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Notizen/Angewandte Mathematik/B 5 - Differentialrechnung in Anwendungen
AT · Matura

B 5 - Differentialrechnung in Anwendungen

Ableitungsbegriff, Ableitungsregeln, Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben mit ökonomischer und technischer Interpretation.

6 Abschnitte·~20 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·0555 / 13
Prüfungsprofil
B-5.1 · Änderungsraten interpretieren und Ableitung berechnenB-5.2 · Ableitungsregeln anwendenB-5.3 · Kurvendiskussion: Monotonie, Extrema, WendepunkteB-5.4 · Extremwertprobleme im Sachkontext lösen
Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 5 - Differentialrechnung in Anwendungen
    • 01Mittlere und momentane Änderungsrate○
    • 02Ableitungsregeln◐
    • 03Kurvendiskussion: Monotonie, Extrema, Wendepunkte●
    • 04Extremwertaufgaben in Anwendungen●
    • 05Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen●
    • 06Numerische Nullstellensuche (Newton-Verfahren)●

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 9 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Mittlere und momentane Änderungsrate#

~3 Min Lesezeit●○○BasisLPB-5.1

Kernpunkte

Die Differentialrechnung beantwortet die Frage „wie schnell ändert sich etwas?". Der Einstieg ist die mittlere Änderungsrate f‾(a,b)=f(b)−f(a)b−a\overline{f}(a,b)=\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}f​(a,b)=b−af(b)−f(a)​ - die durchschnittliche Änderung über ein Intervall, geometrisch die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte ().

Differentialquotient - Sekante wird Tangente

Differentialquotient - Sekante wird TangenteSchaubild von f, Nullstellen bei x = 0, 8, Hochpunkt bei (4, 4), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 8123456781234PTangenteSekanteff(x)x
Abb. 1Bei h→0h \to 0h→0 geht die mittlere Änderungsrate in die momentane über.
Abb. 1 ↓
Lässt man die beiden Punkte zusammenrücken (Intervallbreite h→0h\to 0h→0), wird aus der Sekante die Tangente und aus der mittleren die momentane Änderungsrate f′(x0)f'(x_0)f′(x0​). Genau dieser Grenzübergang definiert die Ableitung als Differentialquotient f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to 0}\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}f′(x0​)=limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​.
Anschaulich ist die Ableitung also die Tangentensteigung im Punkt - der Wert, gegen den die Sekantensteigungen streben. Eine mittlere Rate beschreibt ein ganzes Intervall, eine momentane Rate genau einen Zeitpunkt; diese beiden klar zu trennen, ist die zentrale Hürde des Themas.
In der Physik ist das die Brücke von der mittleren Geschwindigkeit vˉ=ΔsΔt\bar v=\tfrac{\Delta s}{\Delta t}vˉ=ΔtΔs​ zur momentanen Geschwindigkeit v(t)=s′(t)v(t)=s'(t)v(t)=s′(t) - dem, was der Tacho anzeigt. So wird aus einer Weg-Zeit-Funktion durch Ableiten die Geschwindigkeit.
In der Wirtschaft heißt die Ableitung der Kostenfunktion Grenzkosten K′(x)K'(x)K′(x) - näherungsweise die Kosten der nächsten produzierten Einheit. Analog gibt es Grenzerlös und Grenzgewinn; diese Grenzgrößen sind das Fundament der Wirtschaftsmathematik (B 11).
Entscheidend für die volle Punktzahl ist die Einheit und Deutung: Die Ableitung trägt die Einheit von fff pro Einheit von xxx - EUR/Stück, m/s, Tiere/Jahr. Eine Angabe wie f′(5)=120f'(5)=120f′(5)=120 muss daher als „zum Zeitpunkt 555 wächst der Bestand momentan um 120120120 Einheiten pro Jahr" gedeutet werden.

Vokabeln

→ Kartei
  • Differenzenquotient$\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$; mittlere Änderungsrate über ein Intervall.
  • DifferentialquotientGrenzwert des Differenzenquotienten; die momentane Änderungsrate.
  • SekanteGerade durch zwei Punkte des Graphen; ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate.
  • TangenteGerade, die den Graphen in einem Punkt berührt; ihre Steigung ist die Ableitung.
  • MonotonieVerhalten der Funktion: steigend bei positiver, fallend bei negativer Ableitung.
  • MomentangeschwindigkeitAbleitung des Weges nach der Zeit; Beispiel einer momentanen Änderungsrate.

Mittlere Änderungsrate

f‾(a,b)=f(b)−f(a)b−a\overline{f}(a,b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}f​(a,b)=b−af(b)−f(a)​

Der Differenzenquotient beschreibt ein INTERVALL [a;b][a;b][a;b] und entspricht geometrisch der Sekantensteigung. Seine Einheit ist der Quotient der beiden Achseneinheiten.

Differentialquotient (Ableitung an der Stelle x₀)

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}f′(x0​)=h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​

Der Grenzwert des Differenzenquotienten für verschwindende Intervallbreite hhh; geometrisch die Tangentensteigung an der Stelle x0x_{0}x0​. Er beschreibt eine STELLE, nicht ein Intervall.

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Musterbeispiel

Momentangeschwindigkeit aus Weg-Zeit-Funktion

Der Weg eines beschleunigten Fahrzeugs ist s(t)=2t2+5ts(t)=2t^{2}+5ts(t)=2t2+5t (in m, ttt in s). Bestimme die momentane Geschwindigkeit bei t=3 st=3\,\mathrm{s}t=3s.

  1. 01Ableitung bilden

    v(t)=s′(t)=4t+5v(t)=s'(t)=4t+5v(t)=s′(t)=4t+5.

  2. 02Einsetzen

    v(3)=4⋅3+5=17 m/sv(3)=4\cdot 3+5=17\,\mathrm{m/s}v(3)=4⋅3+5=17m/s.

Ergebnis: Momentane Geschwindigkeit bei t=3 st=3\,\mathrm{s}t=3s: v=17 m/sv=17\,\mathrm{m/s}v=17m/s.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten.

    Differentialquotient - Sekante wird Tangente

    Differentialquotient - Sekante wird TangenteSchaubild von f, Nullstellen bei x = 0, 8, Hochpunkt bei (4, 4), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 8123456781234PTangenteSekanteff(x)x
    Abb.Bei h→0h \to 0h→0 geht die mittlere Änderungsrate in die momentane über.
  2. 2

    Wenn der Abstand hhh gegen Null geht, wird die Sekante zur Tangente und ergibt die momentane Änderungsrate.

  3. 3

    Im Sachkontext verbinde immer die Einheit von Output durch Input mit einer kurzen Interpretation.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Funktion fff beschreibt den Bestand einer Population. Erkläre die Bedeutung von f′(5)=120f'(5)=120f′(5)=120 im Kontext, wenn f(t)f(t)f(t) die Population zur Zeit ttt (in Jahren) angibt. (HUM)

Maturafokus

  • Trenne mittlere von momentaner Änderungsrate: Der Differenzenquotient beschreibt ein INTERVALL, die Ableitung eine STELLE.
  • Gib jede Änderungsrate mit ihrer zusammengesetzten Einheit an - etwa Stu¨ckMonat\tfrac{\text{Stück}}{\text{Monat}}MonatStu¨ck​ oder ms\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}sm​.
  • Formuliere die Interpretation als vollständigen Satz mit Zeitpunkt, Wert, Einheit und Richtung („nimmt zu" oder „nimmt ab").
  • Lies das Vorzeichen der Ableitung als Monotonieaussage und den Betrag als Tempo der Änderung.
  • Deute die mittlere Änderungsrate geometrisch als Sekantensteigung und die momentane als Tangentensteigung.

Typische Fehler

  • Mittlere und momentane Änderungsrate werden nicht getrennt; der Differenzenquotient wird als Ableitung ausgegeben.
  • Die Einheit der Ableitung fehlt oder wird von der Ausgangsgröße übernommen; sie ist stets ein Quotient zweier Einheiten.
  • Der Berührpunkt der Tangente wird mit der Stelle gleicher durchschnittlicher Steigung verwechselt.
  • Eine negative Änderungsrate wird als Fehler gedeutet; sie bedeutet Abnahme und ist eine gültige Aussage.
  • Die Interpretation bleibt formal: „f′(3)=−2f'(3)=-2f′(3)=−2" ohne Satz ist keine Deutung.

§ 01

Aktive Wiederholung

Die Kostenfunktion eines Betriebs lautet K(x)=0,5x2+20x+1000K(x)=0{,}5x^{2}+20x+1000K(x)=0,5x2+20x+1000. Berechne die mittlere Änderungsrate zwischen x=100x=100x=100 und x=200x=200x=200 und interpretiere.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02
§ 02

Ableitungsregeln#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-5.2

Kernpunkte

Statt jede Ableitung mühsam über den Grenzwert zu bestimmen, gibt es einen kompakten Satz von Regeln, mit dem sich praktisch jede in der Matura auftretende Funktion ableiten lässt. Der erste Schritt ist immer, die Struktur der Funktion zu erkennen - Polynom, Produkt, Quotient oder Verkettung -, denn sie bestimmt die anzuwendende Regel.
Die Grundregeln decken Polynome ab: die Potenzregel (xn)′=n xn−1(x^{n})'=n\,x^{n-1}(xn)′=nxn−1, die Konstantenregel c′=0c'=0c′=0 (eine additive Konstante verschwindet) und die Summenregel (gliedweise ableiten). Ein konstanter Faktor bleibt erhalten - (c⋅f)′=c⋅f′(c\cdot f)'=c\cdot f'(c⋅f)′=c⋅f′ -, was beim Ableiten leicht verloren geht.
Die Ableitungen der wichtigen Standardfunktionen muss man parat haben: (ex)′=ex(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\tfrac{1}{x}(lnx)′=x1​, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx und (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx. Sie sind die Bausteine, die mit den Verknüpfungsregeln kombiniert werden.
Für zusammengesetzte Terme dienen Produktregel (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′ und Quotientenregel (uv)′=u′v−uv′v2\big(\tfrac{u}{v}\big)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}(vu​)′=v2u′v−uv′​. Bei der Quotientenregel ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend - ein vertauschtes Vorzeichen ist ein klassischer Fehler.
Die Kettenregel (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)(u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x) ist die wichtigste für angewandte Modelle: Bei e−0,3t\mathrm{e}^{-0{,}3t}e−0,3t liefert sie den inneren Faktor −0,3-0{,}3−0,3, also (e−0,3t)′=−0,3 e−0,3t(\mathrm{e}^{-0{,}3t})'=-0{,}3\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}(e−0,3t)′=−0,3e−0,3t. Genau diesen inneren Faktor zu vergessen, ist der häufigste Fehler bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen.
Zwar liefert das CAS die Ableitung auf Knopfdruck - in der Matura muss aber die zugrunde liegende Regel erkennbar dargestellt werden. Ein kurzer Hinweis auf die verwendete Regel („mit Produkt- und Kettenregel") sichert die Nachvollziehbarkeit und damit die Punkte.

Vokabeln

→ Kartei
  • Potenzregel$(x^{n})'=n\,x^{n-1}$; Grundregel für Polynomterme.
  • Produktregel$(uv)'=u'v+uv'$.
  • Quotientenregel$\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$.
  • Kettenregel$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$; äußere mal innere Ableitung.
  • innere AbleitungAbleitung der inneren Funktion; der bei der Kettenregel am häufigsten vergessene Faktor.
  • FaktorregelEin konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Wichtige Ableitungsregeln

(xn)′=n xn−1,(ekx)′=k ekx,(ln⁡x)′=1x(x^{n})'=n\,x^{n-1},\quad (\mathrm{e}^{kx})'=k\,\mathrm{e}^{kx},\quad (\ln x)'=\tfrac{1}{x}(xn)′=nxn−1,(ekx)′=kekx,(lnx)′=x1​

nnn ist ein beliebiger Exponent, kkk eine Konstante. Der Faktor kkk bei ekx\mathrm{e}^{kx}ekx stammt aus der Kettenregel und ist die am häufigsten vergessene Stelle; (ln⁡x)′(\ln x)'(lnx)′ gilt nur für x>0x>0x>0.

Produktregel und Kettenregel

(u⋅v)′=u′v+uv′,(u∘v)′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)(u\cdot v)'=u'v+uv',\quad (u\circ v)'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)(u⋅v)′=u′v+uv′,(u∘v)′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)

uuu und vvv sind differenzierbare Funktionen. Die Produktregel ist NICHT das Produkt der Ableitungen; die Kettenregel verlangt zusätzlich zur äußeren Ableitung stets den Faktor der inneren.

Musterbeispiel

Kettenregel bei Exponentialfunktion

Leite f(t)=100⋅e−0,3tf(t)=100\cdot \mathrm{e}^{-0{,}3t}f(t)=100⋅e−0,3t ab.

  1. 01Aussere Funktion

    u(z)=100ezu(z)=100\mathrm{e}^{z}u(z)=100ez mit u′(z)=100ezu'(z)=100\mathrm{e}^{z}u′(z)=100ez.

  2. 02Innere Funktion

    v(t)=−0,3tv(t)=-0{,}3tv(t)=−0,3t mit v′(t)=−0,3v'(t)=-0{,}3v′(t)=−0,3.

  3. 03Kettenregel

    f′(t)=u′(v)⋅v′(t)=100e−0,3t⋅(−0,3)=−30e−0,3tf'(t)=u'(v)\cdot v'(t)=100\mathrm{e}^{-0{,}3t}\cdot(-0{,}3)=-30\mathrm{e}^{-0{,}3t}f′(t)=u′(v)⋅v′(t)=100e−0,3t⋅(−0,3)=−30e−0,3t.

Ergebnis: f′(t)=−30 e−0,3tf'(t)=-30\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}f′(t)=−30e−0,3t.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Identifiziere zuerst die Struktur der Funktion - Polynom, Produkt, Komposition?

  2. 2

    Wähle dann die geeignete Regel und arbeite sauber Schritt für Schritt.

  3. 3

    Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen einer einfachen Stelle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bilde die Ableitung der Funktion f(x)=3x4−2x2+5f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5f(x)=3x4−2x2+5. (Alle Cluster)

Maturafokus

  • Benenne vor dem Ableiten die Struktur des Terms - Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung; daraus folgt die Regel.
  • Wende die Kettenregel vollständig an: äußere Ableitung mal innere Ableitung, der innere Faktor g′(x)g'(x)g′(x) darf nie fehlen.
  • Merke die Reihenfolge in der Quotientenregel: (uv)′=u′v−uv′v2\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}(vu​)′=v2u′v−uv′​ - der MINUS-Term steht hinten.
  • Ziehe konstante Faktoren beim Ableiten mit und lass sie nicht verschwinden.
  • Prüfe die Ableitung stichprobenartig numerisch: Der Differenzenquotient über ein kleines Intervall muss ungefähr denselben Wert liefern.

Typische Fehler

  • Bei (ekx)′(\mathrm{e}^{kx})'(ekx)′ fehlt der innere Faktor kkk; die Ableitung ist k ekxk\,\mathrm{e}^{kx}kekx.
  • Die Quotientenregel wird mit vertauschtem Vorzeichen notiert; das Ergebnis kippt dadurch im Vorzeichen.
  • Konstante Faktoren gehen beim Ableiten verloren, weil die Summenregel auf ein Produkt angewandt wird.
  • Die Produktregel wird als Produkt der Ableitungen geschrieben; richtig ist u′v+uv′u'v+uv'u′v+uv′.
  • Eine mehrfach verkettete Funktion wird nur einmal nachdifferenziert; jede Schicht braucht ihren Faktor.

§ 02

Aktive Wiederholung

Leite die Funktion f(x)=(2x2+1)⋅e−0,5xf(x)=(2x^{2}+1)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}5x}f(x)=(2x2+1)⋅e−0,5x ab.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03
§ 03

Kurvendiskussion: Monotonie, Extrema, Wendepunkte#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-5.3

Kernpunkte

Die Kurvendiskussion liest aus den Ableitungen das vollständige Verhalten einer Funktion ab - Steigen und Fallen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Sie ist das Standardwerkzeug, um technische und wirtschaftliche Modelle zu analysieren, etwa eine Gewinnfunktion auf ihr Maximum zu untersuchen ().

Kurvendiskussion: Hoch-, Tief- und Wendepunkt

Hoch-, Tief- und WendepunktSchaubild von f, Nullstellen bei x = 0, 3, Hochpunkt bei (1, 4), Tiefpunkt bei (3, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -0.3 bis 4.21234−4−2246HP(1, 4)TP(3, 0)WP(2, 2)ff(x)x
Abb. 2Für f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^{3}-6x^{2}+9xf(x)=x3−6x2+9x: Hochpunkt (1 ∣ 4)(1\,|\,4)(1∣4), Tiefpunkt (3 ∣ 0)(3\,|\,0)(3∣0) und dazwischen der Wendepunkt (2 ∣ 2)(2\,|\,2)(2∣2), an dem die Krümmung wechselt.
Abb. 2 ↓
Die erste Ableitung steuert die Monotonie: f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 bedeutet streng steigend, f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 streng fallend, f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 eine stationäre Stelle. Wo f′f'f′ das Vorzeichen wechselt, liegt ein lokales Extremum - das ist auch an der Ableitungskurve gut zu sehen ().

f(x)=x³-3x²+1 und Ableitung f'(x)

f(x) = x³ − 3x² + 1 und Ableitung f′(x)Schaubild von f, Nullstellen bei x = -0.532, 0.653, 2.879, Hochpunkt bei (0, 1), Tiefpunkt bei (2, -3), y-Achsenabschnitt bei y = 1, im Bereich x von -1 bis 3, Schaubild von f′, Nullstellen bei x = 0, 2, Tiefpunkt bei (1, -3), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -1 bis 3−1−0.50.511.522.53−4−2246810HHochpunktTTiefpunktff′f, f′x
Abb. 3Hochpunkt bei x=0x=0x=0, Tiefpunkt bei x=2x=2x=2 - Ableitung wechselt dort das Vorzeichen.
Abb. 3 ↓
Für ein lokales Extremum gilt als notwendige Bedingung f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0. Notwendig heißt: An jeder Extremstelle ist die Tangente waagrecht - aber nicht jede waagrechte Tangente gehört zu einem Extremum (ein Sattelpunkt erfüllt f′=0f'=0f′=0 ebenfalls).
Die hinreichende Bedingung entscheidet über die Art und nutzt die zweite Ableitung: f′′(x0)<0f''(x_0)<0f′′(x0​)<0 ergibt ein Maximum (Kurve linksoben gewölbt), f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0​)>0 ein Minimum, f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0 ist unentschieden und verlangt weitere Prüfung. Diesen zweiten Schritt zu überspringen und jede Stelle mit f′=0f'=0f′=0 als Extremum zu deklarieren, ist der häufigste Fehler.
Wendepunkte markieren den Wechsel des Krümmungsverhaltens: f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0 und f′′′(x0)≠0f'''(x_0)\neq 0f′′′(x0​)=0. Dort ist die Steigung extremal (am steilsten oder flachsten). Das Krümmungsverhalten selbst zeigt f′′f''f′′ an - f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0 konvex (linksgekrümmt), f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0 konkav (rechtsgekrümmt).
In wirtschaftlichen Anwendungen tragen diese Punkte Bedeutung: Der Hochpunkt einer Gewinnfunktion ist der maximale Gewinn, der Wendepunkt der Punkt mit dem stärksten (oder schwächsten) Zuwachs - der Übergang von progressivem zu degressivem Wachstum. In der Matura wird neben der Rechnung stets diese Deutung im Sachkontext verlangt.

Vokabeln

→ Kartei
  • notwendige BedingungVoraussetzung, die erfüllt sein MUSS, aber allein nicht genügt - etwa $f'(x)=0$ für ein Extremum.
  • hinreichende BedingungVoraussetzung, die den Schluss trägt - Vorzeichenwechsel von $f'$ oder $f''(x)\neq0$.
  • SattelpunktStelle mit waagrechter Tangente ohne Extremum; $f'=0$ und $f''=0$ mit Krümmungswechsel.
  • KrümmungVorzeichen von $f''$; positiv bedeutet linksgekrümmt, negativ rechtsgekrümmt.
  • WendepunktStelle, an der die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt.
  • globales ExtremumGrößter oder kleinster Wert auf dem gesamten betrachteten Bereich, Ränder eingeschlossen.

Hinreichende Bedingung Maximum

f′(x0)=0,  f′′(x0)<0⇒Maximumf'(x_{0})=0,\;f''(x_{0})<0\Rightarrow\text{Maximum}f′(x0​)=0,f′′(x0​)<0⇒Maximum

f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0 allein ist nur notwendig - es könnte auch ein Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegen. Erst das negative Vorzeichen der zweiten Ableitung sichert das Maximum; bei f′′(x0)=0f''(x_{0})=0f′′(x0​)=0 entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′f'f′.

Hinreichende Bedingung Wendepunkt

f′′(x0)=0,  f′′′(x0)≠0⇒Wendepunktf''(x_{0})=0,\;f'''(x_{0})\neq 0\Rightarrow\text{Wendepunkt}f′′(x0​)=0,f′′′(x0​)=0⇒Wendepunkt

An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung ihr Vorzeichen. f′′(x0)=0f''(x_{0})=0f′′(x0​)=0 allein genügt nicht - alternativ zur dritten Ableitung kann der Vorzeichenwechsel von f′′f''f′′ geprüft werden.

Interaktive Grafik lädt…

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Musterbeispiel

Vollständige Kurvendiskussion

f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^{3}-6x^{2}+9xf(x)=x3−6x2+9x.

  1. 01Erste Ableitung

    f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3).

  2. 02Kritische Stellen

    f′(x)=0⇒x=1f'(x)=0 \Rightarrow x=1f′(x)=0⇒x=1 und x=3x=3x=3.

  3. 03Zweite Ableitung

    f′′(x)=6x−12f''(x)=6x-12f′′(x)=6x−12. f′′(1)=−6<0f''(1)=-6<0f′′(1)=−6<0 Maximum, f′′(3)=6>0f''(3)=6>0f′′(3)=6>0 Minimum.

  4. 04Funktionswerte

    f(1)=1−6+9=4f(1)=1-6+9=4f(1)=1−6+9=4, f(3)=27−54+27=0f(3)=27-54+27=0f(3)=27−54+27=0.

  5. 05Wendepunkt

    f′′(x)=0⇒x=2f''(x)=0 \Rightarrow x=2f′′(x)=0⇒x=2, f(2)=8−24+18=2f(2)=8-24+18=2f(2)=8−24+18=2.

Ergebnis: Maximum (1 ∣ 4)(1\,|\,4)(1∣4), Minimum (3 ∣ 0)(3\,|\,0)(3∣0), Wendepunkt (2 ∣ 2)(2\,|\,2)(2∣2).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Erste Ableitung gleich Null finden - das sind Kandidaten für Extrema.

  2. 2

    Zweite Ableitung entscheidet über Art des Extremums.

  3. 3

    Wendepunkte zeigen den Wechsel der Krümmung an.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Gewinnfunktion lautet G(x)=−0,01x3+0,9x2−15xG(x)=-0{,}01x^{3}+0{,}9x^{2}-15xG(x)=−0,01x3+0,9x2−15x (xxx Stück, GGG in Euro). Bestimme den Wendepunkt und interpretiere ihn im wirtschaftlichen Sinn. (HAK)

Maturafokus

  • Arbeite die Kurvendiskussion in fester Reihenfolge ab: Definitionsbereich, Nullstellen, f′f'f′ für Monotonie und Extrema, f′′f''f′′ für Krümmung und Wendepunkte, Randverhalten.
  • Prüfe bei jeder Stelle mit f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 die HINREICHENDE Bedingung - Vorzeichenwechsel von f′f'f′ oder f′′(x)≠0f''(x)\neq0f′′(x)=0.
  • Gib Monotonie stets über Intervalle an, nie punktweise.
  • Deute den Wendepunkt im Sachkontext als Stelle größter oder kleinster Zuwachsrate.
  • Vergleiche lokale Extrema mit den Randwerten, wenn nach dem globalen Optimum auf einem Intervall gefragt ist.

Typische Fehler

  • Jede Stelle mit f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 wird als Extremum ausgegeben; ohne hinreichende Bedingung kann es ein Sattelpunkt sein.
  • Wendepunkt und Extrempunkt werden verwechselt; der Wendepunkt liegt bei f′′=0f''=0f′′=0 mit Vorzeichenwechsel.
  • Monotonie wird nur an einzelnen Stellen geprüft statt über Intervalle.
  • Bei f′′(x0)=0f''(x_{0})=0f′′(x0​)=0 wird sofort auf einen Wendepunkt geschlossen; der Vorzeichenwechsel von f′′f''f′′ fehlt.
  • Das globale Maximum wird ohne Randwertvergleich angegeben; auf einem abgeschlossenen Intervall kann es am Rand liegen.

§ 03

Aktive Wiederholung

Analysiere f(x)=x3−6x2+9x+2f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2f(x)=x3−6x2+9x+2 auf Monotonie, Extrema und Wendepunkte.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04
§ 04

Extremwertaufgaben in Anwendungen#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-5.4

Kernpunkte

Extremwertaufgaben sind die wichtigste Anwendung der Differentialrechnung im Beruf: das Maximum eines Gewinns, das Minimum eines Materialeinsatzes, die optimale Abmessung einer Verpackung. Sie folgen stets demselben fünfschrittigen Schema - wer es beherrscht, löst jede dieser Aufgaben strukturiert ().

Extremwertaufgabe: maximale eingezäunte Fläche

Maximale Fläche A(x) = 40x − 2x²Schaubild von A(x), Nullstellen bei x = 0, 20, Hochpunkt bei (10, 200), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 20510152050100150200Max(10, 200)A(x)Fläche (m²)Tiefe x (m)
Abb. 4Zielfunktion A(x)=x(40−2x)=40x−2x2A(x)=x(40-2x)=40x-2x^{2}A(x)=x(40−2x)=40x−2x2 (Zaun an einer Hauswand): Die Fläche ist bei der Tiefe x=10 mx=10\,\mathrm{m}x=10m maximal und beträgt 200 m2200\,\mathrm{m}^{2}200m2.
Abb. 4 ↓
Schritt 1 ist die Modellierung: Zielgröße (was soll maximal/minimal werden?) und Nebenbedingung (welche Einschränkung gilt?) sauber trennen. Beim Zaun an der Hauswand etwa ist die Fläche die Zielgröße, die feste Zaunlänge die Nebenbedingung.
Schritt 2 reduziert die Zielfunktion auf eine einzige Variable, indem die Nebenbedingung eingesetzt wird. Aus der Bedingung 40=2x+y40=2x+y40=2x+y wird y=40−2xy=40-2xy=40−2x, und die Fläche A=x⋅yA=x\cdot yA=x⋅y wird zur Funktion einer Variablen A(x)=x(40−2x)A(x)=x(40-2x)A(x)=x(40−2x). Diesen Schritt zu überspringen und die falsche Variable zu optimieren, ist der häufigste Fehler.
Schritt 3 ist die eigentliche Optimierung: A′(x)=0A'(x)=0A′(x)=0 liefert die kritische Stelle, die hinreichende Bedingung (A′′<0A''<0A′′<0 für ein Maximum) sichert ihre Art ab. Für A(x)=40x−2x2A(x)=40x-2x^{2}A(x)=40x−2x2 ergibt sich x=10x=10x=10 mit A′′=−4<0A''=-4<0A′′=−4<0, also tatsächlich ein Maximum.
Schritt 4 prüft die Ränder des Definitionsbereichs: Das globale Optimum kann auch am Rand des sinnvollen Bereichs liegen, nicht nur an einer inneren Extremstelle. Ohne diese Randprüfung kann man das wahre Optimum verfehlen.
Schritt 5 ist die Interpretation mit Einheit: nicht nur „x=10x=10x=10", sondern „Tiefe 10 m10\,\mathrm{m}10m, Wandseite 20 m20\,\mathrm{m}20m, maximale Fläche 200 m2200\,\mathrm{m}^{2}200m2". Bei der Dosen-Optimierung führt dasselbe Schema auf das schöne Ergebnis h=2rh=2rh=2r - die materialsparendste Dose ist so hoch wie ihr Durchmesser.

Vokabeln

→ Kartei
  • ZielfunktionDie zu maximierende oder zu minimierende Größe.
  • NebenbedingungZusätzliche Gleichung, mit der die Zielfunktion auf eine Variable reduziert wird.
  • HauptbedingungErste Formulierung der Zielgröße, meist noch mit zwei Variablen.
  • RandextremumOptimum am Rand des zulässigen Bereichs; nicht über $f'=0$ auffindbar.
  • zulässiger BereichMenge der im Sachkontext sinnvollen Werte der Variablen.
  • OptimumBester erreichbarer Wert der Zielfunktion im zulässigen Bereich.

Hinreichende Bedingung Maximum

f′(x)=0,  f′′(x)<0  ⇒  Maximumf'(x)=0,\;f''(x)<0\;\Rightarrow\;\text{Maximum}f′(x)=0,f′′(x)<0⇒Maximum

f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0 allein ist nur notwendig - es könnte auch ein Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegen. Erst das negative Vorzeichen der zweiten Ableitung sichert das Maximum; bei f′′(x0)=0f''(x_{0})=0f′′(x0​)=0 entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′f'f′.

Musterbeispiel

Gewinnmaximum aus Gewinnfunktion

Eine Firma hat die Gewinnfunktion G(x)=−0,02x2+12x−800G(x)=-0{,}02x^{2}+12x-800G(x)=−0,02x2+12x−800 (in Euro, xxx produzierte Stück). Welche Stückzahl maximiert den Gewinn?

  1. 01Ableitung

    G′(x)=−0,04x+12G'(x)=-0{,}04x+12G′(x)=−0,04x+12.

  2. 02Notwendige Bedingung

    G′(x)=0⇒x=300G'(x)=0 \Rightarrow x=300G′(x)=0⇒x=300 Stück.

  3. 03Hinreichende Bedingung

    G′′(x)=−0,04<0G''(x)=-0{,}04<0G′′(x)=−0,04<0, also Maximum.

  4. 04Maximalgewinn

    G(300)=−0,02⋅90000+12⋅300−800=−1800+3600−800=1000G(300)=-0{,}02\cdot 90000+12\cdot 300-800=-1800+3600-800=1000G(300)=−0,02⋅90000+12⋅300−800=−1800+3600−800=1000 Euro.

Ergebnis: Gewinnmaximum 1000 Euro1000\,\mathrm{Euro}1000Euro bei 300300300 Stück.

Musterbeispiel

Optimierung Verpackungsoberfläche

Eine zylindrische Konservendose soll Volumen V=500 cm3V=500\,\mathrm{cm}^{3}V=500cm3 haben. Welche Höhe und welcher Radius minimieren die Oberfläche?

  1. 01Nebenbedingung

    πr2h=500⇒h=500πr2\pi r^{2}h=500 \Rightarrow h=\tfrac{500}{\pi r^{2}}πr2h=500⇒h=πr2500​.

  2. 02Zielfunktion

    O(r)=2πr2+2πrh=2πr2+1000rO(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\tfrac{1000}{r}O(r)=2πr2+2πrh=2πr2+r1000​.

  3. 03Ableiten

    O′(r)=4πr−1000r2=0⇒r3=250π≈79,58O'(r)=4\pi r-\tfrac{1000}{r^{2}}=0 \Rightarrow r^{3}=\tfrac{250}{\pi}\approx 79{,}58O′(r)=4πr−r21000​=0⇒r3=π250​≈79,58, r≈4,30 cmr\approx 4{,}30\,\mathrm{cm}r≈4,30cm.

  4. 04Höhe

    h=500π⋅4,302≈8,60 cmh=\tfrac{500}{\pi\cdot 4{,}30^{2}}\approx 8{,}60\,\mathrm{cm}h=π⋅4,302500​≈8,60cm.

Ergebnis: Optimale Dose: r≈4,3 cmr\approx 4{,}3\,\mathrm{cm}r≈4,3cm, h≈8,6 cmh\approx 8{,}6\,\mathrm{cm}h≈8,6cm (Verhältnis h=2rh=2rh=2r).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Trenne zuerst Zielgröße und Nebenbedingung sauber.

  2. 2

    Reduziere die Zielfunktion auf eine einzige Variable.

  3. 3

    Prüfe Randpunkte des Definitionsbereichs und interpretiere am Ende im Kontext.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Aus einem 40 m40\,\mathrm{m}40m langen Zaun soll ein rechteckiger Bereich an einer Hauswand abgegrenzt werden (eine Seite ist die Wand). Bestimme die Abmessungen, für die die Fläche maximal wird. (HTL)

Maturafokus

  • Arbeite den festen Vierschritt ab: Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung formulieren, einsetzen und auf eine Variable reduzieren, ableiten und optimieren.
  • Benenne den Definitionsbereich der Zielfunktion aus dem Sachkontext - Längen und Stückzahlen sind nichtnegativ und oft nach oben begrenzt.
  • Prüfe die Randwerte des Intervalls zusätzlich zu den inneren Extremstellen.
  • Weise mit der hinreichenden Bedingung nach, dass tatsächlich ein Maximum bzw. Minimum vorliegt.
  • Beantworte am Schluss die gestellte Frage im Sachkontext samt Einheit - der Optimalwert allein ist keine Antwort.

Typische Fehler

  • Die Nebenbedingung bleibt unbenutzt; es wird eine Funktion mit zwei Variablen abgeleitet.
  • Die Randwerte werden nicht geprüft; das globale Optimum liegt dann womöglich außerhalb der gefundenen Stelle.
  • Die Interpretation fehlt vollständig - die Aufgabe verlangt einen Antwortsatz.
  • Optimiert wird die falsche Größe: Es wird die Nebenbedingung statt der Zielgröße extremiert.
  • Der Definitionsbereich wird nicht eingeschränkt; negative Kantenlängen erscheinen als gültige Lösung.

§ 04

Aktive Wiederholung

Aus einem Rechteck der Fläche 200 cm2200\,\mathrm{cm}^{2}200cm2 soll der Umfang minimiert werden. Bestimme Seitenlängen und minimalen Umfang.

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§ 05
§ 05

Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-5.1LPB-5.2

Kernpunkte

Die Exponential- und Logarithmusfunktionen verdienen eigene Aufmerksamkeit, weil sie alle Wachstums- und Zerfallsmodelle tragen und beim Ableiten eine bemerkenswerte Eigenschaft zeigen. Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung: ddxex=ex\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}dxd​ex=ex - ihre Steigung ist in jedem Punkt gleich ihrem Funktionswert.
Mit der Kettenregel wird daraus die in der Praxis gebrauchte Form ddxekx=k ekx\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{kx}=k\,\mathrm{e}^{kx}dxd​ekx=kekx und allgemein ddxeg(x)=g′(x) eg(x)\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{g(x)}=g'(x)\,\mathrm{e}^{g(x)}dxd​eg(x)=g′(x)eg(x). Der innere Faktor g′(x)g'(x)g′(x) - bzw. kkk - darf nie fehlen; ihn zu vergessen ist hier der mit Abstand häufigste Fehler.
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ddxln⁡x=1x\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\tfrac{1}{x}dxd​lnx=x1​ (für x>0x>0x>0). Bemerkenswert ist, dass diese einfache Bruchfunktion die Ableitung einer ganz anders aussehenden Funktion ist - der Definitionsbereich x>0x>0x>0 ist dabei stets mitzudenken.
Für eine allgemeine Basis gilt ddxax=axln⁡a\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{x}=a^{x}\ln adxd​ax=axlna. Der Faktor ln⁡a\ln alna entsteht, weil man ax=exln⁡aa^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}ax=exlna schreibt und die Kettenregel anwendet; für a=ea=\mathrm{e}a=e ist ln⁡a=1\ln a=1lna=1 und der Faktor verschwindet. Auch dieser Faktor wird leicht übersehen.
Die Bedeutung in Anwendungen ist direkt: Die Ableitung einer Wachstumsfunktion ist deren momentane Wachstumsrate. Bei N(t)=500 e0,04tN(t)=500\,\mathrm{e}^{0{,}04t}N(t)=500e0,04t ist N′(t)=20 e0,04tN'(t)=20\,\mathrm{e}^{0{,}04t}N′(t)=20e0,04t, und die Tangente bei t=0t=0t=0 hat die Steigung N′(0)=20N'(0)=20N′(0)=20 Einheiten pro Zeiteinheit ().

Ableitung der Exponentialfunktion als Wachstumsrate

Exponentielle Wachstumsrate N'(t)Schaubild von N(t), y-Achsenabschnitt bei y = 500, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015202004006008001000N(0) = 500Steigung N'(0) = 20N(t)Nt
Abb. 5Bei N(t)=500 e0,04tN(t)=500\,\mathrm{e}^{0{,}04t}N(t)=500e0,04t ist die Ableitung N′(t)=20 e0,04tN'(t)=20\,\mathrm{e}^{0{,}04t}N′(t)=20e0,04t die momentane Wachstumsrate; die Tangente bei t=0t=0t=0 hat die Steigung N′(0)=20N'(0)=20N′(0)=20.
Abb. 5 ↓
Da die Ableitung proportional zum Funktionswert ist (N′=k⋅NN'=k\cdot NN′=k⋅N), beschreibt sie genau das Kennzeichen exponentiellen Wachstums: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Dieser Zusammenhang ist die Brücke zu den Differentialgleichungen der Modellierung (B 12).

Vokabeln

→ Kartei
  • e-FunktionExponentialfunktion zur Basis $\mathrm{e}$; sie ist ihre eigene Ableitung.
  • eulersche Zahl$\mathrm{e}\approx2{,}71828$; Basis des natürlichen Logarithmus.
  • logarithmische Ableitung$(\ln(g(x)))'=\tfrac{g'(x)}{g(x)}$; die relative Änderungsrate.
  • momentane WachstumsrateAbleitung des Bestands nach der Zeit, in Bestandseinheiten je Zeiteinheit.
  • relative WachstumsrateQuotient $\tfrac{N'(t)}{N(t)}$; bei exponentiellem Wachstum konstant gleich $k$.
  • innere FunktionDer Term im Exponenten oder im Logarithmusargument; er liefert den Kettenregelfaktor.

Ableitungen exponentieller Funktionen

(eg(x))′=g′(x) eg(x),(ln⁡x)′=1x,(ax)′=axln⁡a(\mathrm{e}^{g(x)})'=g'(x)\,\mathrm{e}^{g(x)},\quad (\ln x)'=\tfrac{1}{x},\quad (a^{x})'=a^{x}\ln a(eg(x))′=g′(x)eg(x),(lnx)′=x1​,(ax)′=axlna

ggg ist die innere Funktion, a>0a>0a>0 die Basis. Der Faktor g′(x)g'(x)g′(x) bzw. ln⁡a\ln alna ist der Kettenregelanteil; ohne ihn ist die Ableitung falsch, außer im Sonderfall a=ea=\mathrm{e}a=e mit g(x)=xg(x)=xg(x)=x.

Musterbeispiel

Ableitung einer Zerfallsfunktion

Leite f(x)=3e−0,2xf(x)=3\mathrm{e}^{-0{,}2x}f(x)=3e−0,2x ab.

  1. Schritt 1 - Kettenregel

    Innere Funktion g(x)=−0,2xg(x)=-0{,}2xg(x)=−0,2x, g′(x)=−0,2g'(x)=-0{,}2g′(x)=−0,2.

  2. Schritt 2 - Ableitung

    f′(x)=3⋅(−0,2) e−0,2x=−0,6 e−0,2xf'(x)=3\cdot(-0{,}2)\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}=-0{,}6\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}f′(x)=3⋅(−0,2)e−0,2x=−0,6e−0,2x.

  3. Schritt 3 - Deuten

    f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 für alle xxx - die Größe nimmt ständig ab, und zwar proportional zum aktuellen Wert (typisch für Zerfall/Abkühlung).

Ergebnis: f′(x)=−0,6 e−0,2xf'(x)=-0{,}6\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}f′(x)=−0,6e−0,2x, stets negativ (monotone Abnahme).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme die Ableitung von N(t)=500e0,04tN(t)=500\mathrm{e}^{0{,}04t}N(t)=500e0,04t und gib die momentane Wachstumsrate bei t=0t=0t=0 an. (HTL)

Maturafokus

  • Merke die drei Grundableitungen: (ex)′=ex(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}(ex)′=ex, (ax)′=axln⁡a(a^{x})'=a^{x}\ln a(ax)′=axlna, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\tfrac{1}{x}(lnx)′=x1​.
  • Führe bei jeder Verkettung den inneren Faktor mit: (ekx)′=k ekx(\mathrm{e}^{kx})'=k\,\mathrm{e}^{kx}(ekx)′=kekx und (ln⁡(g(x)))′=g′(x)g(x)(\ln(g(x)))'=\tfrac{g'(x)}{g(x)}(ln(g(x)))′=g(x)g′(x)​.
  • Deute die Ableitung einer Wachstumsfunktion als momentane Zuwachsrate in Bestandseinheiten je Zeiteinheit.
  • Achte auf den Definitionsbereich des Logarithmus: ln⁡x\ln xlnx ist nur für x>0x>0x>0 definiert, und das überträgt sich auf die Ableitung.
  • Nutze N′(t)=k⋅N(t)N'(t)=k\cdot N(t)N′(t)=k⋅N(t) als Kernaussage exponentiellen Wachstums - die Änderungsrate ist proportional zum Bestand.

Typische Fehler

  • Bei ekx\mathrm{e}^{kx}ekx fehlt der innere Faktor kkk; die Ableitung ist nicht wieder ekx\mathrm{e}^{kx}ekx.
  • Bei axa^{x}ax wird der Faktor ln⁡a\ln alna weggelassen.
  • Der Definitionsbereich von ln⁡x\ln xlnx mit x>0x>0x>0 bleibt unbeachtet.
  • (ln⁡(g(x)))′(\ln(g(x)))'(ln(g(x)))′ wird als 1g(x)\tfrac{1}{g(x)}g(x)1​ geschrieben; der Faktor g′(x)g'(x)g′(x) im Zähler fehlt.
  • Die Ableitung wird ohne Einheit gedeutet; sie hat stets die Einheit Bestand je Zeiteinheit.

§ 05

Aktive Wiederholung

Leite die Funktion f(x)=3e−0,2xf(x)=3\mathrm{e}^{-0{,}2x}f(x)=3e−0,2x ab und interpretiere f′(x)f'(x)f′(x) im Kontext eines Abkühlvorgangs.

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§ 06
§ 06

Numerische Nullstellensuche (Newton-Verfahren)#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-5.1

Kernpunkte

Viele praktisch wichtige Gleichungen - etwa x3−2x−5=0x^{3}-2x-5=0x3−2x−5=0 - lassen sich nicht mehr durch Umformen exakt lösen. Numerische Verfahren liefern stattdessen iterativ immer bessere Näherungen der Nullstelle. Das Newton-Verfahren ist das mit Abstand schnellste und nutzt die Ableitung, die hier ihre praktische Stärke ausspielt.
Die Iterationsformel lautet xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-\tfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​: Aus einem Startwert x0x_0x0​ entsteht eine bessere Näherung x1x_1x1​, daraus x2x_2x2​ und so fort. Jeder Schritt braucht den Funktionswert und die Ableitung an der aktuellen Stelle - diese beiden zu vertauschen, ist der typische Fehler.
Geometrisch ist xn+1x_{n+1}xn+1​ die Nullstelle der Tangente an fff im Punkt (xn∣f(xn))(x_n\mid f(x_n))(xn​∣f(xn​)) (): Man ersetzt die Kurve lokal durch ihre Tangente und nimmt deren - leicht berechenbaren - Achsenschnitt als neue Näherung. Für f(x)=x2−5f(x)=x^{2}-5f(x)=x2−5 und x0=2x_0=2x0​=2 liefert ein Schritt bereits x1=2,25x_1=2{,}25x1​=2,25, sehr nahe an 5≈2,236\sqrt{5}\approx 2{,}2365​≈2,236.

Newton-Verfahren: Tangente trifft die x-Achse

Newton-Schritt für √5Schaubild von f, Nullstellen bei x = 2.236, y-Achsenabschnitt bei y = -5, steigend, im Bereich x von 0 bis 3.50.511.522.533.5−6−4−22468x₀x₁√5Tangenteff(x)x
Abb. 6Vom Startwert x0=2x_{0}=2x0​=2 liefert die Nullstelle der Tangente an f(x)=x2−5f(x)=x^{2}-5f(x)=x2−5 die bessere Näherung x1=2,25x_{1}=2{,}25x1​=2,25 für 5≈2,236\sqrt{5}\approx 2{,}2365​≈2,236.
Abb. 6 ↓
Bei einem guten Startwert konvergiert das Verfahren quadratisch - die Zahl der korrekten Stellen verdoppelt sich grob mit jedem Schritt. Deshalb genügen meist wenige Iterationen für hohe Genauigkeit.
Es gibt aber Fallstricke: Ist f′(xn)≈0f'(x_n)\approx 0f′(xn​)≈0 (waagrechte Tangente), wird durch fast null geteilt und das Verfahren springt weit weg oder versagt. Auch ein schlecht gewählter Startwert kann zu einer anderen oder zu keiner Nullstelle führen - ein grober Vorab-Überblick über die Lage der Nullstelle ist daher wichtig.
In der Praxis bricht man ab, wenn die Änderung ∣xn+1−xn∣|x_{n+1}-x_n|∣xn+1​−xn​∣ unter eine vorgegebene Schranke fällt; CAS-Rechner haben Newton bzw. solve eingebaut. In der Matura wird meist verlangt, ein bis zwei Schritte von Hand auszuführen oder das Konvergenzverhalten zu begründen.

Vokabeln

→ Kartei
  • Newton-VerfahrenIteratives Nullstellenverfahren mit $x_{n+1}=x_{n}-\tfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$.
  • IterationWiederholte Anwendung derselben Rechenvorschrift auf das jeweils letzte Ergebnis.
  • StartwertErster Näherungswert; seine Wahl entscheidet über Konvergenz und Zielnullstelle.
  • KonvergenzAnnäherung der Folge an die gesuchte Nullstelle.
  • AbbruchkriteriumBedingung, ab der die erreichte Genauigkeit als ausreichend gilt.
  • TangentenverfahrenAnschauliche Bezeichnung des Newton-Verfahrens; jeder Schritt nutzt die Tangente.

Newton-Iteration

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​

xnx_{n}xn​ ist die aktuelle Näherung, f′(xn)f'(x_{n})f′(xn​) die Tangentensteigung dort. Der Bruch steht so herum - vertauscht man Zähler und Nenner, divergiert das Verfahren; nahe f′(xn)=0f'(x_{n})=0f′(xn​)=0 springt es unkontrolliert.

Musterbeispiel

Ein Newton-Schritt für eine Wurzel

Nähere 5\sqrt{5}5​ als Nullstelle von f(x)=x2−5f(x)=x^{2}-5f(x)=x2−5, Startwert x0=2x_{0}=2x0​=2.

  1. Schritt 1 - Funktion und Ableitung

    f(x0)=22−5=−1f(x_{0})=2^{2}-5=-1f(x0​)=22−5=−1, f′(x)=2xf'(x)=2xf′(x)=2x, also f′(2)=4f'(2)=4f′(2)=4.

  2. Schritt 2 - Newton-Schritt

    x1=2−−14=2+0,25=2,25x_{1}=2-\tfrac{-1}{4}=2+0{,}25=2{,}25x1​=2−4−1​=2+0,25=2,25.

  3. Schritt 3 - Prüfen

    2,252=5,06252{,}25^{2}=5{,}06252,252=5,0625 - sehr nahe an 555; ein weiterer Schritt verbessert die Näherung gegen 5≈2,2361\sqrt{5}\approx 2{,}23615​≈2,2361.

Ergebnis: Nach einem Newton-Schritt: x1=2,25x_{1}=2{,}25x1​=2,25 als Näherung für 5\sqrt{5}5​.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Gleichung x3−2x−5=0x^{3}-2x-5=0x3−2x−5=0 ist nicht elementar lösbar. Führe ausgehend von x0=2x_{0}=2x0​=2 einen Newton-Schritt durch. (HTL)

Maturafokus

  • Notiere die Iterationsvorschrift vollständig: xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_{n}-\tfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​ - der Bruch steht so herum und nicht umgekehrt.
  • Wähle den Startwert aus einer Skizze oder einer Vorzeichenprüfung, damit das Verfahren zur gesuchten Nullstelle konvergiert.
  • Führe die geforderte Anzahl Schritte aus und gib die Zwischenwerte an - der Rechenweg ist Teil der Bewertung.
  • Nenne ein Abbruchkriterium, etwa ∣xn+1−xn∣<10−4|x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4}∣xn+1​−xn​∣<10−4, und wende es tatsächlich an.
  • Begründe das Konvergenzverhalten geometrisch: Jeder Schritt ersetzt die Kurve durch ihre Tangente im aktuellen Punkt.

Typische Fehler

  • f(xn)f(x_{n})f(xn​) und f′(xn)f'(x_{n})f′(xn​) werden im Bruch vertauscht.
  • Es wird mit f′(xn)≈0f'(x_{n})\approx0f′(xn​)≈0 weitergerechnet; das Verfahren springt dann weit weg.
  • Das Abbruchkriterium wird ignoriert oder zu früh angewandt; die geforderte Genauigkeit fehlt.
  • Der Startwert wird ohne Prüfung gewählt und das Verfahren konvergiert gegen eine andere Nullstelle.
  • Zwischenwerte werden gerundet weitergegeben; die Genauigkeitsangabe am Ende ist dann nicht gedeckt.

§ 06

Aktive Wiederholung

Bestimme mit einem Newton-Schritt eine Näherung für die Nullstelle von f(x)=x2−5f(x)=x^{2}-5f(x)=x2−5 ausgehend von x0=2x_{0}=2x0​=2.

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Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Mittlere und momentane Änderungsrate○
    • 02Ableitungsregeln◐
    • 03Kurvendiskussion: Monotonie, Extrema, Wendepunkte●
    • 04Extremwertaufgaben in Anwendungen●
    • 05Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen●
    • 06Numerische Nullstellensuche (Newton-Verfahren)●

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

B 5 - Differentialrechnung in Anwendungen

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~20
Min
4
Kompetenzen
50
Fragen
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Beispielfrage

Die Funktion fff beschreibt den Bestand einer Population. Erkläre die Bedeutung von f′(5)=120f'(5)=120f′(5)=120 im Kontext, wenn f(t)f(t)f(t) die Population zur Zeit ttt (in Jahren) angibt. (HUM)

2 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

Siehe auch

  • B 6 - Integralrechnung und AnwendungenIntegrieren ist die Umkehrung des Ableitens; der Hauptsatz verbindet beide Themen.
  • B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, GewinnGrenzkosten, Grenzerlös und Gewinnmaximum sind Ableitungen im ökonomischen Kontext.
  • B 4 - Funktionale Zusammenhänge in AnwendungssituationenDie Funktionstypen, die hier abgeleitet werden, sind dort eingeführt.

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B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen

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B 6 - Integralrechnung und Anwendungen

EuraStudy·Notizen T·05·MMXXVI

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