B 1 - Zahlen, Maße und Einheiten — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Zahldarstellung und Größenordnungen#

~4 Min LesezeitBasisB-1.1B-1.2

In Technik und Wirtschaft treten Zahlen über riesige Größenordnungen hinweg auf - vom Bauteildurchmesser im Mikrometerbereich bis zum Jahresumsatz in Millionen Euro. Wer solche Werte als lange Ziffernketten wie

0{,}0000000045

schreibt, verzählt sich fast unweigerlich. Die Zehnerpotenz- oder Gleitkommadarstellung macht sie handhabbar:

4{,}5\cdot 10^{-9}

sagt dasselbe, ist aber auf einen Blick lesbar und vergleichbar.

Die wissenschaftliche Notation schreibt jede Zahl eindeutig als

a\cdot 10^{n}

mit

1\leq |a|<10

. Die Mantisse

a

trägt die eigentliche Information, der Exponent

n

nur die Größenordnung. Beim Multiplizieren addiert man die Exponenten (

10^{3}\cdot 10^{4}=10^{7}

), beim Dividieren subtrahiert man sie - das ersetzt das fehleranfällige Hantieren mit Nullenketten und macht Wertevergleiche zu einem reinen Exponentenvergleich ().

Größenordnungen (Zehnerpotenzen)

Abb. 1Vom Nanometer bis zum Sonnensystem - jede beschriftete Stufe entspricht Faktor 1000 (drei Zehnerpotenzen).

Abb. 1 ↓

Maßeinheiten-Präfixe sind nichts anderes als gebräuchliche Zehnerpotenzen: Kilo

=10^{3}

, Mega

=10^{6}

, Giga

=10^{9}

bzw. Milli

=10^{-3}

, Mikro

=10^{-6}

, Nano

=10^{-9}

. Anschaulich liegen die Größenordnungen wie Stufen einer Tonleiter, jede Stufe der Faktor zehn; so wird aus

4{,}5\cdot 10^{-9}\,\mathrm{m}

schlicht

4{,}5\,\mathrm{nm}

.

Signifikante Stellen sind alle verlässlichen Ziffern eines Messwerts und damit eine Aussage über die Messgenauigkeit. Führende Nullen zählen nicht (

0{,}0042

hat zwei), eingebettete und nachgestellte Nullen schon (

1{,}030

hat vier). Diese Stellenzahl darf im Ergebnis nicht künstlich anwachsen - ein gerundeter Endwert hat höchstens so viele signifikante Stellen wie die ungenaueste Eingangsgröße.

Vor jeder Rechnung mit gemischten Einheiten zuerst auf eine gemeinsame Einheit umrechnen, erst dann mit den reinen Zahlen rechnen. Bei Flächen und Volumina potenziert sich der Umrechnungsfaktor mit:

1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}

, aber

1\,\mathrm{m}^{2}=10\,000\,\mathrm{cm}^{2}

und

1\,\mathrm{m}^{3}=10^{6}\,\mathrm{cm}^{3}

- genau hier entstehen die häufigsten Faktor-Fehler ().

SI-Einheiten und Umrechnungen

Abb. 2Präfixe sind Zehnerpotenzen:

\mathrm{k} = 10^{3}

,

\mathrm{M} = 10^{6}

,

\mathrm{m} = 10^{-3}

.

Abb. 2 ↓

Daraus folgt der wichtigste Praxisgriff: Die Tonleiter-Vorstellung dient als schneller Plausibilitätscheck. Liegt ein CAS-Ergebnis eine ganze Stufe daneben, steckt fast immer ein Faktor-zehn- oder ein Einheitenfehler dahinter - nicht ein Rechenfehler in den Ziffern selbst.

In der Matura zählt die saubere Schlussangabe: das Ergebnis sinnvoll runden, mit Einheit versehen und - wo gefordert - in wissenschaftlicher Notation darstellen. Eine vom Rechner übernommene Angabe wie

6{,}74371\,\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}

täuscht eine Genauigkeit vor, die die Eingangsdaten gar nicht hergeben, und kostet im Beurteilungsraster Punkte.

Vokabeln

→ Kartei

wissenschaftliche NotationDarstellung $a\cdot10^{n}$ mit $1\le|a|<10$; sie trennt Ziffernwert und Größenordnung.
MantisseDer Zahlenteil $a$ der wissenschaftlichen Notation; er trägt die signifikanten Stellen.
signifikante StelleVerlässliche Ziffer eines Messwerts; ihre Anzahl gibt die Messgenauigkeit an.
GrößenordnungZehnerpotenz, in der ein Wert liegt; Vergleichsmaßstab über viele Dekaden.
SI-PräfixVorsilbe für eine Zehnerpotenz der Einheit, etwa Kilo für $10^{3}$ oder Mikro für $10^{-6}$.
EinheitengleichungRechnung, in der Zahlenwerte und Einheiten gemeinsam mitgeführt und gekürzt werden.

Wissenschaftliche Notation

a\cdot 10^{n},\quad 1\leq |a|<10

$a$ ist die Mantisse mit $1\le|a|<10$ - sie trägt die signifikanten Stellen -, $n$ die ganzzahlige Zehnerpotenz und damit die Größenordnung. Die Normierung macht Zahlen unmittelbar vergleichbar: Der Exponent entscheidet über die Größe, die Mantisse über den Feinwert.

Musterbeispiel

Sinnvolles Runden in einer technischen Angabe

Eine Wasserpumpe fördert in 12 min eine Menge von $1\,348\,742\,\mathrm{mL}$ . Gib die mittlere Förderleistung in $\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ auf zwei signifikante Stellen an.

Volumen in Kubikmeter
$1\,348\,742\,\mathrm{mL}=1{,}348742\,\mathrm{m}^{3}$ (1000 mL = 1 L, 1000 L = 1 m^3).
Zeit in Stunden
$12\,\mathrm{min}=0{,}2\,\mathrm{h}$ .
Leistung
$\dot V=\dfrac{1{,}348742}{0{,}2}=6{,}74371\,\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .
Signifikant runden
Zwei signifikante Stellen: $\dot V\approx 6{,}7\,\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .

Ergebnis: Förderleistung rund $6{,}7\,\tfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{h}}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stell dir die Größenordnungen wie eine Tonleiter vor - jede Stufe entspricht Faktor zehn.
2
Bringe alle Größen erst auf die gleiche Einheit, dann rechne mit den reinen Zahlen.
SI-Einheiten und Umrechnungen
Abb.Präfixe sind Zehnerpotenzen: $\mathrm{k} = 10^{3}$ , $\mathrm{M} = 10^{6}$ , $\mathrm{m} = 10^{-3}$ .
3
Runde am Schluss auf so viele Stellen, wie die unsicherste Eingangsgröße erlaubt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

In einem Behälter befinden sich

250\,\mathrm{mL}

Flüssigkeit. Stelle das Volumen in

\mathrm{m}^{3}

und in

\mathrm{dm}^{3}

dar (HUM-Cluster).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Maturafokus

Rechne bei gemischten Einheiten ZUERST auf eine gemeinsame Einheit um und dann mit den reinen Zahlen - hier entsteht der häufigste Punkteverlust in Teil 1.
Gib das Endergebnis mit Einheit und sinnvoll gerundet an; eine CAS-Ausgabe wie $6{,}74371$ kW täuscht eine Genauigkeit vor, die die Eingangsdaten nicht hergeben.
Zähle signifikante Stellen korrekt: führende Nullen zählen nicht, eingebettete und nachgestellte schon - $0{,}0042$ hat zwei, $1{,}030$ hat vier.
Nutze die Zehnerpotenz als Plausibilitätscheck: Ein Ergebnis eine ganze Stufe daneben ist fast immer ein Faktor-zehn- oder Einheitenfehler.
Achte bei Flächen und Volumina auf den potenzierten Umrechnungsfaktor: $1\,\mathrm{m}^{2}=10^{4}\,\mathrm{cm}^{2}$ , $1\,\mathrm{m}^{3}=10^{6}\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Typische Fehler

Komma und Punkt werden als Dezimaltrenner verwechselt - im deutschsprachigen Raum trennt das Komma, das CAS-Eingabefeld erwartet oft den Punkt.
Präfixe werden falsch umgerechnet: $1\,\mathrm{km}=1000\,\mathrm{m}$ , nicht 100 m; $1\,\mathrm{\mu m}=10^{-6}\,\mathrm{m}$ .
Führende Nullen werden als signifikante Stellen mitgezählt; sie legen nur die Größenordnung fest.
Bei Flächen wird der lineare Umrechnungsfaktor verwendet: $1\,\mathrm{m}^{2}$ sind $10\,000\,\mathrm{cm}^{2}$ , nicht 100.
Die Mantisse liegt außerhalb von $[1;10)$ : $0{,}45\cdot10^{-8}$ ist nicht normiert, richtig ist $4{,}5\cdot10^{-9}$ .

Aktive Wiederholung

Schreibe $0{,}000\,072\,5\,\mathrm{m}$ in wissenschaftlicher Notation, gib die Anzahl signifikanter Stellen an und konvertiere in Mikrometer.

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Prozent-, Promille- und Anteilrechnung#

~4 Min LesezeitBasisB-1.3

Prozentrechnung ist die Sprache jeder kaufmännischen und technischen Anteilsangabe - vom Rabatt über die Mehrwertsteuer bis zur Schadstoffkonzentration. Im Kern steht ein einziger Dreisatz: Der Anteilswert

W

ist der Bruchteil

\tfrac{p}{100}

des Grundwerts

G

. Die Grundwertgleichung

W = \tfrac{p}{100}\cdot G

lässt sich nach jeder der drei Größen auflösen - das ist bereits der gesamte rechnerische Apparat.

Der entscheidende erste Schritt ist immer die Frage „Was sind hier

100\,\%

?". Der Grundwert ist die Bezugsgröße; verändert er sich, ändert sich die Bedeutung jedes Prozentsatzes. Ein Prozentsatz ohne klar benannten Grundwert ist wertlos - genau hier scheitern die meisten Kontextaufgaben.

Auf- und Abschläge drückt man am sichersten über Multiplikatoren aus:

+12\,\%\Rightarrow {}\cdot 1{,}12

,

-7\,\%\Rightarrow {}\cdot 0{,}93

. Ketten von Änderungen werden dann einfach multipliziert. Daraus folgt unmittelbar, warum

+20\,\%

gefolgt von

-20\,\%

nicht zum Ausgangswert zurückführt:

1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96

, es bleiben also nur

96\,\%

() - der zweite Faktor wirkt auf den größeren Zwischenwert.

Aufschlag und Abschlag heben sich nicht auf

Abb. 3Start 100; nach

+20\,\%

und anschließend

-20\,\%

bleiben nur 96 - der Abschlag bezieht sich auf den größeren Zwischenwert 120.

Abb. 3 ↓

Brutto und netto unterscheiden sich genau um die Umsatzsteuer. In Österreich gilt der Standardsatz

20\,\%

, ermäßigt

10\,\%

(z. B. Lebensmittel). Aus netto wird brutto über

B=N\cdot(1+s)

; die Rückrechnung ist deshalb

N=\tfrac{B}{1+s}

und keinesfalls

B\cdot 0{,}8

- der häufigste Fehler bei der Nettopreisbestimmung.

Promille (Zeichen ‰) ist

\tfrac{1}{10}

eines Prozents, also

1\,\% = 10\,

‰ bzw.

1\,

‰

\,=\tfrac{1}{1000}

; ppm steht für „parts per million"

=10^{-6}

. Diese feineren Einheiten braucht man, wenn Anteile sehr klein sind - Promille beim Blutalkohol, ppm bei Schadstoff- oder Salzkonzentrationen.

Anschaulich, aber prüfungsentscheidend ist die Trennung von Prozentpunkten und relativer Änderung: Steigt eine Quote „von

5\,\%

auf

7\,\%

", so sind das

+2

Prozentpunkte, aber eine relative Zunahme von

+40\,\%

. In wirtschaftlichen Berichten muss diese Unterscheidung sauber benannt werden, sonst kippt die Aussage.

Vokabeln

→ Kartei

GrundwertDie Bezugsgröße, die 100 % entspricht.
ProzentwertDer Anteil, der dem gegebenen Prozentsatz entspricht.
ProzentsatzAnteil in Hundertsteln; $p\,\%=\tfrac{p}{100}$.
ProzentpunktDifferenz zweier Prozentsätze; nicht mit der relativen Änderung zu verwechseln.
MultiplikatorFaktor, der eine prozentuelle Änderung ausdrückt, etwa 1,12 für $+12\,\%$.
PromilleEin Tausendstel; $1\,‰=0{,}1\,\%$.

Prozent- und Grundwertformel

p\,\% \text{ von } G = \dfrac{p}{100}\cdot G,\qquad p = \dfrac{W}{G}\cdot 100

$G$ ist der Grundwert (die Bezugsgröße, die 100 % entspricht), $W$ der Prozentwert und $p$ der Prozentsatz in Prozent. Beide Formen sind dieselbe Beziehung, einmal nach $W$ und einmal nach $p$ aufgelöst.

Brutto-/Netto mit Steuersatz s

B=N\cdot(1+s),\quad N=\dfrac{B}{1+s}

$N$ ist der Nettobetrag, $B$ der Bruttobetrag und $s$ der Steuersatz als Dezimalzahl (0,20 für 20 %). Die Rückrechnung erfolgt durch DIVISION durch $1+s$ , nicht durch Multiplikation mit $1-s$ .

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Prozent- und Promille-Rechnung im Kontext

Eine Lösung enthält $4{,}5\,\%$ Alkohol. In einem $0{,}33\,\mathrm{L}$ -Glas - wie viel Alkohol (in mL) befindet sich darin? Wie viel ml Wasser muss zugegeben werden, damit nur noch $3\,\%$ Alkoholgehalt vorliegen?

Alkoholmenge
$V_{A}=0{,}045\cdot 330\,\mathrm{mL}=14{,}85\,\mathrm{mL}$ .
Verdünnen
Gesamtvolumen $V$ so wählen, dass $\tfrac{14{,}85}{V}=0{,}03 \Rightarrow V=495\,\mathrm{mL}$ .
Wasserzugabe
Differenz $\Delta V=495-330=165\,\mathrm{mL}$ Wasser zugeben.

Ergebnis: Im Glas sind ca. $14{,}9\,\mathrm{mL}$ Alkohol; mit $165\,\mathrm{mL}$ Wasser sinkt der Anteil auf $3\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bestimme zuerst, welcher Wert dein Grundwert ist - er entspricht 100 Prozent.
2
Schreibe Auf- und Abschläge als Multiplikatoren, dann lassen sich Ketten leicht kombinieren.
3
Prüfe das Ergebnis grob im Kopf, um Faktor-zehn-Fehler zu erkennen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Tablet wurde im November mit einem Aktionspreis von

399\,\mathrm{Euro}

angeboten. Der ursprüngliche Preis betrug

499\,\mathrm{Euro}

. Um wie viel Prozent wurde der Preis gesenkt? (HAK / HUM-Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Prozentpunkte und Prozent werden vermengt: von 5 % auf 7 % sind $+2$ Prozentpunkte, aber eine relative Zunahme von 40 %.
Die Rückrechnung vom Brutto erfolgt mit $B\cdot0{,}8$ statt $\tfrac{B}{1{,}2}$ - bei 899 € sind das rund 30 € Unterschied.
Auf- und Abschläge werden addiert statt multipliziert. $+20\,\%$ und danach $-20\,\%$ ergibt $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ , also $-4\,\%$ und nicht null.
Der Grundwert wechselt unbemerkt: Ein zweiter Rabatt bezieht sich auf den bereits verringerten Preis, nicht auf den Listenpreis.
Promille und Prozent werden verwechselt: $1\,‰$ ist ein Zehntel eines Prozents, also $0{,}001$ .

Aktive Wiederholung

Ein Notebook kostet brutto $899{,}00$ Euro inkl. $20\,\%$ MwSt. Berechne den Nettopreis und den darauf zu gewährenden Wiederverkaufsrabatt von $15\,\%$ .

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Mess- und Rundungsfehler#

~4 Min LesezeitStandardB-1.4

Jede reale Messung ist mit einer Unsicherheit behaftet - eine Waage, ein Messschieber oder ein Durchflusssensor liefert nie den „wahren" Wert exakt. Die Mathematik macht diese Unsicherheit greifbar und vergleichbar, damit man beurteilen kann, ob ein Werkstück, eine Liefermenge oder ein Laborwert noch im erlaubten Rahmen liegt.

Der absolute Fehler

\Delta x = |x_{\text{Mess}}-x_{\text{wahr}}|

misst die Abweichung in derselben Einheit wie die Größe selbst (z. B.

0{,}8\,\mathrm{g}

). Er sagt, wie weit man danebenliegt, aber nichts darüber, ob das viel oder wenig ist -

0{,}8\,\mathrm{g}

sind bei einer Goldmünze gravierend, bei einem Mehlsack belanglos.

Der relative Fehler

\varepsilon=\tfrac{\Delta x}{|x|}

ist dimensionslos und meist in Prozent angegeben. Erst er macht Genauigkeiten vergleichbar, weil er die Abweichung ins Verhältnis zur Größe setzt. In der Qualitätskontrolle ist der relative Fehler daher das eigentliche Bewertungsmaß.

Toleranzangaben fassen das Erlaubte zusammen:

x\pm\Delta x

beschreibt das zulässige Intervall

[x-\Delta x;\ x+\Delta x]

. So definiert ein Sollmaß

52{,}0\,\mathrm{mm}\pm 0{,}3\,\mathrm{mm}

alle gültigen Maße zwischen

51{,}7\,\mathrm{mm}

und

52{,}3\,\mathrm{mm}

(); ein Bauteil außerhalb dieses Bandes ist Ausschuss.

Toleranzband einer Längenangabe

Abb. 4Sollmaß

52{,}0\,\mathrm{mm}

mit Toleranz

\pm 0{,}3\,\mathrm{mm}

: zulässig ist jedes Maß im Intervall

[51{,}7;\ 52{,}3]

.

Abb. 4 ↓

Bei der Fehlerfortpflanzung gilt eine einfache Faustregel: Bei Summen und Differenzen addieren sich die absoluten Fehler, bei Produkten und Quotienten die relativen Fehler. Daraus folgt, dass eine berechnete Größe nie genauer sein kann als ihre ungenaueste Eingangsgröße.

Sinnvolles Runden orientiert sich deshalb am Gesamtfehler: Das Endergebnis erhält höchstens so viele signifikante Stellen, wie der Fehler rechtfertigt. Wichtig ist die Reihenfolge - erst mit voller Genauigkeit rechnen, erst ganz am Schluss runden, sonst pflanzt sich der Rundungsfehler durch die ganze Rechnung fort.

In der Praxis ist der wahre Wert oft unbekannt; man verwendet dann den Mittelwert mehrerer Messungen als beste Näherung. In der Matura sollte diese Annahme explizit genannt werden, wenn man einen relativen Fehler gegen einen geschätzten „wahren" Wert berechnet.

Vokabeln

→ Kartei

absoluter FehlerBetrag der Abweichung vom wahren Wert, in der Einheit der Größe.
relativer FehlerAbsoluter Fehler geteilt durch den Wert; dimensionslos, meist in Prozent.
ToleranzZulässige Abweichung vom Sollwert; sie definiert ein Intervall.
SollmaßDer vorgegebene Zielwert einer Fertigungsgröße.
MessunsicherheitStreuungsbereich, in dem der wahre Wert einer Messung erwartet wird.
MaximalfehlerGrößter denkbarer Gesamtfehler, wenn alle Einzelfehler ungünstig zusammentreffen.

Absoluter Fehler

\Delta x = |x_{\text{Mess}}-x_{\text{wahr}}|

$x_{\text{Mess}}$ ist der gemessene, $x_{\text{wahr}}$ der wahre Wert; $\Delta x$ trägt dieselbe Einheit wie die Größe selbst. Ist der wahre Wert unbekannt, tritt der Mittelwert mehrerer Messungen an seine Stelle - diese Annahme gehört ausdrücklich genannt.

Relativer Fehler in Prozent

\varepsilon_{\text{rel}}=\dfrac{|x_{\text{Mess}}-x_{\text{wahr}}|}{|x_{\text{wahr}}|},\quad \varepsilon_{\text{rel}}\,\%=\varepsilon_{\text{rel}}\cdot 100

Der absolute Fehler wird auf den Wert selbst bezogen und dadurch dimensionslos. Erst diese Größe macht Genauigkeiten vergleichbar: 0,8 g Abweichung sind bei 5 g gravierend, bei 5 kg belanglos.

Fortpflanzung beim Produkt

(x\pm\Delta x)\cdot(y\pm\Delta y)\approx xy\pm\bigl(|x|\,\Delta y+|y|\,\Delta x\bigr)

$\Delta x$ und $\Delta y$ sind die absoluten Fehler der Faktoren. Die Näherung vernachlässigt das Produkt $\Delta x\cdot\Delta y$ , weil es bei kleinen Fehlern verschwindend klein ist; sie liefert den Maximalfehler des Produkts.

Musterbeispiel

Relativer Fehler einer Massenmessung

Eine Waage zeigt $254{,}7\,\mathrm{g}$ , der wahre Wert ist $253{,}9\,\mathrm{g}$ . Bestimme absoluten und relativen Fehler.

Absoluter Fehler
$\Delta m = |254{,}7-253{,}9|=0{,}8\,\mathrm{g}$ .
Relativer Fehler
$\varepsilon=\tfrac{0{,}8}{253{,}9}\approx 0{,}00315$ , also $\approx 0{,}32\,\%$ .
Bewertung
Liegt damit deutlich unter Standardtoleranz $1\,\%$ .

Ergebnis: $\Delta m=0{,}8\,\mathrm{g}$ , $\varepsilon\approx 0{,}32\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Trenne zuerst absoluten und relativen Fehler - sie beantworten verschiedene Fragen.
2
Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Fehler, bei Summen die absoluten.
3
Prüfe das Endergebnis: ist es mit der ungenauesten Eingangsgröße vereinbar?

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Bauteil hat das Sollmaß

200\,\mathrm{g}

mit einer Toleranz von

\pm 2\,\%

. Welche Maße sind zulässig? (HTL-Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Es wird vor der Fehlerrechnung gerundet; der Rundungsfehler geht dann zusätzlich in die Abschätzung ein.
Absoluter und relativer Fehler werden vermischt. $0{,}8$ g Abweichung sind bei 5 g gravierend und bei 5 kg belanglos.
Der wahre Wert wird als bekannt vorausgesetzt, obwohl er in der Praxis geschätzt werden muss - die Annahme gehört genannt.
Die Toleranz wird einseitig gelesen. $52{,}0\pm0{,}3$ mm erlaubt alles zwischen 51,7 mm und 52,3 mm.
Der relative Fehler wird ohne Betrag gerechnet und dadurch negativ; er ist als Betrag definiert.

Aktive Wiederholung

Ein Werkstück soll Länge $52{,}0\,\mathrm{mm}\pm 0{,}3\,\mathrm{mm}$ haben. Bestimme den maximal zulässigen relativen Fehler in Prozent.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · IQS - Standardisierte Reife- und Diplomprüfung BHS (IQS)

Überschlag und Plausibilitätsrechnung#

~3 Min LesezeitBasisB-1.1B-1.2

Der Taschenrechner bzw. das CAS rechnet fehlerfrei - aber nur mit dem, was man eintippt. Ein vertippter Faktor, ein vergessenes Komma oder eine falsche Einheit liefert ein präzises, aber sinnloses Ergebnis. Die Überschlagsrechnung ist das Gegengewicht: eine schnelle, grobe Rechnung im Kopf, die das Ergebnis auf Plausibilität prüft.

Das Vorgehen ist immer gleich: Alle Eingangsgrößen grob auf eine einzige signifikante Stelle runden und dann mit diesen runden Zahlen im Kopf rechnen. Aus

1\,825\cdot 0{,}47

wird

2\,000\cdot 0{,}5=1\,000

- in Sekunden und ohne Hilfsmittel.

Ein Überschlag ist bewusst grob und liefert keinen exakten Wert, sondern ein Erwartungsfenster. Liegt das CAS-Ergebnis innerhalb von etwa

\pm 10

bis

20\,\%

um den Überschlag, ist es plausibel; weicht es um einen Faktor zehn ab, steckt fast sicher ein Eingabe- oder Einheitenfehler dahinter.

Bei stark ungleichen Größenordnungen darf der kleinste Summand für den Überschlag oft ganz entfallen - der große Term dominiert. Das beschleunigt die Kopfrechnung, ohne die Aussagekraft des Überschlags zu schmälern.

Anschaulich liefert der Überschlag eine grobe Klammer um den wahren Wert: Man weiß vorher, in welchem Bereich das Ergebnis liegen muss, und erkennt einen Ausreißer sofort. Gerade in Teil-1-Aufgaben, wo wenig Zeit bleibt, ist das die wirtschaftlichste Kontrolle überhaupt.

Für das Kopfrechnen lohnt ein festes Repertoire an Ankerwerten, weil sie jede Abschätzung tragen: die Zehnerpotenzen, die Quadratzahlen bis 20,

\sqrt{2}\approx1{,}41

,

\sqrt{3}\approx1{,}73

,

\pi\approx3{,}14

sowie die gängigen Prozent-Multiplikatoren 1,2 und 0,8. Ebenso hilfreich ist die Rundungstaktik: Rundet man einen Faktor auf und den anderen ab, bleibt der Überschlag zentriert statt systematisch zu hoch oder zu tief zu liegen.

In der Matura ist der abschließende Plausibilitätscheck deshalb eine der einfachsten Punktesicherungen überhaupt: Ein kurzer Überschlag schützt vor groben Faktor-zehn- und Einheitenfehlern, die sonst eine ganze, sonst richtig gerechnete Aufgabe entwerten würden.

Vokabeln

→ Kartei

ÜberschlagsrechnungGrobe Kopfrechnung mit stark gerundeten Werten zur Kontrolle eines Ergebnisses.
PlausibilitätVereinbarkeit eines Ergebnisses mit der Erwartung aus Kontext und Überschlag.
ErwartungsfensterBereich, in dem das exakte Ergebnis nach dem Überschlag liegen muss.
AnkerwertAuswendig verfügbarer Zahlenwert, der Kopfrechnungen trägt, etwa $\sqrt2\approx1{,}41$.
GrößenordnungsfehlerAbweichung um den Faktor zehn oder mehr; fast immer ein Eingabe- oder Einheitenfehler.
DominanzUmstand, dass bei stark verschiedenen Summanden der größte das Ergebnis bestimmt.

Musterbeispiel

Überschlag einer Kostensumme

Überschlage: $1\,825\cdot 0{,}47+938\cdot 0{,}53$ .

Runden
$2\,000\cdot 0{,}5+1\,000\cdot 0{,}5=1\,000+500=1\,500$ .
CAS-Wert
CAS liefert $857{,}75+497{,}14=1\,354{,}89$ .
Plausibilität
Liegt um ca. $10\,\%$ unter Überschlag - akzeptabel.

Ergebnis: CAS-Wert $\approx 1\,355$ , Überschlag $\approx 1\,500$ , plausibel.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Runde großzügig und rechne im Kopf, um Plausibilität zu prüfen.
2
Prüfe das CAS-Ergebnis - liegt es im erwarteten Bereich?
3
Ein guter Überschlag rettet dich vor peinlichen Faktor-zehn-Fehlern.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Restaurant kalkuliert:

12

Personen je

24{,}90\,\mathrm{Euro}

plus

8

Personen je

18{,}50\,\mathrm{Euro}

. Überschlage zuerst, dann berechne exakt. (HUM/Tourismus)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Das CAS-Resultat wird ungeprüft übernommen; ein vertippter Faktor liefert ein präzises, aber sinnloses Ergebnis.
Beim Überschlagen wird nur ein Faktor gerundet und der andere exakt gelassen - der Aufwand bleibt, der Nutzen entfällt.
Nur Teilergebnisse werden überschlagen, die Endsumme nicht; genau dort steckt der Fehler dann.
Der Überschlag wird als Ergebnis abgegeben. Er liefert ein Erwartungsfenster, keine Lösung.
Es wird systematisch in eine Richtung gerundet; runde einen Faktor auf und den anderen ab, dann bleibt der Überschlag zentriert.

Aktive Wiederholung

Überschlage, ohne Taschenrechner: $1\,825 \cdot 0{,}47 + 938 \cdot 0{,}53$ . Prüfe danach mit CAS.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Direkte und indirekte Proportionalität#

~3 Min LesezeitBasisB-1.1B-1.3

Proportionalität beschreibt, wie zwei Größen miteinander mitwachsen - die Grundlage von Maßstab, Rezeptumrechnung, Preiskalkulation und Geschwindigkeit-Zeit-Beziehungen. Bevor man rechnet, muss man die Art des Zusammenhangs klären, denn davon hängt das ganze weitere Vorgehen ab.

Direkte Proportionalität bedeutet

y=k\cdot x

: Verdoppelt sich

x

, verdoppelt sich auch

y

. Kennzeichen ist der konstante Quotient

\tfrac{y}{x}=k

- mehr Personen brauchen proportional mehr Mehl, doppelte Fahrzeit bei gleichem Tempo bedeutet doppelte Strecke. Grafisch ist das eine Ursprungsgerade mit Steigung

k

().

Direkte und indirekte Proportionalität

Abb. 5Direkt

y=k\,x

ist eine Ursprungsgerade (konstanter Quotient

\tfrac{y}{x}

), indirekt

y=\tfrac{k}{x}

eine Hyperbel (konstantes Produkt

x\,y

).

Abb. 5 ↓

Indirekte (umgekehrte) Proportionalität bedeutet

y=\tfrac{k}{x}

: Verdoppelt sich

x

, halbiert sich

y

. Kennzeichen ist hier das konstante Produkt

x\cdot y=k

- doppelt so viele Pumpen brauchen die halbe Zeit, denn die zu leistende Arbeit (Pumpe mal Zeit) bleibt gleich. Grafisch ist das eine fallende Hyperbel ().

Die Probe ist damit einfach und prüfungssicher: Ist der Quotient

\tfrac{y}{x}

über die Wertepaare konstant, liegt direkte Proportionalität vor; ist das Produkt

x\cdot y

konstant, indirekte. Den Operator „entscheiden" beantwortet man genau über diese beiden Konstanten.

Der sichere Standardweg ist der Schluss über die Einheit: Erst die Einheitsmenge bestimmen (Mehl pro Person, Zeit für eine Pumpe), dann auf die gefragte Anzahl hochrechnen. Bei indirekter Proportionalität rechnet man dabei über die konstante Gesamtmenge

k=x\cdot y

.

Anschaulich verraten schon die Graphen die Art: Die Ursprungsgerade startet im Nullpunkt und steigt gleichmäßig, die Hyperbel fällt und nähert sich beiden Achsen, ohne sie zu erreichen. Wer den Sachverhalt zuerst grafisch einordnet, vermeidet den klassischen Fehler, eine indirekte Beziehung mit dem direkten Dreisatz zu behandeln.

Vokabeln

→ Kartei

direkte Proportionalität$y=k\cdot x$; der Quotient $\tfrac{y}{x}$ ist konstant.
indirekte Proportionalität$y=\tfrac{k}{x}$; das Produkt $x\cdot y$ ist konstant.
ProportionalitätskonstanteDer Faktor $k$; er trägt Einheit und Sachbedeutung.
Schluss durch die EinheitLösungsweg über die Einheitsmenge: erst auf eins herunter, dann hoch.
MaßstabVerhältnis von Bild- zu Originallänge; bei Flächen quadratisch, bei Volumina kubisch wirksam.
HyperbelGraph der indirekten Proportionalität; nähert sich beiden Achsen, ohne sie zu erreichen.

Proportionalitätsarten

y=k\cdot x\;(\text{direkt}),\quad x\cdot y=k\;(\text{indirekt})

$k$ ist die Proportionalitätskonstante mit Einheit und Sachbedeutung. Konstanter QUOTIENT bedeutet direkte, konstantes PRODUKT indirekte Proportionalität - die Probe an den Wertepaaren entscheidet die Aufgabe.

Musterbeispiel

Indirekte Proportionalität (Pumpenaufgabe)

Vier Pumpen brauchen 9 Stunden. Wie lange brauchen sechs Pumpen?

Schritt 1 - Art bestimmen
Mehr Pumpen => weniger Zeit: indirekte Proportionalität, also $\text{Pumpen}\cdot \text{Zeit}=k$ .
Schritt 2 - Konstante
$k=4\cdot 9=36$ Pumpenstunden.
Schritt 3 - Auflösen
$t=\tfrac{k}{6}=\tfrac{36}{6}=6$ Stunden.

Ergebnis: Sechs Pumpen benötigen 6 Stunden.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Für ein Rezept für 4 Personen werden

600\,\mathrm{g}

Mehl benötigt. Berechne die Mehlmenge für 10 Personen. (HUM/Tourismus)

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Typische Fehler

Jeder Zusammenhang wird als direkt proportional behandelt; der Dreisatz wird dann falsch herum angesetzt.
Bei indirekter Proportionalität wird der Quotient statt des Produkts konstant gehalten.
Der Maßstab wird bei Flächen linear umgerechnet. Bei $1:100$ ist eine Fläche im Original $100^{2}=10\,000$ -mal so groß.
Die Konstante $k$ wird ohne Einheit geführt; sie trägt aber die eigentliche Sachbedeutung, etwa Pumpenstunden.
Die Grenzen des Modells bleiben unerwähnt - kein Zusammenhang ist über beliebige Bereiche proportional.

Aktive Wiederholung

Vier Pumpen leeren ein Becken in 9 Stunden. Berechne, wie lange sechs gleich starke Pumpen benötigen, und begründe die Proportionalitätsart.

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Fehlerfortpflanzung bei Messgrößen#

~3 Min LesezeitVertiefungB-1.4

Wenn man aus gemessenen Größen eine neue berechnet - etwa eine Fläche aus zwei Längen oder eine Dichte aus Masse und Volumen -, vererben sich deren Unsicherheiten auf das Ergebnis. Die Fehlerfortpflanzung beschreibt, wie groß dieser geerbte Fehler ist, und damit, wie genau das Endergebnis überhaupt sein kann.

Jede Eingangsgröße trägt einen absoluten Fehler

\Delta x

und einen relativen Fehler

\tfrac{\Delta x}{x}

. Welcher davon sich fortpflanzt, hängt von der Rechenoperation ab - das ist der Schlüssel zur ganzen Fehlerrechnung.

Bei Summen und Differenzen addieren sich die absoluten Fehler:

\Delta(x\pm y)\approx \Delta x+\Delta y

. Anschaulich kann sich die Abweichung im ungünstigsten Fall aufsummieren, deshalb wird mit dem Maximalfehler gerechnet.

Bei Produkten und Quotienten addieren sich dagegen die relativen Fehler:

\tfrac{\Delta(xy)}{xy}\approx \tfrac{\Delta x}{x}+\tfrac{\Delta y}{y}

. Eine Fläche

A=a\cdot b

aus zwei je

1\,\%

genauen Längen ist also nur noch etwa

2\,\%

genau.

Beim Potenzieren

y=x^{n}

vervielfacht sich der relative Fehler mit dem Exponenten:

\tfrac{\Delta y}{y}\approx |n|\cdot \tfrac{\Delta x}{x}

. Daraus folgt, warum Volumina besonders empfindlich sind - ein

1\,\%

ungenauer Radius liefert ein rund

3\,\%

ungenaues Kugelvolumen (). Längen, Flächen und Volumina stehen im Fehler im Verhältnis

1:2:3

.

Potenzen verstärken den relativen Fehler

Abb. 6Bei

1\,\%

Eingangsfehler wächst der relative Fehler des Ergebnisses proportional zur Potenz: Länge

1\,\%

, Fläche

2\,\%

, Volumen

3\,\%

.

Abb. 6 ↓

In der Matura sind hier die Operatoren „abschätzen" und „beurteilen" zentral: Man bestimmt den Gesamtfehler aus den Einzelfehlern und begründet daraus die sinnvolle Stellenzahl des Endergebnisses. Eine überpräzise Angabe täuscht eine Genauigkeit vor, die die Messungen nicht hergeben - das Ergebnis ist nur auf so viele Stellen sinnvoll, wie der Gesamtfehler zulässt.

Vokabeln

→ Kartei

FehlerfortpflanzungWeitergabe der Eingangsunsicherheiten auf eine berechnete Größe.
MaximalfehlerabschätzungRechnung mit dem ungünstigsten Zusammentreffen aller Einzelfehler.
AuslöschungStarkes Anwachsen des relativen Fehlers bei der Differenz nahezu gleich großer Werte.
empfindliche GrößeEingangsgröße, deren Fehler das Ergebnis überproportional beeinflusst.
signifikante StellenAnzahl verlässlicher Ziffern des Ergebnisses; sie folgt aus dem Gesamtfehler.
ToleranzketteSumme aller Einzeltoleranzen in einer Fertigungsfolge.

Fehlerfortpflanzung

\dfrac{\Delta(xy)}{xy}\approx \dfrac{\Delta x}{x}+\dfrac{\Delta y}{y},\quad \dfrac{\Delta(x^{n})}{x^{n}}\approx |n|\,\dfrac{\Delta x}{x}

Bei Produkt und Quotient addieren sich die RELATIVEN Fehler, beim Potenzieren vervielfacht sich der relative Fehler mit dem Betrag des Exponenten. Deshalb ist ein Volumen aus einem 1 % ungenauen Radius nur noch rund 3 % genau.

Musterbeispiel

Relativer Fehler einer Rechteckfläche

Mit $a=12{,}0\pm 0{,}1\,\mathrm{cm}$ und $b=8{,}0\pm 0{,}1\,\mathrm{cm}$ : relativer Fehler von $A=a\cdot b$ .

Schritt 1 - Einzelfehler
Relativer Fehler von $a$ : $\tfrac{0{,}1}{12}\approx 0{,}0083$ ; von $b$ : $\tfrac{0{,}1}{8}=0{,}0125$ .
Schritt 2 - Addieren
Bei Produkt addieren sich die relativen Fehler: $0{,}0083+0{,}0125=0{,}0208$ .
Schritt 3 - Deuten
Der relative Fehler von $A$ beträgt rund $2{,}1\,\%$ ; mit $A=96\,\mathrm{cm}^{2}$ entspricht das $\Delta A\approx 2\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Ergebnis: Relativer Fehler $\approx 2{,}1\,\%$ , also $A\approx 96\pm 2\,\mathrm{cm}^{2}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Der Radius einer Kugel wird mit

r=5{,}0\,\mathrm{cm}

und einem relativen Fehler von

1\,\%

gemessen. Schätze den relativen Fehler des Volumens

V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}

ab. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei Produkten werden die absoluten Fehler addiert; dort addieren sich die relativen.
Beim Potenzieren wird der Exponent vergessen; der relative Fehler vervielfacht sich mit ihm.
Das Ergebnis wird genauer angegeben, als die ungenaueste Eingangsgröße erlaubt.
Bei der Differenz nahezu gleich großer Werte wird der stark wachsende relative Fehler übersehen - dort ist die Rechnung besonders empfindlich.
Der Fehler wird mit Vorzeichen geführt; für den Maximalfehler werden ausschließlich Beträge addiert.

Aktive Wiederholung

Ein Quader hat die Kanten $a=12{,}0\,\mathrm{cm}$ und $b=8{,}0\,\mathrm{cm}$ , jeweils mit $\pm 0{,}1\,\mathrm{cm}$ Messunsicherheit. Schätze den relativen Fehler des Flächeninhalts $A=a\cdot b$ ab.

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