B 3 - Geometrie und Trigonometrie — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck#

~4 Min LesezeitBasisB-3.1

Die Trigonometrie übersetzt zwischen Längen und Winkeln - genau das, was Vermessung, Bau- und Maschinentechnik ständig brauchen: Aus einer messbaren Strecke und einem messbaren Winkel eine unzugängliche Höhe oder Entfernung berechnen. Den Einstieg bildet das rechtwinklige Dreieck mit seinen drei Grundverhältnissen.

Bezogen auf einen spitzen Winkel

\alpha

gelten

\sin\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

,

\cos\alpha=\tfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

und

\tan\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

(). Die Eselsbrücke „GAGA-Hühner-AH" hält die Zuordnung fest; entscheidend ist, vom richtigen Bezugswinkel aus zu benennen, welche Kathete gegenüber- und welche anliegt.

Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan

Abb. 1Ankathete

b

, Gegenkathete

a

, Hypotenuse

c

:

\sin\alpha=\tfrac{a}{c}

,

\cos\alpha=\tfrac{b}{c}

,

\tan\alpha=\tfrac{a}{b}

- in jeder Vermessungsaufgabe das passende Verhältnis wählen.

Abb. 1 ↓

Der Satz des Pythagoras

a^{2}+b^{2}=c^{2}

verbindet die drei Seiten ganz ohne Winkel. Ist eine Seite gesucht und sind zwei bekannt, ist er oft der schnellste Weg - die trigonometrischen Verhältnisse kommen erst ins Spiel, sobald ein Winkel beteiligt ist.

Welches Verhältnis man wählt, richtet sich nach den bekannten und gesuchten Größen: Sind Hypotenuse und Gegenkathete im Spiel, nimmt man Sinus; bei An- und Gegenkathete den Tangens. Eine saubere Skizze mit benannten Seiten verhindert das häufigste Missgeschick - das Vertauschen von Sinus und Kosinus.

Die Steigung verbindet diese Begriffe mit dem Alltag: Eine Steigung in Prozent ist

s\,\% =\tan\alpha\cdot 100

. Wichtig ist, dass Prozent und Grad nicht dasselbe sind - eine

20\,\%

-Steigung entspricht nur

\alpha\approx 11{,}3^{\circ}

, eine

100\,\%

-Steigung gerade

45^{\circ}

.

Vor jeder Rechnung ist der Winkelmodus des Rechners zu prüfen (DEG für Grad, RAD für Bogenmaß). Ein im falschen Modus berechneter Sinus liefert eine völlig falsche, oft auf den ersten Blick plausible Zahl - ein klassischer, leicht vermeidbarer Punkteverlust in der Matura.

Vokabeln

→ Kartei

HypotenuseLängste Seite des rechtwinkligen Dreiecks; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
GegenkatheteSeite, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt.
AnkatheteSeite, die am betrachteten Winkel anliegt und nicht die Hypotenuse ist.
TangensVerhältnis von Gegen- zu Ankathete; die Rechengröße für Steigungen und Neigungen.
SteigungswinkelWinkel zwischen einer Strecke und der Waagrechten.
KomplementwinkelWinkel, der einen gegebenen auf 90° ergänzt.

Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

\sin\alpha=\dfrac{a}{c},\quad \cos\alpha=\dfrac{b}{c},\quad \tan\alpha=\dfrac{a}{b}

$a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$ , $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse. Die Zuordnung hängt am gewählten Bezugswinkel - deshalb gehört zu jeder Aufgabe eine beschriftete Skizze.

Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen Dreieck)

a^{2}+b^{2}=c^{2}

$c$ ist die Hypotenuse, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende und stets längste Seite; $a$ und $b$ sind die Katheten. Der Satz gilt ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck.

Musterbeispiel

Steigung in Prozent

Eine Straße steigt auf $200\,\mathrm{m}$ horizontaler Distanz um $24\,\mathrm{m}$ an. Bestimme Steigung in Prozent und Neigungswinkel.

Steigung
$s=\tfrac{24}{200}=0{,}12=12\,\%$ .
Winkel
$\alpha=\arctan(0{,}12)\approx 6{,}84^{\circ}$ .

Ergebnis: Steigung $12\,\%$ , Neigungswinkel $\approx 6{,}8^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Mach immer zuerst eine Skizze und benenne Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse.
Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan
Abb.Ankathete $b$ , Gegenkathete $a$ , Hypotenuse $c$ : $\sin\alpha=\tfrac{a}{c}$ , $\cos\alpha=\tfrac{b}{c}$ , $\tan\alpha=\tfrac{a}{b}$ - in jeder Vermessungsaufgabe das passende Verhältnis wählen.
2
Wähle das passende Verhältnis - Sinus, Kosinus oder Tangens - je nachdem, welche Seiten und Winkel bekannt sind.
3
Kontrolliere am Schluss den Modus deines Rechners (DEG oder RAD).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

In einem rechtwinkligen Dreieck (Winkel

\gamma=90^{\circ}

) sind

a=5{,}0\,\mathrm{cm}

und Winkel

\alpha=37^{\circ}

gegeben. Berechne die Hypotenuse

c

. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Sinus und Kosinus werden vertauscht, weil keine Skizze angefertigt wurde.
Der Rechner steht im falschen Winkelmodus; $\sin 32$ liefert dann den Wert für 32 Radiant.
Steigung in Prozent wird mit dem Sinus statt dem Tangens berechnet - der Unterschied wächst mit dem Winkel.
Es wird mit dem Komplementwinkel gerechnet, weil im Text ein anderer Winkel benannt ist als in der Skizze.
Die berechnete Seite ist länger als die Hypotenuse; das Ergebnis wird ohne diese Kontrolle abgegeben.

Aktive Wiederholung

Ein Dach hat eine Neigung von $32^{\circ}$ und eine Höhe (vertikal) von $4{,}5\,\mathrm{m}$ . Wie lang ist eine Dachschräge?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck#

~4 Min LesezeitStandardB-3.2

Nicht jedes Dreieck hat einen rechten Winkel - in Vermessung und Navigation sind die meisten schiefwinklig. Für sie gibt es zwei Verallgemeinerungen, die jede Seiten-Winkel-Konstellation lösbar machen: den Sinussatz und den Kosinussatz. Grundlage ist die feste Zuordnung jeder Seite zu ihrem gegenüberliegenden Winkel ().

Allgemeines Dreieck mit Seiten und Winkeln

Abb. 2Im allgemeinen Dreieck liegt jeder Seite der gleichnamige Winkel gegenüber -

a

gegenüber

\alpha

usw. Diese Zuordnung ist der Schlüssel zu Sinus- und Kosinussatz.

Abb. 2 ↓

Der Sinussatz

\tfrac{a}{\sin\alpha}=\tfrac{b}{\sin\beta}=\tfrac{c}{\sin\gamma}

verbindet jede Seite mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel. Er ist das Werkzeug, wenn ein Seiten-Winkel-Paar vollständig bekannt ist - also bei den Konfigurationen WSW (Winkel-Seite-Winkel) und SSW (Seite-Seite-Winkel).

Der Kosinussatz

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

verallgemeinert den Satz des Pythagoras: Für

\gamma=90^{\circ}

wird

\cos\gamma=0

und es bleibt

c^{2}=a^{2}+b^{2}

. Er greift, wenn der Sinussatz nicht direkt ansetzbar ist - bei SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel) und SSS (drei Seiten).

Die Strategie ist damit ein kurzer Entscheidungsbaum: Erst die gegebene Konfiguration bestimmen, dann das passende Werkzeug wählen - Sinussatz bei WSW/SSW, Kosinussatz bei SWS/SSS. Oft kombiniert man beide: Kosinussatz für die erste fehlende Seite, dann Sinussatz für die Winkel.

Beim Sinussatz lauert der zweideutige Fall (SSW): Zur berechneten

\sin\beta

passen ein spitzer und ein stumpfer Winkel. Man muss prüfen, welcher ein gültiges Dreieck mit Winkelsumme

180^{\circ}

liefert - manchmal sind beide möglich, manchmal nur einer.

Die Dreiecksfläche fügt sich nahtlos an:

A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

braucht nur zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel und ist in Vermessungsaufgaben - Grundstücksfläche, Almwiese - der Standardabschluss. So decken die drei Formeln gemeinsam praktisch jede Dreiecksaufgabe ab.

Vokabeln

→ Kartei

Sinussatz$\tfrac{a}{\sin\alpha}=\tfrac{b}{\sin\beta}=\tfrac{c}{\sin\gamma}$; verbindet Seiten mit gegenüberliegenden Winkeln.
Kosinussatz$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$; die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras.
SWSAngabe zweier Seiten und des eingeschlossenen Winkels; Fall für den Kosinussatz.
SSWAngabe zweier Seiten und eines nicht eingeschlossenen Winkels; hier tritt die Zweideutigkeit auf.
zweideutiger FallSituation, in der zwei verschiedene Dreiecke zur Angabe passen.
DreiecksungleichungIn jedem Dreieck ist jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen.

Sinussatz für beliebige Dreiecke

\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R

Jede Seite steht über dem Sinus des GEGENÜBERLIEGENDEN Winkels; $R$ ist der Umkreisradius. Bei der Angabe zweier Seiten und eines nicht eingeschlossenen Winkels kann der Sinussatz zwei Lösungen liefern.

Kosinussatz

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

$\gamma$ ist der von $a$ und $b$ EINGESCHLOSSENE Winkel. Für $\gamma=90^{\circ}$ verschwindet der Kosinusterm und der Satz geht in den Satz des Pythagoras über; das Vorzeichen des Kosinus macht die Winkelbestimmung eindeutig.

Dreiecksfläche mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel

A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

$a$ und $b$ sind die beiden Seiten, $\gamma$ der Winkel zwischen ihnen. Die Formel ersetzt die Höhe durch $b\sin\gamma$ und erspart damit deren Konstruktion.

Musterbeispiel

Höhenmessung mit zwei Standorten

Von Standort A wird ein Funkmast unter $\varepsilon_{1}=23{,}4^{\circ}$ anvisiert, $30\,\mathrm{m}$ weiter (auf der gleichen Geraden zum Mastfuss) unter $\varepsilon_{2}=18{,}0^{\circ}$ . Wie hoch ist der Mast?

Variablen
Mastfussabstand von B: $x$ ; Mast hat Höhe $h$ ; aus B: $\tan 18^{\circ}=\tfrac{h}{x}$ , aus A: $\tan 23{,}4^{\circ}=\tfrac{h}{x-30}$ .
Gleichungssystem
$h=x\cdot \tan 18^{\circ}$ und $h=(x-30)\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ .
Gleichsetzen
$x\cdot \tan 18^{\circ}=(x-30)\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ .
Auflösen
$x(\tan 23{,}4^{\circ}-\tan 18^{\circ})=30\cdot \tan 23{,}4^{\circ}$ , $x=\tfrac{30\cdot 0{,}4325}{0{,}4325-0{,}3249}\approx 120{,}6\,\mathrm{m}$ .
Höhe
$h\approx 120{,}6\cdot 0{,}3249\approx 39{,}2\,\mathrm{m}$ .

Ergebnis: Der Mast ist etwa $39\,\mathrm{m}$ hoch.

Musterbeispiel

Dreiecksfläche mit Sinusformel

Berechne die Fläche eines Dreiecks mit $a=8{,}5\,\mathrm{m}$ , $b=12{,}0\,\mathrm{m}$ , eingeschlossener Winkel $\gamma=72^{\circ}$ .

Formel
$A=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
Einsetzen
$A=\tfrac{1}{2}\cdot 8{,}5\cdot 12\cdot \sin 72^{\circ}\approx 51\cdot 0{,}9511\approx 48{,}5$ .

Ergebnis: Fläche ca. $48{,}5\,\mathrm{m}^{2}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sortiere zuerst, welche Konfiguration vorliegt - SSW, WSW, SWS oder SSS.
2
Bei SSW oder WSW nutze den Sinussatz, bei SWS oder SSS den Kosinussatz.
3
Prüfe auf Eindeutigkeit, besonders bei SSW.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Auf einer Almwiese werden drei Vermessungspunkte

A

,

B

und

C

markiert. Bekannt sind

AB=180\,\mathrm{m}

, Winkel bei

A=58^{\circ}

, Winkel bei

B=74^{\circ}

. Berechne die Strecke

AC

. (HTL/HUM)

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Typische Fehler

Im Sinussatz wird ein anliegender statt des gegenüberliegenden Winkels eingesetzt.
Im Kosinussatz wird der Winkel verwendet, der nicht zwischen den beiden bekannten Seiten liegt.
Der zweideutige Fall des Sinussatzes bleibt unerkannt; die stumpfwinkelige Lösung fehlt.
Das Vorzeichen im Kosinussatz wird vertauscht - der Term lautet $-2ab\cos\gamma$ , nicht $+$ .
Die Kontrolle über die Winkelsumme entfällt; ein Rechenfehler bleibt dadurch unentdeckt.

Aktive Wiederholung

In einem Dreieck $ABC$ sind $a=14$ , $b=11$ und $\gamma=58^{\circ}$ gegeben. Berechne $c$ und den Winkel $\alpha$ .

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Flächen- und Volumsberechnung#

~3 Min LesezeitStandardB-3.3

Flächen- und Volumsberechnung ist die rechnerische Grundlage jeder Material-, Füll- und Verpackungsfrage: Wie viel Liter fasst ein Tank, wie viel Blech braucht ein Behälter, wie schwer ist ein Werkstück? Der ganze Themenbereich besteht darin, die richtige Standardformel zu wählen und die Einheiten konsistent zu führen.

Die ebenen Standardflächen sind Rechteck

A=a\cdot b

, Dreieck

A=\tfrac{1}{2}g\,h

, Kreis

A=\pi r^{2}

und Trapez

A=\tfrac{a+c}{2}\cdot h

. Aus ihnen setzt sich praktisch jede ebene Figur zusammen.

Bei den Körpern gilt dieselbe Logik: Volumen von Quader

V=a\,b\,c

, Zylinder

V=\pi r^{2}h

, Kegel

V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

und Kugel

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}

. Anschaulich ist das Zylindervolumen die Grundfläche

\pi r^{2}

mal Höhe

h

(), der Kegel fasst genau ein Drittel des umschreibenden Zylinders.

Zylindrischer Tank (Schrägbild)

Abb. 3Volumen eines Zylinders

V=\pi r^{2}h

: die kreisförmige Grundfläche

\pi r^{2}

wird um die Höhe

h

nach oben gezogen.

Abb. 3 ↓

Für den Materialbedarf zählt die Oberfläche: Zylinder

O=2\pi r(r+h)

, Kegel

O=\pi r(r+s)

mit der Mantellinie

s

, Kugel

O=4\pi r^{2}

. Hier ist mitzudenken, welche Deckflächen tatsächlich vorhanden sind - ein oben offener Behälter hat keinen Deckel.

Zusammengesetzte Körper - etwa ein Silo aus Zylinder und Kegeldach - werden systematisch in Standardteile zerlegt, einzeln berechnet und die Teilvolumina addiert. Dieses Zerlegen ist die zentrale Technik der Teil-2-Aufgaben und sollte mit einer Skizze begleitet werden.

Die häufigsten Fehler sind handwerklich: Radius und Durchmesser verwechseln (

r=\tfrac{d}{2}

), beim Einsetzen cm und m mischen, oder den Faktor

\tfrac{1}{3}

beim Kegel bzw.

\tfrac{2}{3}

bei der Halbkugel vergessen. Die Schlussumrechnung

1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}

rundet die typische Tankaufgabe ab.

Vokabeln

→ Kartei

MantelflächeSeitenfläche eines Körpers ohne Grund- und Deckfläche.
GrundflächeFläche, auf der ein Körper steht; beim Zylinder ein Kreis.
RotationskörperKörper, der durch Drehung einer Fläche um eine Achse entsteht, etwa Zylinder oder Kegel.
zusammengesetzter KörperKörper aus mehreren Grundkörpern; sein Volumen wird addiert oder subtrahiert.
HohlkörperKörper mit Wandstärke; das Innenvolumen folgt aus den Innenmaßen.
PrismaKörper mit zwei parallelen, deckungsgleichen Grundflächen; Volumen ist Grundfläche mal Höhe.

Zylinder und Kegel

V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}h,\quad V_{\text{Kegel}}=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

$r$ ist der Radius der Grundfläche, $h$ die zur Grundfläche senkrechte Höhe (nicht die Mantellinie). Der Faktor $\tfrac{1}{3}$ beim Kegel ist die am häufigsten vergessene Stelle.

Kugel

V_{\text{Kugel}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3},\quad O_{\text{Kugel}}=4\pi r^{2}

$r$ ist der Kugelradius. Achte bei Angaben auf Radius gegenüber Durchmesser: Beim Volumen geht der Fehler mit der dritten Potenz ein, ein verwechselter Durchmesser liefert den achtfachen Wert.

Musterbeispiel

Volumen eines zylindrischen Tanks

Tank mit Durchmesser $1{,}8\,\mathrm{m}$ und Höhe $4{,}5\,\mathrm{m}$ .

Radius
$r=0{,}9\,\mathrm{m}$ .
Volumen
$V=\pi\cdot 0{,}9^{2}\cdot 4{,}5\approx 11{,}45\,\mathrm{m}^{3}$ .
In Liter
$1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}$ , also $\approx 11\,450\,\mathrm{L}$ .

Ergebnis: Tankvolumen ca. $11\,400\,\mathrm{L}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Skizziere den Körper und zerlege ihn in Standardteile.
2
Prüfe, ob Radius oder Durchmesser angegeben ist - das ist eine klassische Fehlerquelle.
3
Achte am Schluss auf die richtige Einheit, besonders bei Liter und Kubikmeter.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (

r=2{,}0\,\mathrm{m}

,

h=8{,}0\,\mathrm{m}

) mit einem Kegeldach (

h_{K}=2{,}5\,\mathrm{m}

). Berechne das Gesamtvolumen. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Radius und Durchmesser werden verwechselt; bei $d=2{,}4$ m ist $r=1{,}2$ m, und der Fehler vervierfacht das Volumen.
Die Halbkugel erhält den falschen Faktor; richtig ist $V=\tfrac{2}{3}\pi r^{3}$ .
Bei der Oberfläche eines Zylinders fehlen Deckel oder Boden, obwohl der Kontext sie verlangt.
Beim Umrechnen wird der lineare statt des kubischen Faktors verwendet: $1\,\mathrm{m}^{3}=10^{6}\,\mathrm{cm}^{3}$ .
Der Kegel wird mit der Zylinderformel gerechnet; der Faktor $\tfrac{1}{3}$ fehlt.

Aktive Wiederholung

Ein zylindrischer Wassertank hat Durchmesser $2{,}4\,\mathrm{m}$ und Höhe $3{,}2\,\mathrm{m}$ . Bestimme das Volumen in $\mathrm{L}$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Vektoren in der Ebene und im Raum#

~4 Min LesezeitStandardB-3.4

Ein Vektor bündelt Richtung und Betrag in einem Objekt - genau das, was Kräfte, Geschwindigkeiten und Verschiebungen auszeichnet. Anders als eine bloße Zahl trägt er „wohin" und „wie stark" zugleich. In der Ebene hat er zwei, im Raum drei Komponenten, üblich in Spaltenschreibweise.

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise und haben eine klare geometrische Bedeutung: Die Summe zweier Vektoren ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms () - so addiert man zwei Kräfte zur resultierenden Kraft. Die Skalarmultiplikation streckt oder staucht einen Vektor, ohne seine Richtung zu ändern (bei negativem Faktor kehrt sie sich um).

Vektoraddition (Parallelogrammregel)

Abb. 4Kräfte- und Geschwindigkeitsvektoren addieren sich komponentenweise; der Summenvektor

\vec a+\vec b

ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms.

Abb. 4 ↓

Der Betrag

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

ist die Länge des Vektors - der Satz des Pythagoras, auf drei Komponenten erweitert. Er liefert etwa den Betrag einer Geschwindigkeit aus ihren Komponenten.

Das Skalarprodukt

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

ergibt eine Zahl, keinen Vektor, und ist über

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

mit dem Zwischenwinkel verbunden. Daraus folgt das wichtigste Kriterium: Das Skalarprodukt ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal aufeinander stehen.

Den Zwischenwinkel erhält man durch Umstellen zu

\cos\varphi=\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Im Raum lassen sich so auch Lagebeziehungen prüfen - etwa, ob eine Gerade eine Ebene schneidet (), parallel zu ihr liegt oder in ihr enthalten ist.

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Abb. 5Schnittpunkt, parallel oder Gerade in der Ebene.

Abb. 5 ↓

In HTL-Clustern sind Vektoren allgegenwärtig - Kräfte, Geschwindigkeiten, Drehmomente; in HAK/HUM treten sie seltener auf, gehören aber zur Grundkompetenz. Eine häufige Fehlerquelle ist, das Skalarprodukt mit einer komponentenweisen Multiplikation zu verwechseln - das Ergebnis ist eine einzige Zahl, die Summe der Produkte.

Vokabeln

→ Kartei

OrtsvektorVektor vom Ursprung zu einem Punkt; seine Komponenten sind die Punktkoordinaten.
Betrag eines VektorsLänge des Vektors, $|\vec a|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
SkalarproduktZahl aus zwei Vektoren; null genau dann, wenn die Vektoren orthogonal sind.
EinheitsvektorVektor der Länge eins; entsteht durch Division eines Vektors durch seinen Betrag.
resultierende KraftVektorsumme aller angreifenden Kräfte.
orthogonalRechtwinkelig zueinander; erkennbar am verschwindenden Skalarprodukt.

Betrag eines Vektors

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

$a_{1}$ , $a_{2}$ und $a_{3}$ sind die Komponenten; der Betrag ist die Länge des Vektors in der Einheit der Komponenten. In der Ebene entfällt der dritte Summand.

Skalarprodukt

\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

Das Ergebnis ist eine ZAHL, kein Vektor. Es verschwindet genau dann, wenn die Vektoren orthogonal sind; ein positives Ergebnis bedeutet einen spitzen, ein negatives einen stumpfen Zwischenwinkel.

Winkelformel

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

$\varphi$ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Der Bruch liegt stets zwischen $-1$ und $1$ ; ein Wert außerhalb verrät einen Rechenfehler im Skalarprodukt oder in einem der Beträge.

Musterbeispiel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Berechne den Winkel zwischen $\vec{a}=(2,\,1,\,2)$ und $\vec{b}=(1,\,2,\,-2)$ .

Skalarprodukt
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot(-2)=0$ .
Folgerung
Skalarprodukt Null und keiner Nullvektor -> orthogonal.

Ergebnis: $\vec{a}\perp \vec{b}$ , also $\varphi=90^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stelle Vektoren als Pfeile vor - Länge entspricht dem Betrag.
Vektoraddition (Parallelogrammregel)
Abb.Kräfte- und Geschwindigkeitsvektoren addieren sich komponentenweise; der Summenvektor $\vec a+\vec b$ ist die Diagonale des aufgespannten Parallelogramms.
2
Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren über den Winkel und liefert eine Zahl.
3
Prüfe Orthogonalität durch Skalarprodukt gleich Null.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme den Betrag des Vektors

\vec{v}=(4,\,-3,\,12)

und entscheide, ob er normal auf

\vec{w}=(3,\,4,\,0)

steht. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Das Skalarprodukt wird komponentenweise multipliziert und als Vektor notiert; es ist eine ZAHL.
Orthogonalität wird an der Zeichnung geschätzt, statt über $\vec a\cdot\vec b=0$ nachgewiesen.
Bei der Vektorsubtraktion wird ein Vorzeichen übersehen; $\vec{AB}=\vec b-\vec a$ , nicht umgekehrt.
Der Betrag wird ohne Wurzel angegeben; $|\vec a|^{2}$ ist nicht $|\vec a|$ .
Der Winkel wird ohne Betragszeichen im Nenner gerechnet und dadurch mit falschem Vorzeichen bestimmt.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $\vec{a}=(3,\,2,\,-1)$ und $\vec{b}=(1,\,-2,\,4)$ . Berechne $|\vec{a}|$ , $\vec{a}\cdot\vec{b}$ und den Winkel zwischen den Vektoren.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Bogenmaß, Kreisbogen und Kreissektor#

~3 Min LesezeitStandardB-3.1B-3.3

Das Bogenmaß ist die „natürliche" Maßeinheit für Winkel: Es misst einen Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius und ist deshalb dimensionslos. Anschaulich gibt es an, wie viele Radien der Bogen lang ist; ein voller Kreis entspricht

2\pi

, also

360^{\circ}\,\hat{=}\,2\pi

und

180^{\circ}\,\hat{=}\,\pi

.

Die Umrechnung folgt direkt aus dieser Festlegung:

\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{grad}}\cdot \tfrac{\pi}{180}

und umgekehrt

\varphi_{\text{grad}}=\varphi_{\text{rad}}\cdot \tfrac{180}{\pi}

. So wird etwa

120^{\circ}

zu

\tfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}094

.

Bogenlänge und Sektorfläche sind im Bogenmaß besonders einfach: Die Bogenlänge ist

b=r\cdot \varphi

, die Sektorfläche

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

(). Beide Formeln entstehen aus dem Anteil

\tfrac{\varphi}{2\pi}

des Vollkreises - der Sektor ist genau dieser Bruchteil von Umfang bzw. Kreisfläche.

Kreissektor mit Radius und Mittelpunktswinkel

Abb. 6Ein Kreissektor mit Radius

r

und Mittelpunktswinkel

\varphi

(im Bogenmaß): Bogenlänge

b=r\varphi

, Sektorfläche

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

.

Abb. 6 ↓

Mit Gradzahlen schreibt man dieselben Größen als

b=\tfrac{\varphi^{\circ}}{360}\cdot 2\pi r

und

A=\tfrac{\varphi^{\circ}}{360}\cdot \pi r^{2}

. Diese Form macht den Anteilsgedanken explizit, ist aber rechnerisch umständlicher als die schlanken Bogenmaß-Formeln.

Genau hier liegt die zentrale Fehlerquelle: Die kurzen Formeln

b=r\varphi

und

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi

gelten nur, wenn

\varphi

im Bogenmaß eingesetzt wird. Wer versehentlich die Gradzahl einsetzt, erhält um den Faktor

\tfrac{180}{\pi}

falsche Werte.

Wie schon bei der Trigonometrie muss der Rechnermodus zur Aufgabe passen (DEG oder RAD). In der Matura verlangen die Operatoren „umrechnen" (zwischen den Maßen wechseln) und „berechnen" (Bogen und Fläche bestimmen) eine bewusste Kontrolle dieser Einstellung.

Vokabeln

→ Kartei

BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge im Einheitskreis; $180^{\circ}$ entsprechen $\pi$.
RadiantEinheit des Bogenmaßes; ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen so lang ist wie der Radius.
KreissektorVon zwei Radien und dem zugehörigen Bogen begrenztes Kreisstück.
BogenlängeLänge des Kreisbogens, $b=r\varphi$ mit $\varphi$ im Bogenmaß.
KreissegmentVon einer Sehne und dem Bogen begrenztes Kreisstück; nicht mit dem Sektor zu verwechseln.
MittelpunktswinkelWinkel im Kreismittelpunkt, der den Sektor aufspannt.

Kreisbogen und Kreissektor

b=r\,\varphi,\quad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi\quad(\varphi\;\text{im Bogenmaß})

$r$ ist der Radius, $\varphi$ der Mittelpunktswinkel IM BOGENMASS. Wird der Winkel in Grad eingesetzt, ist das Ergebnis um den Faktor $\tfrac{\pi}{180}$ falsch; die Bogenlänge ist eine Länge, die Sektorfläche eine Fläche.

Musterbeispiel

Bogenlänge und Sektorfläche

Kreissektor mit $r=6\,\mathrm{cm}$ und $\varphi=120^{\circ}$ . Berechne $b$ und $A$ .

Schritt 1 - In Bogenmaß
$\varphi=120^{\circ}\cdot \tfrac{\pi}{180}=\tfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$ .
Schritt 2 - Bogenlänge
$b=r\,\varphi=6\cdot \tfrac{2\pi}{3}=4\pi\approx 12{,}57\,\mathrm{cm}$ .
Schritt 3 - Sektorfläche
$A=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot \tfrac{2\pi}{3}=12\pi\approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Ergebnis: Bogenlänge $b\approx 12{,}57\,\mathrm{cm}$ , Sektorfläche $A\approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Rechne den Winkel

135^{\circ}

ins Bogenmaß um. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Der Winkel wird in Grad in $b=r\varphi$ eingesetzt; das Ergebnis ist um den Faktor $\tfrac{\pi}{180}$ falsch.
Der Rechner bleibt im falschen Winkelmodus stehen.
Bogenlänge und Sektorfläche werden verwechselt; schon die Einheit verrät den Fehler.
Beim Umrechnen wird mit $\tfrac{180}{\pi}$ statt $\tfrac{\pi}{180}$ multipliziert.
Der Sektorumfang wird mit der Bogenlänge gleichgesetzt; die beiden Radien gehören dazu.

Aktive Wiederholung

Ein Kreissektor hat den Radius $r=6\,\mathrm{cm}$ und den Mittelpunktswinkel $\varphi=120^{\circ}$ . Berechne Bogenlänge und Sektorfläche.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Steigung, Gefälle und geometrische Modellierung#

~3 Min LesezeitStandardB-3.1B-3.4

Steigung und Gefälle sind die alltäglichste Anwendung des rechtwinkligen Dreiecks - bei Straßen, Rampen, Förderbändern und Dächern. Das Steigungsdreieck () macht die drei beteiligten Größen sichtbar: die horizontale Strecke

\Delta s

, den Höhenunterschied

\Delta h

und den Steigungswinkel

\alpha

.

Steigungsdreieck

Abb. 7Das Steigungsdreieck verbindet horizontale Strecke

\Delta s

, Höhenunterschied

\Delta h

und Steigungswinkel

\alpha

:

\tan\alpha=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}

.

Abb. 7 ↓

Die Steigung in Prozent ist das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke:

p_{\%}=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}\cdot 100

. Eine

6\,\%

-Rampe gewinnt also auf

100\,\mathrm{m}

waagrechter Strecke

6\,\mathrm{m}

an Höhe.

Der Steigungswinkel hängt über

\tan\alpha=\tfrac{\Delta h}{\Delta s}=\tfrac{p_{\%}}{100}

mit der Prozentsteigung zusammen. Aus der Prozentangabe erhält man den Winkel mit

\alpha=\arctan\!\big(\tfrac{p_{\%}}{100}\big)

und umgekehrt.

Entscheidend ist die Einsicht, dass Prozent und Grad nicht linear zusammenhängen:

100\,\%

Steigung bedeuten

45^{\circ}

, nicht

90^{\circ}

, und

12\,\%

sind nur knapp

7^{\circ}

. Eine Prozentsteigung darf deshalb niemals direkt als Gradzahl gelesen werden - der häufigste Fehler dieses Themas.

Bei längeren Anstiegen ist zu unterscheiden, welche Strecke gemeint ist: Die tatsächlich zurückgelegte schräge Strecke ist die Hypotenuse

\sqrt{\Delta s^{2}+\Delta h^{2}}

, nicht die horizontale Projektion

\Delta s

. Bei kleinen Steigungen sind beide fast gleich, bei steilen klaffen sie deutlich auseinander.

Solche Fragen leiten zur geometrischen Modellierung im Raum über, in der Pythagoras, Trigonometrie und Vektoren zusammenwirken - etwa bei Dächern, Böschungen oder Seilbahntrassen. In der Matura verlangen die Operatoren „berechnen" und „interpretieren", den Winkel zu bestimmen und das Ergebnis im Sachkontext zu deuten.

Vokabeln

→ Kartei

SteigungVerhältnis von Höhenunterschied zu waagrechter Strecke; oft in Prozent angegeben.
GefälleNegative Steigung; Höhenverlust je waagrechter Strecke.
SteigungswinkelWinkel zwischen Trasse und Waagrechter; $\alpha=\arctan\!\left(\tfrac{p}{100}\right)$.
HorizontalprojektionWaagrechte Grundstrecke unter einer geneigten Strecke.
TrassenlängeTatsächlich zurückgelegte schräge Strecke; stets länger als die Horizontalprojektion.
NeigungSammelbegriff für Steigung und Gefälle einer Fläche oder Linie.

Steigungswinkel aus Prozentsteigung

\tan\alpha=\dfrac{\Delta h}{\Delta s}=\dfrac{p_{\%}}{100}

$\Delta h$ ist der Höhenunterschied, $\Delta s$ die WAAGRECHTE Strecke und $p_{\%}$ die Steigung in Prozent. 12 % bedeuten daher 12 m Anstieg auf 100 m Horizontaldistanz und einen Winkel von rund 6,8°.

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Musterbeispiel

Steigungswinkel und Höhengewinn

Steigung $12\,\%$ , horizontale Strecke $2\,000\,\mathrm{m}$ . Bestimme Winkel und Höhengewinn.

Schritt 1 - Steigungswinkel
$\tan\alpha=0{,}12 \Rightarrow \alpha=\arctan(0{,}12)\approx 6{,}84^{\circ}$ .
Schritt 2 - Höhengewinn
$\Delta h=0{,}12\cdot 2\,000=240\,\mathrm{m}$ .
Schritt 3 - Deuten
Auf $2\,000\,\mathrm{m}$ horizontaler Strecke werden rund $240\,\mathrm{m}$ Höhe gewonnen, der Anstiegswinkel beträgt knapp $7^{\circ}$ .

Ergebnis: Steigungswinkel $\approx 6{,}84^{\circ}$ , Höhengewinn $240\,\mathrm{m}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Rampe überwindet auf

5\,\mathrm{m}

horizontaler Strecke einen Höhenunterschied von

0{,}3\,\mathrm{m}

. Berechne die Prozentsteigung und den Steigungswinkel. (HTL)

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Typische Fehler

Die Prozentsteigung wird als Gradzahl gelesen: 12 % sind rund 6,8°, nicht 12°.
Die horizontale Projektion wird mit der schrägen Streckenlänge gleichgesetzt; bei steilen Rampen weichen sie deutlich ab.
Der Rechner steht im falschen Winkelmodus, der Steigungswinkel ist dadurch sinnlos.
Ein Gefälle wird ohne Vorzeichen oder ohne Richtungsangabe notiert.
Die Steigung wird über den Sinus gerechnet; das gilt nur näherungsweise für sehr kleine Winkel.

Aktive Wiederholung

Eine Bergstrasse hat eine Steigung von $12\,\%$ . Berechne den Steigungswinkel und den Höhengewinn auf $2\,000\,\mathrm{m}$ horizontaler Strecke.

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