B 7 - Beschreibende Statistik — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Lage- und Streuungsmaße#

~4 Min LesezeitBasisB-7.1

Beschreibende Statistik verdichtet eine Datenmenge auf wenige aussagekräftige Kennzahlen. Zwei Fragen stehen im Vordergrund: Wo liegt das Zentrum der Daten (Lagemaße) und wie stark streuen sie darum (Streuungsmaße)? Erst beide zusammen beschreiben eine Verteilung angemessen.

Die drei Lagemaße sind Mittelwert

\bar x

(Summe durch Anzahl), Median

\tilde x

(der mittlere Wert der geordneten Daten) und Modus (der häufigste Wert). Sie unterscheiden sich in ihrer Robustheit: Der Mittelwert reagiert empfindlich auf Ausreißer, der Median bleibt stabil.

Genau diese Robustheit ist prüfungsentscheidend: Bei den Wartezeiten 5, 8, 4, 7, 6 und 25 Minuten zieht der eine Extremwert den Mittelwert auf

9{,}2

hinauf, während der Median bei

6{,}5

bleibt (). Bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern ist daher der Median das aussagekräftigere Lagemaß.

Wartezeiten mit Ausreißer

Abb. 1Sechs Wartezeiten in Minuten: Der einzelne Extremwert (25) zieht den Mittelwert auf

9{,}2

, während der Median

6{,}5

robust bleibt.

Abb. 1 ↓

Die Streuungsmaße messen die Schwankung: die Spannweite

R=x_{\max}-x_{\min}

(sehr ausreißerempfindlich), der robuste Quartilsabstand

Q_3-Q_1

, sowie Varianz

s^{2}

und Standardabweichung

s

als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Eine Standardabweichung ist nie negativ - ein negatives Ergebnis ist ein sicherer Rechenfehler.

Die Standardabweichung ist das wichtigste Streuungsmaß, weil sie dieselbe Einheit wie die Daten trägt und sich als „typische Abweichung vom Mittelwert" deuten lässt. Bei der Berechnung ist die Stichprobenformel (Division durch

n-1

) von der Populationsformel (durch

n

) sauber zu trennen.

Sollen Datensätze unterschiedlicher Größenordnung verglichen werden, dient der dimensionslose Variationskoeffizient

V=\tfrac{s}{\bar x}

- er setzt die Streuung ins Verhältnis zum Mittelwert. So lässt sich etwa beurteilen, ob Aktienkurse relativ stärker schwanken als Wechselkurse, obwohl ihre absoluten Werte ganz verschieden sind.

Vokabeln

→ Kartei

arithmetisches MittelSumme aller Werte geteilt durch ihre Anzahl; empfindlich gegen Ausreißer.
MedianMittlerer Wert der geordneten Reihe; robust gegen Ausreißer.
ModusHäufigster Wert einer Verteilung.
VarianzMittleres Quadrat der Abweichungen vom Mittelwert; Einheit ist die quadrierte Dateneinheit.
StandardabweichungWurzel der Varianz; typische Abweichung in der Einheit der Daten.
SpannweiteDifferenz zwischen größtem und kleinstem Wert.

Arithmetisches Mittel

\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}

$n$ ist der Stichprobenumfang, $x_{i}$ die Einzelwerte. Der Mittelwert reagiert empfindlich auf Ausreißer; bei schiefen Verteilungen ist der Median die aussagekräftigere Lagekennzahl.

Median bei sortierter Stichprobe

\tilde x=\begin{cases} x_{((n+1)/2)} & n\;\text{ungerade} \\ \tfrac{1}{2}(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}) & n\;\text{gerade}\end{cases}

Die Daten müssen VORHER der Größe nach geordnet werden. Bei ungerader Anzahl ist der Median der mittlere Wert, bei gerader das Mittel der beiden mittleren; er ist robust gegen Ausreißer.

Stichproben-Standardabweichung

s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar x)^{2}}

$\bar x$ ist das Stichprobenmittel. Der Nenner $n-1$ statt $n$ macht die Schätzung erwartungstreu; für die Grundgesamtheit steht dort $n$ . Die Einheit ist die der Daten.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Lage- und Streuungsmaße einer Stichprobe

Eine Stichprobe von 7 Messwerten lautet: $\{12,\,15,\,18,\,14,\,17,\,16,\,15\}$ . Bestimme Mittelwert, Median, Standardabweichung und Spannweite.

Mittelwert
$\bar x=\tfrac{12+15+18+14+17+16+15}{7}=\tfrac{107}{7}\approx 15{,}29$ .
Sortieren
$\{12,\,14,\,15,\,15,\,16,\,17,\,18\}$ , Median ist der 4. Wert $=15$ .
Standardabweichung
$s=\sqrt{\tfrac{1}{6}\sum(x_{i}-15{,}29)^{2}}\approx \sqrt{\tfrac{23{,}43}{6}}\approx 1{,}98$ .
Spannweite
$R=18-12=6$ .

Ergebnis: Mittelwert $\approx 15{,}3$ , Median $15$ , Standardabweichung $\approx 2{,}0$ , Spannweite $6$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bestimme zuerst, ob deine Daten symmetrisch oder schief sind.
2
Bei Ausreißern ist der Median oft aussagekräftiger als der Mittelwert.
3
Standardabweichung interpretiere als typische Abweichung vom Mittelwert.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Berechne aus den Werten

\{6, 8, 10, 12, 14\}

den Mittelwert und die Standardabweichung. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Mittelwert und Median werden gleichgesetzt; bei schiefen Verteilungen weichen sie deutlich ab.
Die Standardabweichung wird negativ angegeben; sie ist als Wurzel stets nichtnegativ.
Bei klassierten Daten wird die Klassenuntergrenze statt der Klassenmitte verwendet.
$n$ und $n-1$ werden vertauscht; bei kleinen Stichproben verzerrt das die Streuung merklich.
Die Varianz wird als Ergebnis angegeben, obwohl nach der Standardabweichung gefragt war - die Einheiten unterscheiden sich.

Aktive Wiederholung

Sechs Wartezeiten in Minuten lauten $5, 8, 4, 7, 6, 25$ . Begründe, welcher Lagewert (Mittelwert oder Median) hier aussagekräftiger ist.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Histogramme, Boxplots und kumulative Darstellung#

~4 Min LesezeitBasisB-7.2

Kennzahlen allein verbergen die Form einer Verteilung - eine geeignete Grafik macht sie auf einen Blick sichtbar. Je nach Frage wählt man Histogramm, Boxplot oder kumulative Häufigkeitskurve; jede Darstellung betont eine andere Eigenschaft der Daten.

Das Histogramm zeigt die Häufigkeit je Klasse als Balken () und eignet sich für kontinuierliche oder klassierte Daten. An seiner Form liest man unmittelbar ab, ob die Verteilung symmetrisch, links- oder rechtsschief ist und ob sie ein oder mehrere Maxima hat.

Histogramm: Notenverteilung einer Klasse

Abb. 3Häufigkeiten je Note - leicht rechtsschief verteilt.

Abb. 3 ↓

Anders als beim Balkendiagramm stoßen die Säulen eines Histogramms aneinander, weil die Skala stetig ist - und die FLÄCHE, nicht die Höhe, stellt die Häufigkeit dar. Bei ungleichen Klassenbreiten ist deshalb die Häufigkeitsdichte (Häufigkeit geteilt durch Klassenbreite) als Höhe aufzutragen; sonst erscheinen breite Klassen künstlich bedeutend. Genau dieser Unterschied wird in Typ-1-Aufgaben regelmäßig geprüft.

Der Boxplot fasst die Fünf-Werte-Zusammenfassung kompakt zusammen - Minimum,

Q_1

, Median,

Q_3

und Maximum (). Die Box umfasst die mittleren

50\,\%

der Daten, die Whisker reichen zu den Extremwerten; der Median-Strich teilt die Box.

Boxplot — Fünfwerte-Zusammenfassung

Abb. 2Box zeigt die mittleren 50 %, Whisker die Spannweite bis Max/Min.

Abb. 2 ↓

Seine Stärke ist der Vergleich: Parallele Boxplots stellen zwei oder mehr Gruppen direkt nebeneinander und machen Unterschiede in Lage (Median) und Streuung (Boxbreite) sofort sichtbar - etwa beim Vergleich zweier Filialen oder Maschinen.

Die Schiefe einer Verteilung verrät sich im Boxplot durch unterschiedlich lange Whisker und eine außermittige Lage des Medians in der Box: Liegt der Median näher an

Q_1

und ist der rechte Whisker länger, ist die Verteilung rechtsschief.

Die kumulative (Summen-)Häufigkeitskurve ist monoton steigend und erleichtert das Ablesen von Quantilen: Den Median findet man auf Höhe

50\,\%

, die Quartile bei

25\,\%

und

75\,\%

. Bei der Boxplot-Konstruktion ist darauf zu achten, die Quartile korrekt zu bestimmen (Median der jeweiligen Datenhälfte) und die Median-Linie nicht zu vergessen.

Eine Grenze gehört zu jeder dieser Darstellungen dazu: Der Boxplot zeigt Lage und Streuung, aber NICHT die Modalität - zwei völlig verschiedene Verteilungen können denselben Boxplot besitzen, etwa eine gleichmäßige und eine zweigipfelige. Wer eine Aussage über die Form braucht, muss zusätzlich das Histogramm heranziehen. Bei kleinen Stichproben ist außerdem jede grafische Aussage mit Vorsicht zu treffen, weil einzelne Werte die Quartile stark verschieben.

Vokabeln

→ Kartei

HistogrammSäulendiagramm für klassierte stetige Daten; die Fläche entspricht der Häufigkeit.
HäufigkeitsdichteHäufigkeit geteilt durch die Klassenbreite; korrekte Balkenhöhe bei ungleichen Klassen.
BoxplotKastengrafik aus Minimum, Quartilen, Median und Maximum.
kumulative HäufigkeitSumme aller Häufigkeiten bis zu einer Klasse; Grundlage der Quartilsablesung.
SchiefeAsymmetrie einer Verteilung; erkennbar am längeren Ausläufer.
ModalitätAnzahl der Gipfel einer Verteilung; im Boxplot nicht erkennbar.

Musterbeispiel

Boxplot konstruieren

Stichprobe $\{12,\,14,\,15,\,16,\,18,\,21,\,25,\,27,\,30,\,33\}$ .

Sortierung
Bereits sortiert.
Quartile
$Q_{1}=15$ , Median $=19{,}5$ , $Q_{3}=27$ (bei zehn Werten Interpolation der Quartile).
Whisker
Min $12$ , Max $33$ .

Ergebnis: Min=12, $Q_{1}=15$ , Median=19,5, $Q_{3}=27$ , Max=33.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Histogramm zeigt die Form der Verteilung auf einen Blick.
Boxplot — Fünfwerte-Zusammenfassung
Abb.Box zeigt die mittleren 50 %, Whisker die Spannweite bis Max/Min.
2
Boxplot eignet sich besonders gut für den Vergleich verschiedener Gruppen.
3
Quartile direkt aus der Daten- oder Häufigkeitskurve ablesen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Anhand eines Boxplots sind Min = 4,

Q_{1}=8

, Median = 11,

Q_{3}=14

, Max = 18 abzulesen. Berechne den Quartilsabstand und kommentiere die Symmetrie. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei ungleichen Klassenbreiten wird die absolute Häufigkeit als Höhe verwendet; das verzerrt das Bild.
Der Boxplot wird ohne Medianlinie gezeichnet; damit fehlt die zentrale Information.
Die Quartile werden falsch bestimmt, weil die Daten nicht geordnet oder die Hälften falsch abgegrenzt wurden.
Histogramm und Balkendiagramm werden verwechselt; beim Histogramm stoßen die Balken aneinander, weil die Skala stetig ist.
Der Boxplot wird als Aussage über die Verteilungsform gelesen; er zeigt Lage und Streuung, nicht die Modalität.

Aktive Wiederholung

Erstelle aus der Stichprobe $\{12,\,14,\,15,\,16,\,18,\,21,\,25,\,27,\,30,\,33\}$ einen Boxplot.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Korrelation und einfache Regression#

~3 Min LesezeitStandardB-7.3

Oft will man wissen, ob zwei Merkmale zusammenhängen - Werbeausgaben und Umsatz, Temperatur und Eisverkauf. Den Anfang macht stets das Streudiagramm: Es zeigt auf einen Blick, ob ein Zusammenhang besteht, ob er linear ist und ob Ausreißer das Bild verzerren ().

Streudiagramm mit Regressionsgerade

Abb. 4Bei positivem linearem Zusammenhang (

r

nahe

+1

) liegen die Punkte eng um die Regressionsgerade; die Gerade minimiert die Summe der quadrierten senkrechten Abstände.

Abb. 4 ↓

Der Korrelationskoeffizient

r\in[-1;\,1]

misst Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs:

r

nahe

+1

bedeutet engen gleichsinnigen, nahe

-1

engen gegensinnigen Zusammenhang, nahe

0

keinen linearen. Wichtig ist „linear" -

r

erfasst nur geradlinige Zusammenhänge.

Die lineare Regression legt die bestpassende Gerade

y=k\,x+d

durch die Punktwolke, und zwar nach der Methode der kleinsten Quadrate: Sie minimiert die Summe der quadrierten senkrechten Abstände der Punkte zur Geraden. Der Anstieg

k

und der Achsenabschnitt

d

werden im Sachkontext gedeutet.

Das Bestimmtheitsmaß

r^{2}

(das Quadrat des Korrelationskoeffizienten) gibt den Anteil der durch die Regression erklärten Varianz an:

r^{2}=0{,}81

heißt, dass

81\,\%

der Streuung der Zielgröße durch die erklärende Größe erfasst werden, der Rest durch andere Einflüsse oder Zufall.

r

und

r^{2}

nicht zu verwechseln, ist hier zentral.

Die wichtigste Warnung lautet: Korrelation ist nicht Kausalität. Ein hoher

r

-Wert zwischen Eisverkauf und Sonnenbränden entsteht durch die gemeinsame Ursache „heißes Wetter", nicht weil das eine das andere bewirkt. Solche Scheinkorrelationen über eine Drittvariable sind stets zu prüfen.

Bei der Anwendung ist Vorsicht geboten: Die Regressionsgerade gilt nur im beobachteten Datenbereich; eine Extrapolation weit darüber hinaus ist unzulässig. Außerdem reagiert die Regression empfindlich auf Ausreißer - ein einziger Extrempunkt kann Anstieg und

r

deutlich verschieben.

Vokabeln

→ Kartei

KorrelationskoeffizientMaßzahl $r\in[-1;1]$ für Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs.
Bestimmtheitsmaß$R^{2}=r^{2}$; Anteil der durch das Modell erklärten Streuung.
RegressionsgeradeGerade kleinster Quadrate; sie minimiert die Summe der quadrierten Restabweichungen.
ResiduumAbweichung eines Datenpunkts von der Regressionsgeraden.
ScheinkorrelationStatistischer Zusammenhang ohne ursächliche Beziehung, oft durch eine Drittvariable.
ExtrapolationVorhersage außerhalb des beobachteten Bereichs; nur mit ausdrücklichem Vorbehalt.

Pearson-Korrelationskoeffizient

r=\dfrac{\sum (x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_{i}-\bar x)^{2}\sum (y_{i}-\bar y)^{2}}}

$r$ liegt stets zwischen $-1$ und $1$ und misst ausschließlich den LINEAREN Zusammenhang. Ein Wert nahe null schließt einen nichtlinearen Zusammenhang nicht aus, und kein Wert von $r$ belegt eine Ursache.

Musterbeispiel

Interpretation von $r^{2}$

Eine Regression der Verkaufszahlen auf das Marketingbudget liefert $r^{2}=0{,}68$ .

Interpretation
$r^{2}=0{,}68$ bedeutet, dass $68\,\%$ der Variation in den Verkaufszahlen durch das Marketingbudget erklärt werden.
Restanteil
Die übrigen $32\,\%$ beruhen auf anderen Faktoren oder Zufall.

Ergebnis: $r^{2}=0{,}68$ -> $68\,\%$ erklärte Varianz.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Korrelation misst die Stärke des linearen Zusammenhangs.
2
Bestimmtheitsmaß $r^{2}$ gibt den erklärten Anteil der Varianz.
3
Korrelation ist nicht Kausalität - Drittvariablen können die Ursache sein.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Aus einer Stichprobe ergibt sich die Regressionsgerade

y=2{,}5x+12

mit

r^{2}=0{,}81

. Erläutere den Anstieg, den Achsenabschnitt und das Bestimmtheitsmaß im Kontext "Werbeausgaben (x) und Umsatz (y)". (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Korrelation wird als Kausalität gedeutet; ein hoher $r$ -Wert allein begründet keine Wirkungsrichtung.
Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient werden vertauscht; $R^{2}=0{,}64$ entspricht $r=0{,}8$ .
Die Regression wird über den Datenbereich hinaus extrapoliert.
Ein $r$ nahe null wird als „kein Zusammenhang" gelesen; es bedeutet nur „kein LINEARER Zusammenhang".
Die Steigung wird ohne Einheit interpretiert; sie hat stets die Einheit y je Einheit x.

Aktive Wiederholung

Erläutere die Aussage: "Zwischen Speiseeisverkäufen und Sonnenbrand-Fällen besteht eine starke Korrelation."

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Klassierte Daten und Häufigkeitsverteilungen#

~3 Min LesezeitBasisB-7.2

Bei vielen Einzeldaten - Wartezeiten, Altersangaben, Messwerten - wird die Liste unübersichtlich. Die Klassierung verdichtet sie: Man teilt den Wertebereich in Klassen (Intervalle) und zählt, wie viele Werte in jede Klasse fallen. So entsteht eine Häufigkeitsverteilung, die sich als Histogramm darstellen lässt ().

Histogramm klassierter Wartezeiten

Abb. 5Häufigkeiten je 5-Minuten-Klasse (

n=50

); die Klassenmitten liefern den Näherungswert für Mittelwert (

\approx 8{,}9

) und Median.

Abb. 5 ↓

Üblich sind Klassen gleicher Breite. Sind die Breiten ausnahmsweise ungleich, darf man im Histogramm nicht die Häufigkeit, sondern die Häufigkeitsdichte

\tfrac{h_i}{\Delta x_i}

als Höhe auftragen - sonst täuscht eine breite Klasse eine zu große Häufigkeit vor.

Beim Klassieren geht die genaue Lage der Einzelwerte verloren. Für Mittelwert und Standardabweichung rechnet man daher mit der Klassenmitte

m_i=\tfrac{a_i+b_i}{2}

als Repräsentant jeder Klasse:

\bar x\approx \tfrac{1}{n}\sum h_i\,m_i

. Die Untergrenze statt der Mitte zu verwenden, ist ein häufiger Fehler.

Die so berechneten Kennwerte sind Näherungen, weil die Klassenmitte nur stellvertretend für alle Werte der Klasse steht. Je schmaler die Klassen, desto genauer die Näherung - eine zu grobe Klassierung verfälscht Mittelwert und Median.

Die kumulierte relative Häufigkeit (laufende Summe der Anteile) erleichtert das Ablesen von Quantilen: Den Median klassierter Daten findet man dort, wo die Summenhäufigkeit

50\,\%

erreicht. Wichtig ist, kumulierte Häufigkeiten als Anteile (in Prozent) und nicht als absolute Zahlen zu führen.

Schließlich ist die richtige Diagrammwahl zu beachten: Das Histogramm (Balken ohne Lücken) gehört zu kontinuierlichen, klassierten Daten, das Säulendiagramm (getrennte Säulen) zu diskreten Kategorien. In der Matura sind Klassenmitten korrekt zu bilden und das Histogramm mit einheitlicher Klassenbreite zu zeichnen.

Vokabeln

→ Kartei

KlasseZusammengefasster Wertebereich eines Merkmals.
KlassenmitteArithmetisches Mittel aus Unter- und Obergrenze; Repräsentant der Klasse.
KlassenbreiteDifferenz von Ober- und Untergrenze einer Klasse.
absolute HäufigkeitAnzahl der Beobachtungen in einer Klasse.
relative HäufigkeitAnteil an der Gesamtzahl, meist in Prozent.
MedianklasseKlasse, in der die kumulierte relative Häufigkeit 50 % überschreitet.

Mittelwert klassierter Daten (mi Klassenmitte)

\bar x\approx \dfrac{1}{n}\sum h_{i}\cdot m_{i}

$h_{i}$ ist die absolute Häufigkeit der $i$ -ten Klasse, $m_{i}$ deren Mitte, $n$ die Gesamtzahl. Das Ergebnis ist eine NÄHERUNG: Die Einzelwerte innerhalb einer Klasse sind nach der Klassierung nicht mehr bekannt.

Musterbeispiel

Mittelwert aus klassierten Daten

Klassen mit Mitten $2{,}5, 7{,}5, 12{,}5, 17{,}5$ und Häufigkeiten $12, 18, 14, 6$ .

Summe
$\sum h_{i}\cdot m_{i}=12\cdot 2{,}5+18\cdot 7{,}5+14\cdot 12{,}5+6\cdot 17{,}5=30+135+175+105=445$ .
Mittelwert
$\bar x=\tfrac{445}{50}=8{,}9$ .

Ergebnis: Mittelwert ca. $8{,}9$ Minuten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Klassierung verdichtet Daten - Klassenmitte ist die wichtigste Hilfsgröße.
2
Histogramm zeigt Verteilung auf einen Blick.
3
Quantile näherungsweise aus kumulierter relativer Häufigkeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Tabelle gibt für drei Altersklassen

[18,\,30)

,

[30,\,45)

,

[45,\,60)

jeweils

20

,

35

,

15

Personen an. Bestimme das durchschnittliche Alter näherungsweise. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Als Klassenmitte wird die Untergrenze verwendet; alle Kennzahlen verschieben sich systematisch.
Bei ungleichen Klassen wird die Balkenhöhe ohne Dichte gezeichnet.
Die kumulierte Häufigkeit wird absolut statt prozentual angegeben, obwohl nach dem Anteil gefragt ist.
Der Modus wird als Häufigkeit statt als Merkmalswert angegeben; gefragt ist die Klasse bzw. ihr Wert.
Aus klassierten Daten wird ein exakter Mittelwert behauptet; er ist stets eine Näherung.

Aktive Wiederholung

Aus einer Stichprobe der Wartezeiten ( $n=50$ ) ergeben sich Klassen $[0,\,5)$ mit $12$ Werten, $[5,\,10)$ mit $18$ , $[10,\,15)$ mit $14$ , $[15,\,20)$ mit $6$ . Bestimme Mittelwert und Median.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Quartile, Boxplot und Ausreißererkennung#

~3 Min LesezeitStandardB-7.1B-7.2

Dieser Abschnitt vertieft die robuste Beschreibung einer Verteilung über Quartile - Kennzahlen, die im Gegensatz zu Mittelwert und Standardabweichung kaum auf einzelne Extremwerte reagieren. Sie bilden die Grundlage des Boxplots und einer objektiven Ausreißererkennung ().

Boxplot — Fünfwerte-Zusammenfassung

Abb. 6Box zeigt die mittleren 50 %, Whisker die Spannweite bis Max/Min.

Abb. 6 ↓

Die Quartile teilen die der Größe nach geordneten Daten in vier gleich große Teile:

Q_1

trennt die unteren

25\,\%

ab,

Q_2

ist der Median (

50\,\%

),

Q_3

die oberen

25\,\%

. Voraussetzung ist stets das vorherige Ordnen der Daten - der häufigste Fehler ist, die Quartile aus der unsortierten Liste zu bestimmen.

Der Interquartilsabstand

IQR=Q_3-Q_1

ist die Breite der mittleren

50\,\%

der Daten und damit ein robustes Streuungsmaß. Er ist nicht mit der Spannweite (Max minus Min) zu verwechseln, die durch jeden Extremwert beeinflusst wird.

Daraus folgt eine objektive Ausreißer-Regel: Werte außerhalb des Bereichs

[Q_1-1{,}5\cdot IQR;\;Q_3+1{,}5\cdot IQR]

gelten als Ausreißer. Der Faktor

1{,}5

ist Teil der Regel und darf nicht weggelassen werden; im Boxplot enden die Whisker beim letzten Wert innerhalb dieser Grenzen.

Der Boxplot stellt Minimum,

Q_1

, Median,

Q_3

und Maximum kompakt dar und ist damit ideal zum Vergleich mehrerer Verteilungen: Die Lage zeigt der Median, die Streuung die Boxbreite (

IQR

). Aus außermittiger Median-Lage und ungleichen Whiskern liest man die Schiefe ab.

Die Quartile sind robust, weil sie nur auf den Rangplätzen beruhen, nicht auf den genauen Werten. Bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern sind deshalb Median und IQR aussagekräftiger als Mittelwert und Standardabweichung - in der Matura wird hier oft das Vergleichen und Interpretieren zweier Boxplots verlangt.

Vokabeln

→ Kartei

QuartilWert, der die geordnete Reihe in Viertel teilt; $Q_{2}$ ist der Median.
Interquartilsabstand$Q_{3}-Q_{1}$; Streuungsmaß der mittleren 50 % der Daten.
SpannweiteDifferenz zwischen größtem und kleinstem Wert; ausreißerempfindlich.
AusreißerWert außerhalb der Zäune $Q_{1}-1{,}5\,\mathrm{IQR}$ bzw. $Q_{3}+1{,}5\,\mathrm{IQR}$.
WhiskerAusläufer des Boxplots bis zum letzten Wert innerhalb der Zäune.
robustUnempfindlich gegen einzelne Extremwerte; Median und IQR sind robust.

Interquartilsabstand und Ausreißer-Regel

IQR=Q_{3}-Q_{1},\quad \text{Ausreißer}: x<Q_{1}-1{,}5\,IQR\;\text{oder}\;x>Q_{3}+1{,}5\,IQR

$Q_{1}$ und $Q_{3}$ sind unteres und oberes Quartil; der IQR beschreibt die Streuung der mittleren 50 % und ist robust gegen Ausreißer. Der Faktor 1,5 ist Konvention und gehört zur vollständigen Regel.

Musterbeispiel

Quartile, IQR und Ausreißer

Datensatz (geordnet): 4, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 21. Bestimme Median, $Q_{1}$ , $Q_{3}$ , IQR und prüfe 21.

Schritt 1 - Median
8 Werte: Median ist Mittel der beiden mittleren: $\tfrac{9+10}{2}=9{,}5$ .
Schritt 2 - Quartile
Untere Hälfte 4, 7, 8, 9: $Q_{1}=\tfrac{7+8}{2}=7{,}5$ . Obere Hälfte 10, 12, 15, 21: $Q_{3}=\tfrac{12+15}{2}=13{,}5$ .
Schritt 3 - IQR und Ausreißer
$IQR=13{,}5-7{,}5=6$ . Obere Grenze $Q_{3}+1{,}5\cdot 6=13{,}5+9=22{,}5$ ; da $21<22{,}5$ , ist 21 kein Ausreißer.

Ergebnis: Median $9{,}5$ , $Q_{1}=7{,}5$ , $Q_{3}=13{,}5$ , $IQR=6$ ; 21 ist kein Ausreißer.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Zwei Boxplots stellen die Verkaufszahlen zweier Filialen dar. Filiale A hat den größeren Median, Filiale B den größeren IQR. Interpretiere diese beiden Aussagen. (HAK/HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Daten werden vor der Quartilsbestimmung nicht geordnet.
Der Interquartilsabstand wird mit der Spannweite verwechselt; die Spannweite ist Maximum minus Minimum.
Der Faktor 1,5 in der Ausreißerregel fehlt oder wird auf die Spannweite angewandt.
Ausreißer werden kommentarlos gelöscht; ihre Behandlung gehört begründet.
Aus einem breiteren Kasten wird auf einen höheren Mittelwert geschlossen; die Boxbreite zeigt Streuung, nicht Lage.

Aktive Wiederholung

Bestimme für den Datensatz 4, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 21 den Median, die Quartile und den IQR und prüfe, ob 21 ein Ausreißer ist.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Indexzahlen und Wachstumsraten#

~3 Min LesezeitStandardB-7.1

Indexzahlen sind das Standardwerkzeug, um wirtschaftliche Entwicklungen über die Zeit vergleichbar zu machen - Verbraucherpreise, Umsätze, Produktionsmengen. Eine Indexzahl setzt einen Wert ins Verhältnis zu einem Basiswert:

I=\tfrac{W}{W_0}\cdot 100

. Die Basisperiode erhält definitionsgemäß den Index

100

.

Eine Indexreihe () löst die Werte von ihrer absoluten Größenordnung und macht so Entwicklungen unmittelbar lesbar: Ein Index von

116

bedeutet, dass der Wert gegenüber der Basis um

16\,\%

gestiegen ist - gleich, ob es um Euro, Tonnen oder Stück geht. Entscheidend ist die richtige Wahl der Bezugsperiode.

Preisindexreihe (Basis 100)

Abb. 7Index von 100 auf 118 in drei Jahren - die mittlere jährliche Wachstumsrate (geometrisches Mittel) beträgt rund

5{,}7\,\%

.

Abb. 7 ↓

Die relative Änderung (Wachstumsrate) zwischen zwei Perioden ist

\tfrac{W_{\text{neu}}-W_{\text{alt}}}{W_{\text{alt}}}

, ausgedrückt in Prozent. Sie bezieht die Änderung auf den Ausgangswert - hier ist, wie in der Prozentrechnung (B 1), stets zu klären, welcher Wert der Grundwert ist.

Über mehrere Perioden ist die mittlere Wachstumsrate das geometrische Mittel der Wachstumsfaktoren:

\bar q=\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}

. Eine Steigerung von

18\,\%

in drei Jahren entspricht nicht

6\,\%

pro Jahr (arithmetisch), sondern nur rund

5{,}7\,\%

- denn die jährlichen Faktoren werden multipliziert, nicht addiert.

Genau hier liegt der zentrale Fehler: Die mittlere Wachstumsrate als arithmetisches statt als geometrisches Mittel zu berechnen überschätzt das Wachstum systematisch (Zinseszinseffekt). Das geometrische Mittel ist der Faktor, der bei gleichmäßiger Anwendung dieselbe Gesamtentwicklung liefert.

Schließlich sind Prozentpunkte und Prozent sauber zu trennen: Steigt ein Index von

100

auf

118

, sind das

+18

Indexpunkte und zugleich eine relative Steigerung von

+18\,\%

; steigt er aber von

110

auf

118

, sind das

+8

Punkte, aber nur

+7{,}3\,\%

. In der Matura sind Indexzahlen und Wachstumsraten zu berechnen und im wirtschaftlichen Kontext zu deuten.

Vokabeln

→ Kartei

IndexzahlAuf 100 normierte Messzahl bezogen auf eine Basisperiode.
BasisperiodeZeitraum, dessen Wert dem Index 100 entspricht.
IndexpunktEinheit der Indexdifferenz; nicht mit Prozent zu verwechseln.
WachstumsrateRelative Änderung gegenüber der Vorperiode.
geometrisches Mittel$n$-te Wurzel des Produkts; richtiges Mittel für Wachstumsfaktoren.
nominal und realNominalwerte enthalten die Preisänderung, Realwerte sind inflationsbereinigt.

Indexzahl und mittlere Wachstumsrate

I=\dfrac{W}{W_{0}}\cdot 100,\quad \bar q=\sqrt[n]{\dfrac{W_{n}}{W_{0}}}

$W_{0}$ ist der Wert der Basisperiode (Index 100), $W$ der zu vergleichende Wert. Die mittlere Wachstumsrate folgt aus dem GEOMETRISCHEN Mittel der Wachstumsfaktoren - das arithmetische Mittel überschätzt sie systematisch.

Musterbeispiel

Mittlere jährliche Preissteigerung

Preisindex 100 (Jahr 0) auf 118 (Jahr 3). Bestimme gesamte Steigerung und mittlere jährliche Rate.

Schritt 1 - Gesamtsteigerung
Relative Änderung $\tfrac{118-100}{100}=0{,}18=18\,\%$ über drei Jahre.
Schritt 2 - Mittlerer Faktor
$\bar q=\sqrt[3]{\tfrac{118}{100}}=1{,}18^{1/3}\approx 1{,}0568$ .
Schritt 3 - Deuten
Die Preise stiegen im Mittel um rund $5{,}68\,\%$ pro Jahr - das arithmetische Mittel $18/3=6\,\%$ überschätzt geringfügig.

Ergebnis: Gesamtsteigerung $18\,\%$ ; mittlere jährliche Rate $\approx 5{,}68\,\%$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Der Umsatz eines Betriebs steigt von

250\,000\,\mathrm{Euro}

auf

290\,000\,\mathrm{Euro}

. Berechne die Umsatzindexzahl (Basis

=100

) und die prozentuale Steigerung. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Eine Indexdifferenz wird als prozentuale Änderung gelesen; sie ist eine Differenz in Indexpunkten.
Die mittlere Wachstumsrate wird als arithmetisches statt geometrisches Mittel berechnet - das überschätzt sie systematisch.
Der falsche Basiswert wird gewählt; die gesamte Reihe verschiebt sich dadurch.
Indexreihen mit verschiedenen Basisjahren werden direkt verglichen.
Ein realer und ein nominaler Wert werden gleichgesetzt; die Inflationsbereinigung fehlt.

Aktive Wiederholung

Ein Preisindex steigt von 100 (Basisjahr) auf 118 nach drei Jahren. Berechne die gesamte prozentuale Preissteigerung und die mittlere jährliche Wachstumsrate.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

B 7 - Beschreibende Statistik

Kernpunkte

Lage- und Streuungsmaße einer Stichprobe

Kernpunkte

Boxplot konstruieren

Kernpunkte

Interpretation von r2r^{2}r2

Kernpunkte

Mittelwert aus klassierten Daten

Kernpunkte

Quartile, IQR und Ausreißer

Kernpunkte

Mittlere jährliche Preissteigerung

Quellen

Interpretation von $r^{2}$