B 8 - Wahrscheinlichkeit und Verteilungen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeitsbegriff und Pfadregeln#

~3 Min LesezeitBasisB-8.1

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung quantifiziert den Zufall - von der Qualitätskontrolle über das Versicherungswesen bis zur Risikoabschätzung. Eine Wahrscheinlichkeit ist stets eine Zahl zwischen

0

(unmöglich) und

1

(sicher); der erste Schritt jeder Aufgabe ist die klare Definition von Ergebnisraum und interessierendem Ereignis.

Beim Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, und es gilt

P(A)=\tfrac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl aller Fälle}}

. Das setzt Symmetrie voraus (fairer Würfel, gut gemischte Karten) - bei verfälschten Versuchen ist diese Formel nicht anwendbar.

Das Gegenereignis ist oft der schnellste Weg:

P(A^{c})=1-P(A)

. Gerade Aufgaben vom Typ „mindestens einmal" löst man elegant über das Gegenereignis „kein einziges Mal" - statt vieler Pfade nur einen zu berechnen.

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist das Baumdiagramm das Werkzeug der Wahl (). Es gelten zwei Pfadregeln: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert (Produktregel), und über alle Pfade, die zum Ereignis gehören, werden sie addiert (Summenregel).

Baumdiagramm - zweistufiges Experiment

Abb. 1Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.

Abb. 1 ↓

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

gilt - der Eintritt des einen ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Unabhängigkeit darf nicht unbegründet angenommen werden; beim Ziehen ohne Zurücklegen etwa sind die Stufen gerade nicht unabhängig.

Für die Vereinigung gilt allgemein

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

; nur bei disjunkten (unvereinbaren) Ereignissen entfällt der Schnittterm und es bleibt

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Den Schnitt zu vergessen, zählt Überschneidungen doppelt - ein häufiger Fehler.

Vokabeln

→ Kartei

Laplace-ExperimentZufallsversuch mit lauter gleich wahrscheinlichen Ausgängen.
ErgebnisraumMenge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsversuchs.
EreignisTeilmenge des Ergebnisraums; ihm wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
PfadmultiplikationsregelEntlang eines Pfades im Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
PfadadditionsregelDie Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade werden addiert.
GegenereignisKomplement eines Ereignisses; $P(\bar A)=1-P(A)$.

Laplace-Wahrscheinlichkeit und Gegenereignis

P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|},\quad P(A^{c})=1-P(A)

$|A|$ ist die Anzahl der günstigen, $|\Omega|$ die der insgesamt möglichen Ausgänge. Die Formel setzt voraus, dass alle Ausgänge GLEICH wahrscheinlich sind; das Gegenereignis spart bei „mindestens"-Fragen die Summe über viele Pfade.

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Musterbeispiel

Baumdiagramm und Pfadwahrscheinlichkeit

Aus einer Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide rote Kugeln zu ziehen?

1. Ziehung
$P(\text{rot}_{1})=\tfrac{3}{8}$ .
2. Ziehung (bedingt)
Nach rot zur 1: $P(\text{rot}_{2}\mid \text{rot}_{1})=\tfrac{2}{7}$ .
Pfadwahrscheinlichkeit
$P(RR)=\tfrac{3}{8}\cdot \tfrac{2}{7}=\tfrac{6}{56}=\tfrac{3}{28}\approx 0{,}107$ .

Ergebnis: $P(RR)\approx 0{,}107$ bzw. ca. $10{,}7\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Beginne mit klarer Definition des Ergebnisraums und des interessierenden Ereignisses.
2
Bei mehrstufigen Experimenten ist ein Baumdiagramm das Werkzeug der Wahl.
Baumdiagramm - zweistufiges Experiment
Abb.Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.
3
Gegenereignis ist oft der schnellste Weg, besonders bei "mindestens einmal".

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank1 Punkte

Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich 6 weisse und 4 schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Es werden Pfade addiert, die nicht alle Fälle des Ereignisses abdecken; ein günstiger Zweig bleibt liegen.
Unabhängigkeit wird ohne Begründung angenommen; beim Ziehen ohne Zurücklegen ist sie gerade nicht gegeben.
Das Gegenereignis wird falsch formuliert: Das Gegenteil von „mindestens eins" ist „keiner", nicht „höchstens eins".
Der Laplace-Ansatz wird auf ungleich wahrscheinliche Ausgänge angewandt; er setzt Gleichwahrscheinlichkeit voraus.
Die Wahrscheinlichkeiten an einer Verzweigung summieren nicht zu eins, ohne dass es auffällt.

Aktive Wiederholung

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim sechsmaligen Würfeln mindestens eine 6 zu bekommen?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes#

~4 Min LesezeitStandardB-8.2

Häufig liegt bereits eine Information vor, die die Wahrscheinlichkeit verändert - „Das Bauteil ist defekt; aus welchem Werk stammt es?". Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A\mid B)=\tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

beschreibt die Wahrscheinlichkeit von

A

unter der Voraussetzung, dass

B

eingetreten ist - der Ergebnisraum wird auf

B

eingeschränkt.

Aus der Definition folgt unmittelbar der Multiplikationssatz

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

- genau die Pfadregel im Baumdiagramm (): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang seiner Äste.

Baumdiagramm zum Satz von Bayes

Abb. 2Zweistufiges Baumdiagramm (Werk

\to

Qualität): Entlang eines Pfades multiplizieren, über die Pfade „defekt" addieren - so entsteht die totale Wahrscheinlichkeit für Bayes.

Abb. 2 ↓

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

P(A)=\sum_i P(A\mid B_i)\cdot P(B_i)

summiert über alle Wege, die zu

A

führen. Für die Ausschusswahrscheinlichkeit etwa addiert man die Pfade über alle Werke - alle Pfade, nicht nur einen, zu berücksichtigen, ist hier entscheidend.

Das Bayes-Theorem

P(B\mid A)=\tfrac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}

kehrt die Bedingung um: Es schließt von der Wirkung auf die Ursache - vom Symptom auf die Krankheit, vom Defekt auf das Werk. Der Nenner

P(A)

wird dabei über die totale Wahrscheinlichkeit berechnet.

Zentral ist,

P(A\mid B)

und

P(B\mid A)

nicht zu verwechseln - sie sind im Allgemeinen verschieden. „Test positiv, wenn krank" ist nicht dasselbe wie „krank, wenn Test positiv"; das Bayes-Theorem ist genau die Brücke zwischen beiden.

Das erklärt das berühmte, kontraintuitive Ergebnis medizinischer Tests: Selbst bei hoher Sensitivität kann der positive Vorhersagewert

P(\text{krank}\mid +)

klein sein, wenn die Prävalenz niedrig ist - bei

1\,\%

Kranken sind oft nur rund

20\,\%

der positiv Getesteten tatsächlich krank. Die Prävalenz darf nie ignoriert werden.

Vokabeln

→ Kartei

bedingte Wahrscheinlichkeit$P(A\mid B)=\tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$; Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Voraussetzung $B$.
Satz von BayesUmkehrformel: $P(A\mid B)=\tfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$.
totale WahrscheinlichkeitSumme der Pfadwahrscheinlichkeiten über alle Fälle einer Zerlegung.
PrävalenzAnteil der Betroffenen in der Grundgesamtheit; erste Verzweigung im Baumdiagramm.
SensitivitätWahrscheinlichkeit eines positiven Tests bei tatsächlich Erkrankten.
SpezifitätWahrscheinlichkeit eines negativen Tests bei tatsächlich Gesunden.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Multiplikationssatz

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)

$P(A\mid B)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Voraussetzung $B$ ; der Nenner ist das GEGEBENE Ereignis. Der Multiplikationssatz ist die Pfadregel des Baumdiagramms in Formelschreibweise.

Bayes-Theorem

P(B\mid A)=\dfrac{P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}

Die Formel dreht die Bedingung um. $P(B)$ im Nenner wird meist über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit als Summe ALLER Pfade zu $A$ berechnet - genau dort steckt bei Testaufgaben die Prävalenz.

Musterbeispiel

Bayes-Theorem für einen medizinischen Test

Prävalenz $1\,\%$ , Sensitivität $95\,\%$ , Spezifität $96\,\%$ . Berechne $P(K\mid +)$ .

Annahmen
$P(K)=0{,}01$ , $P(+\mid K)=0{,}95$ , $P(+\mid K^{c})=0{,}04$ .
Gesamtwahrscheinlichkeit positiv
$P(+)=0{,}95\cdot 0{,}01+0{,}04\cdot 0{,}99=0{,}0095+0{,}0396=0{,}0491$ .
Bayes
$P(K\mid +)=\tfrac{0{,}95\cdot 0{,}01}{0{,}0491}\approx 0{,}194$ .

Ergebnis: Nur ca. $19{,}4\,\%$ der positiv Getesteten sind tatsächlich krank.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bedingte Wahrscheinlichkeit beschränkt das Universum auf das gegebene Ereignis.
2
Bayes-Theorem kehrt die Bedingung um - wichtig, wenn man von Symptom auf Ursache schliesst.
3
Achte auf die Prävalenz - sie verändert das Ergebnis dramatisch.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

In einem Betrieb stammen

60\,\%

aller Bauteile aus Werk A und

40\,\%

aus Werk B. Werk A liefert

2\,\%

Ausschuss, Werk B liefert

5\,\%

Ausschuss. Ein zufällig gewähltes Bauteil ist defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es aus Werk B stammt? (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ werden verwechselt; die Sensitivität eines Tests ist nicht die Erkrankungswahrscheinlichkeit bei positivem Befund.
Die Prävalenz bleibt unberücksichtigt; bei seltenen Krankheiten dominieren die falsch Positiven.
Bei der totalen Wahrscheinlichkeit wird nur ein Pfad summiert statt aller.
Der Nenner wird als $P(A)$ statt als $P(B)$ eingesetzt; der Bezugsraum ist das GEGEBENE Ereignis.
Unabhängigkeit wird aus „hat nichts miteinander zu tun" geschlossen statt aus der Produktformel.

Aktive Wiederholung

Ein Test erkennt eine Krankheit zu $95\,\%$ richtig; bei Gesunden ist er zu $4\,\%$ fälschlich positiv. $1\,\%$ der Bevölkerung ist krank. Wie hoch ist $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ ?

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Binomialverteilung#

~4 Min LesezeitStandardB-8.3

Die Binomialverteilung ist das Standardmodell für „Zählen von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen" - defekte Stücke in einer Stichprobe, Treffer in einer Serie, Zusagen unter Angefragten. Grundlage ist die Bernoulli-Kette:

n

unabhängige Versuche mit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit

p

.

Die Anzahl der Erfolge

X

ist dann binomialverteilt,

X\sim B(n;\,p)

, mit

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}

. Anschaulich zählt

\binom{n}{k}

die möglichen Positionen der

k

Erfolge,

p^{k}

ihre Wahrscheinlichkeit und

(1-p)^{n-k}

die der Misserfolge - den Faktor

\binom{n}{k}

zu vergessen, ist der häufigste Fehler.

Lage und Streuung folgen einfachen Formeln: Erwartungswert

E(X)=n\,p

, Varianz

V(X)=n\,p\,(1-p)

und Standardabweichung

\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

. Der Erwartungswert dient als schnelle Plausibilitätsschätzung - bei

30

Teilen mit

5\,\%

Ausschuss erwartet man etwa

1{,}5

defekte.

Die Histogrammform hängt von

p

ab: Für

p=0{,}5

ist die Verteilung symmetrisch, für kleine

p

rechtsschief mit dem Gipfel nahe

E(X)

(). Mit wachsendem

n

wird sie zunehmend glockenförmig.

Binomialverteilung B(15; 0,3)

Abb. 3Wahrscheinlichkeiten

P(X=k)

für

k=0,\dots,15

- Maximum nahe

E(X)=4{,}5

.

Abb. 3 ↓

Bei „höchstens/mindestens"-Aufgaben braucht man kumulative Wahrscheinlichkeiten

P(X\leq k)

, die man am CAS oder aus Tabellen abliest. Diese drei Fälle - genau

k

, höchstens

k

, mindestens

k

- sauber zu unterscheiden, ist prüfungsentscheidend; „mindestens 1" löst man oft über das Gegenereignis.

Vor der Anwendung sind stets die Voraussetzungen zu prüfen: feste Versuchszahl

n

, Unabhängigkeit und konstantes

p

. Sind sie erfüllt und ist

n

groß bei

p

nahe

0{,}5

, lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern (siehe nächster Abschnitt).

Vokabeln

→ Kartei

Bernoulli-VersuchZufallsversuch mit genau zwei Ausgängen, Treffer und Niete.
BinomialverteilungVerteilung der Trefferanzahl bei $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstantem $p$.
Binomialkoeffizient$\binom{n}{k}$; Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Treffer auf $n$ Versuche zu verteilen.
kumulierte Wahrscheinlichkeit$P(X\le k)$; Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten bis $k$.
Erwartungswert$E(X)=n\,p$; mittlere Trefferzahl auf lange Sicht.
Standardabweichung$\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$; typische Abweichung von der mittleren Trefferzahl.

Binomialverteilung

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\quad X\sim B(n,p)

$n$ ist die Anzahl der Versuche, $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch und $k$ die gefragte Trefferzahl. Voraussetzung sind Unabhängigkeit und konstantes $p$ - beim Ziehen ohne Zurücklegen ist beides verletzt.

Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

E(X)=n\,p,\quad V(X)=n\,p\,(1-p)

$E(X)$ ist die mittlere Trefferzahl auf lange Sicht; sie muss nicht ganzzahlig sein. Die Standardabweichung ist die WURZEL aus der Varianz, $\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$ .

Interaktive Grafik lädt…

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Binomialverteilung - Qualitätskontrolle

In der Produktion sind $4\,\%$ der Teile defekt. In einer Stichprobe von 25 Teilen - wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $2$ defekt sind?

Verteilung
$X\sim B(25; 0{,}04)$ .
Wahrscheinlichkeit
$P(X=2)=\binom{25}{2}\cdot 0{,}04^{2}\cdot 0{,}96^{23}\approx 300\cdot 0{,}0016\cdot 0{,}3911\approx 0{,}188$ .

Ergebnis: $P(X=2)\approx 0{,}188$ bzw. $18{,}8\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Prüfe zuerst, ob die Voraussetzungen der Binomialverteilung (Unabhängigkeit, konstantes $p$ ) erfüllt sind.
2
Verwende den CAS-Rechner für kumulative Wahrscheinlichkeiten.
3
Erwartungswert und Standardabweichung helfen bei der Plausibilitätsprüfung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zehnmaligem Werfen einer fairen Münze genau 7 mal Kopf zu erhalten? Gib die Verteilung an. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Der Faktor $\binom{n}{k}$ fehlt; gerechnet wird dann nur die Wahrscheinlichkeit EINES bestimmten Pfades.
„Höchstens" und „mindestens" werden vertauscht, oder bei „mindestens $k$ " wird bis $k$ statt bis $k-1$ kumuliert.
Die Voraussetzungen werden nicht geprüft; beim Ziehen ohne Zurücklegen ist $p$ gerade nicht konstant.
Erwartungswert und Standardabweichung werden vertauscht: $\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$ , nicht $n\,p\,(1-p)$ .
Ein nicht ganzzahliger Erwartungswert wird als unmöglich abgetan; er ist ein Mittelwert, kein Einzelergebnis.

Aktive Wiederholung

In einer Stichprobe von 30 Bauteilen sind erfahrungsgemäß $5\,\%$ defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 defekte Teile?

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Normalverteilung#

~3 Min LesezeitStandardB-8.4

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung: Sie beschreibt viele natürliche Streuungen - Füllmengen, Werkstückmaße, Messfehler -, bei denen sich viele kleine zufällige Einflüsse überlagern. Ihr Graph ist die symmetrische Glockenkurve (, ).

Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel

Abb. 4Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.

Normalverteilung N(500, 4²)

Abb. 5Symmetrisch um

\mu=500

mit

\sigma=4

.

Abb. 4 ↓Abb. 5 ↓

Eine Normalverteilung

X\sim N(\mu;\,\sigma^{2})

ist vollständig durch zwei Parameter festgelegt: den Erwartungswert

\mu

(Lage des Gipfels, Symmetrieachse) und die Standardabweichung

\sigma

(Breite der Glocke). Achtung:

N(\mu;\sigma^{2})

wird mit der Varianz

\sigma^{2}

notiert, gerechnet wird aber mit

\sigma

.

Die Standardisierung

Z=\tfrac{X-\mu}{\sigma}

überführt jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung

Z\sim N(0;\,1)

. Der

z

-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist - hier durch

\sigma

(nicht

\sigma^{2}

!) zu dividieren, ist die zentrale Fehlerquelle.

Die 68-95-99,7-Regel gibt die wichtigsten Anteile direkt: rund

68\,\%

der Werte liegen in

[\mu-\sigma;\,\mu+\sigma]

, etwa

95\,\%

in

[\mu-2\sigma;\,\mu+2\sigma]

und

99{,}7\,\%

in

[\mu-3\sigma;\,\mu+3\sigma]

. Diese Faustregel löst viele Toleranz- und Qualitätsfragen ohne Tabelle.

Für beliebige Bereiche liefern Tabelle oder CAS die kumulative Wahrscheinlichkeit

\Phi(z)=P(Z\leq z)

; umgekehrt bestimmt man aus einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit das zugehörige Quantil. Da die Verteilung stetig ist, gilt

P(X\leq x)=P(X<x)

- der einzelne Punkt hat Wahrscheinlichkeit null.

Schließlich verbindet die Näherung beide Welten: Eine Binomialverteilung lässt sich für

n\,p\geq 5

und

n(1-p)\geq 5

gut durch eine Normalverteilung mit

\mu=np

und

\sigma=\sqrt{np(1-p)}

annähern - praktisch bei großen Stichproben, wo die Binomialrechnung aufwändig würde.

Vokabeln

→ Kartei

NormalverteilungSymmetrische, glockenförmige stetige Verteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$.
StandardisierungUmrechnung auf die Standardnormalverteilung über $z=\tfrac{x-\mu}{\sigma}$.
StandardnormalverteilungNormalverteilung mit $\mu=0$ und $\sigma=1$; ihre Verteilungsfunktion heißt $\Phi$.
Sigma-RegelFaustregel für die Anteile innerhalb ein, zwei und drei Standardabweichungen.
Verteilungsfunktion$\Phi(z)=P(Z\le z)$; die Fläche links von $z$.
ToleranzgrenzeAus einem geforderten Anteil rückgerechnete Merkmalsgrenze.

Standardisierung

Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma},\quad X\sim N(\mu,\sigma^{2})

$\mu$ ist der Erwartungswert, $\sigma$ die Standardabweichung. Dividiert wird durch $\sigma$ , nicht durch die Varianz $\sigma^{2}$ ; die standardisierte Größe $Z$ ist dimensionslos und folgt der Standardnormalverteilung.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Anteile mit der 68-95-99,7-Regel

Werkstückhöhe $X\sim N(50; 0{,}5^{2})$ mm. Anteil zwischen $49$ und $51$ mm?

Standardisieren
$z_{1}=\tfrac{49-50}{0{,}5}=-2$ , $z_{2}=2$ .
Regel
$P(-2<Z<2)\approx 0{,}9545$ .

Ergebnis: Etwa $95{,}45\,\%$ liegen im Bereich $[49,\,51]$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Standardisiere zuerst, dann nutze Tabelle oder CAS.
Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel
Abb.Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.
2
Die 68-95-99,7-Regel deckt die Standardfaelle ab.
3
Achte auf "unter" vs. "über" und auf Intervalle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Füllmenge einer Limonadenflasche ist normalverteilt mit

\mu=500\,\mathrm{mL}

und

\sigma=2\,\mathrm{mL}

. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als

498\,\mathrm{mL}

enthält. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

In der Standardisierung wird durch $\sigma^{2}$ statt durch $\sigma$ dividiert.
$P(X\le x)$ und $P(X<x)$ werden als verschieden behandelt, obwohl die Verteilung stetig ist.
Der Tabellenwert $\Phi(z)$ wird als rechte statt als linke Fläche gelesen.
Bei negativem $z$ wird die Symmetrie $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ nicht genutzt.
Die Normalverteilung wird auf offensichtlich schiefe oder begrenzte Größen angewandt, ohne die Modellannahme zu prüfen.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine füllt Flaschen mit $\mu=500\,\mathrm{mL}$ und $\sigma=4\,\mathrm{mL}$ . Bestimme $P(495<X<505)$ .

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Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen#

~3 Min LesezeitStandardB-8.3

Eine diskrete Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang einen Zahlenwert zu (Gewinn, Auszahlung, Schadenshöhe). Erwartungswert und Varianz fassen ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung in zwei Kennzahlen zusammen - das durchschnittliche Ergebnis und seine Schwankung ().

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Abb. 6Verteilung mit

P(X{=}0)=0{,}5

,

P(X{=}5)=0{,}3

,

P(X{=}10)=0{,}2

; der Erwartungswert

E(X)=3{,}5

ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Schwerpunkt.

Abb. 6 ↓

Der Erwartungswert

E(X)=\sum x_i\,p_i

ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert - der „langfristige Durchschnitt" bei sehr vielen Wiederholungen. Er ist kein konkreter Einzelwert: Ein

E(X)=3{,}5

kann durchaus ein Wert sein, der nie eintritt, und ist nicht mit dem wahrscheinlichsten Wert zu verwechseln.

Die Varianz

V(X)=\sum (x_i-\mu)^{2}\,p_i

misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert, die Standardabweichung

\sigma=\sqrt{V(X)}

bringt die Streuung zurück in die Einheit der Daten. Varianz und Standardabweichung sind sauber zu trennen - gefragt ist meist

\sigma

.

Lineare Transformationen folgen festen Regeln:

E(aX+b)=a\,E(X)+b

und

V(aX+b)=a^{2}\,V(X)

. Eine additive Konstante verschiebt den Erwartungswert, lässt die Streuung aber unberührt; ein Faktor

a

wirkt auf die Varianz quadratisch.

Im Glücksspiel ist der Erwartungswert das Fairnesskriterium: Bei einem fairen Spiel ist

E(X)=0

(Einsatz und erwartete Auszahlung heben sich auf), bei

E(X)<0

verliert man im Mittel. Voraussetzung jeder Rechnung ist, dass die Wahrscheinlichkeiten zu

1

summieren.

In der Versicherungsmathematik bestimmt der Erwartungswert die faire Prämie: Sie entspricht der erwarteten Schadenshöhe zuzüglich eines Sicherheits- und Kostenzuschlags. In der Matura ist das Ergebnis stets mit „im Mittel" zu deuten - nie als sicheres Einzelergebnis.

Vokabeln

→ Kartei

ZufallsvariableZuordnung einer Zahl zu jedem Ausgang eines Zufallsversuchs.
WahrscheinlichkeitsverteilungTabelle oder Funktion, die jedem Wert seine Wahrscheinlichkeit zuweist.
Erwartungswert$E(X)=\sum x_{i}p_{i}$; langfristiger Durchschnitt vieler Wiederholungen.
VarianzMittleres Abweichungsquadrat vom Erwartungswert.
faires SpielSpiel mit Erwartungswert null für den Einsatz.
ModusWert mit der größten Wahrscheinlichkeit; nicht der Erwartungswert.

Erwartungswert und Varianz

E(X)=\sum x_{i}\,p_{i},\quad V(X)=\sum (x_{i}-E(X))^{2}\,p_{i}

$x_{i}$ sind die Werte der Zufallsvariablen, $p_{i}$ ihre Wahrscheinlichkeiten, die sich zu eins summieren müssen. Der Erwartungswert ist ein langfristiger Durchschnitt, nicht der wahrscheinlichste Einzelwert.

Musterbeispiel

Erwartungswert eines Würfelspiels

Spielregel: bei "6" gewinnst du $10\,\mathrm{Euro}$ , sonst verlierst du $2\,\mathrm{Euro}$ .

Wahrscheinlichkeiten
$P(X=10)=\tfrac{1}{6}$ , $P(X=-2)=\tfrac{5}{6}$ .
Erwartungswert
$E(X)=\tfrac{1}{6}\cdot 10+\tfrac{5}{6}\cdot(-2)=\tfrac{10-10}{6}=0$ .
Interpretation
Faires Spiel - im Mittel weder Gewinn noch Verlust.

Ergebnis: $E(X)=0$ , also faires Spiel.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erwartungswert ist das langfristige Mittel, kein konkreter Wert eines Versuchs.
2
Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert.
3
Versicherungsprämie = Erwartungswert plus Sicherheitszuschlag.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Zufallsvariable

X

kann die Werte

0, 5, 10

mit Wahrscheinlichkeiten

0{,}5,\;0{,}3,\;0{,}2

annehmen. Bestimme

E(X)

und

\sigma(X)

. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Wahrscheinlichkeiten summieren nicht zu eins; ein Ausgang fehlt in der Tabelle.
Varianz und Standardabweichung werden verwechselt; ihre Einheiten unterscheiden sich um ein Quadrat.
Der Erwartungswert wird mit dem wahrscheinlichsten Wert gleichgesetzt; letzterer ist der Modus.
Ein nicht auftretender Erwartungswert wird als Fehler gedeutet - bei einem Würfel ist $E(X)=3{,}5$ korrekt.
Bei Versicherungen wird der Beitrag mit dem Erwartungswert des Schadens gleichgesetzt; Verwaltungskosten und Risikozuschlag fehlen.

Aktive Wiederholung

Bei einem Spiel wird ein Würfel geworfen. Bei einer "6" gewinnt man $10\,\mathrm{Euro}$ , sonst verliert man $2\,\mathrm{Euro}$ . Lohnt sich das Spiel im Mittel?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Kombinatorik: Permutationen und Kombinationen#

~3 Min LesezeitStandardB-8.1

Baumdiagramm - zweistufiges Experiment

Abb. 7Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, Pfade einer Bedingung addieren.

Kombinatorik beantwortet die Frage „Auf wie viele Arten?" - und damit die Zähler und Nenner jeder Laplace-Wahrscheinlichkeit. Der ganze Bereich lässt sich auf zwei Entscheidungen zurückführen: Kommt es auf die REIHENFOLGE an, und darf ein Element MEHRFACH auftreten? Aus diesen beiden Fragen folgt die passende Formel zwingend, und wer sie zuerst beantwortet, wählt nie die falsche.

Kommt es auf die Reihenfolge an und ist Wiederholung erlaubt, gibt es

n^{k}

Möglichkeiten - jede der

k

Stellen kann unabhängig mit einem der

n

Zeichen belegt werden. Das ist der Fall einer Zahlenkombination am Schloss: Bei vier Stellen und zehn Ziffern sind es

10^{4}=10\,000

Varianten.

Kommt es auf die Reihenfolge an, ist Wiederholung aber ausgeschlossen, spricht man von Variationen:

\tfrac{n!}{(n-k)!}

. Für die ersten drei Plätze eines Rennens mit acht Teilnehmenden sind das

8\cdot7\cdot6=336

Möglichkeiten. Der Sonderfall

k=n

ist die Permutation mit

n!

Anordnungen aller Elemente.

Kommt es auf die Reihenfolge NICHT an, zählt man Kombinationen:

\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

. Der Nenner

k!

dividiert genau die Anordnungen heraus, die als dieselbe Auswahl gelten. Beim Lotto „6 aus 45" ergibt das

\binom{45}{6}=8\,145\,060

mögliche Tippreihen - und damit unmittelbar die Gewinnwahrscheinlichkeit.

Die Fakultät wächst dramatisch schnell:

10!

liegt bereits bei rund 3,6 Millionen,

20!

über

2\cdot10^{18}

. Für die Praxis heißt das zweierlei - kürzen statt ausrechnen (

\tfrac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6

) und beim Rechner auf die Anzeigegrenze achten. Die Festlegung

0!=1

ist keine Willkür, sondern hält die Formeln in den Randfällen gültig.

In Anwendungsaufgaben ist die Kombinatorik fast immer Zwischenschritt und nicht Ziel: Aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl aller Möglichkeiten wird die Wahrscheinlichkeit gebildet. Deshalb gehört zur vollständigen Lösung, dass Zähler und Nenner NACH DERSELBEN Regel gezählt werden - beide geordnet oder beide ungeordnet. Vermischt man die beiden Sichtweisen, kürzt sich der Fehler nicht heraus.

Vokabeln

→ Kartei

PermutationAnordnung aller $n$ Elemente; es gibt $n!$ davon.
VariationGeordnete Auswahl von $k$ aus $n$ ohne Wiederholung; $\tfrac{n!}{(n-k)!}$.
KombinationUngeordnete Auswahl von $k$ aus $n$; $\binom{n}{k}$.
Fakultät$n!=1\cdot2\cdot\dots\cdot n$, mit der Festlegung $0!=1$.
mit ZurücklegenJedes Element kann mehrfach gewählt werden; führt auf $n^{k}$.
Binomialkoeffizient$\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$; Anzahl der ungeordneten Auswahlen.

Permutationen, Variationen, Kombinationen

P(n)=n!,\quad V_{k}^{n}=\dfrac{n!}{(n-k)!},\quad \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

$n$ ist die Anzahl der verfügbaren Elemente, $k$ die der ausgewählten. Die Variation zählt GEORDNETE Auswahlen ohne Wiederholung, der Binomialkoeffizient ungeordnete; mit Wiederholung und Ordnung sind es $n^{k}$ .

Musterbeispiel

Ungeordnete Auswahl (Kombination)

Auf wie viele Arten lassen sich 3 aus 10 Kandidaten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählen?

Schritt 1 - Modell
Ungeordnete Auswahl ohne Zurücklegen: Kombination $\binom{10}{3}$ .
Schritt 2 - Einsetzen
$\binom{10}{3}=\tfrac{10!}{3!\,7!}=\tfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}$ .
Schritt 3 - Auswerten
$=\tfrac{720}{6}=120$ mögliche Dreierteams.

Ergebnis: Es gibt $\binom{10}{3}=120$ mögliche Auswahlen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Code besteht aus 4 verschiedenen Ziffern aus den Ziffern 0 bis 9, wobei die Reihenfolge zählt. Berechne die Anzahl möglicher Codes. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Variationen und Kombinationen werden verwechselt; die Reihenfolge wird fälschlich berücksichtigt oder ignoriert.
Es wird mit Zurücklegen gerechnet, obwohl ohne gezogen wird - oder umgekehrt.
Im Binomialkoeffizienten fehlt ein Faktor des Nenners; richtig ist $k!\,(n-k)!$ .
Zähler und Nenner einer Laplace-Wahrscheinlichkeit werden nach unterschiedlichen Regeln gezählt.
$0!$ wird als null gesetzt; definitionsgemäß gilt $0!=1$ .

Aktive Wiederholung

Berechne, auf wie viele Arten ein Vorstand aus 3 Personen aus 10 Kandidaten gewählt werden kann, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)