Thermodynamik - Temperatur, Wärme, Hauptsätze — Physik · Matura-Zusammenfassung

Temperatur, ideales Gas und kinetische Gastheorie#

~4 Min LesezeitBasisPHY-Therm-3.1

Temperatur ist makroskopisch ein Maß für die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Teilchenbewegung: Je heißer ein Körper, desto schneller zappeln seine Atome. Diese mikroskopische Deutung verbindet die Alltagsgröße Temperatur mit der Mechanik der einzelnen Teilchen und ist der Schlüssel der gesamten Wärmelehre.

Die SI-Einheit ist das Kelvin (K), gezählt vom absoluten Nullpunkt bei

-273{,}15\,^{\circ}

C, an dem die Teilchenbewegung minimal wird. Die Umrechnung lautet

T[\text{K}]=\vartheta[^{\circ}\text{C}]+273{,}15

. Temperaturdifferenzen sind in beiden Skalen gleich groß, Absolutwerte aber nicht - in allen Gasgesetzen muss Kelvin eingesetzt werden.

Das ideale Gas ist ein Modell mit punktförmigen Teilchen ohne gegenseitige Wechselwirkung außer elastischen Stößen. Reale Gase verhalten sich bei nicht zu hohem Druck und nicht zu tiefer Temperatur sehr gut wie ein ideales Gas - genau dann sind die Annahmen gerechtfertigt.

Den Zusammenhang aller Zustandsgrößen beschreibt die ideale Gasgleichung

pV=nRT

mit der universellen Gaskonstante

R=8{,}314

J/(mol K). Dabei ist die Stoffmenge

n

(in mol) von der Teilchenzahl

N=n N_{A}

zu unterscheiden (

N_{A}=6{,}022\cdot 10^{23}

/mol).

Die kinetische Gastheorie verknüpft die Temperatur direkt mit der Teilchenbewegung: Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist

\bar E_{\text{kin}}=\tfrac{3}{2}k_{B}T

mit der Boltzmann-Konstante

k_{B}=1{,}38\cdot 10^{-23}

J/K. Temperatur ist damit nichts anderes als ein Maß für diese mittlere Energie.

Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit, sondern eine breite, nach rechts schiefe Maxwell-Boltzmann-Verteilung () mit der mittleren Geschwindigkeit

\bar v=\sqrt{\tfrac{8 k_{B}T}{\pi m}}

. Mit steigender Temperatur verschiebt sich die Verteilung zu höheren Geschwindigkeiten und wird flacher - leichte Teilchen sind im Mittel schneller als schwere.

Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung

Abb. 1Die Geschwindigkeiten der Gasteilchen streuen breit; die Verteilung ist nach rechts schief mit einer wahrscheinlichsten Geschwindigkeit.

Abb. 1 ↓

Vokabeln

→ Kartei

ideales GasModellgas ohne Eigenvolumen und ohne Wechselwirkung der Teilchen.
absolute TemperaturTemperatur in Kelvin, gezählt vom absoluten Nullpunkt.
Avogadro-Konstante$N_{A}=6{,}022\cdot10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$; Teilchenzahl je Mol.
isothermBei gleichbleibender Temperatur.
isochorBei gleichbleibendem Volumen; es wird keine Volumenarbeit verrichtet.
kinetische GastheorieDeutung von Druck und Temperatur aus der Bewegung der Gasteilchen.

Ideale Gasgleichung

p\,V = n\,R\,T

$p$ in Pa, $V$ in $\mathrm{m}^{3}$ , $n$ in mol, $T$ in KELVIN und $R=8{,}314\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}$ . Bei hohem Druck oder tiefer Temperatur weichen reale Gase merklich ab.

Mittlere Translationsenergie eines Gasteilchens

\bar E_{\text{kin}}=\tfrac{3}{2}k_{B} T

$k_{B}=1{,}381\cdot10^{-23}\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ ist die Boltzmann-Konstante, $T$ die absolute Temperatur. Die Beziehung ist die mikroskopische Deutung der Temperatur - sie gilt für einatomige Gase und ist ein MITTELWERT über eine Geschwindigkeitsverteilung.

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Musterbeispiel

Druckanstieg im Reifen

Reifen $20^{\circ}$ C, $p_{abs}=3{,}5$ bar; Temperatur steigt auf $60^{\circ}$ C bei konstantem Volumen.

Kelvin
$T_{1}=293{,}15$ K, $T_{2}=333{,}15$ K.
Isochor
$p_{1}/T_{1}=p_{2}/T_{2}\Rightarrow p_{2}=p_{1}\cdot T_{2}/T_{1}$ .
Einsetzen
$p_{2}=3{,}5\cdot 333{,}15/293{,}15\approx 3{,}98$ bar.
Relativdruck
$p_{2,rel}\approx 2{,}98$ bar.

Ergebnis: Reifeninnendruck steigt auf rund $4{,}0$ bar absolut, also rund $3{,}0$ bar Reifenanzeige.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Temperatur ist makroskopisch ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Teilchen.
2
Das ideale Gas ist ein einfaches Modell, in dem nur elastische Stöße zählen.
3
Aus der kinetischen Theorie folgen Bewegungsenergie und Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre das Modell des idealen Gases und die Bedeutung der kinetischen Gastheorie. Bestimme die mittlere kinetische Energie und die mittlere Geschwindigkeit eines Stickstoffmoleküls (

m\approx 4{,}65\cdot 10^{-26}

kg) bei Raumtemperatur (

T=293

K).

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Typische Fehler

Die Temperatur wird in Grad Celsius in die Gasgleichung eingesetzt.
Der Druck bleibt in bar stehen, obwohl $R=8{,}314\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}$ Pascal verlangt.
Stoffmenge und Teilchenzahl werden verwechselt; der Faktor $N_{A}$ fehlt.
Das ideale Gasgesetz wird bei hohem Druck oder tiefer Temperatur unbesehen verwendet.
Aus der mittleren kinetischen Energie wird auf die Geschwindigkeit EINES Teilchens geschlossen; es handelt sich um einen Mittelwert über eine Verteilung.

Aktive Wiederholung

Ein Reifen wird bei $20^{\circ}$ C auf $2{,}5$ bar (relativ) gepumpt. Welcher Druck stellt sich nach starker Sonneneinstrahlung bei $60^{\circ}$ C ein, wenn das Volumen konstant bleibt? (Vergiss Luftdruck nicht.)

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Quellen: OpenStax College Physics - Kinetic Theory (OpenStax)

Hauptsätze der Thermodynamik#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Therm-3.2

Die Hauptsätze der Thermodynamik regeln, wie Energie und Wärme in jedem System umgewandelt werden können - und welche Umwandlungen prinzipiell unmöglich sind. Sie gehören zu den am besten bestätigten Naturgesetzen überhaupt.

Der 0. Hauptsatz stellt fest, dass thermisches Gleichgewicht transitiv ist: Sind zwei Körper je mit einem dritten im Gleichgewicht, dann auch untereinander. Erst das macht die Temperatur zu einer eindeutigen Messgröße und das Thermometer überhaupt möglich.

Der 1. Hauptsatz ist die Energieerhaltung in Wärmeprozessen:

\Delta U=Q+W

- die innere Energie eines Systems ändert sich durch zugeführte Wärme

Q

und am System verrichtete Arbeit

W

. Auf die Vorzeichenkonvention ist zu achten (

Q>0

: Wärme zugeführt,

W>0

: Arbeit am System geleistet).

Der 2. Hauptsatz gibt den Prozessen eine Richtung: In einem abgeschlossenen System kann die Entropie nur zunehmen oder gleich bleiben, und Wärme fließt von selbst stets von warm nach kalt, nie umgekehrt. In der Formulierung von Kelvin und Planck heißt das: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art - Wärme lässt sich nie vollständig in Arbeit umwandeln.

Der 3. Hauptsatz besagt, dass der absolute Nullpunkt nicht in endlich vielen Schritten erreichbar ist und die Entropie eines idealen Kristalls für

T\to 0

verschwindet. Er fixiert den Nullpunkt der Entropieskala.

Technisch werden diese Sätze in Kreisprozessen umgesetzt - Carnot, Stirling, Otto und Diesel (). Jeder reale Wirkungsgrad bleibt unter dem nur von den Temperaturen abhängigen Carnot-Limit

\eta_{C}=1-T_{\text{kalt}}/T_{\text{warm}}

, das die prinzipielle Obergrenze markiert.

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 2Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

Abb. 2 ↓

Vokabeln

→ Kartei

innere EnergieGesamte in einem System gespeicherte thermische Energie; Zustandsgröße.
erster HauptsatzEnergieerhaltung in der Form $\Delta U=Q+W$.
zweiter HauptsatzWärme fließt von selbst nur vom wärmeren zum kälteren Körper; die Gesamtentropie nimmt nie ab.
Carnot-WirkungsgradTheoretische Obergrenze $1-\tfrac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{warm}}}$ für jede Wärmekraftmaschine.
ZustandsgrößeGröße, die nur vom Zustand abhängt, nicht vom Weg dorthin.
ProzessgrößeGröße, die vom Weg abhängt; Wärme und Arbeit sind Prozessgrößen.

1. Hauptsatz (Energieerhaltung)

\Delta U = Q + W

$\Delta U$ ist die Änderung der inneren Energie, $Q$ die zugeführte Wärme, $W$ die am System verrichtete Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist vor der Rechnung festzulegen und dann durchzuhalten.

Carnot-Wirkungsgrad

\eta_{C}=1-\dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}}

$T_{\text{kalt}}$ und $T_{\text{warm}}$ sind die absoluten Temperaturen der beiden Wärmereservoire in KELVIN. Der Wert ist eine theoretische Obergrenze; keine reale Maschine erreicht ihn.

Carnot-Leistungsziffer (Kühlmaschine)

COP_{Kühl}=\dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}-T_{kalt}}

Der COP gibt an, wie viel Wärme je aufgewendeter Arbeitseinheit befördert wird. Er kann größer als eins sein - eine Wärmepumpe erzeugt keine Energie, sie verschiebt sie nur.

Musterbeispiel

Maximalwirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine

Eine Dampfturbine arbeitet zwischen $T_{warm}=550$ K und $T_{kalt}=300$ K. Welchen maximalen Wirkungsgrad kann sie erreichen?

Carnot-Formel
Der obere Grenzwert hängt nur von den beiden absoluten Temperaturen ab: $\eta_{C}=1-T_{kalt}/T_{warm}$ . Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden.
Einsetzen
$\eta_{C}=1-300/550=1-0{,}545=0{,}455$ .
Interpretation
Der Carnot-Wirkungsgrad ist eine prinzipielle Obergrenze für jede zwischen diesen Reservoirs arbeitende Maschine. Reale Turbinen liegen wegen Reibung, Wärmeleitung und endlicher Prozessgeschwindigkeit darunter; eine größere Temperaturdifferenz hebt die Grenze an.

Ergebnis: Maximalwirkungsgrad $\approx 45{,}5\%$ . Reale Turbinen erreichen ca. $35-40\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der 1. Hauptsatz ist die Energieerhaltung in der Thermodynamik.
2
Der 2. Hauptsatz beschränkt die Richtung spontaner Prozesse - Entropie nimmt zu.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
3
Der Carnot-Wirkungsgrad ist die theoretische Obergrenze für jede Wärmekraftmaschine.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Formuliere die ersten beiden Hauptsätze der Thermodynamik und erläutere ihre Bedeutung am Beispiel eines Verbrennungsmotors. Berechne den Carnot-Wirkungsgrad für einen Motor mit

T_{warm}=900

K und

T_{kalt}=350

K und diskutiere, warum reale Wirkungsgrade deutlich darunter liegen.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Vorzeichenkonvention für $W$ wird gewechselt oder gar nicht genannt; das Ergebnis kippt im Vorzeichen.
Ein Wirkungsgrad über dem Carnot-Wert wird angegeben; das verletzt den zweiten Hauptsatz.
Entropie wird als Energie beschrieben; sie ist eine Zustandsgröße mit der Einheit $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ .
Im Carnot-Wirkungsgrad werden Celsius-Werte eingesetzt.
Der erste Hauptsatz wird als „Energie kann nicht vernichtet werden" wiedergegeben, ohne innere Energie, Wärme und Arbeit zu benennen.

Aktive Wiederholung

Eine Kühlmaschine entzieht einem Innenraum bei $5^{\circ}$ C während einer Stunde $3{,}6$ MJ Wärme und gibt diese an die Umgebung bei $25^{\circ}$ C ab. Berechne die maximale Leistungsziffer und vergleiche mit dem Carnot-Idealwert.

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Quellen: MIT OCW 8.044 - Statistical Physics (MIT OpenCourseWare)

Wärmekapazität und Phasenübergänge#

~3 Min LesezeitStandardPHY-Therm-3.3

Um einen Stoff zu erwärmen, muss man Wärme zuführen:

Q=c\,m\,\Delta T

. Die spezifische Wärmekapazität

c

gibt an, wie viel Energie ein Kilogramm pro Kelvin Temperaturanstieg aufnimmt. Verschiedene Stoffe brauchen sehr unterschiedlich viel - Metalle wenig, Wasser außergewöhnlich viel.

Wasser hat mit

c\approx 4{,}18

kJ/(kg K) eine der höchsten Wärmekapazitäten überhaupt und ist deshalb ein hervorragender Wärmespeicher. Das erklärt das milde Klima an Küsten und den Einsatz von Wasser als Kühl- und Heizmittel: Es nimmt viel Energie auf, ohne sich stark zu erwärmen.

Bei einem Phasenübergang bleibt die Temperatur trotz Wärmezufuhr konstant, weil die Energie das Aufbrechen der Bindungen leistet (latente Wärme):

Q=L_{s}\,m

beim Schmelzen,

Q=L_{v}\,m

beim Verdampfen. Im

T

-

Q

-Diagramm erscheinen diese Übergänge als waagrechte Plateaus ().

Erwärmungskurve von Wasser mit Schmelz- und Siedeplateau

Abb. 3Während eines Phasenübergangs bleibt die Temperatur trotz Wärmezufuhr konstant (latente Wärme).

Abb. 3 ↓

Für Wasser ist die Schmelzwärme

L_{\text{Schmelz}}=334

kJ/kg, die Verdampfungswärme sogar

L_{\text{Verdampf}}=2257

kJ/kg - Verdampfen kostet also rund siebenmal mehr Energie als Schmelzen. Deshalb kühlt verdunstender Schweiß so wirksam und dauert das Verdampfen viel länger als das Schmelzen gleicher Massen.

Bei Mischungsaufgaben gilt die Energieerhaltung: Die abgegebene Wärme des wärmeren Körpers ist gleich der aufgenommenen des kälteren, also

\sum m_{i}c_{i}(T_{i}-T_{m})=0

. Wichtig ist, mögliche Phasenübergänge (schmelzendes Eis) als eigene Energieposten mitzudenken.

Mehrstufige Aufgaben zerlegt man konsequent in Heizphasen (

Q=cm\Delta T

) und Phasenübergänge (

Q=Lm

) und addiert die Teilenergien. Ein Einheitencheck (kJ gegen J) verhindert Größenordnungsfehler, die hier besonders häufig sind.

Vokabeln

→ Kartei

spezifische WärmekapazitätWärme, die 1 kg eines Stoffes um 1 K erwärmt.
latente WärmeWärme beim Phasenübergang; sie ändert die Temperatur nicht.
SchmelzenthalpieLatente Wärme des Übergangs fest zu flüssig.
VerdampfungsenthalpieLatente Wärme des Übergangs flüssig zu gasförmig; deutlich größer als die Schmelzenthalpie.
MischungstemperaturGemeinsame Endtemperatur zweier in Kontakt gebrachter Körper.
PhasenübergangWechsel des Aggregatzustands bei konstanter Temperatur.

Wärme und latente Wärme

Q=c\,m\,\Delta T,\quad Q=L_{s}\,m \;\text{(Phasenübergang)}

$c$ ist die spezifische Wärmekapazität in $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}$ , $L_{s}$ die spezifische Umwandlungsenthalpie in $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}$ . Beim Phasenübergang bleibt die Temperatur konstant, obwohl Wärme zugeführt wird.

Wärmeleitung (Fourier)

\dot Q = \lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

$\dot Q$ ist der Wärmestrom in W, $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit, $A$ die durchströmte Fläche, $d$ die Schichtdicke. Die Dicke steht im NENNER: doppelte Dämmstärke halbiert den Verlust.

Musterbeispiel

Mischungstemperatur

$200$ g Wasser von $80^{\circ}$ C werden mit $300$ g Wasser von $20^{\circ}$ C vermischt. Welche Mischungstemperatur stellt sich ein? $c_{W}=4{,}18$ kJ/(kg K).

Energiebilanz
$m_{1} c (T_{1}-T_{m}) = m_{2} c (T_{m}-T_{2})$ .
Auflösen
$T_{m}=\dfrac{m_{1} T_{1}+m_{2} T_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ .
Einsetzen
$T_{m}=\dfrac{0{,}2\cdot 80+0{,}3\cdot 20}{0{,}5}=\dfrac{16+6}{0{,}5}=44^{\circ}$ C.

Ergebnis: Mischungstemperatur $44^{\circ}$ C.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Wärmekapazität gibt an, wie viel Energie ein Stoff pro Kelvin Temperaturänderung aufnimmt.
2
Bei Phasenübergängen bleibt die Temperatur konstant, obwohl Energie zugeführt wird - das ist latente Wärme.
3
Energiebilanzen helfen, Mischungstemperaturen oder Heizdauern zu berechnen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Begriff der spezifischen Wärmekapazität und beschreibe, warum Wasser ein besonders guter Wärmespeicher ist. Bestimme die Endtemperatur, wenn

50

g Aluminium (

c=897

J/(kg K)) der Temperatur

150^{\circ}

C in

200

g Wasser von

20^{\circ}

C gelegt werden.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die latente Wärme beim Schmelzen oder Verdampfen wird vergessen; sie ist meist der größte Posten.
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser wird auf andere Stoffe übertragen.
Beim Phasenübergang wird eine Temperaturänderung angesetzt; die Temperatur bleibt dort konstant.
In der Mischungsbilanz fehlt das Vorzeichen; abgegebene und aufgenommene Wärme werden addiert statt gleichgesetzt.
Es wird angenommen, das gesamte Eis schmelze, ohne die verfügbare Wärme zu prüfen.

Aktive Wiederholung

Wie viel Energie ist nötig, um $250$ g Eis von $-10^{\circ}$ C in Wasserdampf von $100^{\circ}$ C zu verwandeln? ( $c_{Eis}=2{,}1$ kJ/(kg K), $L_{S}=334$ kJ/kg, $c_{W}=4{,}18$ kJ/(kg K), $L_{V}=2257$ kJ/kg.)

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Quellen: OpenStax College Physics - Heat and Heat Transfer (OpenStax)

Zustandsänderungen idealer Gase#

~4 Min LesezeitVertiefungPHY-Therm-3.4

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 4Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

Vier Zustandsänderungen idealer Gase decken praktisch jede Aufgabe ab, und jede ist dadurch gekennzeichnet, welche Zustandsgröße festgehalten wird: isotherm die Temperatur, isobar der Druck, isochor das Volumen, adiabatisch der Wärmeaustausch mit der Umgebung. Wer zuerst diese Zuordnung trifft, hat die Aufgabe im Wesentlichen gelöst.

Im p-V-Diagramm liest sich alles ab. Die Fläche unter der Zustandskurve ist die Volumenarbeit; ein geschlossener Kreisprozess umschließt die je Umlauf gewonnene Arbeit. Die Isotherme ist eine Hyperbel, die Adiabate verläuft STEILER, weil bei ihr zusätzlich die Temperatur sinkt.

Der erste Hauptsatz

\Delta U=Q+W

liefert für jede Zustandsänderung die vollständige Bilanz. Isotherm bleibt

\Delta U=0

, die zugeführte Wärme wird vollständig in Arbeit umgesetzt. Isochor wird keine Volumenarbeit verrichtet, die gesamte Wärme erhöht die innere Energie. Isobar teilt sich die Wärme auf innere Energie und Volumenarbeit auf. Adiabatisch ist

Q=0

, die Arbeit geht vollständig zu Lasten der inneren Energie - deshalb kühlt ein Gas beim raschen Expandieren ab.

Die Adiabatengleichung

p\,V^{\kappa}=\text{const}

unterscheidet sich von der Isothermengleichung nur durch den Exponenten

\kappa=\tfrac{c_{p}}{c_{v}}

, der für einatomige Gase 1,67 und für zweiatomige rund 1,4 beträgt. Genau dieser Exponent wird beim Rechnen am häufigsten vergessen.

Die Alltagsbezüge sind prüfungsrelevant und lassen sich in einem Satz begründen: Eine Fahrradpumpe wird warm, weil die rasche Kompression adiabatisch verläuft; eine Spraydose kühlt beim Entleeren aus demselben Grund in umgekehrter Richtung ab. Beide Vorgänge sind zu schnell für einen nennenswerten Wärmeaustausch.

Kreisprozesse setzen die Einzelschritte zusammen. Der Carnot-Prozess besteht aus zwei Isothermen und zwei Adiabaten und liefert die theoretische Obergrenze des Wirkungsgrads; reale Maschinen wie der Otto- oder Dieselprozess bleiben darunter, weil sie mit endlicher Geschwindigkeit und mit Reibung arbeiten.

Für die Bearbeitung empfiehlt sich ein festes Vorgehen: Zustandsänderung benennen, die zugehörige vereinfachte Formel notieren, dann

\Delta U

,

Q

und

W

getrennt bestimmen und zum Schluss über den ersten Hauptsatz gegenprüfen. Stimmt die Summe nicht, steckt der Fehler fast immer in einem Vorzeichen.

Vokabeln

→ Kartei

isobarBei gleichbleibendem Druck; im p-V-Diagramm eine Waagrechte.
adiabatischOhne Wärmeaustausch mit der Umgebung; $Q=0$.
Adiabatenexponent$\kappa=\tfrac{c_{p}}{c_{v}}$; rund 1,4 für zweiatomige Gase.
VolumenarbeitArbeit bei Volumenänderung; im p-V-Diagramm die Fläche unter der Kurve.
KreisprozessFolge von Zustandsänderungen, die zum Ausgangszustand zurückführt.
Carnot-ProzessIdealer Kreisprozess aus zwei Isothermen und zwei Adiabaten.

Isobare Volumenarbeit

W_{isobar}=p\,\Delta V=nR\,\Delta T

$p$ ist der konstante Druck, $\Delta V$ die Volumenänderung. Im p-V-Diagramm ist das die Rechteckfläche unter der waagrechten Zustandslinie.

Adiabatengleichung

p\,V^{\kappa}=\text{const},\quad \kappa=\dfrac{c_{p}}{c_{V}}

$\kappa$ ist der Adiabatenexponent, das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten; für Luft rund 1,4. Ohne diesen Exponenten wird daraus die Isothermengleichung - deshalb verläuft die Adiabate im p-V-Diagramm steiler.

Musterbeispiel

Isobare Erwärmung von einem Mol Gas

$n=1$ mol, $p=$ const, $T:300\to 400$ K, $C_{p}=\tfrac{5}{2}R$ , $C_{V}=\tfrac{3}{2}R$ .

Volumenarbeit
$W=nR\,\Delta T=1\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 831$ J.
Zugeführte Wärme
$Q=nC_{p}\Delta T=1\cdot\tfrac{5}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 2079$ J.
Innere Energie
$\Delta U=nC_{V}\Delta T=1\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 8{,}314\cdot 100\approx 1247$ J.
Kontrolle
$\Delta U=Q-W=2079-831=1248$ J - konsistent.

Ergebnis: Volumenarbeit $\approx 831$ J, Wärme $\approx 2079$ J, davon $\approx 1247$ J als innere Energie.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Jede Zustandsänderung hält eine Größe konstant - Temperatur, Druck, Volumen oder den Wärmeaustausch.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
2
Der 1. Hauptsatz verbindet für jeden Prozess innere Energie, Wärme und Arbeit.
3
Im p-V-Diagramm ist die eingeschlossene Fläche eines Kreisprozesses die Nutzarbeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe isotherme, isobare, isochore und adiabatische Zustandsänderungen eines idealen Gases und ordne sie im p-V-Diagramm ein. Wie wendet man jeweils den 1. Hauptsatz an?

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Typische Fehler

Bei isochorer Änderung wird Volumenarbeit angesetzt; ohne Volumenänderung wird keine verrichtet.
Die Adiabatengleichung wird mit der Isothermengleichung verwechselt; der Exponent $\kappa$ fehlt.
Bei isothermer Änderung wird $\Delta U\neq0$ angenommen; beim idealen Gas hängt $U$ nur von $T$ ab.
Das Vorzeichen der Arbeit wird beim Übergang zwischen Kompression und Expansion nicht gewechselt.
Ein realer Kreisprozess wird mit dem Carnot-Wirkungsgrad gleichgesetzt; dieser ist nur die Obergrenze.

Aktive Wiederholung

$1$ mol ideales Gas wird bei konstantem Druck $p=1{,}0$ bar von $300$ K auf $400$ K erwärmt. Berechne die Volumenarbeit und die zugeführte Wärme ( $C_{p}=\tfrac{5}{2}R$ , $C_{V}=\tfrac{3}{2}R$ , $R=8{,}314$ J/(mol K)).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: OpenStax College Physics - Thermodynamic Processes (OpenStax)

Wärmetransport - Leitung, Konvektion, Strahlung#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Therm-3.5

Wärme kann auf drei grundverschiedene Arten transportiert werden: durch Leitung (vor allem in Festkörpern), durch Konvektion (in strömenden Fluiden) und durch Strahlung (sogar im Vakuum). In realen Situationen wirken meist mehrere Mechanismen zugleich.

Bei der Wärmeleitung wandert Energie durch Stöße von Teilchen zu Teilchen, ohne dass Materie transportiert wird. Das Fourier-Gesetz

\dot Q=\lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

() zeigt: Der Wärmestrom wächst mit Fläche und Temperaturdifferenz und sinkt mit der Schichtdicke. Metalle haben ein großes

\lambda

(gute Leiter), Dämmstoffe und Luft ein kleines.

Wärmeleitung durch eine Wand (Fourier)

Abb. 5Der Wärmestrom

\dot Q=\lambda A\,\Delta T/d

wächst mit Fläche und Temperaturdifferenz, sinkt mit der Wanddicke.

Abb. 5 ↓

Bei der Konvektion transportiert das strömende Fluid die Wärme selbst mit: Warmes, weniger dichtes Material steigt auf, kühleres sinkt ab. Das treibt Heizkörper im Raum, den Golfstrom im Ozean und das gesamte Wettergeschehen an.

Jeder Körper sendet allein aufgrund seiner Temperatur Wärmestrahlung aus; nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die Strahlungsleistung

P=\varepsilon\sigma A T^{4}

. Die vierte Potenz ist entscheidend: Verdoppelt sich die absolute Temperatur, steigt die Abstrahlung auf das Sechzehnfache. Strahlung benötigt kein Medium - so erreicht uns die Sonnenenergie durch das Vakuum.

Wärmedämmung nutzt diese Gesetze gezielt: dicke Schichten mit kleiner Leitfähigkeit, mehrfache ruhende Luftschichten (Doppelverglasung) gegen Leitung und Konvektion sowie reflektierende, blanke Oberflächen gegen Strahlung.

Beim Treibhauseffekt dringt die kurzwellige Sonnenstrahlung weitgehend ungehindert bis zum Boden, während die von der erwärmten Erde ausgehende langwellige Wärmestrahlung von Treibhausgasen absorbiert und teilweise zurückgestrahlt wird. Diese Rückstrahlung erhöht die Oberflächentemperatur - ohne sie wäre die Erde global vereist.

Vokabeln

→ Kartei

WärmeleitungEnergietransport durch Stöße benachbarter Teilchen ohne Stofftransport.
KonvektionEnergietransport durch strömendes Fluid.
WärmestrahlungEnergietransport durch elektromagnetische Wellen; funktioniert auch im Vakuum.
WärmeleitfähigkeitMaterialkenngröße $\lambda$ in $\tfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}$.
Fourier-Gesetz$\dot Q=\lambda\,A\,\tfrac{\Delta T}{d}$; Wärmestrom durch eine Schicht.
Stefan-Boltzmann-Gesetz$P=\sigma\,A\,T^{4}$; abgestrahlte Leistung eines schwarzen Körpers.

Wärmeleitung (Fourier)

\dot Q=\lambda A\dfrac{\Delta T}{d}

$\dot Q$ ist der Wärmestrom in W, $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit, $A$ die durchströmte Fläche, $d$ die Schichtdicke. Die Dicke steht im NENNER: doppelte Dämmstärke halbiert den Verlust.

Wärmestrahlung (Stefan-Boltzmann)

P=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}

$\varepsilon$ ist der Emissionsgrad (eins für den schwarzen Körper), $\sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\,\tfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}}$ die Stefan-Boltzmann-Konstante, $T$ die absolute Temperatur. Die vierte Potenz macht den Effekt bei hohen Temperaturen beherrschend.

Musterbeispiel

Wärmeverlust durch ein Einfachglasfenster

$A=2{,}0$ m $^{2}$ , $d=4{,}0$ mm, $\lambda=0{,}80$ W/(m K), $\Delta T=20$ K.

Fourier
$\dot Q=\lambda A\Delta T/d$ .
Einsetzen
$\dot Q=0{,}80\cdot 2{,}0\cdot 20/0{,}004=8000$ W.
Vergleich
Doppelverglasung mit Luftschicht (kleines $\lambda$ , großes $d$ ) senkt den Verlust um etwa eine Größenordnung.

Ergebnis: Der idealisierte Wärmestrom beträgt $8$ kW; reale Fenster sind durch Grenzschichten und Mehrfachverglasung deutlich besser.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wärme wird durch Leitung, Konvektion und Strahlung transportiert - nur Strahlung braucht kein Medium.
2
Das Fourier-Gesetz beschreibt, wie schnell Wärme durch eine Wand fließt.
3
Die Strahlungsleistung wächst mit der vierten Potenz der Temperatur - zentral für Sterne und den Treibhauseffekt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe die drei Arten des Wärmetransports mit je einem Alltagsbeispiel. Erläutere, wie Gebäudedämmung physikalisch wirkt, und welche Rolle die Stefan-Boltzmann-Strahlung beim Treibhauseffekt spielt.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Konvektion wird in Festkörpern angenommen; dort ist kein Stofftransport möglich.
Bei Stefan-Boltzmann wird die Temperatur in Grad Celsius eingesetzt.
Schichtdicke und Fläche werden in der Fourier-Formel vertauscht.
Wärmestrom und Wärmemenge werden verwechselt; der eine trägt die Einheit W, die andere J.
Strahlung wird als auf heiße Körper beschränkt beschrieben; jeder Körper über dem absoluten Nullpunkt strahlt.

Aktive Wiederholung

Ein Einfachglasfenster (Fläche $2{,}0$ m $^{2}$ , Dicke $4{,}0$ mm, $\lambda=0{,}80$ W/(m K)) trennt $21^{\circ}$ C innen von $1^{\circ}$ C aussen. Berechne den Wärmestrom und vergleiche qualitativ mit Doppelverglasung.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Heat Transfer Methods (OpenStax)

Entropie und Irreversibilität#

~3 Min LesezeitVertiefungPHY-Therm-3.6

Die Entropie

S

ist die Zustandsgröße, die festlegt, in welche Richtung Prozesse von selbst ablaufen. Bei reversibler Wärmezufuhr ändert sie sich um

\Delta S=\dfrac{Q_{rev}}{T}

- dieselbe Wärmemenge erzeugt bei tiefer Temperatur mehr Entropie als bei hoher.

Statistisch gedeutet (Boltzmann) ist

S=k_{B}\ln W

, wobei

W

die Zahl der mikroskopischen Anordnungen zählt, die denselben makroskopischen Zustand ergeben. Ein „unordentlicher", wahrscheinlicherer Zustand hat mehr Mikrozustände und damit höhere Entropie - Entropiezunahme ist der Lauf zum Wahrscheinlicheren.

Der 2. Hauptsatz lautet in dieser Sprache: In einem abgeschlossenen System nimmt die Gesamtentropie nie ab (

\Delta S\geq 0

). Reversible (ideale) Prozesse halten

\Delta S=0

, alle realen, irreversiblen Prozesse erzeugen Entropie.

Daraus folgt die Alltagsbeobachtung, dass Wärme von selbst nur von warm nach kalt fließt: Dabei sinkt zwar die Entropie des warmen Reservoirs, die des kalten steigt aber stärker, sodass die Gesamtbilanz positiv ist. Der umgekehrte Vorgang würde die Gesamtentropie senken und ist ohne äußeren Aufwand (Kühlmaschine) unmöglich.

Wichtig: Die Entropie eines Teilsystems darf durchaus abnehmen (etwa Wasser, das zu Eis gefriert) - der 2. Hauptsatz verlangt nur, dass die Summe aus System und Umgebung nicht abnimmt. Lokale Ordnung wird stets durch größere Unordnung anderswo „erkauft".

Die Entropie gibt der Zeit eine Richtung (den thermodynamischen Zeitpfeil) und begrenzt zugleich die Umwandelbarkeit von Wärme in Arbeit. Genau deshalb kann keine Maschine den Carnot-Wirkungsgrad überschreiten, wie er sich aus den Kreisprozessen ergibt ().

p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess

Abb. 6Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.

Abb. 6 ↓

Vokabeln

→ Kartei

EntropieZustandsgröße $S$ in $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$; Maß für die Zahl der zugänglichen Mikrozustände.
reversibelUmkehrbar ohne bleibende Änderung der Umgebung; idealisierter Grenzfall.
irreversibelNicht von selbst umkehrbar; jeder reale Prozess ist es.
MikrozustandKonkrete Anordnung aller Teilchen; viele Mikrozustände ergeben denselben Makrozustand.
WärmetodGedankenmodell eines Endzustands maximaler Entropie.
EntropiebilanzVergleich der Entropieänderungen aller beteiligten Systeme.

Entropie - thermodynamisch und statistisch

\Delta S=\dfrac{Q_{rev}}{T},\quad S=k_{B}\ln W

$Q_{rev}$ ist die reversibel ausgetauschte Wärme, $T$ die absolute Temperatur, $W$ die Zahl der Mikrozustände und $k_{B}$ die Boltzmann-Konstante. Beide Ausdrücke beschreiben dieselbe Zustandsgröße mit der Einheit $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ .

Musterbeispiel

Entropiebilanz bei Wärmeleitung

$Q=1000$ J von $T_{w}=400$ K zu $T_{k}=300$ K.

Warmes Reservoir
$\Delta S_{w}=-Q/T_{w}=-1000/400=-2{,}50$ J/K.
Kaltes Reservoir
$\Delta S_{k}=+Q/T_{k}=+1000/300\approx +3{,}33$ J/K.
Gesamt
$\Delta S_{ges}=-2{,}50+3{,}33=+0{,}83$ J/K $>0$ .

Ergebnis: Die Gesamtentropie steigt um $\approx 0{,}83$ J/K - der Prozess ist irreversibel und läuft spontan nur in dieser Richtung.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Entropie ist eine Zustandsgröße und ein Mass für die Unordnung eines Systems.
2
Im abgeschlossenen System kann die Gesamtentropie nie abnehmen - das ist der 2. Hauptsatz.
p-V-Diagramm - Carnot-Kreisprozess
Abb.Zwei Isothermen (T_warm, T_kalt) und zwei Adiabaten; Fläche = Arbeit.
3
Die Entropie gibt der Zeit eine Richtung und begrenzt die Umwandlung von Wärme in Arbeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Begriff der Entropie thermodynamisch und statistisch. Begründe mit der Entropie, warum Wärme spontan nur von warm nach kalt fließt und warum kein perpetuum mobile 2. Art möglich ist.

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Typische Fehler

Entropie wird als Energie behandelt; sie hat die Einheit $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ und ist eine Zustandsgröße.
Die Entropieabnahme eines TEILSYSTEMS wird als Verstoß gegen den zweiten Hauptsatz gedeutet; maßgeblich ist die Gesamtbilanz.
In $\Delta S=\tfrac{Q}{T}$ wird die Temperatur in Celsius eingesetzt.
Entropie wird ausschließlich als „Unordnung" beschrieben, ohne den Bezug zur Zahl der Mikrozustände.
Reversible und irreversible Prozesse werden gleich behandelt; nur beim reversiblen bleibt die Gesamtentropie konstant.

Aktive Wiederholung

Eine Wärmemenge $Q=1000$ J fließt von einem Reservoir bei $400$ K zu einem bei $300$ K. Berechne die Entropieänderung beider Reservoire und der Gesamtanordnung und interpretiere das Vorzeichen.

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Quellen: MIT OCW 8.044 - Statistical Physics (MIT OpenCourseWare)