Messung, Experiment und Fehlerrechnung — Physik · Matura-Zusammenfassung

Messunsicherheit und Standardabweichung#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Mess-10.1

Keine Messung liefert exakt den wahren Wert - jede ist mit einer Unsicherheit behaftet. Man unterscheidet zwei Arten: Zufällige Fehler streuen unregelmäßig um den wahren Wert (Ablesen, Rauschen) und mitteln sich bei Wiederholung heraus; systematische Fehler verzerren alle Messungen in dieselbe Richtung (etwa ein falsch kalibriertes Gerät) und lassen sich durch Mitteln nicht beseitigen.

Eine Messreihe fasst man durch zwei Kenngrößen zusammen: den Mittelwert

\bar x=\frac{1}{n}\sum x_{i}

als bestes Schätzmaß für den wahren Wert und die Standardabweichung

\sigma

als Maß für die Streuung der Einzelmessungen.

Entscheidend - und oft verwechselt - ist die Unsicherheit des Mittelwerts:

u(\bar x)=\sigma/\sqrt n

. Sie ist um den Faktor

\sqrt n

kleiner als

\sigma

, denn der Mittelwert vieler Messungen ist verlässlicher als eine Einzelmessung.

Das Ergebnis schreibt man als

x=\bar x\pm u(\bar x)

. Dabei richtet sich die Zahl der signifikanten Stellen nach der Unsicherheit: Diese rundet man auf ein bis zwei signifikante Stellen, den Mittelwert auf dieselbe Dezimalstelle.

Der internationale Standard für solche Angaben ist der GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). Er sorgt dafür, dass Messergebnisse weltweit einheitlich und vergleichbar dokumentiert werden ().

Messunsicherheit - Streuung um Mittelwert

Abb. 1Mittelwert mit Fehlerbalken zeigt Standardabweichung der Einzelmessungen.

Abb. 1 ↓

Bei wenigen Messungen (

n<10

) unterschätzt der einfache Faktor

\sigma/\sqrt n

das Vertrauensintervall; dann korrigiert man mit dem Student-t-Faktor, der mit sinkender Messzahl wächst und das Intervall realistisch verbreitert.

Der Unterschied zwischen den beiden Streuungsmaßen entscheidet über die Angabe im Protokoll. Die Standardabweichung

\sigma

beschreibt, wie stark die EINZELMESSUNGEN streuen - sie sinkt nicht, wenn man häufiger misst. Die Unsicherheit des Mittelwerts

u(\bar x)=\tfrac{\sigma}{\sqrt n}

beschreibt dagegen, wie gut der MITTELWERT bestimmt ist, und sinkt mit der Wurzel aus der Messanzahl. Wer den Erwartungswert angibt, nennt

u(\bar x)

; wer die Streuung eines Einzelwerts beschreibt, nennt

\sigma

. Zu jedem Ergebnis gehört außerdem die Angabe des Vertrauensniveaus, denn

\bar x\pm u

überdeckt den wahren Wert nur mit etwa 68 % Wahrscheinlichkeit.

Vokabeln

→ Kartei

MessunsicherheitStreubereich, in dem der wahre Wert erwartet wird.
StandardabweichungStreuung der Einzelmessungen; unabhängig von der Anzahl der Messungen.
Unsicherheit des Mittelwerts$\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$; sie sinkt mit wachsender Messanzahl.
zufälliger FehlerStreut in beide Richtungen; durch Mittelung verkleinerbar.
systematischer FehlerVerschiebt alle Werte gleichsinnig; durch Mittelung nicht behebbar.
VertrauensniveauWahrscheinlichkeit, mit der das angegebene Intervall den wahren Wert überdeckt.

Empirische Standardabweichung

\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar x)^{2}}

$\bar x$ ist das Stichprobenmittel, $n$ die Anzahl der Messungen. Der Nenner $n-1$ statt $n$ macht die Schätzung erwartungstreu; $\sigma$ beschreibt die Streuung der EINZELWERTE und sinkt nicht durch häufigeres Messen.

Standardunsicherheit des Mittelwerts

u(\bar x)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Sie beschreibt, wie gut der MITTELWERT bestimmt ist, und sinkt mit der Wurzel aus der Messanzahl. Vierfache Messanzahl halbiert die Unsicherheit - im Protokoll gehört diese Größe hinter das $\pm$ .

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Periodendauer-Messung

$n=5$ Messungen wie oben.

Mittelwert
$\bar T=(1{,}98+2{,}03+2{,}01+1{,}97+2{,}04)/5=2{,}006$ s.
Standardabweichung
$\sigma\approx 0{,}031$ s.
Unsicherheit
$u(\bar T)=0{,}031/\sqrt 5\approx 0{,}014$ s.

Ergebnis: $T=(2{,}01\pm 0{,}01)$ s.

Musterbeispiel

Student-t-Korrektur bei kleiner Stichprobe

Aus denselben $n=5$ Messungen ( $\bar T=2{,}006$ s, Stichproben-Standardabweichung $s=0{,}031$ s) soll ein $95\%$ -Vertrauensintervall angegeben werden. Warum reicht der Faktor $k=2$ hier nicht?

Standardunsicherheit
$u(\bar T)=s/\sqrt n=0{,}031/\sqrt 5\approx 0{,}014$ s.
Freiheitsgrade
$\nu=n-1=4$ ; aus der t-Tabelle $t_{95\%,\,4}=2{,}776$ (statt $\approx 2{,}0$ der Normalverteilung).
Erweiterte Unsicherheit
$U=t\cdot u(\bar T)=2{,}776\cdot 0{,}014\approx 0{,}038$ s.
Vergleich
Mit $k=2$ ergäbe sich nur $0{,}027$ s; bei wenigen Messungen unterschätzt $k=2$ das Intervall.

Ergebnis: $95\%$ -Intervall: $T=(2{,}01\pm 0{,}04)$ s. Für kleine $n$ vergrößert der Student-t-Faktor das Vertrauensintervall; erst für große $n$ geht $t$ gegen den Normalwert.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Zufällige Fehler streuen, systematische Fehler verzerren - beide müssen gesondert behandelt werden.
2
Mittelwert und Standardabweichung sind die Grundgrößen jeder Messreihe.
3
Die Unsicherheit des Mittelwerts ist kleiner als die der Einzelmessungen, nämlich um Wurzel n.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre den Unterschied zwischen zufälligen und systematischen Fehlern. Aus fünf Wiederholungsmessungen einer Strecke erhältst du:

1{,}24; 1{,}26; 1{,}23; 1{,}25; 1{,}27

m. Gib das Ergebnis mit Unsicherheit an.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\sigma$ und $u(\bar x)$ werden verwechselt; der Faktor $\sqrt n$ fehlt.
Die Unsicherheit wird mit zu vielen signifikanten Stellen angegeben.
Systematische Fehler werden in die Standardabweichung „hineingerechnet"; sie verschieben alle Werte gleichsinnig und tauchen in der Streuung nicht auf.
Mittelwert und Unsicherheit werden auf verschiedene Stellen gerundet.
Das Vertrauensniveau wird nicht genannt; $\bar x\pm u$ überdeckt den wahren Wert nur mit rund 68 % Wahrscheinlichkeit.

Aktive Wiederholung

Messdaten: $T$ in s: $1{,}98; 2{,}03; 2{,}01; 1{,}97; 2{,}04$ . Berechne Mittelwert, Standardabweichung und Unsicherheit des Mittelwerts.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: BIPM GUM - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (BIPM)

Fehlerfortpflanzung und Regression#

~5 Min LesezeitVertiefungPHY-Mess-10.2

Wird eine gesuchte Größe aus mehreren gemessenen berechnet, pflanzen sich deren Unsicherheiten fort. Nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung addieren sich die Beiträge nicht einfach, sondern quadratisch (als Wurzel der Summe der Quadrate) - so heben sich unabhängige Fehler im Mittel teilweise gegenseitig auf.

Die Regel hängt von der Rechenart ab: Bei Addition und Subtraktion addieren sich die absoluten Unsicherheiten quadratisch, bei Multiplikation und Division dagegen die relativen Unsicherheiten quadratisch. Letzteres ist der häufigste Fall, etwa bei der Dichte

\rho=m/V

.

Bei Potenzbeziehungen

y=x^{n}

verstärkt sich der relative Fehler um den Faktor

n

:

u(y)/y=|n|\cdot u(x)/x

. Eine quadratische Abhängigkeit verdoppelt also den relativen Fehler - das wird in Maturaaufgaben häufig übersehen.

Für lineare Zusammenhänge bestimmt die lineare Regression die bestmögliche Ausgleichsgerade durch streuende Messpunkte (). Sie liefert Steigung und Achsenabschnitt jeweils mit ihrer Standardunsicherheit.

Lineare Regression durch Messpunkte

Abb. 2Die Ausgleichsgerade legt sich bestmöglich durch die streuenden Messpunkte; ihre Steigung trägt die physikalische Information.

Abb. 2 ↓

Steigung und Achsenabschnitt sind physikalisch zu deuten und mit Einheit anzugeben - eine Regressionssteigung ohne Einheit ist wertlos. Das Bestimmtheitsmaß

R^{2}

gibt an, welcher Anteil der Streuung durch das lineare Modell erklärt wird (

R^{2}=1

bedeutet eine perfekte Gerade).

Systematische Abweichungen der Daten von der erwarteten Geraden sind keine bloßen Messfehler, sondern Hinweise auf Modellgrenzen: Eine deutliche Krümmung kann zeigen, dass der angenommene lineare Zusammenhang nur näherungsweise gilt.

Bei der Fortpflanzung ist zwischen zwei Rechenweisen zu unterscheiden, und die Aufgabenstellung sagt, welche gemeint ist. Die Maximalfehlerabschätzung addiert die Beiträge mit Betrag und nimmt das ungünstigste Zusammentreffen an; sie ist die im Unterricht übliche und liefert eine sichere Obergrenze. Die statistische Fortpflanzung addiert dagegen QUADRATISCH (

u^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}

), weil unabhängige zufällige Fehler einander teilweise ausgleichen - sie liefert den realistischeren, kleineren Wert. Beide Wege sind zulässig, dürfen aber nicht vermischt werden, und die gewählte Methode gehört im Protokoll benannt.

Vokabeln

→ Kartei

FehlerfortpflanzungWeitergabe der Eingangsunsicherheiten auf das Rechenergebnis.
MaximalfehlerUngünstigstes Zusammentreffen aller Einzelfehler; sichere Obergrenze.
quadratische AdditionStatistische Kombination unabhängiger Unsicherheiten, $u^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}$.
lineare RegressionAusgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate.
Bestimmtheitsmaß$R^{2}$; Anteil der durch das Modell erklärten Streuung.
ResiduumAbweichung eines Messpunkts von der Ausgleichsgeraden.

Gaussche Fehlerfortpflanzung

u(f)=\sqrt{\sum_{i}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)^{2}u(x_{i})^{2}}

$\tfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$ sind die partiellen Ableitungen nach den Eingangsgrößen. Die QUADRATISCHE Addition setzt voraus, dass die Einzelunsicherheiten unabhängig sind; sie liefert kleinere und realistischere Werte als die Maximalfehlerabschätzung.

Lineare Regression (kleinste Quadrate)

y = k\,x + d;\quad k=\dfrac{\sum(x_{i}-\bar x)(y_{i}-\bar y)}{\sum(x_{i}-\bar x)^{2}}

$k$ ist die Steigung mit der Einheit y je Einheit x, $d$ der Achsenabschnitt. Die Gerade minimiert die Summe der quadrierten senkrechten Abstände; zur vollständigen Angabe gehört die Unsicherheit der Steigung.

Musterbeispiel

Pendelmessung zur Schwerebeschleunigung

$T=(2{,}01\pm 0{,}02)$ s, $l=(1{,}00\pm 0{,}005)$ m.

Formel
$g=4\pi^{2}l/T^{2}$ .
Wert
$g=4\pi^{2}\cdot 1{,}00/2{,}01^{2}\approx 9{,}77$ m/s $^{2}$ .
Relative Unsicherheit
$u_{g}/g=\sqrt{(u_{l}/l)^{2}+(2 u_{T}/T)^{2}}=\sqrt{0{,}005^{2}+(0{,}0199)^{2}}\approx 0{,}0205$ .
Absolut
$u_{g}\approx 0{,}20$ m/s $^{2}$ .

Ergebnis: $g=(9{,}77\pm 0{,}20)$ m/s $^{2}$ .

Musterbeispiel

Fehlerfortpflanzung bei Dichte-Messung

Eine Kugel hat $m=(50{,}0\pm 0{,}1)$ g und $V=(18{,}5\pm 0{,}3)$ cm $^{3}$ . Welche Dichte mit Unsicherheit?

Dichte
$\rho=m/V=50/18{,}5\approx 2{,}703$ g/cm $^{3}$ .
Relative Unsicherheiten
$u_{m}/m=0{,}002$ , $u_{V}/V\approx 0{,}016$ .
Quadratisch addieren
$u_{\rho}/\rho=\sqrt{0{,}002^{2}+0{,}016^{2}}\approx 0{,}0162$ .
Absolutwert
$u_{\rho}\approx 0{,}044$ g/cm $^{3}$ .

Ergebnis: Dichte $\rho=(2{,}70\pm 0{,}04)$ g/cm $^{3}$ .

Musterbeispiel

Federkonstante aus Messdaten

Eine Feder wird mit unterschiedlichen Massen belastet. Daten: $F$ in N: $0; 1{,}0; 2{,}0; 3{,}0; 4{,}0$ ; $s$ in cm: $0; 2{,}1; 4{,}1; 6{,}0; 8{,}2$ . Bestimme die Federkonstante durch lineare Regression.

Mittelwerte
$\bar F=2{,}0$ N, $\bar s=4{,}08$ cm.
Steigung
$D=\Delta F/\Delta s\approx 4{,}0\text{ N}/0{,}082\text{ m}=48{,}8$ N/m.
Regression
Genaue Auswertung mit kleinster Quadrate liefert $D\approx 49{,}1\pm 1{,}2$ N/m.

Ergebnis: Federkonstante $D\approx 49{,}1$ N/m mit Standardunsicherheit ca. $\pm 1{,}2$ N/m.

Musterbeispiel

Gausssche Fehlerfortpflanzung mit Ableitungen

Die kinetische Energie $E=\tfrac{1}{2}m v^{2}$ wird aus $m=(0{,}500\pm 0{,}002)$ kg und $v=(12{,}0\pm 0{,}3)$ m/s bestimmt. Berechne $E$ und seine Unsicherheit über die allgemeine Gauss-Formel mit partiellen Ableitungen.

Bestwert
$E=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}500\cdot 12{,}0^{2}=36{,}0$ J.
Partielle Ableitungen
$\dfrac{\partial E}{\partial m}=\tfrac{1}{2}v^{2}=72{,}0$ J/kg, $\dfrac{\partial E}{\partial v}=m v=6{,}00$ J $\cdot$ s/m.
Einzelbeiträge
$\left(\tfrac{\partial E}{\partial m}u_{m}\right)=72{,}0\cdot 0{,}002=0{,}144$ J; $\left(\tfrac{\partial E}{\partial v}u_{v}\right)=6{,}00\cdot 0{,}3=1{,}80$ J.
Quadratisch kombinieren
$u_{E}=\sqrt{0{,}144^{2}+1{,}80^{2}}\approx 1{,}81$ J.
Kontrolle (relative Form)
$u_{E}/E=\sqrt{(u_{m}/m)^{2}+(2u_{v}/v)^{2}}\approx 0{,}050$ , also $u_{E}\approx 1{,}81$ J - gleiches Ergebnis.

Ergebnis: $E=(36{,}0\pm 1{,}8)$ J; die Geschwindigkeit dominiert die Unsicherheit, weil sie quadratisch eingeht ( $2u_{v}/v$ ).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bei der Fehlerfortpflanzung addieren sich Unsicherheiten quadratisch.
2
Lineare Regression liefert die beste Gerade durch Messpunkte und Unsicherheiten für Steigung und Achsenabschnitt.
3
Das Bestimmtheitsmass R im Quadrat zeigt, wie gut die Modellannahme die Daten beschreibt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere das Prinzip der linearen Regression an einem Beispiel (z. B. F-s-Diagramm einer Feder). Was kann aus Steigung und Achsenabschnitt physikalisch abgelesen werden? Diskutiere kurz die Aussagekraft des Bestimmtheitsmasses.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Relative und absolute Unsicherheiten werden vermischt.
Bei Wurzel- oder Potenzbeziehungen fehlt der Faktor $n$ in der relativen Unsicherheit.
Die Regressionssteigung wird ohne Einheit angegeben; sie trägt stets die Einheit y je Einheit x.
Maximalfehler- und statistische Fortpflanzung werden im selben Ansatz vermischt.
Ein hohes $R^{2}$ wird als Beleg für die Richtigkeit des Modells gedeutet; es misst nur die Anpassungsgüte.

Aktive Wiederholung

In einem Schwerebeschleunigungs-Experiment werden Periodendauer $T=(2{,}01\pm 0{,}02)$ s und Pendellänge $l=(1{,}00\pm 0{,}005)$ m gemessen. Berechne $g$ und seine Unsicherheit.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: OpenStax College Physics - Measurement Uncertainty (OpenStax)

Diagramminterpretation und Linearisierung#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Mess-10.3

s(t) beim freien Fall

Abb. 4s(t) = 0.5 g t^2 mit g = 9.81 m/s^2.

Ein physikalisches Diagramm ist nur dann aussagekräftig, wenn beide Achsen mit Größe und Einheit beschriftet sind und die Skalen sinnvoll, also nicht irreführend, gewählt sind. Das ist die Grundvoraussetzung jeder Auswertung.

Steigung und Achsenabschnitt einer Geraden tragen physikalische Bedeutung: Im

v

-

t

-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung (), im

s

-

t

-Diagramm die Geschwindigkeit. Wichtig ist, die Steigung aus Achsenwerten mit Einheit zu berechnen, nicht aus gezählten Kästchen.

v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Abb. 3Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.

Abb. 3 ↓

Auch Flächen unter Graphen sind bedeutungstragend: Die Fläche im

v

-

t

-Diagramm ist der zurückgelegte Weg, die im

F

-

s

-Diagramm die verrichtete Arbeit. Wer Steigung und Fläche richtig deutet, kann ein Diagramm vollständig auslesen.

Viele physikalische Zusammenhänge sind nicht linear; durch Linearisierung überführt man sie in eine Gerade, indem man geeignete Größen gegeneinander aufträgt. Aus der Geraden lassen sich die gesuchten Konstanten dann besonders einfach und genau bestimmen.

Typische Linearisierungen sind

T^{2}

gegen

l

beim Pendel,

\ln N

gegen

t

beim radioaktiven Zerfall,

1/b

gegen

1/g

bei der Linse und

p

gegen

1/V

bei Boyle-Mariotte. Die richtige Wahl der aufgetragenen Größen ist der Kern der Aufgabe.

Eine Gerade durch den Ursprung belegt direkte Proportionalität; ein von null verschiedener Achsenabschnitt verrät dagegen einen systematischen Effekt (etwa eine Reaktionszeit oder einen Nullpunktsfehler) und ist deshalb stets mitzubetrachten.

Die Linearisierung ist das wichtigste Auswertewerkzeug des Physikunterrichts, weil eine Gerade als einzige Kurvenform zuverlässig von Hand zu beurteilen ist. Man formt den vermuteten Zusammenhang so um, dass er die Gestalt

y=k\,x+d

annimmt, und trägt die entsprechend gewählten Größen auf: beim Fadenpendel

T^{2}

gegen

l

, beim Federpendel

T^{2}

gegen

m

, beim exponentiellen Zerfall

\ln N

gegen

t

, beim Ohmschen Gesetz

U

gegen

I

. Aus der Steigung folgt dann die gesuchte Konstante - beim Pendel etwa

g=\tfrac{4\pi^{2}}{k}

. Der Achsenabschnitt ist dabei kein Beiwerk: Weicht er deutlich von null ab, obwohl das Modell null verlangt, ist das der Hinweis auf einen systematischen Fehler.

Vokabeln

→ Kartei

LinearisierungUmformung eines Zusammenhangs in die Gestalt $y=k\,x+d$.
SteigungsdreieckHilfsdreieck zur Steigungsbestimmung; je größer, desto genauer.
AusgleichsgeradeGerade, die den Verlauf der Messpunkte am besten wiedergibt.
AchsenabschnittOrdinatenwert bei $x=0$; ein unerwarteter Wert deutet auf einen systematischen Fehler.
halblogarithmische AuftragungEine Achse logarithmisch; exponentielle Zusammenhänge werden dadurch zu Geraden.
FehlerbalkenGrafische Darstellung der Messunsicherheit an jedem Datenpunkt.

Linearisierung des Fadenpendels (T² gegen l)

T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{g}\,l

Trägt man $T^{2}$ über der Pendellänge auf, entsteht eine Ursprungsgerade mit der Steigung $\tfrac{4\pi^{2}}{g}$ . Aus ihr folgt $g=\tfrac{4\pi^{2}}{k}$ - der klassische Schulversuch zur Bestimmung der Fallbeschleunigung.

Musterbeispiel

Schwerebeschleunigung aus der Pendel-Geraden

Ein $T^{2}$ -gegen- $l$ -Diagramm liefert die Steigung $k=4{,}03$ s $^{2}$ /m. Bestimme $g$ .

Modell
$T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{g}\,l$ , also Steigung $k=4\pi^{2}/g$ .
Auflösen
$g=\dfrac{4\pi^{2}}{k}=\dfrac{39{,}48}{4{,}03}$ .
Auswertung
$g\approx 9{,}80$ m/s $^{2}$ .

Ergebnis: $g\approx 9{,}80$ m/s $^{2}$ - in guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert $9{,}81$ m/s $^{2}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Diagramme sind nur aussagekräftig mit beschrifteten Achsen und sinnvollen Skalen.
v-t-Diagramm - gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Abb.Steigung gleich Beschleunigung a, Fläche unter Graph gleich zurückgelegter Weg s.
2
Linearisierung verwandelt einen krummen Zusammenhang in eine Gerade, deren Steigung die gesuchte Größe liefert.
3
Steigung und Achsenabschnitt tragen physikalische Bedeutung und verraten systematische Fehler.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre am Beispiel des Fadenpendels, wie man durch Linearisierung aus Messdaten die Erdbeschleunigung bestimmt. Welche Bedeutung haben Steigung und Achsenabschnitt in deinem Diagramm?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Steigung wird ohne Einheit angegeben oder aus Kästchen statt Achsenwerten bestimmt.
Die Linearisierung erfolgt mit der falschen Achsengröße, etwa $T$ statt $T^{2}$ beim Pendel.
Der Achsenabschnitt wird ignoriert, obwohl das Modell null verlangt.
Das Steigungsdreieck wird zu klein gewählt; der Ablesefehler wird dadurch unnötig groß.
Messpunkte werden mit einer Zickzacklinie verbunden statt durch eine Ausgleichsgerade ersetzt.

Aktive Wiederholung

Bei einer Pendelmessung wird für mehrere Längen $l$ die Periodendauer $T$ bestimmt. Wie linearisiert man $T=2\pi\sqrt{l/g}$ , und wie liest man $g$ aus der Steigung ab? Beschreibe die Auswertung.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Graphical Analysis (OpenStax)

Experimentdesign, Genauigkeit und Präzision#

~4 Min LesezeitBasisPHY-Mess-10.4

Zwei Qualitätsmerkmale einer Messung sind streng zu trennen: Die Genauigkeit beschreibt, wie nahe das Ergebnis am wahren Wert liegt (Richtigkeit), die Präzision, wie wenig die Werte streuen (Reproduzierbarkeit). Am Zielscheibenbild: Genauigkeit heißt Treffer nahe der Mitte, Präzision heißt Treffer eng beieinander ().

Messunsicherheit - Streuung um Mittelwert

Abb. 5Mittelwert mit Fehlerbalken zeigt Standardabweichung der Einzelmessungen.

Abb. 5 ↓

Beide sind voneinander unabhängig: Eine Messreihe kann präzise, aber durch einen systematischen Fehler ungenau sein (eng gestreut, doch neben der Mitte) - oder im Mittel genau, aber unpräzise. Gute Experimente streben beides zugleich an.

Das wichtigste Planungsprinzip ist die Variablenkontrolle: Man verändert nur eine unabhängige Größe und hält alle anderen konstant (Kontrollexperiment). Nur so lässt sich eine beobachtete Wirkung eindeutig der veränderten Ursache zuordnen.

Die beiden Fehlerarten bekämpft man mit unterschiedlichen Mitteln: Mehrfachmessungen und Mittelung verringern zufällige Fehler (verbessern die Präzision), während Kalibrierung und Korrektur systematische Fehler beseitigen (verbessern die Genauigkeit). Mitteln allein hilft gegen einen systematischen Fehler nicht.

Auflösung und Empfindlichkeit eines Messgeräts begrenzen die kleinste sinnvoll erfassbare Unsicherheit: Eine Stoppuhr mit

0{,}01

-s-Anzeige kann keine Genauigkeit von

0{,}001

s liefern. Das Gerät muss zur geforderten Genauigkeit passen.

Die Zahl der signifikanten Stellen eines Ergebnisses spiegelt die Messgenauigkeit wider, nicht die Stellenanzahl des Taschenrechners. Mehr Stellen anzugeben, als die Messung hergibt, täuscht eine nicht vorhandene Genauigkeit vor.

Die Variablenkontrolle ist der Kern jedes belastbaren Experiments: Genau eine Größe wird verändert (die unabhängige Variable), genau eine gemessen (die abhängige), alle übrigen werden konstant gehalten. Wer zwei Größen gleichzeitig ändert, kann die Wirkung keiner von beiden zuordnen. Dazu kommen drei Maßnahmen, die sich unterschiedlichen Fehlerarten widmen: Wiederholungsmessungen und Mittelwertbildung verringern ZUFÄLLIGE Fehler, Kalibrierung und Nullpunktabgleich beseitigen SYSTEMATISCHE, und eine Vergleichs- oder Blindmessung deckt unbemerkte Einflüsse auf. Der entscheidende Satz dazu: Ein systematischer Fehler lässt sich durch häufigeres Messen nicht verkleinern - er verschiebt jeden Wert in dieselbe Richtung.

Vokabeln

→ Kartei

GenauigkeitNähe des Messergebnisses zum wahren Wert.
PräzisionGeringe Streuung wiederholter Messungen; unabhängig von der Richtigkeit.
VariablenkontrolleKonstanthalten aller Größen bis auf die untersuchte.
KalibrierungAbgleich eines Messgeräts gegen einen bekannten Standard.
BlindmessungVergleichsmessung ohne den untersuchten Einfluss.
ReproduzierbarkeitWiederholbarkeit eines Ergebnisses unter denselben Bedingungen.

Relative Abweichung (Genauigkeitsmaß)

\text{rel. Abweichung}=\dfrac{|x_{\text{mess}}-x_{\text{wahr}}|}{x_{\text{wahr}}}\cdot 100\%

Sie vergleicht das Messergebnis mit einem als richtig angenommenen Referenzwert und wird in Prozent angegeben. Anders als die Standardabweichung misst sie die RICHTIGKEIT, nicht die Streuung.

Musterbeispiel

Reaktionszeit bei der Periodenmessung

Statt einer Periode misst man $10$ Perioden und teilt durch $10$ ; Reaktionsfehler $\pm 0{,}2$ s pro Start/Stopp.

Einzelmessung
Fehler pro Periode bis zu $0{,}2$ s - bei $T\approx 2$ s sind das rund $10\%$ .
Sammelmessung
Bei $10$ Perioden wirkt der Start-Stopp-Fehler nur einmal auf die Summe: $0{,}2/(10\cdot 2)\approx 1\%$ .
Schlussfolgerung
Die Unsicherheit pro Periode sinkt um den Faktor $10$ .

Ergebnis: Messen mehrerer Perioden senkt den (hier zufälligen) Reaktionsfehler erheblich; ein konstanter Versatz bliebe dagegen systematisch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Genauigkeit trifft den wahren Wert, Präzision liefert reproduzierbare Werte - beides ist nötig.
Messunsicherheit - Streuung um Mittelwert
Abb.Mittelwert mit Fehlerbalken zeigt Standardabweichung der Einzelmessungen.
2
Mit Variablenkontrolle ändert man nur eine Größe und hält alle anderen konstant.
3
Kalibrierung bekämpft systematische Fehler, Mehrfachmessung die zufälligen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre den Unterschied zwischen Genauigkeit und Präzision und erläutere das Prinzip der Variablenkontrolle an einem selbst gewählten Experiment. Welche Maßnahmen verbessern Genauigkeit, welche Präzision?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Genauigkeit und Präzision werden synonym verwendet; ein präzises Gerät kann systematisch danebenliegen.
Es werden mehr signifikante Stellen angegeben, als die Messung stützt.
Systematische Fehler sollen durch Mittelung verschwinden; das ist unmöglich.
Mehrere Variablen werden gleichzeitig verändert; die Wirkung lässt sich dann keiner zuordnen.
Die Messbedingungen werden nicht protokolliert; das Experiment ist damit nicht wiederholbar.

Aktive Wiederholung

Eine Stoppuhr misst eine Pendelperiode stets $0{,}1$ s zu lang (Reaktionszeit). Ist das ein zufälliger oder systematischer Fehler? Wie kann man ihn reduzieren, und welche Maßnahme reduziert ihn NICHT?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BIPM GUM - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (BIPM)

SI-Einheiten, Größenordnungen und Dimensionsanalyse#

~4 Min LesezeitBasisPHY-Mess-10.5

Das gesamte physikalische Maßsystem ruht auf sieben SI-Basiseinheiten: Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin, Mol und Candela. Alle anderen Einheiten - Newton, Joule, Volt und so weiter - sind aus diesen abgeleitet.

Dezimalvorsätze (Präfixe) skalieren Einheiten in Zehnerpotenzen: k (

10^{3}

), M (

10^{6}

), G (

10^{9}

) nach oben sowie m (

10^{-3}

),

\mu

(

10^{-6}

), n (

10^{-9}

) nach unten. Beim Umrechnen muss man sie konsequent berücksichtigen, etwa

1

km

=10^{3}

m.

Die Dimensionsanalyse ist die schnellste Formelkontrolle: Beide Seiten einer Gleichung müssen dieselbe Einheit (Dimension) besitzen. Stimmt das nicht, ist die Formel sicher falsch - eine Geschwindigkeit darf nie die Einheit m/s

^{2}

tragen.

Größenordnungsabschätzungen (Fermi-Aufgaben) liefern mit wenigen gerundeten Annahmen eine schnelle Plausibilitätskontrolle - etwa „wie viele Atemzüge macht ein Mensch pro Jahr?". Das Ergebnis ist nur die Zehnerpotenz, aber sie genügt oft, um eine Rechnung zu prüfen.

Sehr große und sehr kleine Werte schreibt man in wissenschaftlicher Schreibweise

a\cdot 10^{n}

mit

1\le a<10

. Das erleichtert das Rechnen und macht die Größenordnung sofort sichtbar; Längen in der Physik reichen über mehr als 40 Zehnerpotenzen, vom Atomkern bis zum Universum ().

Größenordnungen - von Atomen bis zum Universum

Abb. 6Längen erstrecken sich über mehr als 40 Zehnerpotenzen; der Maßstab ist die Zehnerpotenz

10^{n}

in Metern.

Abb. 6 ↓

Der Einheitencheck ist der erste und wichtigste Schritt jeder Plausibilitätsprüfung: Wer Einheiten von Anfang an mitführt (statt sie erst am Schluss anzuhängen) und am Ende kontrolliert, fängt die meisten Flüchtigkeitsfehler ab, bevor sie ins Ergebnis gelangen.

Die Dimensionsanalyse ist die schnellste Formelprüfung überhaupt und kostet zehn Sekunden. Man ersetzt jede Größe durch ihre Basisdimension und prüft, ob beide Seiten übereinstimmen: In

T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}

steht rechts

\sqrt{\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}}}=\sqrt{\mathrm{s}^{2}}=\mathrm{s}

- die Formel kann also stimmen. Stimmen die Dimensionen nicht, ist die Formel mit Sicherheit falsch; stimmen sie, ist sie nur möglicherweise richtig, denn dimensionslose Faktoren wie

2\pi

bleiben unsichtbar. Seit der SI-Revision 2019 sind übrigens alle sieben Basiseinheiten über Naturkonstanten festgelegt - das Urkilogramm in Paris ist Geschichte.

Vokabeln

→ Kartei

SI-BasiseinheitEine der sieben Grundeinheiten; seit 2019 alle über Naturkonstanten definiert.
DimensionsanalysePrüfung einer Formel über die Übereinstimmung der Dimensionen beider Seiten.
abgeleitete EinheitAus Basiseinheiten zusammengesetzte Einheit, etwa Newton oder Joule.
VorsatzZehnerpotenz-Vorsilbe wie Kilo, Milli oder Mikro.
GrößenordnungZehnerpotenz eines Werts; Grundlage jeder Überschlagsrechnung.
EinheitengleichungRechnung mit mitgeführten Einheiten; sie deckt Formelfehler auf.

Dimensionsanalyse des Pendels

[T]=\sqrt{\dfrac{[l]}{[g]}}=\sqrt{\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}^{2}}}=\sqrt{\text{s}^{2}}=\text{s}

Die eckigen Klammern bezeichnen die Dimension der jeweiligen Größe. Kommt am Ende eine Sekunde heraus, kann die Formel stimmen; stimmen die Dimensionen nicht, ist sie sicher falsch. Dimensionslose Faktoren wie $2\pi$ bleiben dabei allerdings unsichtbar.

Musterbeispiel

Dimensionscheck der Pendelformel

Stimmt $T=2\pi\sqrt{l/g}$ dimensional?

Einheiten einsetzen
$[l]=$ m, $[g]=$ m/s $^{2}$ .
Bruch
$\dfrac{[l]}{[g]}=\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}^{2}}=\text{s}^{2}$ .
Wurzel
$\sqrt{\text{s}^{2}}=\text{s}$ , also liefert die Formel eine Zeit.

Ergebnis: Die Formel ist dimensional korrekt - das Ergebnis hat die Einheit Sekunde (der Faktor $2\pi$ ist dimensionslos).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Alle physikalischen Einheiten lassen sich auf sieben SI-Basiseinheiten zurückführen.
2
Die Dimensionsanalyse prüft, ob eine Formel überhaupt die richtige Einheit liefert.
3
Größenordnungsabschätzungen geben schnelle Plausibilitätskontrollen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Nenne die SI-Basiseinheiten und erkläre, wie die Dimensionsanalyse zur Prüfung physikalischer Formeln dient. Schätze überschlagsmäßig ab, wie viele Atemzüge ein Mensch pro Jahr macht (Größenordnung).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Vorsätze werden beim Umrechnen vergessen oder mit der falschen Potenz angesetzt.
Einheiten werden erst am Schluss angehängt statt durchgehend mitgeführt.
Ein Dimensionsfehler bleibt unbemerkt, etwa eine Geschwindigkeit in $\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ .
Die Dimensionsanalyse wird als Beweis der Richtigkeit gedeutet; dimensionslose Faktoren bleiben unsichtbar.
Bei Flächen wird der lineare statt des quadrierten Umrechnungsfaktors verwendet.

Aktive Wiederholung

Prüfe per Dimensionsanalyse, ob die Formel $T=2\pi\sqrt{l/g}$ für die Periodendauer korrekt ist, und gib die Einheit des Ergebnisses an.

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Quellen: BIPM - The International System of Units (SI) (BIPM)

Statistische Verteilung und Ausreißer#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Mess-10.6

Messunsicherheit - Streuung um Mittelwert

Abb. 7Mittelwert mit Fehlerbalken zeigt Standardabweichung der Einzelmessungen.

Wiederholt man eine Messung mit rein zufälligen Fehlern sehr oft, häufen sich die Werte glockenförmig um den Mittelwert: Sie folgen näherungsweise einer Normalverteilung (Gauß-Glocke). Das ist der theoretische Hintergrund für die Verwendung von Mittelwert und Standardabweichung.

Die Breite der Glocke beschreibt die 68-95-99,7-Regel: Rund

68\%

aller Werte liegen innerhalb

\pm\sigma

um den Mittelwert, etwa

95\%

innerhalb

\pm 2\sigma

und

99{,}7\%

innerhalb

\pm 3\sigma

. Daraus ergeben sich die üblichen Vertrauensintervalle.

Ausreißer sind einzelne Werte weit außerhalb der erwarteten Streuung. Man darf sie nicht beliebig streichen, sondern nur mit nachvollziehbarer Begründung (etwa ein dokumentierter Messfehler) - sonst manipuliert man das Ergebnis.

Mittelwert und Median fallen bei symmetrischen Verteilungen zusammen, weichen aber bei schiefen Verteilungen oder einzelnen Ausreißern voneinander ab. Der Median ist robuster gegen Ausreißer, weil ein einzelner Extremwert ihn kaum verschiebt.

Histogramme veranschaulichen die Häufigkeitsverteilung der Messwerte: Sie zeigen auf einen Blick, ob die Daten symmetrisch streuen, schief sind oder Ausreißer enthalten - eine wichtige erste Sichtprüfung vor jeder weiteren Auswertung.

Mehr Messungen schärfen die Verteilung des Mittelwerts: Der Standardfehler nimmt mit

1/\sqrt n

ab. Will man die Unsicherheit halbieren, braucht man die vierfache Anzahl an Messungen - der Aufwand wächst also überproportional.

Der Umgang mit Ausreißern verlangt eine Begründung, nie eine stille Löschung. Ein Wert, der weit außerhalb der übrigen liegt, darf nur dann verworfen werden, wenn sich ein konkreter Grund benennen lässt - ein Ablesefehler, eine Störung während der Messung, ein falsch eingestelltes Gerät. Fehlt dieser Grund, bleibt der Wert in der Auswertung und wird kommentiert. Als Faustregel dient das

3\sigma

-Kriterium: Bei normalverteilten Daten liegen 99,7 % der Werte innerhalb von drei Standardabweichungen, ein Wert darüber hinaus ist verdächtig - aber eben nur verdächtig. Wer Werte ohne Begründung streicht, weil sie nicht passen, betreibt Datenfrisieren; das ist kein Rundungsfehler, sondern ein methodischer Verstoß.

Vokabeln

→ Kartei

NormalverteilungGlockenförmige Verteilung; typisch für viele kleine unabhängige Störeinflüsse.
HistogrammBalkendiagramm der Häufigkeiten klassierter Messwerte.
68-95-99,7-RegelAnteile innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen.
AusreißerWeit abliegender Messwert; seine Behandlung gehört begründet.
MedianMittlerer Wert der geordneten Reihe; unempfindlich gegen Ausreißer.
DatenfrisierenUnbegründetes Streichen unpassender Werte; ein methodischer Verstoß.

95-Prozent-Intervall der Normalverteilung

P(|x-\bar x|\le 2\sigma)\approx 95\%

$\sigma$ ist die Standardabweichung der Messreihe. Im Intervall $\bar x\pm\sigma$ liegen rund 68 %, in $\bar x\pm2\sigma$ rund 95 % und in $\bar x\pm3\sigma$ rund 99,7 % aller Werte - die Grundlage jeder Ausreißerbeurteilung.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

95-Prozent-Intervall und Ausreißer

$\bar x=10{,}0$ , $\sigma=0{,}2$ ; Wert $11{,}5$ beurteilen.

2-Sigma-Intervall
$\bar x\pm 2\sigma=10{,}0\pm 0{,}4$ , also $[9{,}6;\,10{,}4]$ .
Abstand des Werts
$11{,}5$ liegt $(11{,}5-10{,}0)/0{,}2=7{,}5$ Standardabweichungen entfernt.
Beurteilung
Ein $7{,}5\sigma$ -Wert ist extrem unwahrscheinlich -> mutmasslich Messfehler; nur mit dokumentierter Begründung verwerfen.

Ergebnis: Rund $95\%$ der Werte liegen in $[9{,}6;\,10{,}4]$ ; der Wert $11{,}5$ ist ein begründungspflichtiger Ausreißer.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Zufällige Messfehler folgen näherungsweise einer Gauss-Glocke.
Messunsicherheit - Streuung um Mittelwert
Abb.Mittelwert mit Fehlerbalken zeigt Standardabweichung der Einzelmessungen.
2
Die 68-95-99,7-Regel sagt, wie viele Werte innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen liegen.
3
Ausreißer darf man nur mit guter Begründung verwerfen - alles andere ist unredlich.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre die Normalverteilung von Messwerten und die 68-95-99,7-Regel. Wie geht man mit Ausreißern um, und warum ist das willkürliche Streichen von Messwerten unzulässig?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Ausreißer werden ohne Begründung gestrichen; das ist Datenfrisieren und methodisch unzulässig.
$\sigma$ - und $2\sigma$ -Intervalle werden vertauscht; 68 % gegen 95 %.
Median und Mittelwert werden gleichgesetzt; bei schiefen Verteilungen weichen sie ab.
Aus einer kleinen Stichprobe wird auf eine Normalverteilung geschlossen, ohne das zu prüfen.
Ein Ausreißer wird als Beweis für einen Messfehler genommen; er kann auch ein echter Befund sein.

Aktive Wiederholung

Eine normalverteilte Messreihe hat Mittelwert $\bar x=10{,}0$ und Standardabweichung $\sigma=0{,}2$ . In welchem Intervall liegen rund $95\%$ der Messwerte? Wie gehst du mit einem Wert von $11{,}5$ um?

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Quellen: OpenStax College Physics - Statistical Analysis (OpenStax)