WS 1 - Beschreibende Statistik — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Datenarten und Skalenniveau#

~4 Min LesezeitBasisWS-1.1

Bevor man eine einzige Kennzahl berechnet oder ein Diagramm zeichnet, ist eine Vorfrage zu klären: Welche Art von Zahlen liegt überhaupt vor? Das Skalenniveau (auch Messniveau genannt) ordnet jedes Merkmal danach ein, welche Rechenoperationen mit seinen Werten sinnvoll sind. Es gibt vier Stufen, die wie Treppenstufen aufeinander aufbauen - von der gröbsten zur feinsten: Nominal-, Ordinal-, Intervall- und Verhältnisskala. Jede höhere Stufe erlaubt alles, was die darunterliegende erlaubt, und zusätzlich mehr.

Auf der Nominalskala sind die Daten nur unterscheidbar, eine Reihenfolge gibt es nicht. Die Werte sind reine Etiketten oder Kategorien, etwa Geschlecht, Augenfarbe oder Lieblingsfarbe. Man kann hier ausschließlich auszählen, wie oft jede Kategorie vorkommt; als Lagemaß ist allein der Modus (der häufigste Wert) sinnvoll. Codiert man Kategorien mit Zahlen (etwa

1

für rot,

2

für blau), bleiben es dennoch Namen - mit ihnen zu rechnen wäre sinnlos.

Die Ordinalskala fügt eine sinnvolle Reihenfolge hinzu, doch die Abstände zwischen den Werten sind nicht interpretierbar. Schulnoten sind das Standardbeispiel: Eine

1

ist besser als eine

2

, aber der „Unterschied" zwischen

1

und

2

ist nicht zwingend genauso groß wie der zwischen

4

und

5

. Man darf ordinale Daten ordnen und daher den Median bilden, nicht aber sinnvoll addieren oder mitteln.

Die Intervallskala macht zusätzlich die Abstände sinnvoll und gleich groß, besitzt aber keinen natürlichen Nullpunkt. Das klassische Beispiel ist die Temperatur in Grad Celsius: Die Erwärmung von

10

auf

20

Grad ist genauso groß wie die von

20

auf

30

Grad, doch

20

Grad sind nicht „doppelt so warm" wie

10

Grad, weil der Nullpunkt willkürlich festgelegt ist. Ab dieser Stufe ist das arithmetische Mittel zulässig, Verhältnisse jedoch noch nicht.

Die Verhältnisskala besitzt darüber hinaus einen natürlichen, absoluten Nullpunkt, sodass auch Verhältnisse interpretierbar werden. Gewicht, Länge, Alter oder Geldbeträge gehören hierher:

6\,\text{kg}

sind tatsächlich doppelt so viel wie

3\,\text{kg}

, denn

0\,\text{kg}

bedeutet „nichts". Auf dieser höchsten Stufe sind alle Kennzahlen erlaubt, vom Modus über den Median bis zum arithmetischen und geometrischen Mittel.

Das Skalenniveau bestimmt also, welche Kennzahlen und Diagramme sinnvoll sind: Der Median darf ab der Ordinalskala verwendet werden, das arithmetische Mittel hingegen erst ab der Intervallskala. Daher in jeder Aufgabe zuerst die Skala bestimmen und dann die passende Methode wählen. Der im Alltag übliche Notendurchschnitt mittelt streng genommen ordinale Daten und ist statistisch deshalb fragwürdig - ein gutes Beispiel dafür, warum die Vorfrage nach dem Skalenniveau nicht übersprungen werden darf.

Vokabeln

→ Kartei

MerkmalUntersuchte Eigenschaft der Merkmalsträger.
NominalskalaNur Gleichheit unterscheidbar, keine Rangfolge.
OrdinalskalaRangfolge, aber keine gleichen Abstände.
IntervallskalaGleiche Abstände, kein natürlicher Nullpunkt.
GrundgesamtheitMenge aller betrachteten Merkmalsträger.
StichprobeTeilmenge der Grundgesamtheit.

Musterbeispiel

Skalenniveau bestimmen und Lagemaß wählen

Bei einer Umfrage werden vier Merkmale erhoben: Lieblingsfarbe, Schulnote, Temperatur in Grad Celsius und Körpergröße in cm. Ordne jedes Merkmal seinem Skalenniveau zu und gib jeweils ein zulässiges Lagemaß an.

Lieblingsfarbe
Nur unterscheidbar, keine Reihenfolge - nominalskaliert. Zulässig ist allein der Modus.
Schulnote
Rangordnung sinnvoll, Abstände aber nicht gleich groß - ordinalskaliert. Zulässig ist der Median (und der Modus).
Temperatur
Abstände sinnvoll, aber kein natürlicher Nullpunkt - intervallskaliert. Das arithmetische Mittel ist zulässig, Verhältnisse jedoch nicht: $20$ Grad Celsius ist nicht doppelt so warm wie $10$ Grad Celsius.
Körpergröße
Natürlicher Nullpunkt, Verhältnisse sinnvoll - verhältnisskaliert. Alle Lagemaße sind zulässig.

Ergebnis: Nominal (Modus), ordinal (Median), intervall (arithmetisches Mittel), verhältnis (alle Lagemaße).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Skalenniveau entscheidet über sinnvolle Kennzahlen.
2
Mittelwert braucht mindestens eine Intervallskala.
3
Bei Ordinalskala bleib beim Median und der Spannweite.

Typische Fehler

Aus Schulnoten wird bedenkenlos ein arithmetisches Mittel gebildet.
Nominal und ordinal werden verwechselt.
Diskret und stetig werden vertauscht.
Grundgesamtheit und Stichprobe werden gleichgesetzt.
Die Skala wird gar nicht angegeben.

Aktive Wiederholung

Klassifiziere folgende Datenarten nach Skalenniveau: Schuhgröße, Schulnote, Körpergewicht, Augenfarbe.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Skalenniveaus (IQS)

Lage- und Streumaße#

~4 Min LesezeitStandardWS-1.3WS-1.4

Säulendiagramm Notenverteilung

Abb. 2Häufigkeit der Noten 1 bis 5 in einer Klasse.

Eine vollständige Datenreihe ist unübersichtlich; das Ziel der beschreibenden Statistik ist daher, sie auf wenige aussagekräftige Kennzahlen zu verdichten. Dabei stellt man zwei Grundfragen: Wo liegt die Mitte der Daten? - das beantworten die Lagemaße. Und wie stark schwanken die Werte um diese Mitte? - das messen die Streumaße. Beide zusammen geben ein erstes verlässliches Bild der Verteilung.

Das wichtigste Lagemaß ist das arithmetische Mittel

\bar{x}=\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}

, der „Schwerpunkt" der Daten. Es nutzt jeden einzelnen Wert, reagiert aber gerade deshalb empfindlich auf Ausreißer: Ein einziger extremer Wert zieht es spürbar weg. Der Median, der mittlere Wert der geordneten Reihe, ist dagegen robust - er bleibt stabil, selbst wenn ein Randwert stark wächst. Der Modus schließlich ist der häufigste Wert und bei nominalen Daten oft die einzige sinnvolle Kennzahl.

Der Unterschied wird an einem Mini-Beispiel deutlich: Bei den Monatslöhnen

2,\,2,\,2,\,2,\,90

(in Tausend Euro) ist das arithmetische Mittel

\bar{x}=19{,}6

, der Median jedoch nur

2

. Hier beschreibt der Median die „typische" Lage weit besser, weil der eine Spitzenwert das Mittel verzerrt. Daraus folgt die Faustregel: Bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern ist der Median dem Mittelwert vorzuziehen.

Bei den Streumaßen ist die Spannweite

R=x_{\max}-x_{\min}

die einfachste Kennzahl - anschaulich, aber unrobust, da sie nur von den beiden Extremwerten abhängt. Aussagekräftiger sind die empirische Varianz und ihre Wurzel, die Standardabweichung

s=\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}

: Sie messen die mittlere Abweichung der Werte vom Mittelwert. Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten und ist daher unmittelbar interpretierbar.

Bei einer Stichprobe steht im Nenner

n-1

statt

n

- diese Bessel-Korrektur sorgt dafür, dass

s

die Streuung der zugrunde liegenden Grundgesamtheit nicht systematisch unterschätzt. Inhaltlich gilt: Je größer

s

, desto breiter streuen die Daten um ihren Mittelwert. Zwei häufige Fehler lauern hier - die Standardabweichung mit der Varianz (ihrem Quadrat) zu verwechseln und versehentlich mit

n

statt

n-1

zu rechnen.

Auch der Interquartilsabstand

IQR=Q_{3}-Q_{1}

ist ein Streumaß; er umfasst die mittleren

50\,\%

der Daten und ist - wie der Median - robust gegen Ausreißer. Als Entscheidungsregel: Bei symmetrischen Verteilungen ohne Ausreißer passen Mittelwert und Standardabweichung, bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern besser Median und IQR. Diese robusten Maße werden im Boxplot () unmittelbar sichtbar und im Abschnitt zu den Quartilen vertieft.

Boxplot - Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Abb. 1Datenreihe

3,\,5,\,7,\,8,\,12,\,14,\,19

: Min 3,

Q_1

5, Median 8,

Q_3

14, Max 19; die Box zeigt die mittleren 50 % (IQR = 9).

Abb. 1 ↓

Vokabeln

→ Kartei

arithmetisches MittelSumme der Werte geteilt durch ihre Anzahl.
MedianMittlerer Wert der sortierten Reihe.
ModusHäufigster Wert.
VarianzMittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert.
StandardabweichungWurzel der Varianz; Einheit der Daten.
SpannweiteDifferenz aus größtem und kleinstem Wert.

Arithmetisches Mittel

\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}

Summe geteilt durch Anzahl. Es reagiert empfindlich auf Ausreißer - dort ist der Median die ehrlichere Kennzahl.

Empirische Standardabweichung (Stichprobe, n-1 im Nenner)

s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}

Die mittlere Abweichung vom Mittelwert in der Einheit der Daten. Der Nenner $n-1$ gilt für Stichproben, $n$ für die Grundgesamtheit.

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Musterbeispiel

Boxplot für kleinen Datensatz

Datensatz $4,\,6,\,7,\,7,\,8,\,10,\,12,\,12,\,15$ . Bestimme Min, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Max.

Sortieren
Bereits sortiert; $n=9$ .
Median
Mittlerer Wert (Index 5): $8$ .
Quartile
$Q_{1}=\tfrac{6+7}{2}=6{,}5$ (untere Hälfte: $4,\,6,\,7,\,7$ ). $Q_{3}=\tfrac{12+12}{2}=12$ (obere Hälfte: $10,\,12,\,12,\,15$ ).
IQR
$IQR=12-6{,}5=5{,}5$ .

Ergebnis: 5-Punkte-Zusammenfassung: $(4, 6{,}5, 8, 12, 15)$ ; $IQR=5{,}5$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Lagemaße bringen die Daten auf eine Zahl - die Wahl hängt vom Skalenniveau ab.
2
Streumaße zeigen, wie stark die Daten um die Mitte schwanken.
Boxplot - Fünf-Punkte-Zusammenfassung
Abb.Datenreihe $3,\,5,\,7,\,8,\,12,\,14,\,19$ : Min 3, $Q_1$ 5, Median 8, $Q_3$ 14, Max 19; die Box zeigt die mittleren 50 % (IQR = 9).
3
Bei verzerrten Verteilungen sind Median und IQR robuster als Mittelwert und Standardabweichung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Boxplot zeigt Min

=12

,

Q_{1}=18

, Median

=22

,

Q_{3}=28

, Max

=35

. Bestimme IQR und beurteile, ob der Datensatz symmetrisch ist.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Varianz wird mit der Einheit der Daten angegeben; sie trägt deren Quadrat.
Der Median wird ohne vorheriges Sortieren bestimmt.
Die Nenner $n$ und $n-1$ werden vertauscht.
Das arithmetische Mittel wird trotz starker Ausreißer verwendet.
Lage- und Streumaß werden vermengt.

Aktive Wiederholung

Datensatz: $5,\,7,\,7,\,8,\,12,\,15,\,20$ . Berechne Median, IQR und Standardabweichung.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Lage- und Streumaße (IQS)

Diagrammtypen und Visualisierung#

~3 Min LesezeitStandardWS-1.1WS-1.2

Ein gut gewähltes Diagramm macht eine ganze Verteilung auf einen Blick lesbar - aber nur das richtige Diagramm zum jeweiligen Datentyp. Die Wahl des Diagrammtyps richtet sich nach dem Skalenniveau der Daten und nach der Frage, die man beantworten möchte. Ein unpassender Typ kann eine Aussage verschleiern oder sogar verfälschen.

Für nominale oder ordinale (kategoriale) Daten eignen sich Balken- und Säulendiagramme, bei denen die Höhe jeder Säule die Häufigkeit einer Kategorie angibt (). Das Kreisdiagramm zeigt stattdessen die Anteile am Ganzen und ist nur sinnvoll, wenn sich diese Anteile zu

100\,\%

ergänzen - für eine zeitliche Entwicklung (Zeitreihe) ist es dagegen ungeeignet.

Säulendiagramm Notenverteilung

Abb. 3Häufigkeit der Noten 1 bis 5 in einer Klasse.

Abb. 3 ↓

Quantitative (metrische) Daten stellt man im Histogramm dar: Die Werte werden zunächst in Klassen (Intervalle) zusammengefasst, und die Balken stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Skala stetig ist. Die Klassenbreite muss begründet gewählt werden - zu grob verwischt sie die Struktur, zu fein lässt sie die Verteilung zerfasern. Bei ungleichen Klassenbreiten zählt die Fläche und nicht die Höhe als Häufigkeit (Häufigkeitsdichte).

Der Boxplot fasst eine Verteilung über die Fünf-Punkte-Zusammenfassung (Minimum,

Q_{1}

, Median,

Q_{3}

, Maximum) zusammen. Seine Stärke ist der kompakte Vergleich: Mehrere Boxplots nebeneinander zeigen sofort, welche Gruppe höher liegt oder stärker streut. Die Box umfasst die mittleren

50\,\%

, die Whisker reichen zu den Extremwerten, und die Lage des Medianstrichs verrät die Schiefe der Verteilung.

Das Streudiagramm trägt zwei metrische Merkmale gegeneinander auf - jeder Punkt steht für ein Objekt mit seinem

x

- und seinem

y

-Wert. Eine von links unten nach rechts oben ansteigende Punktwolke deutet auf einen positiven Zusammenhang hin. Das Streudiagramm ist die unverzichtbare Grundlage jeder Korrelations- und Regressionsbetrachtung und sollte stets vor deren Berechnung gezeichnet werden (siehe nächster Abschnitt).

Schließlich gilt: Diagramme können täuschen, und Diagrammkritik ist eine eigene Kompetenz. Typische Manipulationen sind eine abgeschnittene

y

-Achse (die nicht bei

0

beginnt und so kleine Unterschiede dramatisiert), verzerrte oder ungleichmäßige Achsenskalen sowie irreführende Farben und 3D-Effekte. In der Matura sollte man Visualisierungen daher kritisch interpretieren und stets Achsen, Skalen, Beschriftungen, Einheiten und die Quelle prüfen.

Vokabeln

→ Kartei

HistogrammFlächentreue Darstellung klassierter Daten.
SäulendiagrammDarstellung diskreter Häufigkeiten.
BoxplotFünf-Punkte-Zusammenfassung als Kasten mit Antennen.
KlassenbreiteBreite eines Intervalls im Histogramm.
AchsenmanipulationVerzerrung durch abgeschnittene oder gestauchte Achsen.
VerteilungsformSymmetrisch, links- oder rechtsschief.

Musterbeispiel

Diagrammtyp wählen und Häufigkeiten auswerten

Für die Noten $1$ bis $5$ einer Klasse wurden die Häufigkeiten $6,\,9,\,7,\,4,\,2$ erfasst. (a) Welcher Diagrammtyp ist geeignet? (b) Wie viele Personen wurden befragt? (c) Welcher Anteil hat eine Note besser als $3$ ?

Diagrammtyp
Die Note ist ordinal und diskret - ein Säulen- oder Balkendiagramm mit getrennten Säulen ist passend. Ein Kreisdiagramm zeigte nur Anteile, eine Zeitreihe wäre hier sinnlos.
Gesamtzahl
$n=6+9+7+4+2=28$ Personen.
Anteil besser als 3
Besser als $3$ sind die Noten $1$ und $2$ : $6+9=15$ von $28$ .
Relativer Anteil
$\dfrac{15}{28}\approx 0{,}536=53{,}6\,\%$ .

Ergebnis: Säulendiagramm; $n=28$ Personen; rund $53{,}6\,\%$ haben eine Note besser als $3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Wähle den Diagrammtyp passend zur Datenart.
2
Prüfe Achsen und Skalen, bevor du Schlussfolgerungen ziehst.
3
Beschriftungen, Einheiten und Quelle gehören in jede Visualisierung.

Typische Fehler

Beim Histogramm werden bei ungleichen Klassenbreiten die Höhen statt der Flächen verglichen.
Die Achsenbeschriftung fehlt.
Ein abgeschnittener Achsennullpunkt bleibt unerwähnt.
Säulen- und Balkendiagramm werden für stetige Daten verwendet.
Aus dem Diagramm wird ein Zusammenhang behauptet, den es nicht zeigt.

Aktive Wiederholung

Erstelle ein Histogramm für Noten 1-5 mit Häufigkeiten $6, 9, 7, 4, 2$ und kommentiere die Verteilung.

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Quellen: IQS Diagrammtypen (IQS)

Korrelation und lineare Regression#

~3 Min LesezeitVertiefungWS-1.1

Häufig fragt man, ob zwei metrische Merkmale zusammenhängen - etwa die wöchentliche Lernzeit und die erreichte Punktezahl. Das Streudiagramm zeigt einen solchen Zusammenhang zunächst qualitativ als Punktwolke; der Korrelationskoeffizient und die Regressionsgerade machen ihn anschließend zu einer Zahl bzw. zu einer Formel.

Der (Pearson-)Korrelationskoeffizient

r\in[-1,\,1]

misst die Stärke und die Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Variablen. Das Vorzeichen gibt die Richtung an (positiv: beide wachsen gemeinsam; negativ: das eine wächst, während das andere fällt), der Betrag die Stärke - je näher

|r|

bei

1

liegt, desto enger schmiegen sich die Punkte an eine Gerade. Berechnet wird er über

r=\dfrac{\sum (x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_{i}-\bar x)^{2}\sum(y_{i}-\bar y)^{2}}}

.

Die Grenzfälle sind aufschlussreich:

r=\pm 1

entspricht einem perfekten linearen Zusammenhang, bei dem alle Punkte exakt auf einer Geraden liegen, während

r=0

bedeutet, dass kein linearer Zusammenhang besteht. „Kein linearer" ist dabei nicht dasselbe wie „kein Zusammenhang": Eine deutliche nichtlineare, etwa parabelförmige Struktur kann trotz

r\approx 0

vorliegen. Genau deshalb sieht man sich immer zuerst das Streudiagramm an.

Die lineare Regression legt die bestpassende Gerade

y=k\cdot x+d

durch die Punktwolke. „Bestpassend" wird über die Methode der kleinsten Quadrate präzisiert: Sie minimiert die Summe der quadrierten Residuen, also der senkrechten Abweichungen der Datenpunkte von der Geraden in

y

-Richtung. Die Steigung

k

ist als Änderungsrate zu deuten (um wie viel

y

je Einheit von

x

steigt), der Achsenabschnitt

d

als Anfangswert bei

x=0

.

Das Bestimmtheitsmaß

R^{2}=r^{2}

liegt zwischen

0

und

1

und gibt den Anteil der Varianz von

y

an, den das lineare Modell erklärt. Ein Wert von

R^{2}=0{,}9

bedeutet etwa, dass

90\,\%

der Streuung durch

x

erklärbar sind und nur

10\,\%

unerklärt bleiben. Im durchgerechneten Beispiel führt

r\approx 0{,}996

auf

R^{2}\approx 0{,}992

- ein nahezu perfekter linearer Fit.

Eine zentrale Warnung zum Schluss: Selbst ein sehr hohes

r

beweist keine Ursache-Wirkung-Beziehung - Korrelation impliziert keine Kausalität. Oft steckt eine Drittvariable dahinter, die beide Merkmale gemeinsam antreibt (Eisverkauf und Sonnenbrand-Fälle steigen beide mit der Sonneneinstrahlung), oder es handelt sich um einen reinen Scheinzusammenhang. In der Matura sind Korrelation und Kausalität sauber zu trennen und Scheinzusammenhänge kritisch zu reflektieren.

Vokabeln

→ Kartei

KorrelationskoeffizientMaß für die Stärke des linearen Zusammenhangs.
RegressionsgeradeAusgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate.
Bestimmtheitsmaß$r^{2}$; Anteil der erklärten Streuung.
ScheinkorrelationZusammenhang ohne ursächliche Verbindung.
ResiduumAbweichung eines Punktes von der Geraden.
ExtrapolationAuswertung außerhalb des Datenbereichs.

Pearson-Korrelationskoeffizient

r=\dfrac{\sum (x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_{i}-\bar x)^{2}\sum(y_{i}-\bar y)^{2}}}

Misst ausschließlich den LINEAREN Zusammenhang und liegt zwischen $-1$ und $1$ . Ein Wert nahe null schließt einen gekrümmten Zusammenhang nicht aus.

Musterbeispiel

Regressionsgerade und Korrelationskoeffizient

Für fünf Lernende werden die wöchentliche Lernzeit $x$ (in Stunden) und die erreichte Punktezahl $y$ erfasst: $(1\,|\,52)$ , $(2\,|\,58)$ , $(3\,|\,61)$ , $(4\,|\,67)$ , $(5\,|\,72)$ . Bestimme die Regressionsgerade $y=k\cdot x+d$ , den Korrelationskoeffizienten $r$ und das Bestimmtheitsmaß $R^{2}$ .

Mittelwerte
$\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$ und $\bar y=\dfrac{52+58+61+67+72}{5}=62$ .
Summen bilden
$\sum (x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)=49$ , $\sum (x_{i}-\bar x)^{2}=10$ , $\sum (y_{i}-\bar y)^{2}=242$ .
Steigung und Achsenabschnitt
$k=\dfrac{49}{10}=4{,}9$ und $d=\bar y-k\,\bar x=62-4{,}9\cdot 3=47{,}3$ .
$y=4{,}9\cdot x+47{,}3$
Korrelation und Bestimmtheit
$r=\dfrac{49}{\sqrt{10\cdot 242}}=\dfrac{49}{\sqrt{2420}}\approx 0{,}996$ , also $R^{2}=r^{2}\approx 0{,}992$ .

Ergebnis: Regressionsgerade $y=4{,}9x+47{,}3$ ; $r\approx 0{,}996$ (sehr starker positiver linearer Zusammenhang); $R^{2}\approx 0{,}992$ , das heißt rund $99\,\%$ der Varianz werden erklärt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Korrelation misst nur die Stärke des linearen Zusammenhangs.
2
Lineare Regression liefert das beste lineare Modell über die Methode der kleinsten Quadrate.
3
Trenne immer Korrelation von Kausalität - Drittvariablen können täuschen.

Typische Fehler

Aus einer hohen Korrelation wird auf eine Ursache geschlossen.
Ein $r$ nahe null wird als „kein Zusammenhang" gelesen, obwohl ein gekrümmter besteht.
Die Steigung wird ohne Einheit gedeutet.
$r$ und $r^{2}$ werden verwechselt.
Die Regressionsgerade wird weit außerhalb der Daten ausgewertet.

Aktive Wiederholung

Erläutere, warum eine hohe positive Korrelation zwischen Eisverkauf und Sonnenbrand-Fällen keine Kausalität impliziert.

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Quellen: IQS Korrelation/Regression (IQS)

Quartile, Perzentile und Boxplot-Kennzahlen#

~4 Min LesezeitStandardWS-1.4

Der Median teilt eine geordnete Datenreihe in zwei Hälften. Die Quartile verfeinern diese Idee, indem sie die Reihe in vier gleich große Teile zerlegen und so ein robustes, fein aufgelöstes Bild der Verteilung liefern - weitgehend unabhängig davon, wie extrem einzelne Randwerte ausfallen.

Die drei Quartile einer geordneten Datenreihe sind das untere Quartil

Q_{1}

, der Median

Q_{2}

und das obere Quartil

Q_{3}

; sie teilen die Daten in vier gleich große Teile. Unter

Q_{1}

liegt ein Viertel (

25\,\%

) der Werte, unter dem Median die Hälfte und unter

Q_{3}

drei Viertel (

75\,\%

). Voraussetzung ist stets, dass die Daten zuvor der Größe nach geordnet wurden - das ist der häufigste Anfängerfehler.

Praktisch bestimmt man die Quartile in zwei Schritten: Zuerst sucht man den Median der gesamten Reihe, dann ist

Q_{1}

der Median der unteren und

Q_{3}

der Median der oberen Datenhälfte. Bei ungerader Anzahl wird der Gesamtmedian dabei keiner der beiden Hälften zugeschlagen. So liefert die Reihe

3,\,5,\,7,\,8,\,12,\,14,\,19

den Median

8

sowie

Q_{1}=5

und

Q_{3}=14

.

Aus den Quartilen ergibt sich der Interquartilsabstand

\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}

. Er misst die Streuung der mittleren Hälfte der Daten und ist robust gegen Ausreißer, weil er die extremen Viertel oben und unten gänzlich ausblendet - anders als die Spannweite, die allein von den Extremwerten abhängt. Für das obige Beispiel ist

\text{IQR}=14-5=9

.

Perzentile (Prozentränge) verallgemeinern das Konzept der Quartile: Das

p

-Perzentil trennt die unteren

p\,\%

der Daten ab. Damit ist

Q_{1}

gerade das

25

., der Median das

50

. und

Q_{3}

das

75

. Perzentil. Perzentile begegnen einem etwa bei Wachstumskurven - ein Kind im

90

. Perzentil ist größer als

90\,\%

der Gleichaltrigen.

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung aus Minimum,

Q_{1}

, Median,

Q_{3}

und Maximum ist die Datenbasis des Boxplots (): Die Box reicht von

Q_{1}

bis

Q_{3}

, ein Strich markiert den Median, und die Whisker reichen zu den Extremwerten. Liegt der Medianstrich nicht mittig in der Box, ist die Verteilung schief.

Boxplot - Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Abb. 4Datenreihe

3,\,5,\,7,\,8,\,12,\,14,\,19

: Min 3,

Q_1

5, Median 8,

Q_3

14, Max 19; die Box zeigt die mittleren 50 % (IQR = 9).

Abb. 4 ↓

Schließlich dienen die Quartile zur Ausreißererkennung: Werte außerhalb von

Q_{1}-1{,}5\cdot\text{IQR}

bzw.

Q_{3}+1{,}5\cdot\text{IQR}

gelten als Ausreißer und werden im Boxplot oft als einzelne Punkte hervorgehoben. In der Matura sollte man Quartile aus geordneten Daten ablesen, den IQR als robustes Streumaß deuten und Ausreißer über diese

1{,}5

-IQR-Regel identifizieren können.

Vokabeln

→ Kartei

QuartilWert, der die sortierte Reihe im Viertelschritt teilt.
Quartilsabstand$Q_{3}-Q_{1}$; robustes Streumaß.
PerzentilWert, unter dem ein bestimmter Anteil liegt.
BoxplotGrafische Fünf-Punkte-Zusammenfassung.
AusreißerWert deutlich außerhalb der übrigen Daten.
Fünf-Punkte-ZusammenfassungMinimum, $Q_{1}$, Median, $Q_{3}$, Maximum.

Interquartilsabstand

\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}

Die Breite des mittleren Datenhalbs. Weil er die äußeren Viertel ignoriert, ist er gegen Ausreißer unempfindlich.

Musterbeispiel

Quartile und IQR bestimmen

Gegeben sind die geordneten Werte $3$ , $5$ , $7$ , $8$ , $12$ , $14$ , $19$ . Bestimme Median, Quartile und IQR.

Median
Bei sieben Werten ist der mittlere der vierte: $Q_{2}=8$ .
Quartile
Untere Hälfte $3,\,5,\,7$ ergibt $Q_{1}=5$ ; obere Hälfte $12,\,14,\,19$ ergibt $Q_{3}=14$ .
IQR
$\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}=14-5=9$ .

Ergebnis: Median $8$ , $Q_{1}=5$ , $Q_{3}=14$ , Interquartilsabstand $9$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Ordne die Daten zuerst, dann teilen die Quartile sie in vier gleich große Teile.
2
Der Interquartilsabstand ist die Differenz aus oberem und unterem Quartil und reagiert kaum auf Ausreißer.
3
Werte weit außerhalb des Quartilsbereichs gelten nach der 1,5-IQR-Regel als Ausreißer.
Boxplot - Fünf-Punkte-Zusammenfassung
Abb.Datenreihe $3,\,5,\,7,\,8,\,12,\,14,\,19$ : Min 3, $Q_1$ 5, Median 8, $Q_3$ 14, Max 19; die Box zeigt die mittleren 50 % (IQR = 9).

Typische Fehler

Die Quartile werden ohne Sortieren bestimmt.
Die Kastenbreite des Boxplots wird als Häufigkeit gedeutet.
Der Quartilsabstand wird mit der Spannweite verwechselt.
Die Antennen werden stets bis zum Extremwert gezogen, obwohl Ausreißer markiert gehören.
Perzentil und Prozentwert des Merkmals werden vertauscht.

Aktive Wiederholung

Bestimme für die geordneten Werte $3$ , $5$ , $7$ , $8$ , $12$ , $14$ , $19$ den Median sowie das untere und obere Quartil.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Beschreibende Statistik AHS (IQS)

Absolute und relative Häufigkeit#

~3 Min LesezeitBasisWS-1.3

Jede Datenauswertung beginnt mit dem Zählen. Die absolute Häufigkeit eines Merkmalswertes gibt an, wie oft dieser Wert im Datensatz auftritt. Diese Zahl allein ist jedoch wenig aussagekräftig, sobald man verschieden große Datensätze miteinander vergleichen will - dafür braucht es ein relatives Maß.

Die relative Häufigkeit setzt die absolute Häufigkeit ins Verhältnis zur Gesamtzahl

n

der Beobachtungen:

h=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{n}

. Sie liegt stets zwischen

0

und

1

und gibt den Anteil an, den ein Merkmalswert an der Gesamtheit hat ().

Säulendiagramm Würfelwurf

Abb. 5Absolute Häufigkeiten der Augenzahlen bei 50 Würfen; die Sechs erscheint 9-mal.

Abb. 5 ↓

Über alle Merkmalswerte hinweg summieren sich die relativen Häufigkeiten zu genau

1

(bzw. zu

100\,\%

) - eine bequeme Rechenkontrolle. In Prozent ausgedrückt (

h\cdot 100\,\%

) erleichtern relative Häufigkeiten den Vergleich unterschiedlich großer Datensätze:

9

von

50

und

18

von

100

ergeben beide

18\,\%

, obwohl die absoluten Zahlen verschieden sind.

Ein konkretes Beispiel: Wirft man einen Würfel

50

-mal und erscheint die Sechs dabei

9

-mal (), so ist die relative Häufigkeit

h=\tfrac{9}{50}=0{,}18=18\,\%

. Die absolute Häufigkeit

9

und die relative Häufigkeit

18\,\%

beschreiben dasselbe Ergebnis aus zwei Blickwinkeln - der absolute Wert zählt, der relative ordnet ein.

Mit wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit und nähert sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit an - das ist das empirische Gesetz der großen Zahlen. Beim fairen Würfel pendelt sich der Anteil der Sechs langfristig um

\tfrac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%

ein; dass bei nur

50

Würfen

18\,\%

herauskommen, ist eine völlig normale zufällige Abweichung. Je mehr Würfe man ausführt, desto kleiner werden solche Schwankungen typischerweise.

Genau an dieser Stelle schlägt die beschreibende Statistik die Brücke zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Thema WS 2): Die relative Häufigkeit ist die empirische Schätzung der Wahrscheinlichkeit. Drei Stolpersteine sind zu vermeiden - absolute und relative Häufigkeit zu verwechseln, eine relative Häufigkeit größer als

1

anzugeben (das ist unmöglich) und die Prozent- mit der Anteilsdarstellung zu vermischen.

Vokabeln

→ Kartei

absolute HäufigkeitAnzahl der Fälle.
relative HäufigkeitAnteil an der Gesamtzahl.
SummenhäufigkeitAufsummierte Häufigkeiten bis zu einem Wert.
Gesetz der großen ZahlenStabilisierung der relativen Häufigkeit.
GrundgesamtheitBezugsmenge des Anteils.
ProzentpunktDifferenz zweier Prozentwerte.

Relative Häufigkeit

h=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{n},\qquad 0\le h\le 1

Der Anteil an der Gesamtzahl, stets zwischen null und eins. Alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben eins.

Musterbeispiel

Relative Häufigkeit berechnen

Bei $50$ Würfen fällt die Sechs $9$ -mal. Bestimme die relative Häufigkeit.

Ansatz
$h=\dfrac{9}{50}$ .
Dezimal
$h=0{,}18$ .
Prozent
$h=18\,\%$ , theoretisch wären es $\tfrac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%$ .

Ergebnis: Relative Häufigkeit $18\,\%$ , nahe an der theoretischen Wahrscheinlichkeit von rund $16{,}7\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die absolute Häufigkeit zählt das Auftreten, die relative setzt es ins Verhältnis zur Gesamtzahl.
2
Relative Häufigkeiten liegen zwischen null und eins und ergeben in Summe eins.
3
Bei vielen Wiederholungen nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an.

Typische Fehler

Absolute und relative Häufigkeit werden verwechselt.
Die Bezugsgröße des Prozentwerts bleibt ungenannt.
Die Summenkontrolle unterbleibt.
Relative Häufigkeit wird mit Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt.
Prozentwerte verschiedener Grundgesamtheiten werden addiert.

Aktive Wiederholung

Bei $50$ Würfen erscheint die Sechs $9$ -mal. Bestimme die relative Häufigkeit in Prozent und vergleiche sie mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Häufigkeiten AHS (IQS)