AN 3 - Integralrechnung und Anwendungen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Stammfunktionen und unbestimmtes Integral#

~3 Min LesezeitStandardAN-3.1

Die Integralrechnung dreht die Fragerichtung der Differentialrechnung um: Statt zu einer Funktion ihre Änderungsrate zu suchen, sucht man zu einer gegebenen Änderungsrate die ursprüngliche Funktion zurück. Eine Stammfunktion

F

von

f

ist genau eine Funktion, deren Ableitung wieder

f

ergibt:

F'(x)=f(x)

.

Da die Ableitung jeder Konstanten

0

ist, hat eine Funktion nicht EINE, sondern unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden. Man schreibt deshalb das unbestimmte Integral

\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C

mit der Integrationskonstante

C

- sie repräsentiert diese ganze Schar und darf nie fehlen.

Praktisch integriert man, indem man die Ableitungsregeln rückwärts liest. Aus der Potenzregel wird

\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

(für

n\neq -1

): Der Exponent wird um

1

erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt - die genaue Umkehrung des „Herunterholens" des Exponenten beim Ableiten.

Die wichtigsten Standardintegrale stehen im Formelheft:

\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C

(der Sonderfall

n=-1

, den die Potenzregel gerade nicht abdeckt),

\int \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}+C

sowie die Integrale von Sinus und Cosinus. Der Betrag im Logarithmus wird dabei leicht vergessen.

Wie das Ableiten ist auch das Integrieren linear:

\int (a\,f+b\,g)\,\mathrm{d}x=a\int f\,\mathrm{d}x+b\int g\,\mathrm{d}x

. Summen integriert man also gliedweise, und konstante Faktoren zieht man heraus - so wird jedes Polynom Term für Term integriert, ohne dass man eine eigene Regel pro Funktion bräuchte.

Integration ist die Umkehrung der Differentiation; jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt dort Stammfunktionen. Diese Umkehrbeziehung wird in der nächsten Sektion zum Hauptsatz zugespitzt, der das zunächst rein rechnerische unbestimmte Integral mit dem Flächeninhalt unter dem Graphen verknüpft.

Vokabeln

→ Kartei

StammfunktionFunktion $F$ mit $F'=f$.
unbestimmtes IntegralMenge aller Stammfunktionen, $F(x)+C$.
IntegrationskonstanteBeliebige additive Konstante $C$.
IntegrandZu integrierende Funktion.
AnfangsbedingungVorgabe, die $C$ festlegt.
Umkehrung der AbleitungIntegrieren als Rückgängigmachen des Ableitens.

Definition Stammfunktion

F'(x)=f(x)\;\Leftrightarrow\;F\;\text{ist Stammfunktion von}\;f

Integrieren ist das Umkehren des Ableitens. Deshalb ist Ableiten immer die schnellste Probe für eine gefundene Stammfunktion.

Standard-Stammfunktionen

\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq -1),\;\int\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C,\;\int \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}+C

Die drei Grundfälle. Der Fall $n=-1$ ist ausgenommen und führt auf den Logarithmus - mit Betragsstrichen.

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Musterbeispiel

Unbestimmtes Integral eines Polynoms

Bestimme $\int (3x^{2}-4x+5)\,\mathrm{d}x$ .

Gliedweise
Die Linearität erlaubt es, jeden Summanden einzeln zu integrieren.
Potenzregel
$\int 3x^{2}\,\mathrm{d}x=x^{3}$ , $\int(-4x)\,\mathrm{d}x=-2x^{2}$ , $\int 5\,\mathrm{d}x=5x$ .
Konstante
Die Integrationskonstante $C$ ergänzen.
Probe
Ableiten von $x^{3}-2x^{2}+5x+C$ ergibt wieder $3x^{2}-4x+5$ .

Ergebnis: $\int (3x^{2}-4x+5)\,\mathrm{d}x=x^{3}-2x^{2}+5x+C$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder die Ausgangsfunktion ist.
2
Vergiss die Integrationskonstante nicht - sie repräsentiert eine unendlich große Schar.
3
Standardintegrale stehen im Formelheft und sollten dir geläufig sein.

Typische Fehler

Die Konstante $C$ fehlt.
$\int x^{-1}\,\mathrm{d}x$ wird nach der Potenzregel behandelt.
Die Betragsstriche beim Logarithmus entfallen.
Beim inneren linearen Term fehlt der Faktor $\tfrac{1}{a}$ .
Die Probe durch Ableiten unterbleibt.

Aktive Wiederholung

Bestimme $\int (3x^{2}-4x+5)\,\mathrm{d}x$ .

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Quellen: BMBWF Formelheft Stammfunktionen (BMBWF)

Bestimmtes Integral und Hauptsatz#

~3 Min LesezeitStandardAN-3.2

Das bestimmte Integral

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x

beantwortet eine geometrische Frage: Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen und der

x

-Achse über dem Intervall

[a,\,b]

()? Es entsteht als Grenzwert immer feinerer Rechteckssummen (Riemann-Summen), die diese Fläche von innen und außen annähern.

Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

Abb. 1Fläche zwischen Graph von f und x-Achse zwischen a und b.

Abb. 1 ↓

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung schlägt die Brücke zwischen Fläche und Stammfunktion: Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

. Damit wird die Flächenberechnung zur simplen Differenz zweier Stammfunktionswerte - eines der schönsten und folgenreichsten Resultate der Schulmathematik.

Das Integral misst eine ORIENTIERTE Fläche: Flächenstücke oberhalb der

x

-Achse zählen positiv, Stücke unterhalb negativ. Will man den geometrischen Flächeninhalt (stets positiv), muss man bei Vorzeichenwechseln an den Nullstellen das Intervall aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren.

Die Fläche zwischen zwei Graphen ergibt sich als Integral der Differenz:

A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x

, sofern

f\geq g

im Intervall gilt. Im Integranden steht stets „obere minus untere Funktion", damit der Wert positiv bleibt; die Grenzen sind die Schnittstellen der beiden Kurven.

Für

\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,\mathrm{d}x

etwa ist

F(x)=4x-\tfrac{x^{3}}{3}

eine Stammfunktion, und der Hauptsatz liefert

F(2)-F(-2)=\tfrac{16}{3}-\left(-\tfrac{16}{3}\right)=\tfrac{32}{3}

. Da die Parabel hier ganz oberhalb der Achse liegt, ist dieser Wert zugleich der echte Flächeninhalt.

Bei abschnittsweise definierten Funktionen oder mehreren Nullstellen integriert man über jedes Teilstück getrennt. Damit ist das bestimmte Integral das universelle Werkzeug zur Flächenberechnung - und zugleich, wie die nächste Sektion zeigt, zur Berechnung von Gesamtänderungen, Mittelwerten und Volumina.

Vokabeln

→ Kartei

bestimmtes IntegralZahl $F(b)-F(a)$.
HauptsatzVerbindet Ableiten und Integrieren.
orientierter FlächeninhaltFlächeninhalt mit Vorzeichen.
IntegrationsgrenzenUntere und obere Grenze $a$ und $b$.
Integralfunktion$x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$.
VertauschungsregelTausch der Grenzen dreht das Vorzeichen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)

Verbindet Ableiten und Integrieren und macht das Integral über eine Stammfunktion berechenbar. Die Reihenfolge $F(b)-F(a)$ ist verbindlich.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Fläche zwischen Parabel und x-Achse

Bestimme die Fläche zwischen $f(x)=4-x^{2}$ und der $x$ -Achse.

Nullstellen
$4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm 2$ .
Integral
$A=\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,\mathrm{d}x=\left[4x-\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}$ .
Auswerten
$=\left(8-\tfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\tfrac{8}{3}\right)=16-\tfrac{16}{3}=\tfrac{32}{3}$ .

Ergebnis: Fläche $A=\tfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das bestimmte Integral misst Flächen mit Vorzeichen.
Bestimmtes Integral als orientierte Fläche
Abb.Fläche zwischen Graph von f und x-Achse zwischen a und b.
2
Mit dem Hauptsatz wird das Integral zur Differenz der Stammfunktion an den Grenzen.
3
Bei Flächen zwischen zwei Graphen subtrahierst du den unteren Graphen vom oberen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Berechne den Flächeninhalt zwischen

f(x)=x^{2}+1

und

g(x)=2x+1

auf dem Intervall, in dem

g

größer oder gleich

f

ist.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Integral und Flächeninhalt werden gleichgesetzt, obwohl Nullstellen im Intervall liegen.
Die Grenzen werden vertauscht, ohne das Vorzeichen zu drehen.
$F(a)-F(b)$ wird statt $F(b)-F(a)$ gerechnet.
Die Integrationskonstante wird beim bestimmten Integral mitgeschleppt.
Die Einheit des Integrals fehlt.

Aktive Wiederholung

Berechne $\int_{0}^{2}(x^{3}-2x)\,\mathrm{d}x$ und interpretiere das Ergebnis.

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Quellen: IQS Hauptsatz (IQS)

Anwendungen: Gesamtänderung, Volumen, Mittelwert#

~3 Min LesezeitStandardAN-3.3

Der Hauptsatz hat eine inhaltliche Lesart, die über Flächen hinausgeht: Integriert man eine Änderungsrate, so erhält man die Gesamtänderung. Ist nämlich

N'(t)

die Rate, dann gilt

\int_{a}^{b} N'(t)\,\mathrm{d}t=N(b)-N(a)

- genau die über das Intervall aufgesammelte Änderung des Bestands.

In der Physik ist daher der zurückgelegte Weg das Integral der Geschwindigkeit:

s(t_{2})-s(t_{1})=\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,\mathrm{d}t

. Ebenso wird aus einer Förderrate

r(t)

(etwa in Liter pro Minute) durch Integration die geförderte Gesamtmenge - die Rate wird über die Zeit „aufsummiert".

Der Mittelwert einer Funktion über

[a,\,b]

ist

\bar f=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x

: Das Integral (die Fläche) wird gleichmäßig auf die Intervallbreite verteilt und ergibt so die „durchschnittliche Höhe" des Graphen - etwa die mittlere Temperatur oder mittlere Geschwindigkeit über einen Zeitraum.

Rotiert die Fläche unter

f

um die

x

-Achse, entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen

V=\pi\int_{a}^{b} \left(f(x)\right)^{2}\,\mathrm{d}x

(Erweiterungswissen): Jede Querschnittsscheibe ist ein Kreis mit Radius

f(x)

und Fläche

\pi f(x)^{2}

, die man über das Intervall aufintegriert.

In der Wirtschaft sind Konsumenten- und Produzentenrente Integrale über die Nachfrage- bzw. Angebotsfunktion. In allen Anwendungen ist die EINHEIT entscheidend: Integriert man eine Rate in

\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{s}}

über Sekunden, kommen

\mathrm{m}^{3}

heraus - stets die Einheit des Integranden mal der Einheit der Integrationsvariablen.

Der häufigste Denkfehler ist, Bestand und Änderung zu verwechseln: Das Integral der Rate liefert die ÄNDERUNG des Bestands, nicht den Bestand selbst - für diesen braucht man zusätzlich den Anfangswert. Wo keine elementare Stammfunktion existiert, hilft die numerische Integration der nächsten Sektion.

Vokabeln

→ Kartei

GesamtänderungIntegral über die Änderungsrate.
BestandsfunktionFunktion, deren Ableitung die Rate ist.
Mittelwert einer FunktionIntegral geteilt durch die Intervalllänge.
RotationskörperKörper aus Drehung einer Kurve um eine Achse.
AnfangsbestandWert zu Beginn des betrachteten Zeitraums.
RatenfunktionFunktion, die eine Änderung je Zeiteinheit angibt.

Mittelwert einer Funktion auf [a,b]

\bar{f}=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

Das Integral wird auf die Intervalllänge bezogen. Ohne diese Division erhält man die Gesamtmenge statt des Mittelwerts.

Rotationsvolumen

V=\pi\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}\,\mathrm{d}x

Jede Querschnittsfläche ist ein Kreis mit Radius $f(x)$ . Daher wird die Funktion quadriert und mit $\pi$ multipliziert.

Musterbeispiel

Gesamtmenge aus Änderungsrate

Pumpenrate $r(t)=20-2t$ Liter/min; Wassermenge zwischen $2$ und $8$ Minuten?

Integral
$Q=\int_{2}^{8}(20-2t)\,\mathrm{d}t=\left[20t-t^{2}\right]_{2}^{8}$ .
Auswertung
$=(160-64)-(40-4)=96-36=60$ Liter.

Ergebnis: Es fließen $60$ Liter zwischen Minute $2$ und Minute $8$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wenn du die Änderungsrate hast, liefert das Integral die Gesamtänderung.
2
In der Physik baut sich aus Geschwindigkeit der Weg auf, in der Wirtschaft aus Änderungsraten der Bestand.
3
Mittelwerte und Volumina entstehen ebenfalls aus Integralen - in jedem Fall Einheiten mitschreiben.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Zuflussrate in einem Stausee beträgt

f(t)=12\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}t\right)+15

(

t

in Stunden,

f

in m

^{3}

/s). Berechne die Gesamtwassermenge, die zwischen

t=0

und

t=24

in den See fließt.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Gesamtänderung wird mit dem Endbestand gleichgesetzt.
Beim Rotationsvolumen wird die Funktion nicht quadriert.
Der Faktor $\pi$ fehlt.
Der Mittelwert wird nicht durch die Intervalllänge dividiert.
Bestands- und Ratenfunktion werden vertauscht.

Aktive Wiederholung

Eine Pumpe fördert mit der Rate $r(t)=20-2t$ Liter pro Minute (Zeit in Minuten). Wie viel Wasser fließt zwischen $t=2$ und $t=8$ Minuten?

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Quellen: Mathago Integralrechnung Anwendungen (Mathago)

Numerische Integration und Sachkontext#

~3 Min LesezeitVertiefungAN-3.2AN-3.3

Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion in geschlossener Form - das berühmteste Beispiel ist

\mathrm{e}^{-x^{2}}

aus der Statistik. Dann lässt sich der Hauptsatz nicht direkt anwenden, und man nähert das bestimmte Integral numerisch an, indem man viele kleine Flächenstücke aufsummiert.

Die einfachste Idee sind Rechtecke (Riemann-Summen); genauer ist die Trapezregel, die je zwei benachbarte Stützstellen durch ein Trapez statt ein Rechteck verbindet:

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x\approx \dfrac{h}{2}\left(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})+f(x_{n})\right)

mit der Schrittweite

h=\tfrac{b-a}{n}

.

Die Struktur der Formel ist einprägsam: Die beiden Randwerte zählen einfach, alle inneren Stützstellen doppelt, und alles wird mit

\tfrac{h}{2}

gewichtet. Den Faktor

\tfrac{h}{2}

zu vergessen ist der klassische Fehler bei dieser Regel.

Die Genauigkeit wächst mit der Anzahl

n

der Teilintervalle: Je feiner die Unterteilung, desto besser schmiegen sich die Trapeze an die Kurve. Bei einer linksgekrümmten (konvexen) Funktion überschätzt die Trapezregel das Integral leicht, bei einer rechtsgekrümmten unterschätzt sie es - die Krümmung steuert die Richtung des Fehlers.

Die Trapezregel ist auch das Standardwerkzeug, wenn nur eine Wertetabelle (etwa Messwerte) statt einer Formel vorliegt. Voraussetzung sind möglichst gleichmäßige Stützstellen; bei ungleichen Abständen muss jedes Trapez einzeln berechnet werden.

Ein numerisches Ergebnis ist eine NÄHERUNG und muss ehrlich als „ungefähr" gekennzeichnet werden - niemals als „exakter" Wert. In der Matura sind die Wahl und die Begründung des Verfahrens punkterelevant. Damit schließt sich der Werkzeugkasten der Integralrechnung: exakt über Stammfunktionen, numerisch dort, wo das nicht möglich ist.

Vokabeln

→ Kartei

UntersummeNäherung von unten über Rechtecke.
ObersummeNäherung von oben über Rechtecke.
TrapezregelNäherung mit Trapezen statt Rechtecken.
Streifenbreite$h=\tfrac{b-a}{n}$.
Riemann-SummeSumme von Rechteckflächen als Integralnäherung.
NäherungsfehlerAbweichung zwischen Näherung und exaktem Wert.

Trapezregel

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \dfrac{h}{2}\left(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right)

Nähert die Fläche durch Trapeze statt Rechtecke. Die inneren Stützstellen zählen doppelt, die Randwerte einfach.

Musterbeispiel

Trapezregel mit n = 4

Nähere $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x$ mit der Trapezregel ( $n=4$ ).

Schrittweite
$h=\dfrac{1-0}{4}=0{,}25$ ; Stützstellen $0;\;0{,}25;\;0{,}5;\;0{,}75;\;1$ .
Funktionswerte
$f(0)=1$ , $f(0{,}25)\approx 0{,}9394$ , $f(0{,}5)\approx 0{,}7788$ , $f(0{,}75)\approx 0{,}5698$ , $f(1)\approx 0{,}3679$ .
Trapezformel
$\dfrac{0{,}25}{2}\big(1+2(0{,}9394+0{,}7788+0{,}5698)+0{,}3679\big)$ .
Auswerten
$=0{,}125\cdot(1{,}3679+2\cdot 2{,}288)=0{,}125\cdot 5{,}944\approx 0{,}743$ .

Ergebnis: $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x\approx 0{,}743$ (Näherung; der exakte Wert ist $\approx 0{,}7468$ ).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wenn die Stammfunktion nicht elementar ist, hilft die numerische Integration.
2
Mit der Trapezregel mittelst du den Funktionswert über jedes Teilintervall.
3
Dokumentiere immer die Schrittweite und kennzeichne das Ergebnis als Näherung.

Typische Fehler

Ein Näherungswert wird als exakter Wert ausgegeben.
Unter- und Obersumme werden vertauscht.
Bei der Trapezregel werden die Randwerte doppelt gezählt.
Die Streifenbreite wird falsch als $\tfrac{b-a}{n+1}$ berechnet.
Es wird nicht angegeben, welches Verfahren verwendet wurde.

Aktive Wiederholung

Nähere $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x$ mit der Trapezregel ( $n=4$ ).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Numerische Integration (IQS)

Integrationsregeln und elementare Substitution#

~2 Min LesezeitStandardAN-4.2

Wie beim Ableiten gibt es auch beim Integrieren elementare Regeln, die das Zerlegen komplizierterer Integrale erlauben - allerdings deutlich weniger mächtige, denn nicht jede Funktion lässt sich elementar integrieren. Die drei Grundregeln und die lineare Substitution decken aber den maturarelevanten Bereich vollständig ab.

Die Faktorregel erlaubt das Herausziehen konstanter Faktoren vor das Integral:

\int c\cdot f(x)\,\mathrm{d}x=c\int f(x)\,\mathrm{d}x

. Ein konstanter Vorfaktor stört die Integration also nicht und bleibt unverändert erhalten.

Die Summenregel integriert Summen gliedweise:

\int (f+g)\,\mathrm{d}x=\int f\,\mathrm{d}x+\int g\,\mathrm{d}x

. Zusammen mit der Faktorregel und der Potenzregel

\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

(für

n\neq -1

) ist damit jedes Polynom Term für Term integrierbar.

Steht im Inneren eine LINEARE Funktion - etwa

\mathrm{e}^{2x}

oder

\sin(3x+1)

-, gilt die lineare Substitution:

\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C

. Man integriert „wie gewohnt" und teilt zum Ausgleich durch den inneren Faktor

a

- das Gegenstück zur Kettenregel des Ableitens.

Für

\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x

etwa ist die innere Funktion

2x

linear mit

a=2

; da die Stammfunktion von

\mathrm{e}^{u}

wieder

\mathrm{e}^{u}

ist, kommt der Faktor

\tfrac{1}{2}

hinzu:

\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C

. Diesen Faktor

\tfrac{1}{a}

zu vergessen ist der Standardfehler.

Bei unbestimmten Integralen darf die Integrationskonstante

C

nie fehlen; bei bestimmten Integralen entfällt sie, weil sie sich in der Differenz

F(b)-F(a)

weghebt. Achtung auch beim Sonderfall

n=-1

: Dort greift nicht die Potenzregel, sondern

\int \tfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C

. Mit diesen Regeln sind alle Standardintegrale der Matura beherrschbar.

Vokabeln

→ Kartei

LinearitätSummen und konstante Faktoren dürfen getrennt behandelt werden.
lineare SubstitutionSonderfall mit innerem Term $ax+b$.
SubstitutionErsetzen des Integranden durch eine neue Variable.
logarithmische Integration$\int\tfrac{f'}{f}\,\mathrm{d}x=\ln|f|+C$.
IntegrandZu integrierende Funktion.
GrenzenanpassungUmrechnen der Grenzen bei der Substitution.

Lineare Substitution

\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C

Bei einem inneren Term $ax+b$ genügt der Korrekturfaktor $\tfrac{1}{a}$ . Er ist der Ausgleich für die innere Ableitung.

Musterbeispiel

Lineare Substitution

Berechne $\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$ .

Innere Funktion
Die innere Funktion $2x$ ist linear mit Faktor $a=2$ .
Stammfunktion
Die Stammfunktion von $\mathrm{e}^{u}$ ist $\mathrm{e}^{u}$ ; daher Faktor $\tfrac{1}{2}$ .
Ergebnis
$\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C$ .

Ergebnis: $\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Konstante Faktoren ziehst du vor das Integral, Summen integrierst du gliedweise.
2
Die Potenzregel erhöht den Exponenten um eins und teilt durch den neuen Exponenten.
3
Bei einer linearen inneren Funktion ergänzt du den Kehrwert ihres Faktors.

Typische Fehler

Ein Produkt wird faktorweise integriert.
Der Faktor $\tfrac{1}{a}$ der linearen Substitution fehlt.
Ein Bruch wird gliedweise im NENNER zerlegt.
Die Substitution wird begonnen, aber $\mathrm{d}x$ nicht ersetzt.
Nach der Substitution werden die Grenzen nicht angepasst.

Aktive Wiederholung

Bestimme $\int (3x^{2}-2x+5)\,\mathrm{d}x$ und $\int \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Integralrechnung AHS (IQS)

Fläche zwischen zwei Kurven#

~3 Min LesezeitVertiefungAN-4.3

Häufig ist nicht die Fläche unter einer einzelnen Kurve gefragt, sondern die zwischen ZWEI Kurven eingeschlossene Fläche - etwa zwischen einer Parabel und einer Geraden (). Sie ergibt sich als Integral der Differenz beider Funktionen über ihr gemeinsames Intervall.

Fläche zwischen f(x) = x² und g(x) = x

Abb. 2Die eingeschlossene Fläche ist das Integral der Differenz „obere minus untere Funktion":

A=\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{6}

.

Abb. 2 ↓

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der beiden Kurven, bestimmt aus der Gleichung

f(x)=g(x)

. Erst die Schnittstellen legen fest, über welches Intervall überhaupt integriert wird - sie zu berechnen ist daher immer der erste Schritt.

Im Integranden steht stets „obere minus untere Funktion":

A=\int_{a}^{b} \big(f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x)\big)\,\mathrm{d}x

. So bleibt der Flächeninhalt automatisch positiv. Eine kurze Skizze oder ein eingesetzter Testwert klärt zuverlässig, welche der beiden Funktionen im Intervall oben liegt.

Wechseln die Kurven innerhalb des Bereichs ihre Lage - schneiden sie sich also mehrfach -, muss das Intervall an jeder Schnittstelle geteilt und über jedes Teilstück mit der dort oberen Funktion integriert werden. Sonst heben sich positive und negative Beiträge fälschlich gegenseitig auf.

Zwischen

g(x)=x

und

f(x)=x^{2}

etwa schneiden sich die Graphen bei

x=0

und

x=1

; im Intervall

[0,\,1]

liegt

g

über

f

. Damit ist

A=\int_{0}^{1} (x-x^{2})\,\mathrm{d}x=\left[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}

().

Der Ansatz „obere minus untere" funktioniert sogar dann, wenn Teile der Fläche unterhalb der

x

-Achse liegen - die Differenz misst direkt den vertikalen Abstand der Kurven, unabhängig von ihrer Höhe über der Achse. Damit ist die Flächenberechnung zwischen Kurven die allgemeinste Form des Flächenproblems und ein häufiger Abschluss der Integral-Maturaaufgaben.

Vokabeln

→ Kartei

SchnittstelleArgument mit $f(x)=g(x)$.
Differenzfunktion$f-g$; ihr Integral liefert die Fläche.
TeilintervallAbschnitt zwischen zwei Schnittstellen.
orientierte FlächeFläche mit Vorzeichen.
FlächeninhaltStets nichtnegativer Betrag der Fläche.
IntegrationsgrenzeUntere oder obere Grenze des Integrals.

Fläche zwischen zwei Kurven

A=\int_{a}^{b}\big(f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x)\big)\,\mathrm{d}x

Integriert wird die Differenz „obere minus untere Funktion". Wechselt die Lage, muss an den Schnittstellen zerlegt werden.

Musterbeispiel

Fläche zwischen Parabel und Gerade

Berechne die Fläche zwischen $g(x)=x$ und $f(x)=x^{2}$ .

Schnittstellen
$x^{2}=x\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0$ und $x=1$ .
Obere Funktion
Im Intervall $[0,\,1]$ liegt $g(x)=x$ über $f(x)=x^{2}$ .
Integral
$A=\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,\mathrm{d}x=\left[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}$ .

Ergebnis: Die eingeschlossene Fläche beträgt $\tfrac{1}{6}$ Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Fläche zwischen zwei Kurven ist das Integral ihrer Differenz.
2
Die Grenzen sind die Schnittstellen, die du aus dem Gleichsetzen gewinnst.
3
Setze stets die obere minus die untere Funktion ein, damit der Flächeninhalt positiv wird.

Typische Fehler

Die Schnittstellen werden nicht berechnet.
Es wird immer $f-g$ integriert, auch wenn $g$ oben liegt.
Bei mehreren Schnittstellen wird nicht zerlegt.
Ein negatives Ergebnis wird als Flächeninhalt angegeben.
Die Skizze fehlt; die Lage der Kurven wird geraten.

Aktive Wiederholung

Bestimme die Fläche zwischen $f(x)=x^{2}$ und $g(x)=x$ im Bereich der Schnittstellen.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Integralrechnung (Mathago)