B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Kosten- und Erlösfunktion#

~3 Min LesezeitBasisB-11.1

Die Wirtschaftsmathematik modelliert betriebliche Entscheidungen mit Funktionen - Kosten, Erlös und Gewinn in Abhängigkeit der produzierten Menge

x

. Den Anfang machen die Kosten- und die Erlösfunktion, aus deren Zusammenspiel sich Gewinnschwelle und Gewinnmaximum ergeben ().

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

Abb. 1Gesamtkosten

K(x) = K_f + k_v \cdot x

; Achsenabschnitt = Fixkosten.

Abb. 1 ↓

Die Kosten zerfallen in zwei Teile: Fixkosten

K_f

fallen unabhängig von der Stückzahl an (Miete, Maschinen), variable Kosten steigen mit der Produktion. Die lineare Kostenfunktion ist

K(x)=K_f+k_v\cdot x

- der Achsenabschnitt ist genau

K_f

, die Steigung der variable Stückkostensatz

k_v

. Fixkosten als variabel zu behandeln, ist ein klassischer Fehler.

Die Durchschnittskosten (Stückkosten)

\bar k(x)=\tfrac{K(x)}{x}

verteilen die Gesamtkosten auf jede Einheit. Bei Fixkosten sinken sie mit wachsender Stückzahl (Fixkostendegression) - genau das macht Massenproduktion günstiger pro Stück.

Der Erlös (Umsatz) ist

E(x)=p\cdot x

. Bei konstantem Stückpreis

p

ist er eine Ursprungsgerade. Sinkt der Preis hingegen mit der Menge (Preis-Absatz-Funktion

p(x)

), wird

E(x)=p(x)\cdot x

quadratisch - der Erlös steigt zunächst, erreicht ein Maximum und fällt wieder.

In technischen (HTL-)Kontexten treten oft kubische Kostenfunktionen

K(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

auf, die einen realistischen Verlauf abbilden: zunächst degressiv (sinkende Grenzkosten durch Einarbeitung), dann progressiv (steigende Grenzkosten durch Überlastung). Der Wendepunkt trennt beide Phasen.

In der Matura sind aus einer gegebenen Kostenfunktion die Bestandteile zu deuten (Operator „erläutern": was bedeuten

K_f

und

k_v

?) und Kosten, Erlös sowie Durchschnittskosten zu berechnen. Preis und Stückpreis sauber zu unterscheiden und auf Einheiten zu achten, sichert die Punkte.

Vokabeln

→ Kartei

FixkostenKosten, die unabhängig von der Produktionsmenge anfallen.
variable KostenMengenabhängiger Kostenanteil.
Erlösfunktion$E(x)=p\cdot x$ bzw. $p(x)\cdot x$ bei preisabhängiger Nachfrage.
StückkostenGesamtkosten je Stück, $\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}$.
GrenzkostenAbleitung der Kostenfunktion; Kosten der nächsten produzierten Einheit.
Preis-Absatz-FunktionZusammenhang zwischen gefordertem Preis und absetzbarer Menge.

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

K(x)=K_{f}+K_{v}(x),\quad K_{v}(x)=k_{v}\cdot x

$K_{f}$ sind die mengenunabhängigen Fixkosten, $k_{v}$ die variablen Stückkosten und $x$ die Produktionsmenge. Der Achsenabschnitt $K(0)=K_{f}$ liest sich unmittelbar aus dem Graphen ab.

Linearer Erlös bei konstantem Preis

E(x)=p\cdot x

$p$ ist der Stückpreis, $x$ die abgesetzte Menge. Die Formel gilt nur bei mengenunabhängigem Preis; sinkt der Preis mit der Menge, ist $E(x)=p(x)\cdot x$ anzusetzen.

Musterbeispiel

Lineare Kostenfunktion analysieren

Eine Bezeichnungsmaschine kostet $1\,200\,\mathrm{Euro}$ fix; pro Buch $0{,}45\,\mathrm{Euro}$ variabel.

Funktion
$K(x)=1\,200+0{,}45\,x$ .
K(2000)
$K(2\,000)=1\,200+900=2\,100$ Euro.
Durchschnittskosten
$\bar k(2\,000)=\tfrac{2\,100}{2\,000}=1{,}05$ Euro/Buch.

Ergebnis: $K(2\,000)=2\,100\,\mathrm{Euro}$ , $\bar k=1{,}05\,\mathrm{Euro/Buch}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Kostenfunktion zerlegt sich in Fix- und variable Kosten.
Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten
Abb.Gesamtkosten $K(x) = K_f + k_v \cdot x$ ; Achsenabschnitt = Fixkosten.
2
Erlös ist Preis mal Menge - bei sinkendem Preis quadratisch.
3
Achte auf Einheiten und Achsenabschnitte.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Kostenfunktion ist

K(x)=2\,500+18x

. Erläutere die Bedeutung von

2\,500

und

18

im Sachkontext. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Fixkosten werden als mengenabhängig behandelt; sie fallen unabhängig von der Produktionsmenge an.
Preis und Stückkosten werden verwechselt; der Preis steht in der Erlös-, die Stückkosten in der Kostenfunktion.
Bei sinkendem Preis wird der Erlös als $p\cdot x$ mit festem $p$ gerechnet, obwohl $p$ von $x$ abhängt.
Die Stückkosten werden mit den variablen Stückkosten gleichgesetzt; die Fixkosten je Stück fehlen dann.
Grenzkosten und Stückkosten werden vertauscht - die einen sind eine Ableitung, die anderen ein Quotient.

Aktive Wiederholung

Eine Werkstatt hat Fixkosten von $3\,200\,\mathrm{Euro}$ /Monat und variable Kosten von $15\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Berechne $K(180)$ und die durchschnittlichen Stückkosten.

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Break-Even-Analyse#

~4 Min LesezeitStandardB-11.3

Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn

Abb. 2Schnittpunkt von

K(x)

und

E(x)

markiert die Gewinnschwelle.

Die Break-Even-Analyse beantwortet die betriebswirtschaftliche Grundfrage: Ab welcher Menge trägt sich ein Produkt? Der Break-Even-Punkt (auch Gewinnschwelle) ist jene Absatzmenge, bei der Erlös und Kosten gleich hoch sind - darunter erwirtschaftet der Betrieb Verlust, darüber Gewinn.

Rechnerisch löst man

E(x)=K(x)

oder gleichwertig

G(x)=E(x)-K(x)=0

. Im linearen Standardfall mit

E(x)=p\cdot x

und

K(x)=K_{f}+k_{v}\cdot x

ergibt sich die Gewinnschwelle unmittelbar zu

x_{BE}=\tfrac{K_{f}}{p-k_{v}}

.

Der Nenner

p-k_{v}

ist der STÜCKDECKUNGSBEITRAG: jener Betrag, den jedes verkaufte Stück zur Deckung der Fixkosten beisteuert. Diese Deutung ist der Kern des ganzen Abschnitts - der Break-Even sagt, wie viele Stücke nötig sind, bis die Fixkosten aufgebraucht sind.

Daraus folgt eine wichtige Bedingung: Ist der Stückdeckungsbeitrag null oder negativ, existiert überhaupt kein Break-Even-Punkt. Jedes zusätzlich verkaufte Stück vergrößert dann den Verlust, und die Aufgabe verlangt genau diese Feststellung statt einer Zahl.

Bei nichtlinearen Kostenverläufen kann es ZWEI Gewinnschwellen geben: eine untere und eine obere. Zwischen ihnen liegt die Gewinnzone, außerhalb die Verlustzone; das Gewinnmaximum liegt im Inneren dieser Zone und fällt keinesfalls mit einer Gewinnschwelle zusammen.

In der Praxis dient der Break-Even auch dem Vergleich zweier Verfahren oder Tarife: Man setzt die beiden Kostenfunktionen gleich und erhält die Menge, ab der sich das Verfahren mit den höheren Fixkosten und den niedrigeren variablen Kosten lohnt. Die Antwort ist stets ein Intervall mit Deutung, nie eine bloße Zahl.

Zur vollständigen Antwort gehört schließlich die Sicherheitsmarge: Wie weit liegt der geplante Absatz über der Gewinnschwelle? Ein Betrieb, der nur knapp darüber plant, arbeitet mit hohem Risiko - genau das erwartet der Operator „beurteilen" in Teil-2-Aufgaben.

Vokabeln

→ Kartei

Break-Even-PunktAbsatzmenge, bei der Erlös und Kosten gleich hoch sind; auch Gewinnschwelle.
Stückdeckungsbeitrag$p-k_{v}$; Beitrag jedes Stücks zur Deckung der Fixkosten.
GewinnzoneMengenbereich mit positivem Gewinn; zwischen unterer und oberer Gewinnschwelle.
GewinnschwelleUntere Grenze der Gewinnzone.
GewinngrenzeObere Grenze der Gewinnzone bei nichtlinearem Verlauf.
SicherheitsmargeAbstand der geplanten Menge von der Gewinnschwelle.

Break-Even-Bedingung

K(x_{BE})=E(x_{BE})\;\Longleftrightarrow\;G(x_{BE})=0

$x_{BE}$ ist die Gewinnschwelle - die Menge, bei der Erlös und Kosten übereinstimmen und der Gewinn null ist. Darunter arbeitet der Betrieb mit Verlust, darüber mit Gewinn.

Break-Even bei linearer Kostenstruktur

x_{BE}=\dfrac{K_{f}}{p-k_{v}}

$K_{f}$ sind die Fixkosten, $p-k_{v}$ ist der Stückdeckungsbeitrag. Ist dieser null oder negativ, existiert überhaupt keine Gewinnschwelle - jedes weitere Stück vergrößert dann den Verlust.

Erlösgerade

Abb. 3Erlösgerade

E(x)=50\cdot x

; die Kostengerade und der Break-Even siehe Skizze oben.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Break-Even-Punkt eines Produkts

Eine Firma verkauft Produkt zu $25\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Fixkosten $K_{f}=4\,000\,\mathrm{Euro}$ , variable Kosten $k_{v}=15\,\mathrm{Euro/Stück}$ . Bestimme die Gewinnschwelle.

Funktionen
Kosten $K(x)=4\,000+15x$ , Erlös $E(x)=25x$ .
Gleichsetzen
$4\,000+15x=25x \Rightarrow 4\,000=10x \Rightarrow x=400$ .
Interpretation
Ab $400$ Stück arbeitet das Unternehmen profitabel.

Ergebnis: Gewinnschwelle bei $400$ Stück.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Break-Even ist die Schwelle, ab der Erlös die Kosten deckt.
Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn
Abb.Schnittpunkt von $K(x)$ und $E(x)$ markiert die Gewinnschwelle.
2
Bei linearen Funktionen ist es eine einfache Division durch den Stückdeckungsbeitrag.
3
Prüfe, ob Deckungsbeitrag positiv ist - sonst gibt es keinen Break-Even.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Catering-Service hat Fixkosten von

1\,800\,\mathrm{Euro}

/Monat und variable Kosten von

12\,\mathrm{Euro/Person}

. Der Preis pro Person beträgt

30\,\mathrm{Euro}

. Bestimme die Mindestanzahl an Gästen pro Monat, um keine Verluste zu machen. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Stückdeckungsbeitrag und Stückgewinn werden verwechselt; der Deckungsbeitrag enthält die Fixkosten noch nicht.
Break-Even und Gewinnmaximum werden gleichgesetzt.
Ein negativer Deckungsbeitrag wird übersehen; dann existiert überhaupt keine Gewinnschwelle.
Bei nichtlinearem Verlauf wird nur eine der beiden Gewinnschwellen angegeben.
Das Ergebnis bleibt eine Zahl ohne Deutung; verlangt ist die Aussage über Gewinn- und Verlustbereich.

Aktive Wiederholung

Fixkosten $9\,000\,\mathrm{Euro}$ , variable Stückkosten $8\,\mathrm{Euro}$ , Verkaufspreis $14\,\mathrm{Euro}$ . Bestimme die Gewinnschwelle.

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Gewinnmaximierung mit Preis-Absatz#

~3 Min LesezeitVertiefungB-11.4

Die Gewinnmaximierung ist die zentrale unternehmerische Optimierungsaufgabe und verbindet Wirtschaft mit der Differentialrechnung (B 5). Sie nutzt aus, dass auf einem realen Markt der Preis mit der Absatzmenge fällt - was die Mengenwahl überhaupt erst zu einer Entscheidung macht.

Diesen Zusammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion

p(x)

(meist linear fallend). Aus ihr folgt die Erlösfunktion

E(x)=p(x)\cdot x

, die quadratisch wird, und mit den Kosten die Gewinnfunktion

G(x)=E(x)-K(x)

. Den Erlös nicht aus

p(x)\cdot x

aufzustellen, ist der häufigste Anfangsfehler.

Das Gewinnmaximum findet man wie jedes Extremum (B 5):

G'(x)=0

liefert die kritische Stelle, die hinreichende Bedingung

G''(x)<0

sichert das Maximum. Bei linearen Bausteinen ist

G(x)

eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitel das Maximum ist ().

Gewinnfunktion: Schwelle, Maximum, Grenze

Abb. 4Die Gewinnfunktion

G(x)=E(x)-K(x)

ist (bei linearer Kostenstruktur und linearer Preis-Absatz-Funktion) eine nach unten geöffnete Parabel: Nullstelle = Gewinnschwelle, Scheitel = Gewinnmaximum.

Abb. 4 ↓

Ökonomisch gedeutet ist die Bedingung

G'(x)=0

gleichbedeutend mit

E'(x)=K'(x)

- Grenzerlös gleich Grenzkosten. Solange eine zusätzliche Einheit mehr Erlös als Kosten bringt, lohnt die Ausweitung; im Optimum halten sich beide gerade die Waage.

Aus der optimalen Menge

x^{*}

ergeben sich die vollständigen Antworten: der optimale Preis

p(x^{*})

(in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen!) und der Maximalgewinn

G(x^{*})

. Den optimalen Preis nicht anzugeben, ist ein typischer Punkteverlust.

Stets ist die Plausibilität zu prüfen (positive Stückzahl, Preis über den Stückkosten) und zu bedenken, dass das Gewinnmaximum auch durch Randpunkte begrenzt sein kann - etwa eine Kapazitätsgrenze oder Marktsättigung. In der Matura ist dies eine häufige Teil-2-Aufgabe der HAK.

Vokabeln

→ Kartei

Gewinnfunktion$G(x)=E(x)-K(x)$; Differenz aus Erlös und Kosten.
GrenzerlösAbleitung der Erlösfunktion; Erlöszuwachs der nächsten Einheit.
GrenzkostenAbleitung der Kostenfunktion; Kostenzuwachs der nächsten Einheit.
Cournot-PunktPunkt auf der Preis-Absatz-Funktion beim gewinnmaximalen Absatz.
Preis-Absatz-Funktion$p(x)$; Preis, zu dem sich die Menge $x$ absetzen lässt.
ErlösmaximumMenge mit größtem Erlös; sie liegt in der Regel über der gewinnmaximalen Menge.

Gewinnfunktion und Grenzerlös = Grenzkosten

G(x)=E(x)-K(x),\quad G'(x)=0\Rightarrow E'(x)=K'(x)

$G$ ist der Gewinn als Differenz von Erlös und Kosten. Die notwendige Bedingung $G'(x)=0$ ist gleichbedeutend damit, dass Grenzerlös und Grenzkosten übereinstimmen; die hinreichende Bedingung $G''(x)<0$ muss zusätzlich geprüft werden.

Notwendige Bedingung Gewinnmaximum

E'(x)=K'(x)

Im gewinnmaximalen Punkt bringt die nächste produzierte Einheit genau so viel Erlös, wie sie kostet. Notwendig heißt: Die Bedingung muss gelten, sichert das Maximum aber noch nicht - dafür braucht es $G''(x)<0$ .

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Maximaler Gewinn bei linearer Preis-Absatz-Funktion

Preis-Absatz-Funktion $p(x)=200-2x$ ( $x$ in Hundert Stück), Kosten $K(x)=100+50x$ . Bestimme den gewinnoptimalen Absatz.

Erlös
$E(x)=p\cdot x=(200-2x)\cdot x=200x-2x^{2}$ .
Gewinn
$G(x)=E(x)-K(x)=200x-2x^{2}-100-50x=-2x^{2}+150x-100$ .
Ableitung
$G'(x)=-4x+150=0 \Rightarrow x=37{,}5$ .
Maximalgewinn
$G(37{,}5)=-2\cdot 1406{,}25+150\cdot 37{,}5-100=-2812{,}5+5625-100=2712{,}5$ .

Ergebnis: Optimum bei $x=37{,}5$ Hundert Stück, Maximalgewinn $2\,712{,}50\,\mathrm{Euro}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erlösfunktion ergibt sich aus Preis mal Menge.
2
Gewinnmaximum: Grenzerlös gleich Grenzkosten.
3
Prüfe Hinreichendbedingung und interpretiere Ergebnis.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Firma hat die Kostenfunktion

K(x)=0{,}01x^{3}-0{,}6x^{2}+15x+200

und Preis-Absatz

p(x)=50-0{,}1x

. Bestimme das gewinnoptimale

x

und den Maximalgewinn (gerundet). (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$E(x)$ wird nicht aus $p(x)\cdot x$ gebildet; der sinkende Preis bleibt unberücksichtigt.
Die hinreichende Bedingung wird nicht geprüft; eine Minimalstelle wird als Optimum ausgegeben.
Der optimale PREIS fehlt in der Antwort; angegeben wird nur die Menge.
Die Randwerte des zulässigen Bereichs werden nicht mit dem inneren Optimum verglichen.
Gewinnmaximum und Erlösmaximum werden gleichgesetzt; sie liegen bei verschiedenen Mengen.

Aktive Wiederholung

Preis-Absatz $p(x)=120-0{,}5x$ , Kostenfunktion $K(x)=300+30x$ . Bestimme optimalen Absatz und Gewinn.

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Deckungsbeitrag und Sortimentsentscheidung#

~3 Min LesezeitStandardB-11.2

Die Deckungsbeitragsrechnung ist das wichtigste Werkzeug der kurzfristigen Sortiments- und Produktionsplanung. Ihr Kern ist der Stückdeckungsbeitrag

db=p-k_v

: der Betrag, den jeder verkaufte Artikel nach Abzug seiner variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und zum Gewinn beiträgt.

Sie beruht auf der Teilkostenrechnung - im Gegensatz zur Vollkostenrechnung werden die Fixkosten nicht auf einzelne Produkte umgelegt, da sie ohnehin anfallen. Diese beiden Sichtweisen zu vermischen, ist ein häufiger Fehler; für kurzfristige Entscheidungen zählt der Deckungsbeitrag.

Bei knappen Ressourcen (Maschinenzeit, Material) genügt der Stückdeckungsbeitrag allein nicht: Entscheidend ist der relative Deckungsbeitrag je beanspruchter Engpasseinheit,

\tfrac{db_j}{r_j}

. Man priorisiert die Produkte mit dem höchsten Wert () - so erzielt der Engpass den größten Gesamtdeckungsbeitrag.

Engpasspriorisierung nach Deckungsbeitrag je Stunde

Abb. 5Bei knapper Maschinenzeit zählt nicht der Stückdeckungsbeitrag, sondern der Deckungsbeitrag je Engpassstunde (

db/r

): Produkt A führt vor B vor C.

Abb. 5 ↓

Genau hier liegt die zentrale Einsicht: Ein Produkt mit hohem Stückdeckungsbeitrag, das aber viel Engpasszeit bindet, kann unattraktiver sein als eines mit kleinerem

db

, das den Engpass sparsam nutzt. Den Engpass nicht zu erkennen, führt zu falscher Priorisierung.

Bei mehreren Produkten arbeitet man mit einer Mischkalkulation über den gewichteten Durchschnittsdeckungsbeitrag. Hat ein Produkt einen negativen Deckungsbeitrag (

db<0

), deckt es nicht einmal seine variablen Kosten und sollte kurzfristig aus dem Sortiment fallen.

Langfristig sind allerdings strategische Aspekte abzuwägen - Imagewirkung, Sortimentsverbund, Kundenbindung -, sodass ein kurzfristig unrentables Produkt im Programm bleiben kann. In der Matura ist daher die kurzfristige von der langfristigen Sicht zu trennen und der Engpass korrekt zu identifizieren.

Vokabeln

→ Kartei

DeckungsbeitragPreis minus variable Kosten; Beitrag zur Deckung der Fixkosten.
TeilkostenrechnungRechnung, die nur die variablen Kosten zurechnet.
VollkostenrechnungRechnung, die auch die Fixkosten auf die Produkte verteilt.
EngpassKnappe Ressource, die die Produktionsmenge begrenzt.
relativer DeckungsbeitragDeckungsbeitrag je Einheit der Engpassressource; Reihungskriterium.
SortimentsentscheidungAuswahl der zu produzierenden Produkte unter Knappheit.

Deckungsbeitrag und Engpasspriorisierung

db = p - k_{v},\quad \text{Engpassrang} = \dfrac{db}{r_{\text{Engpass}}}

$db$ ist der Stückdeckungsbeitrag, $r_{\text{Engpass}}$ der Verbrauch der knappen Ressource je Stück. Gereiht wird nach dem Deckungsbeitrag JE ENGPASSEINHEIT, nicht nach dem absoluten Deckungsbeitrag je Stück.

Musterbeispiel

Engpasskalkulation drei Produkte

A: $db=25$ Euro, $2$ h. B: $db=18$ Euro, $1{,}5$ h. C: $db=32$ Euro, $3$ h.

Rang berechnen
A: $25/2=12{,}5$ Euro/h. B: $18/1{,}5=12$ Euro/h. C: $32/3\approx 10{,}7$ Euro/h.
Priorisierung
Höchster Wert: A vor B vor C.

Ergebnis: Reihenfolge A > B > C bei knapper Maschinenzeit.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Deckungsbeitrag misst, was nach Abzug der variablen Kosten an Fixkosten + Gewinn übrig bleibt.
2
Bei knappen Ressourcen Engpasspriorisierung beachten.
3
Negativen Deckungsbeitrag kurzfristig vermeiden.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Produkt wird zu

45\,\mathrm{Euro/Stück}

verkauft, variable Kosten

28\,\mathrm{Euro}

. Berechne Stückdeckungsbeitrag und Deckungsbeitragsquote. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Vollkosten- und Teilkostenrechnung werden vermischt; im Deckungsbeitrag stehen nur die VARIABLEN Kosten.
Der Engpass wird nicht erkannt; priorisiert wird dann nach dem falschen Kriterium.
Es wird nach absolutem statt nach engpassbezogenem Deckungsbeitrag gereiht.
Ein Produkt mit positivem Deckungsbeitrag wird ausgelistet, weil es die Vollkosten nicht deckt - kurzfristig ist das ein Fehler.
Strategische Aspekte werden ignoriert, obwohl der Operator „beurteilen" sie einfordert.

Aktive Wiederholung

Drei Produkte A, B, C haben Deckungsbeiträge $25, 18, 32\,\mathrm{Euro/Stück}$ und benötigen $2, 1{,}5, 3\,\mathrm{h}$ Maschinenzeit. Welches sollte priorisiert werden, wenn Maschinenzeit der Engpass ist?

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Stückkosten und Betriebsoptimum#

~3 Min LesezeitVertiefungB-11.1B-11.3

Die Stückkostenfunktion (Durchschnittskosten)

\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}

gibt die Gesamtkosten je produzierter Einheit an. Bei Fixkosten ist ihr Verlauf typischerweise U-förmig: Erst sinken die Stückkosten (Fixkosten verteilen sich auf mehr Stücke), dann steigen sie wieder (variable Kosten dominieren) - der Tiefpunkt ist betriebswirtschaftlich besonders bedeutsam ().

Betriebsoptimum: Stückkosten und Grenzkosten

Abb. 6Die Stückkosten

\bar K(x)=x+\tfrac{100}{x}

haben ihr Minimum (Betriebsoptimum) genau dort, wo die Grenzkosten

K'(x)

sie schneiden - bei

x=10

mit

\bar K=20

.

Abb. 6 ↓

Dieser Tiefpunkt ist das Betriebsoptimum: die Menge mit den minimalen Stückkosten. Man findet es wie jedes Minimum über

\bar K'(x)=0

und sichert es mit

\bar K''(x)>0

ab - der Operator „bestimmen" verlangt genau diese beiden Schritte.

Bemerkenswert ist die ökonomische Gesetzmäßigkeit dahinter: Im Betriebsoptimum schneiden sich die Grenzkosten

K'(x)

und die Stückkosten

\bar K(x)

(). Solange die Grenzkosten unter den Stückkosten liegen, ziehen sie den Durchschnitt nach unten; sobald sie ihn übersteigen, steigt er - der Schnittpunkt ist genau das Minimum.

Der Wert der Stückkosten im Betriebsoptimum ist die langfristige Preisuntergrenze: Sinkt der Marktpreis dauerhaft darunter, kann der Betrieb nicht einmal seine Vollkosten decken und macht auf Dauer Verluste. Diese Interpretation ist der Kern der Aufgabe.

Davon zu unterscheiden ist das Betriebsminimum - die Menge mit minimalen variablen Stückkosten und damit die kurzfristige Preisuntergrenze. Solange der Preis wenigstens die variablen Kosten deckt, lohnt die Weiterproduktion kurzfristig; es liegt unterhalb des Betriebsoptimums.

Die wichtigste Abgrenzung lautet: Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und Gewinnmaximum (maximaler Gewinn) sind verschiedene Mengen - die kostengünstigste Menge ist nicht die gewinnträchtigste. Ebenso sind Stückkosten

\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}

und Grenzkosten

K'(x)

sauber zu trennen.

Vokabeln

→ Kartei

StückkostenGesamtkosten je produzierter Einheit.
BetriebsoptimumMenge mit minimalen Stückkosten.
BetriebsminimumMenge mit minimalen variablen Stückkosten; kurzfristige Preisuntergrenze.
langfristige PreisuntergrenzePreis in Höhe der minimalen Stückkosten.
GrenzkostenAbleitung der Kostenfunktion; im Betriebsoptimum gleich den Stückkosten.
KostenkehreWendepunkt der Kostenfunktion; dort sind die Grenzkosten minimal.

Stückkosten und Betriebsoptimum

\bar K(x)=\dfrac{K(x)}{x},\quad \bar K'(x)=0\;\Rightarrow\;\text{Betriebsoptimum}

$\bar K(x)$ sind die Gesamtkosten je Stück. Das Betriebsoptimum ist die Menge mit minimalen Stückkosten und zugleich die langfristige Preisuntergrenze; dort stimmen Grenzkosten und Stückkosten überein.

Musterbeispiel

Betriebsoptimum bestimmen

Kostenfunktion $K(x)=x^{2}+100$ . Bestimme Betriebsoptimum und minimale Stückkosten.

Schritt 1 - Stückkosten
$\bar K(x)=\tfrac{x^{2}+100}{x}=x+\tfrac{100}{x}$ .
Schritt 2 - Ableiten und null setzen
$\bar K'(x)=1-\tfrac{100}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=100\Rightarrow x=10$ (positiv).
Schritt 3 - Minimum und Wert
$\bar K''(x)=\tfrac{200}{x^{3}}>0$ , also Minimum. $\bar K(10)=10+\tfrac{100}{10}=20$ .

Ergebnis: Betriebsoptimum bei $x=10$ Stück; minimale Stückkosten $20\,\mathrm{Euro/Stück}$ (= langfristige Preisuntergrenze).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Kostenfunktion lautet

K(x)=0{,}5x^{2}+8x+200

. Bestimme das Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und interpretiere es als Preisuntergrenze. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Stückkosten und Grenzkosten werden verwechselt: $\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}$ gegenüber $K'(x)$ .
Die hinreichende Bedingung für das Minimum wird nicht geprüft.
Betriebsoptimum und Gewinnmaximum werden gleichgesetzt; das eine minimiert Kosten je Stück, das andere maximiert den Gewinn.
Bei der Ableitung von $\tfrac{K(x)}{x}$ wird die Quotientenregel nicht angewandt.
Die Preisuntergrenze wird ohne Zeithorizont genannt; kurz- und langfristig fallen sie auseinander.

Aktive Wiederholung

Bestimme das Betriebsoptimum der Kostenfunktion $K(x)=x^{2}+100$ und gib die minimalen Stückkosten an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Preiselastizität der Nachfrage#

~3 Min LesezeitVertiefungB-11.4

Die Preiselastizität der Nachfrage misst, wie empfindlich die nachgefragte Menge auf Preisänderungen reagiert - die zentrale Kennzahl jeder Preispolitik. Sie beantwortet die Frage „Wenn ich den Preis ändere, wie stark ändert sich der Absatz, und was passiert mit dem Erlös?".

Definiert ist sie als Verhältnis relativer Änderungen (Bogenelastizität):

\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}

. Entscheidend ist „relativ" - es werden prozentuale, nicht absolute Änderungen ins Verhältnis gesetzt, und im Zähler steht die Menge, im Nenner der Preis. Beides zu vertauschen oder absolute Werte einzusetzen, sind die häufigsten Fehler.

Da die Nachfrage bei steigendem Preis fällt, ist

\varepsilon

in der Regel negativ; meist betrachtet man den Betrag

|\varepsilon|

. Aus dem negativen Vorzeichen auf einen Rechenfehler zu schließen, ist verfehlt - es ist die Regel, nicht die Ausnahme.

Der Betrag teilt die Nachfrage in zwei Regime: elastisch bei

|\varepsilon|>1

(die Menge reagiert überproportional stark - Luxusgüter, gut ersetzbare Produkte) und unelastisch bei

|\varepsilon|<1

(die Menge reagiert schwach - lebensnotwendige Güter ohne Ersatz). Bei

|\varepsilon|=1

spricht man von Einheitselastizität.

Die praktische Konsequenz ist die Erlöswirkung: Bei elastischer Nachfrage senkt eine Preiserhöhung den Erlös (der Mengenrückgang überwiegt), bei unelastischer Nachfrage erhöht sie ihn (der Mengenrückgang ist gering). Genau das macht die Elastizität zur Schlüsselgröße der Preisentscheidung.

Anschaulich ändert sich die Elastizität sogar entlang einer geraden Nachfragekurve: Die obere Hälfte (hoher Preis, kleine Menge) ist elastisch, die untere unelastisch, im Mittelpunkt gilt

|\varepsilon|=1

(). In der Matura ist die Bogenelastizität aus zwei Preis-Mengen-Paaren zu berechnen und daraus eine Preisstrategie zu begründen.

Preiselastizität entlang der Nachfragekurve

Abb. 7Auf einer linearen Nachfragekurve ist die obere Hälfte (hoher Preis) elastisch (

|\varepsilon|>1

), die untere unelastisch (

|\varepsilon|<1

); im Mittelpunkt gilt

|\varepsilon|=1

.

Abb. 7 ↓

Vokabeln

→ Kartei

PreiselastizitätVerhältnis der relativen Mengenänderung zur relativen Preisänderung.
elastische Nachfrage$|\varepsilon|>1$; die Menge reagiert überproportional auf Preisänderungen.
unelastische Nachfrage$|\varepsilon|<1$; die Menge reagiert unterproportional.
BogenelastizitätElastizität über ein Preisintervall, gerechnet aus zwei Preis-Mengen-Paaren.
PunktelastizitätElastizität an einer Stelle, gerechnet mit der Ableitung der Nachfragefunktion.
ErlöswirkungFolge einer Preisänderung für den Erlös; sie hängt vom Betrag der Elastizität ab.

Bogenelastizität der Nachfrage

\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}

$\Delta x/x$ ist die relative Mengen-, $\Delta p/p$ die relative Preisänderung. Das Ergebnis ist im Regelfall negativ; entscheidend ist der BETRAG: über eins elastisch, unter eins unelastisch. Der Wert gilt nur für das betrachtete Preisintervall.

Musterbeispiel

Preiselastizität beurteilen

Preis $20\to 18\,\mathrm{Euro}$ , Menge $500\to 560$ . Bestimme $\varepsilon$ und beurteile.

Schritt 1 - Relative Mengenänderung
$\tfrac{\Delta x}{x}=\tfrac{560-500}{500}=\tfrac{60}{500}=0{,}12$ .
Schritt 2 - Relative Preisänderung
$\tfrac{\Delta p}{p}=\tfrac{18-20}{20}=\tfrac{-2}{20}=-0{,}10$ .
Schritt 3 - Elastizität und Urteil
$\varepsilon=\tfrac{0{,}12}{-0{,}10}=-1{,}2$ ; da $|\varepsilon|=1{,}2>1$ , ist die Nachfrage elastisch - eine Preissenkung steigert hier den Erlös.

Ergebnis: Elastizität $\varepsilon=-1{,}2$ ; die Nachfrage ist elastisch.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Preiserhöhung von

50\,\mathrm{Euro}

auf

55\,\mathrm{Euro}

sinkt die Nachfrage von

200

auf

190

Stück. Berechne die Preiselastizität und beurteile die Reaktion. (HAK)

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Typische Fehler

Absolute statt relative Änderungen werden in den Quotienten eingesetzt.
Zähler und Nenner werden vertauscht; Preis- und Mengenänderung sind vertauscht.
Aus dem negativen Vorzeichen wird auf einen Rechenfehler geschlossen; es ist der Regelfall.
Die Elastizität wird als konstant über die gesamte Nachfragefunktion angenommen; sie ändert sich mit dem Preis.
Aus $|\varepsilon|>1$ wird geschlossen, eine Preissenkung erhöhe den GEWINN; sie erhöht zunächst nur den Erlös.

Aktive Wiederholung

Sinkt der Preis von $20\,\mathrm{Euro}$ auf $18\,\mathrm{Euro}$ , steigt die nachgefragte Menge von $500$ auf $560$ . Berechne die Preiselastizität und beurteile, ob die Nachfrage elastisch ist.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)