\,g\ge\tfrac{m\,v^{2}}{r}μmg≥rmv2​ und beachte, dass sich die Masse herauskürzt.

Typische Fehler

  • Die Zentrifugalkraft wird im Inertialsystem als reale Kraft eingezeichnet; sie ist eine Scheinkraft des mitrotierenden Systems.
  • Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit werden verwechselt.
  • Die Umlaufdauer wird in Minuten eingesetzt, obwohl die Formel Sekunden verlangt.
  • Die Zentripetalkraft wird zu den anderen Kräften addiert statt aus ihnen gebildet.
  • Bei der Kurvenfahrt wird die Masse als entscheidend angenommen; sie kürzt sich aus der Bedingung heraus.

§ 04

Aktive Wiederholung

Ein Auto fährt mit 727272 km/h durch eine ebene Kurve mit Radius 808080 m. Welcher minimale Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist nötig?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Kreisbewegung (Springer)

§ 05
§ 05

Reibung und schiefe Ebene#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPPHY-Mech-1.5

Kernpunkte

Reibung ist die Kraft, die der Relativbewegung zweier sich berührender Flächen entgegenwirkt. Mikroskopisch entsteht sie durch das Verzahnen und kurzzeitige Verkleben der nie perfekt glatten Oberflächen; makroskopisch fasst man all das in einem dimensionslosen Reibungskoeffizienten μ\muμ zusammen.
Man unterscheidet Haft- und Gleitreibung. Die Haftreibung FH≤μHFNF_{H}\leq\mu_{H}F_{N}FH​≤μH​FN​ ist eine Grenzkraft: Sie passt sich der angreifenden Kraft an, bis der Körper beim Erreichen von μHFN\mu_{H}F_{N}μH​FN​ losbricht. Danach wirkt die meist kleinere Gleitreibung FG=μGFNF_{G}=\mu_{G}F_{N}FG​=μG​FN​ mit μG<μH\mu_{G}<\mu_{H}μG​<μH​ - deshalb ruckt ein schwerer Kasten beim Anschieben zunächst und gleitet anschließend leichter.
Beide Reibungskräfte hängen von der Normalkraft FNF_{N}FN​ ab, nicht aber von der Größe der Berührfläche - ein zunächst überraschendes Ergebnis, das man im Experiment gut bestätigen kann. Die Rollreibung (Rad, Kugellager) ist nochmals deutlich kleiner als die Gleitreibung; das ist letztlich der physikalische Grund für die Erfindung des Rades.
Auf der schiefen Ebene zerlegt man die Gewichtskraft in zwei Komponenten (): den Hangabtrieb FHA=mgsin⁡αF_{HA}=m g\sin\alphaFHA​=mgsinα parallel zur Ebene und die Normalkraft FN=mgcos⁡αF_{N}=m g\cos\alphaFN​=mgcosα senkrecht dazu. Nur die Normalkraft drückt die Flächen zusammen und bestimmt damit die Reibung - mit steilerem Winkel sinkt FNF_{N}FN​ und damit die Reibung, während der Hangabtrieb wächst.

Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

Freikörperbild - Block auf schiefer EbeneKräfteplan, F_g: 270°, F_N: 120°, F_HA: 210°, F_R: 30°FgFNFHAFR
Abb. 7Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
Abb. 7 ↓
Ob ein Körper überhaupt losgleitet, entscheidet der Vergleich von Hangabtrieb und maximaler Haftkraft: Erst bei tan⁡α>μH\tan\alpha>\mu_{H}tanα>μH​ rutscht er. Gleitet er, beträgt die Beschleunigung a=g(sin⁡α−μGcos⁡α)a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)a=g(sinα−μG​cosα) - die Differenz aus antreibendem Hangabtrieb und bremsender Reibung, geteilt durch die Masse.
Reibung ist keine „verlorene", sondern in Wärme umgewandelte mechanische Energie: Längs des Weges sss wird WReib=FR⋅sW_{\text{Reib}}=F_{R}\cdot sWReib​=FR​⋅s dissipiert. Genau deshalb werden Bremsscheiben heiß und Hände beim aneinander Reiben warm - die Energiebilanz schließt erst, wenn man diese Wärme mitzählt.

Vokabeln

→ Kartei
  • HaftreibungWiderstand gegen den Beginn einer Bewegung; ihr Höchstwert ist $\mu_{H}F_{N}$.
  • GleitreibungWiderstand während der Bewegung; ihr Koeffizient ist kleiner als der der Haftreibung.
  • ReibungskoeffizientDimensionslose Materialkenngröße des Flächenpaares.
  • HangabtriebskraftKomponente der Gewichtskraft entlang der schiefen Ebene, $m g\sin\alpha$.
  • NormalkraftKomponente senkrecht zur Fläche, auf der schiefen Ebene $m g\cos\alpha$.
  • GrenzwinkelNeigung, bei der der Körper zu rutschen beginnt; $\tan\alpha=\mu_{H}$.

Reibungskraft

FR=μ FNF_{R}=\mu\,F_{N}FR​=μFN​

μ\muμ ist der dimensionslose Reibungskoeffizient des Flächenpaares, FNF_{N}FN​ die Normalkraft. Im Modell hängt die Reibung weder von der Größe der Auflagefläche noch von der Geschwindigkeit ab.

Beschleunigung auf der schiefen Ebene

a=g(sin⁡α−μGcos⁡α)a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)a=g(sinα−μG​cosα)

α\alphaα ist der Neigungswinkel, μG\mu_{G}μG​ der Gleitreibungskoeffizient. Der Sinusterm ist die Hangabtriebs-, der Kosinusterm die Normalkomponente; bei tan⁡α=μ\tan\alpha=\mutanα=μ verschwindet die Beschleunigung.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗
Musterbeispiel

Abgleiten auf der schiefen Ebene

Block, α=20∘\alpha=20^{\circ}α=20∘, μG=0,25\mu_{G}=0{,}25μG​=0,25; Beschleunigung beim Abgleiten?

  1. 01Losbrech-Check

    tan⁡20∘=0,364>μ\tan 20^{\circ}=0{,}364>\mutan20∘=0,364>μ, der Block gleitet (bei μH≈0,3\mu_{H}\approx 0{,}3μH​≈0,3).

  2. 02Formel

    a=g(sin⁡α−μGcos⁡α)a=g(\sin\alpha-\mu_{G}\cos\alpha)a=g(sinα−μG​cosα).

  3. 03Einsetzen

    a=9,81(sin⁡20∘−0,25cos⁡20∘)=9,81(0,342−0,235)a=9{,}81(\sin 20^{\circ}-0{,}25\cos 20^{\circ})=9{,}81(0{,}342-0{,}235)a=9,81(sin20∘−0,25cos20∘)=9,81(0,342−0,235).

  4. 04Auswertung

    a=9,81⋅0,107≈1,05a=9{,}81\cdot 0{,}107\approx 1{,}05a=9,81⋅0,107≈1,05 m/s2^{2}2.

Ergebnis: Der Block gleitet mit etwa 1,051{,}051,05 m/s2^{2}2 abwärts - der Hangabtrieb übersteigt die Reibung.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Haftreibung hält einen Körper fest, bis der Hangabtrieb die maximale Haftkraft übersteigt.

    Freikörperbild - Block auf schiefer Ebene

    Freikörperbild - Block auf schiefer EbeneKräfteplan, F_g: 270°, F_N: 120°, F_HA: 210°, F_R: 30°FgFNFHAFR
    Abb.Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente zerlegt; Reibung wirkt der Bewegung entgegen.
  2. 2

    Auf der schiefen Ebene zerlegt sich die Gewichtskraft in Hangabtrieb und Normalkraft.

  3. 3

    Reibung wandelt mechanische Energie in Wärme um - daher werden Bremsen heiss.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Unterschied zwischen Haft-, Gleit- und Rollreibung. Berechne, ab welchem Neigungswinkel ein Körper mit Haftreibungskoeffizient μH=0,50\mu_{H}=0{,}50μH​=0,50 auf einer schiefen Ebene zu rutschen beginnt.

Maturafokus

  • Unterscheide Haft- und Gleitreibung und wähle den passenden Koeffizienten; die Haftreibung ist die größere.
  • Zerlege auf der schiefen Ebene die Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkomponente: FH=mgsin⁡αF_{H}=m g\sin\alphaFH​=mgsinα, FN=mgcos⁡αF_{N}=m g\cos\alphaFN​=mgcosα.
  • Prüfe den Gleitbeginn über die Bedingung tan⁡α=μH\tan\alpha=\mu_{H}tanα=μH​ - der Grenzwinkel hängt NICHT von der Masse ab.
  • Berechne die Reibungskraft als FR=μ FNF_{R}=\mu\,F_{N}FR​=μFN​ und beachte, dass FNF_{N}FN​ auf der schiefen Ebene kleiner ist als mgm gmg.
  • Nenne die Modellgrenze: Die Reibungskoeffizienten sind Erfahrungswerte und gelten für trockene, saubere Flächen.

Typische Fehler

  • Die Reibungskraft wird von der Größe der Auflagefläche abhängig gemacht; im Modell hängt sie nur von FNF_{N}FN​ und μ\muμ ab.
  • Auf der schiefen Ebene wird FN=mgF_{N}=m gFN​=mg angesetzt statt mgcos⁡αm g\cos\alphamgcosα.
  • Haft- und Gleitreibungskoeffizient werden vertauscht.
  • Die Hangabtriebskraft wird mit dem Kosinus statt dem Sinus gebildet.
  • Der Grenzwinkel wird als massenabhängig beschrieben, obwohl sich mmm herauskürzt.

§ 05

Aktive Wiederholung

Ein Block auf einer um 25∘25^{\circ}25∘ geneigten Ebene hat einen Gleitreibungskoeffizienten μG=0,30\mu_{G}=0{,}30μG​=0,30. Bestimme die Beschleunigung beim Abgleiten und prüfe, ob der Block überhaupt von selbst losgleitet (μH=0,40\mu_{H}=0{,}40μH​=0,40).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Friction (OpenStax)

§ 06
§ 06

Rotation, Drehmoment und Drehimpuls#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPPHY-Mech-1.6

Kernpunkte

Für Drehbewegungen gibt es zu jeder Größe der Translation ein Rotationsanalogon: Die Kraft wird zum Drehmoment, die Masse zum Trägheitsmoment, der Impuls zum Drehimpuls. Diese Entsprechung macht die gesamte Drehmechanik aus den schon bekannten Gesetzen ableitbar.
Das Drehmoment M=F r sin⁡φM=F\,r\,\sin\varphiM=Frsinφ beschreibt die Drehwirkung einer Kraft (Einheit N⋅\cdot⋅m). Maßgeblich ist nicht der Kraftbetrag allein, sondern der Hebelarm - der senkrechte Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt. Eine Türklinke ganz außen anzufassen ist müheloser, weil derselbe Kraftbetrag dort ein größeres Drehmoment erzeugt.
Ein starrer Körper ist im Drehgleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente verschwindet: ∑M=0\sum M=0∑M=0. Für die zweiseitige Balkenwaage führt das auf das Hebelgesetz m1g r1=m2g r2m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}m1​gr1​=m2​gr2​ () - eine kleine Masse mit großem Hebelarm hält einer großen Masse mit kleinem Hebelarm das Gleichgewicht.

Hebelgesetz - Drehmomentgleichgewicht am Balken

Hebelgesetz · DrehmomentgleichgewichtSchematische Darstellung mit 10 Elementen, m₁, F₁, m₂, F₂, r₁, r₂m₁F₁m₂F₂r₁r₂
Abb. 8Im Gleichgewicht heben sich die Drehmomente auf: m1g r1=m2g r2m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}m1​gr1​=m2​gr2​.
Abb. 8 ↓
Das Trägheitsmoment J=∑miri2J=\sum m_{i}r_{i}^{2}J=∑mi​ri2​ ist das Rotationsanalogon zur Masse; es misst, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Anders als die Masse hängt JJJ von der Massenverteilung ab: Weiter außen liegende Masse zählt quadratisch stärker - ein Ring ist schwerer in Drehung zu bringen als eine gleich schwere Vollscheibe.
Die Rotationsgrundgleichung M=J αM=J\,\alphaM=Jα ist das Drehpendant zu F=maF=m aF=ma: Das resultierende Drehmoment erzeugt eine Winkelbeschleunigung α\alphaα, die zum Trägheitsmoment umgekehrt proportional ist.
Der Drehimpuls L=J ωL=J\,\omegaL=Jω ist in einem abgeschlossenen System (ohne äußeres Drehmoment) erhalten. Das erklärt die Pirouette: Zieht die Eiskunstläuferin die Arme an, sinkt JJJ; da LLL konstant bleibt, muss ω\omegaω steigen - sie dreht schneller. Hinzu kommt die Rotationsenergie Erot=12J ω2E_{rot}=\tfrac{1}{2}J\,\omega^{2}Erot​=21​Jω2, die bei rollenden Körpern zusätzlich zur Translationsenergie zu bilanzieren ist.

Vokabeln

→ Kartei
  • Drehmoment$M=r\,F\sin\varphi$; Drehwirkung einer Kraft um eine Achse, Einheit Nm.
  • HebelarmSenkrechter Abstand zwischen Wirkungslinie der Kraft und Drehachse.
  • TrägheitsmomentWiderstand gegen Änderung der Drehbewegung; hängt von Masse UND ihrer Verteilung ab.
  • Drehimpuls$L=I\,\omega$; er bleibt ohne äußeres Drehmoment erhalten.
  • Rotationsenergie$E_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}$; beim Rollen zusätzlich zur Translationsenergie.
  • DrehmomentgleichgewichtZustand, in dem die Summe aller Drehmomente null ist.

Drehmoment und Rotationsgrundgleichung

M=F r sin⁡φ,M=J αM=F\,r\,\sin\varphi,\quad M=J\,\alphaM=Frsinφ,M=Jα

rrr ist der Abstand zur Drehachse, φ\varphiφ der Winkel zwischen Kraft und Hebelarm, JJJ das Trägheitsmoment in kg m2\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}kgm2 und α\alphaα die Winkelbeschleunigung. Die zweite Gleichung ist das Rotationsgegenstück zu F=m aF=m\,aF=ma.

Drehimpuls und Rotationsenergie

L=J ω,Erot=12J ω2L=J\,\omega,\quad E_{rot}=\tfrac{1}{2}J\,\omega^{2}L=Jω,Erot​=21​Jω2

JJJ ist das Trägheitsmoment, ω\omegaω die Winkelgeschwindigkeit. Ohne äußeres Drehmoment bleibt LLL erhalten - zieht die Eiskunstläuferin die Arme an, sinkt JJJ und ω\omegaω steigt entsprechend.

Musterbeispiel

Hebelgleichgewicht am Balken

Links m1=3,0m_{1}=3{,}0m1​=3,0 kg bei r1=0,40r_{1}=0{,}40r1​=0,40 m; rechts m2=2,0m_{2}=2{,}0m2​=2,0 kg bei r2=?r_{2}=?r2​=?.

  1. 01Hebelgesetz

    Gleichgewicht: m1g r1=m2g r2m_{1}g\,r_{1}=m_{2}g\,r_{2}m1​gr1​=m2​gr2​, also m1r1=m2r2m_{1}r_{1}=m_{2}r_{2}m1​r1​=m2​r2​.

  2. 02Auflösen

    r2=m1r1m2=3,0⋅0,402,0r_{2}=\dfrac{m_{1}r_{1}}{m_{2}}=\dfrac{3{,}0\cdot 0{,}40}{2{,}0}r2​=m2​m1​r1​​=2,03,0⋅0,40​.

  3. 03Auswertung

    r2=0,60r_{2}=0{,}60r2​=0,60 m.

Ergebnis: Die 2,02{,}02,0-kg-Masse muss 0,600{,}600,60 m rechts vom Drehpunkt hängen - die Drehmomente heben sich auf.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm und entscheidet über die Drehwirkung.

  2. 2

    Das Trägheitsmoment ist das Rotationspendant zur Masse und hängt von der Massenverteilung ab.

  3. 3

    Die Drehimpulserhaltung erklärt, warum eine Eiskunstläuferin schneller dreht, wenn sie die Arme anzieht.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls als Rotationsanaloga zur Translation. Erkläre die Pirouette einer Eiskunstläuferin mit der Drehimpulserhaltung.

Maturafokus

  • Bilde das Drehmoment aus Kraft und SENKRECHTEM Abstand zur Drehachse: M=r Fsin⁡φM=r\,F\sin\varphiM=rFsinφ.
  • Löse Balken- und Waagenaufgaben über das Drehmomentgleichgewicht - die Summe der linksdrehenden gleicht der der rechtsdrehenden Momente.
  • Erkläre die Pirouette über die Drehimpulserhaltung: Kleineres Trägheitsmoment bedeutet größere Winkelgeschwindigkeit bei konstantem L=I ωL=I\,\omegaL=Iω.
  • Bilanziere beim Rollen BEIDE Energieanteile: E=12mv2+12Iω2E=\tfrac{1}{2}mv^{2}+\tfrac{1}{2}I\omega^{2}E=21​mv2+21​Iω2.
  • Begründe mit der Massenverteilung, warum ein Vollzylinder eine schiefe Ebene schneller hinunterrollt als ein Hohlzylinder.

Typische Fehler

  • Der Hebelarm wird als Kraftbetrag oder als schräger Abstand statt als senkrechter Abstand zur Achse verwendet.
  • Das Trägheitsmoment wird durch die Masse allein ersetzt; die Massenverteilung bleibt unberücksichtigt.
  • Die Rotationsenergie wird beim Rollen vergessen; die Endgeschwindigkeit kommt dadurch zu groß heraus.
  • Drehimpuls und Drehmoment werden verwechselt: Das Drehmoment ÄNDERT den Drehimpuls.
  • Winkel werden in Grad in Formeln eingesetzt, die das Bogenmaß verlangen.

§ 06

Aktive Wiederholung

An einem Balken im Gleichgewicht hängt links im Abstand 0,400{,}400,40 m eine Masse von 3,03{,}03,0 kg. In welchem Abstand rechts muss eine 2,02{,}02,0-kg-Masse hängen? Begründe mit dem Hebelgesetz.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.01 - Rotational Dynamics (MIT OpenCourseWare)

Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Kinematik - Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung○
    • 02Newtonsche Gesetze○
    • 03Wurfbewegung und Superposition◐
    • 04Gleichförmige Kreisbewegung◐
    • 05Reibung und schiefe Ebene◐
    • 06Rotation, Drehmoment und Drehimpuls●

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

Mechanik 1 - Kinematik und Newtonsche Dynamik

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

~24
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Beispielfrage

Beschreibe anhand eines selbst gewählten Beispiels die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung. Skizziere ein v-t-Diagramm für eine zweistufige Bewegung (Beschleunigung und anschließende gleichförmige Fahrt) und erläutere, was die Fläche unter dem Graphen beschreibt.

4 BE · 2024

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Belege & Quellen

Quellen

OpenStax

  • OpenStax College Physics - Kinematics

Springer

  • Demtröder Experimentalphysik 1 - Mechanik

MIT OpenCourseWare

  • MIT OCW 8.01 Classical Mechanics Lectures 4-6

Siehe auch

  • Mechanik 2 - Energie, Impuls, Schwingungen und WellenEnergie- und Impulsbilanz lösen viele Aufgaben schneller als der Kraftansatz.
  • Astrophysik und KosmologieKreisbewegung und Gravitation tragen dort jede Satelliten- und Planetenbahn.
  • Messung, Experiment und Fehlerrechnungs-t- und v-t-Diagramme sind die Standardfälle der Diagrammauswertung.

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Mechanik 2 - Energie, Impuls, Schwingungen und Wellen

EuraStudy·Notizen T·01·MMXXVI

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