B 2 - Algebra: Terme, Gleichungen und Logarithmen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Lineare Gleichungen und Ungleichungen#

~4 Min LesezeitBasisB-2.1

Die lineare Gleichung ist das am häufigsten gebrauchte Werkzeug der angewandten Mathematik - überall dort, wo eine Größe gleichmäßig von einer anderen abhängt: Lohn pro Stunde, Kosten pro Stück, Tarif pro verbrauchter Einheit. Wer sie sicher beherrscht, löst einen Großteil der Teil-1-Aufgaben routiniert.

Eine lineare Gleichung

a\,x+b=0

hat für

a\neq 0

genau eine Lösung

x=-\tfrac{b}{a}

. Gelöst wird sie durch Äquivalenzumformungen - Operationen, welche die Lösungsmenge nicht verändern: dieselbe Zahl auf beiden Seiten addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.

Bei Ungleichungen gilt eine zusätzliche Regel: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Diese eine Regel ist die mit Abstand häufigste Fehlerquelle - sie konsequent mitzudenken sichert leicht verdiente Punkte.

Bruchgleichungen werden durch Multiplikation mit dem Hauptnenner gelöst. Davor muss der Definitionsbereich festgelegt werden (alle Nenner ungleich null); nach dem Lösen ist zu prüfen, ob die gefundene Zahl überhaupt im Definitionsbereich liegt - sonst ist sie eine Scheinlösung.

Der typische Anwendungsfall ist der Tarif- oder Kostenvergleich: Zwei lineare Kostenfunktionen wie

K_A(x)=11{,}9+0{,}29x

und

K_B(x)=19{,}9+0{,}23x

werden gleichgesetzt. Die Lösung ist der Break-Even-Punkt, an dem beide gleich teuer sind () - links davon ist der eine, rechts der andere Tarif günstiger.

Tarifvergleich als Geradenschnitt

Abb. 1Zwei lineare Kostenfunktionen schneiden sich im Break-Even-Punkt; links davon ist Tarif A, rechts Tarif B günstiger.

Abb. 1 ↓

In der Matura zählt am Ende die Interpretation im Kontext: Das Ergebnis braucht Einheit, ein plausibles Vorzeichen und einen Satz, der die Zahl als Antwort auf die gestellte Frage einordnet („Ab rund

134\,\mathrm{kWh}

pro Monat lohnt Tarif B"). Eine nackte Zahl ohne Deutung verschenkt im Beurteilungsraster Punkte.

Vokabeln

→ Kartei

ÄquivalenzumformungUmformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert lässt.
DefinitionsbereichMenge aller Werte, für die der Term definiert ist; bei Brüchen ohne die Nullstellen des Nenners.
ScheinlösungWert, der die umgeformte, aber nicht die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
LösungsmengeMenge aller Werte, die die Gleichung oder Ungleichung erfüllen; als Intervall oder Aufzählung anzugeben.
IntervallZusammenhängender Zahlenbereich; eckige Klammer schließt die Grenze ein, runde schließt sie aus.
Break-even-PunktStelle, an der zwei Kostenverläufe gleich sind; links und rechts davon ist jeweils ein Tarif günstiger.

Lösung von ax+b=0, a≠0

x=-\dfrac{b}{a}

$a$ ist der Koeffizient der Unbekannten, $b$ das Absolutglied. Die Bedingung $a\neq0$ ist wesentlich: Für $a=0$ ist die Gleichung entweder unlösbar ( $b\neq0$ ) oder allgemeingültig ( $b=0$ ).

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Lineare Tarifvergleichsaufgabe

Tarif A: $K_{A}(x)=11{,}9+0{,}29x$ ; Tarif B: $K_{B}(x)=19{,}9+0{,}23x$ ( $x$ in kWh).

Gleichsetzen
$11{,}9+0{,}29x=19{,}9+0{,}23x$ .
Umstellen
$0{,}06x=8$ , also $x=\tfrac{8}{0{,}06}\approx 133{,}33\,\mathrm{kWh}$ .
Interpretation
Ab rund $134\,\mathrm{kWh}$ /Monat ist Tarif B günstiger.

Ergebnis: Break-Even bei rund $133\,\mathrm{kWh}$ /Monat.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stelle die Variablen sofort sauber dar - das macht jede Folgerechnung klarer.
2
Bei Tarifvergleichen ist die Schnittstelle der Kostenfunktionen entscheidend.
3
Schreibe das Ergebnis mit Einheit und einer kurzen Interpretation.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine lineare Funktion

f

ist durch

f(2)=7

und

f(5)=16

gegeben. Bestimme den Funktionsterm. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl bleibt das Zeichen stehen; aus $-2x\le8$ wird dann fälschlich $x\le-4$ statt $x\ge-4$ .
Die Lösung wird ohne Einheit und ohne Plausibilitätscheck angegeben.
Nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner wird der Definitionsbereich nicht mehr geprüft - eine Scheinlösung bleibt stehen.
Bei Tarifvergleichen wird die Gleichheitsstelle als Antwort abgegeben, obwohl nach dem Bereich gefragt ist, in dem ein Tarif günstiger ist.
Der Ansatz vermischt Grund- und Verbrauchsgebühr: Die Grundgebühr ist ein konstanter Summand, kein Faktor.

Aktive Wiederholung

Ein Stromtarif kostet $11{,}90\,\mathrm{Euro}$ Grundgebühr pro Monat plus $0{,}29\,\mathrm{Euro/kWh}$ . Ab welcher Verbrauchsmenge ist Tarif B mit $19{,}90\,\mathrm{Euro}$ Grundgebühr und $0{,}23\,\mathrm{Euro/kWh}$ günstiger?

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Quadratische Gleichungen#

~4 Min LesezeitStandardB-2.2

Quadratische Zusammenhänge treten überall dort auf, wo eine Größe nicht gleichmäßig, sondern beschleunigt wächst oder fällt - bei Wurfbahnen, Bremswegen, Flächen in Abhängigkeit einer Kantenlänge oder Gewinnfunktionen mit einem Maximum. Ihr Graph ist stets eine Parabel ().

Quadratische Funktion f(x)=x²-x-2

Abb. 2Nullstellen

x=-1

,

x=2

, Scheitelpunkt

(0{,}5\,|\,-2{,}25)

.

Abb. 2 ↓

Die allgemeine Form lautet

ax^{2}+bx+c=0

mit

a\neq 0

. Gelöst wird sie über die ABC-Lösungsformel oder - oft schneller - durch Faktorisieren bzw. Herausheben. Steht etwa

5t(4-t)=0

da, liest man die Lösungen

t=0

und

t=4

sofort ab, ohne die Formel zu bemühen.

Die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

entscheidet schon vor dem Wurzelziehen über die Anzahl reeller Lösungen:

D>0

ergibt zwei,

D=0

genau eine (Berührpunkt mit der x-Achse),

D<0

keine reelle Lösung. In Kontextaufgaben sagt sie damit aus, ob ein Ereignis überhaupt eintritt - „Erreicht das Geschoss die Zielhöhe?".

Drei Darstellungsformen beleuchten dieselbe Parabel von verschiedenen Seiten: Die allgemeine Form

ax^{2}+bx+c

zeigt den

y

-Achsenabschnitt

c

, die faktorisierte Form

a(x-x_1)(x-x_2)

die Nullstellen, die Scheitelform

a(x-d)^2+e

den Scheitelpunkt

S(d\,|\,e)

und die Symmetrieachse

x=d

. Je nach Frage wählt man die passende Form.

Der klassische Anwendungstyp ist die Wurfbahn

h(t)=-\tfrac{g}{2}t^{2}+v_0\,t+h_0

. Die Nullstellen sind die Zeitpunkte am Boden, der Scheitel ist die maximale Höhe zur Zeit

t=-\tfrac{b}{2a}

. So verbindet eine einzige Gleichung Start, Steigflug, Gipfel und Landung.

Anschaulich gilt: In Sachsituationen ist meist nur eine der beiden Lösungen sinnvoll. Eine negative Zeit, eine negative Stückzahl oder eine Höhe unter dem Boden scheiden physikalisch aus - das Aussortieren der unsinnigen Lösung gehört zur vollständigen Antwort und wird im Raster eigens gewertet.

Vokabeln

→ Kartei

NormalformDarstellung $ax^{2}+bx+c=0$; Voraussetzung für die Anwendung der Lösungsformel.
Diskriminante$D=b^{2}-4ac$; ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl reeller Lösungen.
ScheitelpunktHöchster oder tiefster Punkt der Parabel; die Stelle ist $x_{S}=-\tfrac{b}{2a}$.
NullstelleStelle, an der der Funktionswert null ist; bei Wurfaufgaben der Aufschlagzeitpunkt.
FaktorisierenZerlegen eines Terms in ein Produkt; Nullprodukt liefert die Lösungen unmittelbar.
Satz von VietaFür $x^{2}+px+q=0$ gilt $x_{1}+x_{2}=-p$ und $x_{1}\cdot x_{2}=q$; nützlich als Probe.

Lösungsformel der quadratischen Gleichung ax²+bx+c=0

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$a$ , $b$ und $c$ sind die Koeffizienten der NORMALFORM - die Gleichung muss vorher auf null gebracht werden. Der Radikand ist die Diskriminante; ist sie negativ, existiert keine reelle Lösung.

Diskriminante: bestimmt Anzahl reeller Lösungen

D=b^{2}-4ac

$D>0$ ergibt zwei verschiedene Lösungen, $D=0$ eine doppelte (Berührfall), $D<0$ keine reelle. In Sachaufgaben übersetzt sich das unmittelbar in „schneidet", „berührt" oder „verfehlt".

Interaktive Grafik lädt…

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Musterbeispiel

Quadratische Gleichung in einer Wurfaufgabe

Die Höhe eines senkrecht nach oben geschleuderten Balles wird durch $h(t)=20\,t-5\,t^{2}$ (in m, $t$ in s) beschrieben. Wann ist der Ball wieder am Boden?

Gleichung aufstellen
$h(t)=0 \Rightarrow 20t-5t^{2}=0 \Rightarrow 5t(4-t)=0$ .
Nullstellen
$t=0\,\mathrm{s}$ (Start) oder $t=4\,\mathrm{s}$ (Landung).
Interpretation
Der Ball erreicht nach $4\,\mathrm{s}$ wieder den Boden.

Ergebnis: Landezeit $t=4\,\mathrm{s}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Identifiziere $a$ , $b$ und $c$ vorab und kontrolliere die Vorzeichen.
2
Die Diskriminante verrät dir schon vorab, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung existiert.
Diskriminante: bestimmt Anzahl reeller Lösungen
$D=b^{2}-4ac$
$D>0$ ergibt zwei verschiedene Lösungen, $D=0$ eine doppelte (Berührfall), $D<0$ keine reelle. In Sachaufgaben übersetzt sich das unmittelbar in „schneidet", „berührt" oder „verfehlt".
3
In Anwendungen prüfe die Lösungen auf Sinnhaftigkeit - z.B. nur positive Zeiten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Löse die Gleichung

2x^{2}-5x-3=0

. Gib beide Lösungen an. (HTL / HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Maturafokus

Prüfe vor der Lösungsformel, ob sich der Term faktorisieren lässt oder ob $c=0$ ist - Ausklammern spart Zeit und Fehler.
Werte die Diskriminante aus: $D>0$ zwei Lösungen, $D=0$ eine (Berührfall), $D<0$ keine reelle - in Sachaufgaben heißt das „trifft/berührt/trifft nicht".
Wähle unter mehreren Lösungen die kontextgültige aus und BEGRÜNDE die Verwerfung der anderen (negative Zeit, negative Länge).
Notiere bei Wurfaufgaben das Modell $h(t)=-\tfrac{g}{2}t^{2}+v_{0}t+h_{0}$ mit $g\approx9{,}81\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ und benenne jede Größe.
Nutze den Scheitel für Extremwertfragen: Die maximale Höhe liegt bei $t_{S}=-\tfrac{b}{2a}$ , nicht bei einer Nullstelle.

Typische Fehler

Vorzeichenfehler bei $-b$ in der Lösungsformel, besonders wenn $b$ selbst negativ ist.
Beide Lösungen werden übernommen, obwohl nur die positive Zeit oder Länge sinnvoll ist - die Verwerfung gehört begründet.
Die Diskriminante wird nicht geprüft; bei $D<0$ werden dann nicht existierende reelle Lösungen behauptet.
Die Gleichung wird nicht auf die Normalform $ax^{2}+bx+c=0$ gebracht, bevor die Formel angewandt wird.
Der Scheitel wird mit einer Nullstelle verwechselt; die maximale Höhe steht bei $t=-\tfrac{b}{2a}$ , der Aufschlag bei einer Nullstelle.

Aktive Wiederholung

Eine Drohne wird in $2\,\mathrm{m}$ Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $8\,\mathrm{m/s}$ nach oben gestartet; die Höhe folgt $h(t)=-5t^{2}+8t+2$ . Wann erreicht sie wieder den Boden?

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Exponential- und Logarithmusgleichungen#

~4 Min LesezeitStandardB-2.3

Sobald die gesuchte Größe im Exponenten steht - „nach wie vielen Jahren?", „nach welcher Zeit?" -, reicht das Umstellen allein nicht mehr aus; man braucht den Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens. Genau das ist das wiederkehrende Muster jeder Wachstums-, Zerfalls- und Zinsaufgabe.

Das Lösungsschema für

a\cdot \mathrm{e}^{kx}=b

ist immer dasselbe: erst die Exponentialfunktion isolieren (durch

a

teilen), dann beidseitig

\ln

anwenden, schließlich durch

k

teilen. Bei einer Basis

q

statt

\mathrm{e}

logarithmiert man genauso und nutzt

\ln(q^{n})=n\ln q

. Grafisch ist die Lösung der Schnitt der Wachstumskurve mit der waagrechten Ziellinie ().

Exponentialgleichung grafisch lösen

Abb. 3Die Lösung von

250\cdot 1{,}04^{n}=400

ist die Stelle, an der die Wachstumskurve die waagrechte Ziellinie

400

erreicht (

n\approx 12

).

Abb. 3 ↓

Die Logarithmusgesetze sind die Potenzgesetze, von der anderen Seite gelesen:

\ln(xy)=\ln x+\ln y

,

\ln\tfrac{x}{y}=\ln x-\ln y

und vor allem

\ln(x^{r})=r\ln x

- das letzte Gesetz holt den Exponenten „nach vorne" und macht ihn so überhaupt erst berechenbar.

Der Basiswechsel

\log_{a}x=\tfrac{\ln x}{\ln a}

führt jeden Logarithmus auf den natürlichen

\ln

zurück, mit dem jeder Rechner umgehen kann. Praktisch braucht man ihn selten ausformuliert, weil man ohnehin direkt mit

\ln

logarithmiert.

Der Definitionsbereich ist unbedingt zu beachten: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein. Daraus folgt sofort, dass

\ln(a+b)

nicht zu

\ln a+\ln b

wird - eine Summe im Argument lässt sich grundsätzlich nicht aufspalten.

In Anwendungen sind die Lösungen Zeitpunkte oder Raten und verlangen Interpretation: Eine Verdopplungszeit von

23{,}45

Jahren bedeutet, dass die Verdopplung erst nach

24

vollen Jahren erreicht ist - bei „nach wie vielen ganzen Jahren" wird also aufgerundet, nicht kaufmännisch gerundet.

Vokabeln

→ Kartei

ExponentialgleichungGleichung, in der die Unbekannte im Exponenten steht.
LogarithmusUmkehroperation des Potenzierens; $\log_{b}a$ ist der Exponent, mit dem $b$ zu $a$ wird.
WachstumsfaktorFaktor $q$ je Periode; $q>1$ bedeutet Wachstum, $0<q<1$ Abnahme.
WachstumskonstanteExponent $k$ in $\mathrm{e}^{kt}$; positiv bei Wachstum, negativ bei Zerfall.
HalbwertszeitZeit, in der sich der Bestand halbiert; $t_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{|k|}$.
BasiswechselUmrechnung $\log_{b}a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$, mit der jeder Logarithmus im Rechner darstellbar wird.

Logarithmusgesetze (x,y>0)

\log(xy)=\log x+\log y,\quad \log\!\tfrac{x}{y}=\log x-\log y,\quad \log(x^{r})=r\log x

Der Logarithmus verwandelt Produkt in Summe, Quotient in Differenz und Potenz in Faktor. Die Voraussetzung $x,y>0$ ist bindend - und für Summen gibt es KEIN entsprechendes Gesetz: $\log(x+y)$ lässt sich nicht zerlegen.

Lösungsformel der einfachen Exponentialgleichung

a\cdot \mathrm{e}^{kx}=b\;\Longleftrightarrow\;x=\dfrac{1}{k}\cdot \ln\!\dfrac{b}{a}

$a$ ist der Vorfaktor, $b$ der Zielwert und $k$ die Wachstumskonstante. Entscheidend ist die Reihenfolge: Erst die Potenz durch Division isolieren, dann logarithmieren - sonst wandert der Vorfaktor fälschlich in den Exponenten.

Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum

t_{2}=\dfrac{\ln 2}{k}

$k$ ist die Wachstumskonstante in $\tfrac{1}{\text{Zeiteinheit}}$ ; $t_{2}$ ergibt sich in derselben Zeiteinheit. Der Anfangsbestand kürzt sich heraus - genau deshalb ist die Verdopplungszeit von ihm unabhängig.

Musterbeispiel

Exponentialgleichung mit Faktor im Exponenten lösen

Die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments folgt $C(t)=80\cdot \mathrm{e}^{-0{,}25\,t}$ (in mg, $t$ in Stunden). Nach wie vielen Stunden ist sie auf $30\,\mathrm{mg}$ gesunken?

Gleichung ansetzen
$30=80\cdot \mathrm{e}^{-0{,}25\,t}$ .
Exponentialterm isolieren
Durch $80$ teilen: $\mathrm{e}^{-0{,}25\,t}=\tfrac{30}{80}=0{,}375$ .
Logarithmieren
$-0{,}25\,t=\ln 0{,}375\approx -0{,}9808$ .
Nach t auflösen
$t=\tfrac{\ln 0{,}375}{-0{,}25}\approx \tfrac{-0{,}9808}{-0{,}25}\approx 3{,}92$ .
Kontrolle
Einsetzen: $80\cdot \mathrm{e}^{-0{,}25\cdot 3{,}92}\approx 30\,\mathrm{mg}$ - passt.

Ergebnis: Nach rund $3{,}92$ Stunden ist die Konzentration auf $30\,\mathrm{mg}$ gesunken.

Musterbeispiel

Verdopplungszeit beim Sparkonto

Ein Sparbuch wird mit $3\,\%$ pro Jahr verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

Wachstumsgleichung
$K_{n}=K_{0}\cdot 1{,}03^{n}=2K_{0}$ .
Durch K₀ teilen
$1{,}03^{n}=2$ .
Logarithmieren
$n=\tfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx \tfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx 23{,}45$ .
Aufrunden
Erstmals nach $24$ vollen Jahren ist das Kapital verdoppelt.

Ergebnis: Nach rund 24 Jahren ist die Verdopplung erreicht.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Isoliere zuerst die Exponentialfunktion, bevor du logarithmierst.
2
Nutze die Logarithmusgesetze, um Produkte und Quotienten zu trennen.
3
Prüfe in Anwendungen, ob du auf ganzzahlige Zeitpunkte aufrunden musst.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Löse

3\cdot 1{,}05^{x}=12

nach

x

auf und gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an. (HAK / HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\ln(a+b)$ wird zu $\ln a+\ln b$ umgeformt. Der Logarithmus zerlegt nur Produkte, nicht Summen.
Der Basiswechsel wird verkehrt aufgeschrieben: $\log_{b}a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$ , nicht $\tfrac{\ln b}{\ln a}$ .
Ein negatives Logarithmusargument bleibt unbemerkt; die Lösung ist dann zu verwerfen.
Beim Logarithmieren wird die Potenz nicht zuerst isoliert - der konstante Faktor wandert dann fälschlich in den Exponenten.
Das Ergebnis wird abgerundet, obwohl erst die nächste volle Periode die Bedingung erfüllt.

Aktive Wiederholung

Löse $250\cdot 1{,}04^{n}=400$ nach $n$ auf und runde auf zwei Nachkommastellen.

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Lineare Gleichungssysteme#

~3 Min LesezeitStandardB-2.4

Viele Aufgaben enthalten zwei oder mehr unbekannte Größen, die durch mehrere Bedingungen gleichzeitig verknüpft sind - zwei Eintrittspreise, zwei Mischungsmengen, drei Ströme in einer Schaltung. Ein lineares Gleichungssystem fasst genau diese Bedingungen zusammen und löst sie gemeinsam.

Bei zwei Unbekannten stehen drei gleichwertige Verfahren zur Wahl: Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren (Eliminieren). Welches am schnellsten ist, hängt von der Form der Gleichungen ab; das CAS löst das System auf Knopfdruck, doch das händische Verständnis sichert die Punkte bei Aufstellung und Interpretation.

Geometrisch ist die Lösung eines

2\times 2

-Systems der Schnittpunkt zweier Geraden (), bei drei Unbekannten der Schnitt dreier Ebenen. Diese Deutung erklärt unmittelbar die drei Lösungsfälle: genau eine Lösung (Geraden schneiden sich), keine Lösung (parallel) oder unendlich viele (identisch).

Lineares 2×2-System als Geradenschnitt

Abb. 4Genau eine Lösung bedeutet genau einen Schnittpunkt: Hier schneiden sich die Geraden in

L(4\,|\,3)

.

Abb. 4 ↓

Drei Unbekannte löst man mit dem Gauß-Verfahren (schrittweises Eliminieren) oder über die Matrix-Inversion. In HTL-Clustern entstehen solche

3\times 3

-Systeme typisch bei Spannungs- und Stromberechnungen (Kirchhoffsche Regeln).

Der heikelste Schritt ist das Aufstellen: Jede Variable muss zuerst klar mit ihrer realen Bedeutung verknüpft werden (Erwachsenenpreis

a

, Kinderpreis

k

). Ein vertauschtes Variablenpaar liefert ein formal korrektes, inhaltlich aber falsches System - ein häufiger und teurer Fehler.

Zur vollständigen Lösung gehören die Probe und die Interpretation: Man setzt die gefundenen Werte in beide Originalgleichungen ein und formuliert das Ergebnis im Sachkontext („Erwachsene zahlen

18\,

Euro, Kinder

20\,

Euro"). Gerade in Teil 2 wird diese Schluss-Deutung eigens bepunktet.

Vokabeln

→ Kartei

GleichungssystemMehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
EinsetzverfahrenEine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen.
AdditionsverfahrenGleichungen so vielfachen und addieren, dass eine Variable herausfällt.
Gauß-VerfahrenSystematisches Erzeugen einer Stufenform; Standardweg bei drei und mehr Unbekannten.
eindeutig lösbarGenau ein Wertepaar erfüllt alle Gleichungen; die Geraden schneiden einander.
überbestimmtMehr Gleichungen als Unbekannte; das System hat oft keine exakte Lösung.

Determinante 2x2

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

Die Determinante der Koeffizientenmatrix eines $2\times2$ -Systems. Ist sie ungleich null, hat das System genau eine Lösung; ist sie null, hat es keine oder unendlich viele.

Musterbeispiel

Mischungssystem mit zwei Variablen

Aus 2 kg Sorte A ( $8\,\mathrm{Euro}/\mathrm{kg}$ ) und einer Menge $x$ Sorte B ( $14\,\mathrm{Euro}/\mathrm{kg}$ ) wird eine Mischung erzeugt, die zu $11\,\mathrm{Euro}/\mathrm{kg}$ verkauft werden soll. Berechne $x$ .

Kostengleichung
$\tfrac{2\cdot 8+x\cdot 14}{2+x}=11$ .
Hauptnenner
$16+14x=11(2+x)=22+11x$ .
Auflösen
$3x=6 \Rightarrow x=2\,\mathrm{kg}$ .

Ergebnis: Es werden $2\,\mathrm{kg}$ der Sorte B beigemischt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Ordne zuerst die Variablen einer realen Bedeutung zu.
2
Stelle das Gleichungssystem sauber auf und wähle ein geeignetes Lösungsverfahren.
3
Setze die Lösung am Originalsystem ein und interpretiere im Kontext.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Eintritt für einen Themenpark kostet für Erwachsene

a

Euro und für Kinder

k

Euro. Eine Familie mit 2 Erwachsenen und 3 Kindern zahlt

96\,\mathrm{Euro}

, eine andere mit 3 Erwachsenen und 5 Kindern zahlt

154\,\mathrm{Euro}

. Berechne

a

und

k

. (HUM-Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Variablenbedeutung wird vertauscht - Erwachsenen- und Kinderpreis kehren sich im Ergebnis um.
Beim Addieren der Gleichungen wird ein Vorzeichen übersehen, weil die Gleichung vorher nicht sortiert wurde.
Das Endergebnis bleibt ohne Interpretation stehen; in Teil 2 kostet das eigenständige Punkte.
Nur eine Gleichung wird zur Probe herangezogen; der Fehler steckt dann in der anderen.
Widersprüchliche Systeme werden erzwungen gelöst, statt die leere Lösungsmenge als Modellaussage zu benennen.

Aktive Wiederholung

Ein Hostel bietet zwei Zimmertypen: 4 Doppelzimmer und 3 Mehrbettzimmer beherbergen 26 Personen; 2 Doppelzimmer und 5 Mehrbettzimmer 24 Personen. Wie viele Personen sind in jedem Typ untergebracht?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Termumformungen und Formeln umstellen#

~3 Min LesezeitBasisB-2.1

Technische und ökonomische Formeln sind selten schon nach der gesuchten Größe aufgelöst: Das Volumen

V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

gibt

V

vor, gefragt ist aber oft

h

. Eine Formel umzustellen heißt, die gesuchte Variable durch Äquivalenzumformungen freizulegen, während alle anderen Größen symbolisch stehen bleiben.

Das Fundament ist dasselbe wie beim Gleichungslösen: Jede Operation wirkt auf die gesamte Seite, nicht nur auf einen Summanden. Wer „

+3

" nur an einen Teilterm hängt, zerstört die Gleichheit - der häufigste Umstellungsfehler überhaupt.

Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer Variablen ist immer zu prüfen, ob diese null sein kann; eine Division durch null ist verboten und schränkt den Definitionsbereich ein. Bei Bruchtermen sichert man vor dem Kürzen, dass kein Nenner null wird.

Die binomischen Formeln

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}

und

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

sind die Abkürzungen des Ausmultiplizierens und Faktorisierens. Entscheidend ist der gemischte Term

2ab

-

(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}

ist falsch und ein klassischer Stolperstein.

Beim Auflösen nach einer Variablen unter einer Wurzel oder einem Quadrat ist Sorgfalt nötig: Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen, Wurzelziehen verlangt das

\pm

und einen sinnvollen Definitionsbereich. In Sachkontexten wählt man danach den physikalisch sinnvollen Zweig.

In der Matura steht hier der Operator „umformen": eine gegebene Formel sauber nach der gesuchten Größe auflösen und erst dann die Zahlenwerte einsetzen. Symbolisch zuerst umzustellen ist nicht nur eleganter, sondern auch weniger fehleranfällig als das frühe Einsetzen großer Zahlen.

Vokabeln

→ Kartei

ÄquivalenzumformungUmformung, die die Lösungsmenge nicht verändert.
FreistellenAuflösen einer Formel nach einer bestimmten Größe.
binomische Formel$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$ und $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.
FaktorMultiplikativer Bestandteil eines Terms; nur Faktoren dürfen gekürzt werden.
HauptnennerKleinstes gemeinsames Vielfaches aller Nenner; Grundlage für das Zusammenfassen von Brüchen.
EinheitenprobeKontrolle einer Formel durch Mitführen und Kürzen der Einheiten.

Binomische Formeln

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2},\quad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

$a$ und $b$ stehen für beliebige Terme. Der gemischte Term $2ab$ ist der am häufigsten vergessene Bestandteil; die dritte Formel ist zugleich das Standardwerkzeug zum Faktorisieren einer Differenz von Quadraten.

Musterbeispiel

Formel nach einer Variablen umstellen

Stelle $V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ nach $h$ um und berechne $h$ für $V=314\,\mathrm{cm}^{3}$ , $r=5\,\mathrm{cm}$ .

Schritt 1 - Umstellen
Beide Seiten mit $3$ multiplizieren und durch $\pi r^{2}$ teilen: $h=\tfrac{3V}{\pi r^{2}}$ .
Schritt 2 - Einsetzen
$h=\tfrac{3\cdot 314}{\pi\cdot 25}=\tfrac{942}{78{,}54}$ .
Schritt 3 - Auswerten
$h\approx 11{,}99\,\mathrm{cm}\approx 12\,\mathrm{cm}$ .

Ergebnis: Umgestellte Formel $h=\tfrac{3V}{\pi r^{2}}$ ; konkret $h\approx 12\,\mathrm{cm}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank1 Punkte

Aufgabenstellung

Stelle die Formel

U=R\cdot I

(Ohmsches Gesetz) nach dem Widerstand

R

um. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Beim Umstellen wird nur ein Teil der Seite behandelt; aus $V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ wird dann fälschlich $h=\tfrac{3V}{\pi r}$ .
Beim Wurzelziehen fehlt das $\pm$ oder der Definitionsbereich bleibt unbeachtet.
Die binomische Formel wird verkürzt: $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ - der gemischte Term $2ab$ fehlt.
Zahlenwerte werden vor der Umstellung eingesetzt; die Rechnung wird dadurch unübersichtlich und fehleranfällig.
Ein Bruchterm wird gekürzt, obwohl im Zähler eine Summe steht - gekürzt werden dürfen nur Faktoren.

Aktive Wiederholung

Stelle die Formel für das Kegelvolumen $V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ nach der Höhe $h$ um und berechne $h$ für $V=314\,\mathrm{cm}^{3}$ und $r=5\,\mathrm{cm}$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Ungleichungen und Betragsgleichungen#

~3 Min LesezeitStandardB-2.1

Während eine Gleichung nach einem exakten Wert fragt, beschreibt eine Ungleichung einen ganzen erlaubten Bereich - „mindestens", „höchstens", „innerhalb der Toleranz". Genau solche Bedingungen treten in der Praxis ständig auf: Mindeststückzahlen für Wirtschaftlichkeit, Budgetgrenzen, zulässige Maßabweichungen.

Lineare Ungleichungen löst man wie Gleichungen, mit einer entscheidenden Zusatzregel: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Aus

-2x\leq 8

wird durch Division mit

-2

also

x\geq -4

, nicht

x\leq -4

.

Die Lösung ist deshalb kein einzelner Wert, sondern ein Intervall (oder eine Vereinigung mehrerer Intervalle). Sie wird mit korrekten Klammern angegeben - eckig für eingeschlossene, rund für ausgeschlossene Grenzen, etwa

L=[-4;\,\infty)

.

Der Betrag

|x|

misst den Abstand von null - und damit

|x-m|

den Abstand von

m

. Diese Abstandsdeutung ist der Schlüssel:

|x-50|\leq 0{,}3

heißt „alle

x

mit Abstand höchstens

0{,}3

von

50

", also das geschlossene Intervall

[49{,}7;\,50{,}3]

().

Betragsungleichung als Intervall

Abb. 5Die Bedingung

|x-50|\leq 0{,}3

beschreibt alle Werte mit Abstand höchstens

0{,}3

von

50

- das geschlossene Intervall

[49{,}7;\ 50{,}3]

.

Abb. 5 ↓

Daraus ergeben sich die beiden Grundtypen:

|x|<a

bedeutet

-a<x<a

(ein zusammenhängendes Intervall um null),

|x|>a

dagegen

x<-a

oder

x>a

(zwei getrennte äußere Bereiche). Diese beiden Fälle nicht zu vertauschen, ist hier die häufigste Fehlerquelle.

Betragsungleichungen sind damit das natürliche Werkzeug für Toleranzangaben: Eine Soll-Größe

m

mit zulässiger Abweichung

t

ist genau die Bedingung

|x-m|\leq t

. In der Matura verbindet der Operator „interpretieren" diese Lösungsmenge wieder mit dem Sachkontext - etwa dem zulässigen Maßbereich eines Werkstücks.

Vokabeln

→ Kartei

UngleichungAussage mit $<$, $\le$, $>$ oder $\ge$ statt eines Gleichheitszeichens.
BetragAbstand einer Zahl von null; stets nichtnegativ.
offenes IntervallBereich ohne seine Randpunkte, geschrieben mit runden Klammern.
abgeschlossenes IntervallBereich einschließlich seiner Randpunkte, geschrieben mit eckigen Klammern.
FallunterscheidungGetrennte Behandlung der Bereiche, in denen der Term im Betrag positiv bzw. negativ ist.
ToleranzbereichZulässiges Intervall um einen Sollwert; typische Sachdeutung einer Betragsungleichung.

Betragsungleichungen

|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a,\quad |x|>a\Leftrightarrow x<-a\;\text{oder}\;x>a

$a>0$ vorausgesetzt. $|x|<a$ beschreibt einen zusammenhängenden Bereich um null, $|x|>a$ dagegen ZWEI getrennte Bereiche - die Verwechslung dieser beiden Fälle ist der Standardfehler.

Musterbeispiel

Lineare Ungleichung mit Vorzeichenwechsel

Löse $3-2x\leq 11$ .

Schritt 1 - Isolieren
$3-2x\leq 11 \Rightarrow -2x\leq 8$ .
Schritt 2 - Durch -2 teilen
Division durch $-2$ dreht das Zeichen um: $x\geq -4$ .
Schritt 3 - Lösungsmenge
Lösungsmenge $L=[-4;\,\infty)$ .

Ergebnis: Lösungsmenge $L=[-4;\,\infty)$ .

Musterbeispiel

Toleranzgrenze als Betragsungleichung

Ein Werkstück darf vom Sollmaß $50\,\mathrm{mm}$ um höchstens $0{,}3\,\mathrm{mm}$ abweichen. Bestimme den zulässigen Bereich.

Schritt 1 - Modellieren
Bedingung $|x-50|\leq 0{,}3$ .
Schritt 2 - Auflösen
$-0{,}3\leq x-50\leq 0{,}3$ .
Schritt 3 - Intervall
$49{,}7\leq x\leq 50{,}3$ .

Ergebnis: Zulässiger Bereich $[49{,}7;\,50{,}3]\,\mathrm{mm}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Maschine ist wirtschaftlich, wenn die Stückzahl

x

die Bedingung

5x-200\geq 0

erfüllt. Bestimme die Mindeststückzahl. (HAK)

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Typische Fehler

Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert.
Bei einer Betragsgleichung wird nur eine der beiden Lösungen angegeben.
Bei $|x|>a$ wird das Intervall $-a<x<a$ notiert statt der beiden äußeren Bereiche.
Offene und geschlossene Intervallgrenzen werden vertauscht; $[\,$ und $(\,$ tragen unterschiedliche Bedeutung.
Die Lösungsmenge bleibt formal stehen, ohne im Sachkontext gedeutet zu werden.

Aktive Wiederholung

Löse die Ungleichung $3-2x\leq 11$ und gib die Lösungsmenge als Intervall an.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)