Relativitätstheorie und moderne Physik — Physik · Matura-Zusammenfassung

Spezielle Relativitätstheorie#

~4 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.1

Die spezielle Relativitätstheorie ruht auf zwei Postulaten Einsteins (1905): dem Relativitätsprinzip (die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleich) und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (jeder Beobachter misst dasselbe

c

, unabhängig von seiner Bewegung). Gerade das zweite Postulat widerspricht der Alltagserfahrung und erzwingt eine völlig neue Sicht auf Raum und Zeit.

An die Stelle der Galilei-Transformation tritt die Lorentz-Transformation mit dem Lorentz-Faktor

\gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

. Für kleine Geschwindigkeiten ist

\gamma\approx 1

und Newton bleibt gültig; für

v\to c

wächst

\gamma

über alle Grenzen ().

Minkowski-Diagramm - Lichtkegel

Abb. 1Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.

Abb. 1 ↓

Daraus folgt die Zeitdilatation: Eine bewegte Uhr geht langsamer,

\Delta t=\gamma\,\Delta t_{0}

. Die kürzeste Zeit (die Eigenzeit

\Delta t_{0}

) misst stets das System, in dem die Uhr ruht - der in jeder Aufgabe sorgfältig zu identifizierende Bezug.

Ebenso schrumpfen bewegte Längen in Bewegungsrichtung:

L=L_{0}/\gamma

(Längenkontraktion). Die größte Länge ist die Eigenlänge

L_{0}

im Ruhesystem des Objekts; senkrecht zur Bewegung ändert sich die Länge dagegen nicht.

Masse und Energie sind äquivalent: Jeder Körper trägt die Ruheenergie

E_{0}=mc^{2}

, allgemein gilt die Energie-Impuls-Beziehung

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

. Diese berühmteste Gleichung der Physik ist die Grundlage von Kernspaltung und Kernfusion.

Schließlich ist sogar die Gleichzeitigkeit relativ: Zwei Ereignisse, die für einen Beobachter gleichzeitig sind, müssen es für einen relativ dazu bewegten nicht sein. Raum und Zeit verschmelzen zur vierdimensionalen Raumzeit, die sich anschaulich im Minkowski-Diagramm () darstellen lässt.

Vokabeln

→ Kartei

Lorentz-Faktor$\gamma=\tfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$; er ist stets größer oder gleich eins.
EigenzeitZeit, die eine mitbewegte Uhr anzeigt; die kürzeste aller gemessenen Zeiten.
EigenlängeLänge im Ruhesystem des Objekts; die größte aller gemessenen Längen.
ZeitdilatationLangsamerer Gang bewegter Uhren aus Sicht des ruhenden Beobachters.
LängenkontraktionVerkürzung bewegter Objekte in Bewegungsrichtung.
Relativität der GleichzeitigkeitZwei Ereignisse können in einem System gleichzeitig sein und in einem anderen nicht.

Lorentz-Faktor

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}

$v$ ist die Relativgeschwindigkeit, $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Der Faktor ist stets größer oder gleich eins und wächst bei Annäherung an $c$ über alle Grenzen; für $v\ll c$ ist er praktisch eins.

Zeitdilatation (Eigenzeit Δt₀)

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0}

$\Delta t_{0}$ ist die EIGENZEIT, gemessen von einer mitbewegten Uhr; sie ist stets die kürzeste. $\Delta t$ ist die Zeit im Bezugssystem des ruhenden Beobachters.

Längenkontraktion (Ruhelänge L₀)

L = L_{0}/\gamma

$L_{0}$ ist die Ruhelänge im mitbewegten System; sie ist stets die größte. Die Verkürzung tritt NUR in Bewegungsrichtung auf, quer dazu ändert sich nichts.

Relativistische Energie

E^{2}=(pc)^{2}+(m c^{2})^{2};\quad E_{0}=m c^{2}

$p$ ist der relativistische Impuls, $m$ die Ruhemasse. Für masselose Teilchen wie das Photon bleibt $E=p\,c$ ; für ruhende Teilchen bleibt die Ruheenergie $E_{0}=m\,c^{2}$ .

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Myonen entstehen in $15$ km Höhe und bewegen sich mit $v=0{,}995 c$ . Eigene mittlere Lebensdauer $\tau_{0}=2{,}2\,\mu$ s. Erreichen sie die Erdoberfläche?

Lorentz-Faktor
$\gamma=1/\sqrt{1-0{,}990}=1/\sqrt{0{,}00999}\approx 10{,}0$ .
Zeitdilatation
Im Erdsystem $\tau=\gamma\tau_{0}=22\,\mu$ s.
Reichweite
$d=v\tau\approx 0{,}995\cdot 3\cdot 10^{8}\cdot 22\cdot 10^{-6}\approx 6{,}57$ km pro Lebensdauer.
Vergleich
$15/6{,}57\approx 2{,}3$ Lebensdauern; mit $N/N_{0}=e^{-t/\tau}$ erreichen rund $10\%$ der Myonen den Boden.

Ergebnis: Ohne relativistische Korrektur käme keines an - Zeitdilatation experimentell bestätigt.

Musterbeispiel

Energie aus Massenumwandlung

Welche Energie steckt in $1$ Gramm Materie?

Formel
$E=m c^{2}$ .
Einsetzen
$E=10^{-3}\cdot (3\cdot 10^{8})^{2}=9\cdot 10^{13}$ J.
Vergleich
$\approx 25\,000$ MWh, deckt Stromverbrauch von $\sim 6000$ Haushalten ein Jahr.

Ergebnis: Ein Gramm Materie entspricht ca. $9\cdot 10^{13}$ J - hypothetisches Limit der Massenumwandlung.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Einstein postulierte 1905, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Inertialbeobachter gleich ist.
Minkowski-Diagramm - Lichtkegel
Abb.Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.
2
Daraus folgen Zeitdilatation und Längenkontraktion - die werden mit dem Lorentz-Faktor beschrieben.
3
Bei kleinen Geschwindigkeiten gehen alle Formeln in Newtonsche Mechanik über.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die beiden Postulate der speziellen Relativitätstheorie. Berechne den Lorentz-Faktor und die Zeitdilatation für ein Raumschiff bei

v=0{,}90 c

über einen Reisezeitraum von Eigenzeit

\Delta t_{0}=10

a. Diskutiere kurz das Zwillingsparadoxon.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Eigenzeit und Beobachterzeit werden vertauscht; die Eigenzeit ist die im mitbewegten System gemessene und stets die kürzere.
Der Lorentz-Faktor wird linear genähert statt mit der Wurzel gerechnet.
Die Längenkontraktion wird auch senkrecht zur Bewegung angewandt.
Zeitdilatation und Längenkontraktion werden als „Sinnestäuschung" beschrieben; sie sind real messbar.
Die Gleichzeitigkeit wird als absolut vorausgesetzt; sie hängt vom Bezugssystem ab.

Aktive Wiederholung

Ein Raumschiff fliegt mit $v=0{,}8 c$ an der Erde vorbei. Astronauten messen ihre Reise mit $\Delta t_{0}=5$ a. Wie lange dauert die Reise aus Sicht der Erde?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Special Relativity (OpenStax) · MIT OCW 8.20 - Introduction to Special Relativity (MIT OpenCourseWare)

Relativistischer Impuls und Energie#

~4 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.1

Damit die Erhaltungssätze auch relativistisch gelten, müssen Impuls und Energie neu gefasst werden. Der relativistische Impuls ist

p=\gamma m v

; er wächst für

v\to c

über alle Grenzen, weil der Lorentz-Faktor divergiert ().

Lorentz-Faktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Abb. 2Der Faktor

\gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

bleibt nahe

1

, divergiert aber für

v\to c

- daher ist

c

unerreichbar.

Abb. 2 ↓

Die Gesamtenergie eines Körpers ist

E=\gamma m c^{2}

. Sie setzt sich aus der Ruheenergie

E_{0}=m c^{2}

und der kinetischen Energie

E_{kin}=(\gamma-1)m c^{2}

zusammen - ein ruhender Körper (

\gamma=1

) trägt also bereits die Energie

mc^{2}

.

Beide Größen verbindet die Energie-Impuls-Beziehung

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

. Für masselose Teilchen wie das Photon (

m=0

) reduziert sie sich auf

E=pc

- auch Licht trägt Impuls, obwohl es keine Ruhemasse hat.

Aus der Divergenz von

\gamma

folgt eine fundamentale Grenze: Kein massebehaftetes Teilchen kann auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden, denn dazu wäre unendlich viel Energie nötig.

c

ist die unüberschreitbare Höchstgeschwindigkeit der Natur.

Für kleine Geschwindigkeiten (

v\ll c

) geht die relativistische kinetische Energie über die Taylor-Näherung in den vertrauten Ausdruck

\tfrac{1}{2}mv^{2}

über - ein wichtiger Konsistenzcheck, der zeigt, dass die klassische Mechanik nur der Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten ist.

Teilchenbeschleuniger wie der LHC am CERN arbeiten im hochrelativistischen Bereich: Protonen erreichen dort Lorentz-Faktoren

\gamma>1000

, ihre Geschwindigkeit liegt nur winzige Bruchteile unter

c

, ihre Energie aber tausendfach über der Ruheenergie.

Aus

E^{2}=(p\,c)^{2}+(m\,c^{2})^{2}

folgt der Sonderfall, der die Teilchenphysik trägt: Für masselose Teilchen wie das Photon bleibt

E=p\,c

- sie besitzen Impuls, obwohl ihre Ruhemasse null ist. Umgekehrt zeigt die Beziehung, warum kein massives Teilchen die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann: Der Lorentz-Faktor wächst bei Annäherung an

c

über alle Grenzen, und mit ihm die nötige Energie. In Teilchenbeschleunigern ist deshalb nicht die Geschwindigkeit die aussagekräftige Größe, sondern die Energie in Elektronenvolt - bei hohen Energien liegen die Geschwindigkeiten ohnehin alle knapp unter

c

.

Vokabeln

→ Kartei

Ruheenergie$E_{0}=m\,c^{2}$; die im Ruhezustand steckende Energie.
relativistischer Impuls$p=\gamma\,m\,v$; er wächst bei Annäherung an $c$ über alle Grenzen.
Energie-Impuls-Beziehung$E^{2}=(p\,c)^{2}+(m\,c^{2})^{2}$; gilt auch für masselose Teilchen.
RuhemasseInvariante Masse eines Teilchens; für Photonen null.
MassendefektMassenunterschied, der bei Kernprozessen als Energie frei wird.
ElektronenvoltÜbliche Energieeinheit der Teilchenphysik; $1\,\mathrm{MeV}=10^{6}\,\mathrm{eV}$.

Relativistischer Impuls und Energie

p=\gamma m v,\quad E=\gamma m c^{2}

Beide Größen enthalten den Lorentz-Faktor. Weil $\gamma$ bei $v\to c$ über alle Grenzen wächst, wären für die Lichtgeschwindigkeit unendlich viel Energie und Impuls nötig - kein massives Teilchen erreicht sie.

Relativistische kinetische Energie

E_{kin}=(\gamma-1)\,m c^{2}

Die Ruheenergie wird ausdrücklich abgezogen. Für $v\ll c$ geht der Ausdruck in $\tfrac{1}{2}m\,v^{2}$ über - genau das ist die geforderte Kontrolle des klassischen Grenzfalls.

Musterbeispiel

Elektron im Beschleuniger

Elektron beschleunigt durch $U=1{,}0$ MV; $m_{e}c^{2}=0{,}511$ MeV.

Kinetische Energie
$E_{kin}=eU=1{,}0$ MeV.
Lorentz-Faktor
$\gamma=1+E_{kin}/(m c^{2})=1+1{,}0/0{,}511\approx 2{,}96$ .
Geschwindigkeit
$v/c=\sqrt{1-1/\gamma^{2}}=\sqrt{1-1/8{,}74}\approx 0{,}941$ .

Ergebnis: $E_{kin}=1{,}0$ MeV, $\gamma\approx 2{,}96$ , $v\approx 0{,}94\,c$ - bereits klar relativistisch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der relativistische Impuls wächst stärker als linear mit der Geschwindigkeit und divergiert für v gegen c.
2
Die Gesamtenergie setzt sich aus Ruheenergie und kinetischer Energie zusammen.
3
Weil dazu unendlich viel Energie nötig wäre, kann keine Masse Lichtgeschwindigkeit erreichen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die Beziehung zwischen Masse und Energie (

E=mc^{2}

) und die relativistische Energie-Impuls-Beziehung. Begründe, warum keine massebehaftete Teilchen Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei hohen Geschwindigkeiten wird weiterhin $\tfrac{1}{2}m\,v^{2}$ gerechnet.
Die Ruheenergie wird in der Gesamtenergie vergessen; $E$ ist niemals kleiner als $m\,c^{2}$ .
Photonen wird eine von null verschiedene Ruhemasse zugeschrieben.
Der relativistische Impuls wird als $m\,v$ angesetzt; richtig ist $\gamma\,m\,v$ .
Aus $E=m\,c^{2}$ wird gefolgert, Masse ließe sich beliebig in Energie umwandeln; erhalten bleiben Energie und Impuls, nicht die Ruhemasse.

Aktive Wiederholung

Ein Elektron wird durch eine Spannung von $1{,}0$ MV beschleunigt. Berechne seine kinetische Energie in MeV, den Lorentz-Faktor und seine Geschwindigkeit als Bruchteil von $c$ . ( $m_{e}c^{2}=0{,}511$ MeV.)

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Relativistic Energy (OpenStax)

Relativistische Geschwindigkeitsaddition und Tests#

~3 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.1

Geschwindigkeiten addieren sich relativistisch nicht einfach. Statt

u=u'+v

gilt die Additionsformel

u=\dfrac{u'+v}{1+u'v/c^{2}}

, in der der Nenner dafür sorgt, dass das Ergebnis stets unter

c

bleibt.

Der Schlüsseltest der Formel: Setzt man

u'=c

ein, ergibt sich wieder

u=c

- Licht bleibt für jeden Beobachter gleich schnell, ganz im Sinne des zweiten Postulats. Zwei Objekte, die mit je

0{,}9\,c

aufeinander zufliegen, nähern sich nur mit

\approx 0{,}994\,c

, niemals mit

1{,}8\,c

.

Für

v\ll c

ist der Korrekturterm

u'v/c^{2}

winzig, und die Formel geht in die klassische Addition

u\approx u'+v

über - im Alltag merkt man von der Relativität nichts.

Bewegte Lichtquellen zeigen den relativistischen Doppler-Effekt: Nähert sich die Quelle, wird das Licht blauverschoben, entfernt sie sich, rotverschoben. In der Astronomie ist die Rotverschiebung ferner Galaxien das zentrale Indiz für die Expansion des Universums.

Die Theorie ist hervorragend bestätigt: Kosmische Myonen erreichen wegen der Zeitdilatation den Erdboden, obwohl ihre Ruhelebensdauer das eigentlich nicht erlauben würde; GPS-Satelliten brauchen relativistische Zeitkorrekturen; und in Beschleunigern verhalten sich Teilchen exakt relativistisch ().

Minkowski-Diagramm - Lichtkegel

Abb. 3Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.

Abb. 3 ↓

Das Michelson-Morley-Experiment fand keinen „Lichtäther" - ein Nullresultat, das genau zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit passt. Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation und Längenkontraktion folgen alle konsistent aus derselben Lorentz-Transformation.

Die experimentelle Absicherung ist mindestens so prüfungsrelevant wie die Formel. Das Michelson-Morley-Experiment von 1887 suchte die Bewegung der Erde gegenüber einem ruhenden Äther und fand sie nicht - ein Nullergebnis, das die Ätherhypothese widerlegte, statt sie zu stützen. Die Lebensdauer kosmischer Myonen liefert den zweiten klassischen Beleg: Nach ihrer Ruhelebensdauer dürften sie die Erdoberfläche gar nicht erreichen, sie tun es aber, weil aus Sicht der Erde ihre Uhr langsamer geht - und aus Sicht des Myons die Atmosphäre verkürzt ist. Beide Deutungen beschreiben dasselbe Geschehen in verschiedenen Bezugssystemen und dürfen nicht vermischt werden.

Vokabeln

→ Kartei

AdditionstheoremRelativistische Verknüpfung zweier Geschwindigkeiten; liefert nie mehr als $c$.
Michelson-Morley-ExperimentInterferometerversuch von 1887; sein Nullergebnis widerlegte die Ätherhypothese.
ÄtherHypothetisches Trägermedium des Lichts; experimentell widerlegt.
MyonInstabiles Elementarteilchen; sein Nachweis am Boden belegt die Zeitdilatation.
InertialsystemUnbeschleunigtes Bezugssystem; in allen gelten dieselben Naturgesetze.
Lichtgeschwindigkeit$c\approx3{,}00\cdot10^{8}\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; in jedem Inertialsystem gleich groß.

Relativistische Geschwindigkeitsaddition

u=\dfrac{u'+v}{1+\dfrac{u'v}{c^{2}}}

$u'$ ist die Geschwindigkeit im mitbewegten, $v$ die des Systems selbst. Der Nenner sorgt dafür, dass das Ergebnis nie größer als $c$ wird; setzt man $u'=c$ , kommt genau $c$ heraus.

Musterbeispiel

Sonde von der Rakete abgefeuert

Rakete $v=0{,}6\,c$ , Sonde $u'=0{,}8\,c$ relativ zur Rakete, in Flugrichtung.

Formel
$u=\dfrac{u'+v}{1+u'v/c^{2}}$ .
Einsetzen
$u=\dfrac{0{,}8c+0{,}6c}{1+0{,}8\cdot 0{,}6}=\dfrac{1{,}4c}{1{,}48}$ .
Auswertung
$u\approx 0{,}946\,c$ .

Ergebnis: Der Erdbeobachter misst $\approx 0{,}95\,c$ - klassisch wären es unzulässige $1{,}4\,c$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Geschwindigkeiten addieren sich relativistisch so, dass das Ergebnis nie über die Lichtgeschwindigkeit hinausgeht.
Minkowski-Diagramm - Lichtkegel
Abb.Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.
2
Bei kleinen Geschwindigkeiten ergibt sich wieder die vertraute klassische Addition.
3
Myonen, GPS-Korrekturen und Teilchenbeschleuniger bestätigen die Theorie täglich.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre, warum sich Geschwindigkeiten relativistisch nicht einfach addieren, und nenne mindestens zwei experimentelle Belege für die spezielle Relativitätstheorie. Berechne die resultierende Geschwindigkeit, wenn sich zwei Teilchen mit je

0{,}9\,c

entgegen bewegen (Sicht eines Teilchens).

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Geschwindigkeiten werden klassisch addiert; es kommen Werte über $c$ heraus.
Der Nenner $1+\tfrac{u'v}{c^{2}}$ wird vergessen.
Das Michelson-Morley-Experiment wird als Beweis FÜR den Äther gedeutet; sein Nullergebnis widerlegte ihn.
Die beiden Erklärungen des Myonenbefunds werden vermischt statt je einem Bezugssystem zugeordnet.
Die Lichtgeschwindigkeit wird als „sehr groß, aber prinzipiell überschreitbar" beschrieben.

Aktive Wiederholung

Eine Rakete fliegt mit $0{,}6\,c$ an der Erde vorbei und feuert nach vorn eine Sonde mit $0{,}8\,c$ (relativ zur Rakete) ab. Welche Geschwindigkeit misst ein Erdbeobachter für die Sonde?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.20 - Introduction to Special Relativity (MIT OpenCourseWare)

Allgemeine Relativitätstheorie und Standardmodell#

~3 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.2

Die allgemeine Relativitätstheorie (1915) erweitert die SRT auf beschleunigte Systeme und die Gravitation. Ihr Fundament ist das Äquivalenzprinzip: Schwere und träge Masse sind identisch, und lokal lässt sich ein Schwerefeld nicht von einer Beschleunigung unterscheiden (das berühmte Aufzug-Gedankenexperiment).

Daraus folgt Einsteins zentrale Idee: Gravitation ist keine Kraft, sondern eine Krümmung der Raumzeit durch Masse und Energie. Körper folgen den geradesten Bahnen in dieser gekrümmten Geometrie - das ersetzt Newtons Gravitationskraft durch Geometrie und ist keine bloße Erweiterung, sondern eine Neukonzeption.

Die ART machte prüfbare Vorhersagen, die alle bestätigt wurden: die Lichtablenkung an der Sonne (gemessen 1919), die Periheldrehung des Merkur, die Gravitationsrotverschiebung und die für GPS unverzichtbaren Zeitkorrekturen.

Extreme Raumzeitkrümmung führt zu Schwarzen Löchern: Innerhalb des Schwarzschildradius

r_{s}=2GM/c^{2}

, der zugleich den Ereignishorizont bildet, kann nichts mehr entkommen - nicht einmal Licht.

Die Bausteine der Materie beschreibt das Standardmodell der Teilchenphysik (): sechs Quarks (u, d, c, s, t, b), sechs Leptonen (Elektron, Myon, Tau und ihre Neutrinos) sowie die Eichbosonen (

\gamma

, W, Z, Gluon), die die Kräfte vermitteln - dazu das Higgs-Boson, das den Teilchen ihre Masse verleiht.

Standardmodell der Teilchenphysik

Abb. 4Die Elementarteilchen gliedern sich in Quarks, Leptonen, kraftvermittelnde Eichbosonen und das Higgs-Boson.

Abb. 4 ↓

Es gibt vier Grundkräfte: die starke, die elektromagnetische, die schwache und die gravitative Wechselwirkung. Das Standardmodell vereinigt die ersten drei, die Gravitation bleibt jedoch außen vor - ihre Einbindung in eine „Theorie von allem" ist die große offene Frage der Physik. 2012 bestätigte der LHC am CERN mit der Entdeckung des Higgs-Bosons den Mechanismus der Massengenerierung.

Vokabeln

→ Kartei

ÄquivalenzprinzipSchwere und träge Masse sind gleich; Schwerefeld und Beschleunigung lokal ununterscheidbar.
RaumzeitkrümmungGeometrische Beschreibung der Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie.
Schwarzschildradius$r_{s}=\tfrac{2\,G\,M}{c^{2}}$; Radius des Ereignishorizonts.
StandardmodellTheorie der Elementarteilchen und dreier Grundkräfte; die Gravitation fehlt darin.
QuarkBaustein von Protonen und Neutronen; kommt nie einzeln vor.
Higgs-FeldFeld, dessen Wechselwirkung den Elementarteilchen ihre Masse verleiht.

Schwarzschildradius

r_{s}=\dfrac{2 G M}{c^{2}}

$G$ ist die Gravitationskonstante, $M$ die Masse. Für die Erde ergäbe das rund 9 mm - alle Masse müsste in diesen Radius gepresst werden, damit ein Schwarzes Loch entstünde.

Gravitationskonstante

G=6{,}674\cdot 10^{-11}\,\text{m}^{3}/(\text{kg s}^{2})

Universelle Naturkonstante des Gravitationsgesetzes; sie ist nicht mit dem Ortsfaktor $g$ zu verwechseln, der nur an der Erdoberfläche gilt und selbst aus $G$ , Erdmasse und Erdradius folgt.

Musterbeispiel

Schwarzschildradius

Schwarzes Loch mit $M=10 M_{\odot}$ .

Masse
$M=10\cdot 1{,}989\cdot 10^{30}=1{,}989\cdot 10^{31}$ kg.
Einsetzen
$r_{s}=2\cdot 6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}989\cdot 10^{31}/(9\cdot 10^{16})\approx 2{,}95\cdot 10^{4}$ m.

Ergebnis: Schwarzschildradius ca. $29{,}5$ km.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Einstein erkannte, dass Gravitation als Geometrie der Raumzeit beschrieben werden kann.
2
GPS-Satelliten müssen sowohl spezielle als auch allgemeine relativistische Korrekturen berücksichtigen.
3
Das Standardmodell beschreibt die elementare Materie und ihre Wechselwirkungen, mit Ausnahme der Gravitation.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe das Äquivalenzprinzip und nenne zwei experimentell bestätigte Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie. Skizziere kurz das Standardmodell der Teilchenphysik.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die allgemeine Relativitätstheorie wird als bloße Erweiterung der Newtonschen Gravitation beschrieben; sie ist eine andere Konzeption.
Schwarzschildradius und Ereignishorizont werden als verschiedene Dinge geführt; beim einfachen Schwarzen Loch fallen sie zusammen.
Das Higgs-Boson wird als Ursache der Schwerkraft dargestellt.
Die GPS-Korrektur wird nur einer der beiden Theorien zugeschrieben.
Gravitation wird als Kraft beschrieben, obwohl in der ART die Geometrie der Raumzeit die Bewegung bestimmt.

Aktive Wiederholung

Berechne den Schwarzschildradius eines Schwarzen Lochs mit Masse $10$ Sonnenmassen ( $M_{\odot}=1{,}989\cdot 10^{30}$ kg).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - General Relativity / Particle Physics (OpenStax)

Tests der ART, GPS und Gravitationswellen#

~4 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.2

Die ART ist nicht bloß Theorie, sondern vielfach experimentell geprüft. Ein erstes Indiz ist die Gravitationsrotverschiebung: Licht verliert beim Aufstieg im Gravitationsfeld Energie, seine Frequenz sinkt (

\Delta f/f\approx g\,\Delta h/c^{2}

). Das Pound-Rebka-Experiment wies diesen winzigen Effekt im Labor nach.

Die Lichtablenkung an Massen wurde 1919 während einer Sonnenfinsternis gemessen: Sternlicht, das nahe an der Sonne vorbeiläuft, wird messbar abgelenkt. Heute nutzt man denselben Effekt als Gravitationslinse, um sonst unsichtbare ferne Galaxien zu beobachten.

Die Periheldrehung des Merkur - eine kleine, von Newton unerklärte Restdrehung seiner Bahn - ergibt sich aus der ART exakt. Sie war eine der ersten Bestätigungen der Theorie überhaupt.

GPS ist die wohl alltäglichste Anwendung: Die Satellitenuhren laufen nach der SRT (wegen ihrer Geschwindigkeit) langsamer, nach der ART (im schwächeren Gravitationsfeld) schneller. Beide Effekte summieren sich zu rund

38\,\mu

s pro Tag; unkorrigiert entstünde ein Lagefehler von etwa

11

km täglich ().

Minkowski-Diagramm - Lichtkegel

Abb. 5Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.

Abb. 5 ↓

2015 gelang LIGO der direkte Nachweis von Gravitationswellen - sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitenden Krümmungen der Raumzeit, hier von zwei verschmelzenden Schwarzen Löchern. Sie sind keine elektromagnetischen Wellen, sondern Schwingungen der Geometrie selbst.

Schwarze Löcher sind die extremsten Objekte der ART: Ihre Masse krümmt die Raumzeit so stark, dass innerhalb des Ereignishorizonts selbst Licht gefangen bleibt. 2019 bildete das Event Horizon Telescope erstmals den Schatten eines Schwarzen Lochs ab.

Die Bestätigungen der allgemeinen Relativitätstheorie reichen von 1919 bis in die Gegenwart und lassen sich in einer Reihe nennen: die Ablenkung des Sternlichts am Sonnenrand während der Sonnenfinsternis von 1919, die Periheldrehung des Merkur, die Gravitationsrotverschiebung im Pound-Rebka-Versuch, die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, der direkte Nachweis von Gravitationswellen 2015 und die Aufnahme eines Schwarzen-Loch-Schattens 2019. Diese Wellen sind Störungen der Raumzeit selbst und breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus; sie sind ausdrücklich KEINE elektromagnetischen Wellen und lassen sich deshalb nur über Längenänderungen in kilometerlangen Interferometern nachweisen.

Vokabeln

→ Kartei

GravitationsrotverschiebungFrequenzabnahme von Licht beim Verlassen eines Schwerefelds.
PeriheldrehungLangsame Drehung der Bahnellipse; beim Merkur nur durch die ART vollständig erklärbar.
GravitationswelleAusbreitende Störung der Raumzeit; 2015 erstmals direkt nachgewiesen.
InterferometerMessgerät, das kleinste Längenänderungen über Interferenz nachweist.
GravitationslinseAblenkung von Licht durch eine Massenverteilung; sie kann Bilder vervielfachen.
EreignishorizontGrenze, hinter der kein Signal mehr entkommt.

Gravitationsrotverschiebung (Näherung)

\dfrac{\Delta f}{f}\approx \dfrac{g\,\Delta h}{c^{2}}

$\Delta h$ ist der Höhenunterschied im Schwerefeld, $g$ der Ortsfaktor. Licht verliert beim Aufsteigen Energie und wird rotverschoben; der Effekt ist winzig, aber im Pound-Rebka-Versuch gemessen und für GPS unverzichtbar.

Musterbeispiel

Gravitationsrotverschiebung im Labor

Ein Photon steigt $\Delta h=22{,}5$ m im Erdfeld auf ( $g=9{,}81$ m/s $^{2}$ ). Relative Frequenzänderung?

Formel
$\dfrac{\Delta f}{f}\approx\dfrac{g\Delta h}{c^{2}}$ .
Einsetzen
$\dfrac{\Delta f}{f}=\dfrac{9{,}81\cdot 22{,}5}{(3{,}0\cdot 10^{8})^{2}}=\dfrac{220{,}7}{9{,}0\cdot 10^{16}}$ .
Auswertung
$\dfrac{\Delta f}{f}\approx 2{,}5\cdot 10^{-15}$ - winzig, aber messbar (Pound-Rebka).

Ergebnis: Die relative Rotverschiebung beträgt nur $\approx 2{,}5\cdot 10^{-15}$ - dennoch experimentell bestätigt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Licht verliert beim Aufstieg im Gravitationsfeld Energie - das ist die Gravitationsrotverschiebung.
Minkowski-Diagramm - Lichtkegel
Abb.Achsen ct und x; Lichtkegel trennt Zukunft, Vergangenheit und Anderswo.
2
GPS funktioniert nur, weil beide Relativitätstheorien berücksichtigt werden.
3
Gravitationswellen, 2015 von LIGO gemessen, sind sich ausbreitende Krümmungen der Raumzeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Nenne und erkläre drei experimentelle Bestätigungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Warum muss GPS relativistisch korrigiert werden, und was sind Gravitationswellen?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Gravitationsrotverschiebung und Bewegungsdoppler werden verwechselt.
Die GPS-Korrektur wird nur der speziellen ODER nur der allgemeinen Relativitätstheorie zugeschrieben.
Gravitationswellen werden als elektromagnetische Wellen beschrieben.
Die Lichtablenkung 1919 wird als Ablenkung durch eine Kraft gedeutet statt durch gekrümmte Raumzeit.
Es wird angenommen, die Effekte seien nur theoretisch; alle genannten sind gemessen.

Aktive Wiederholung

Erläutere, warum GPS-Satellitenuhren sowohl nach der speziellen als auch nach der allgemeinen Relativitätstheorie korrigiert werden müssen, und welcher Lagefehler ohne Korrektur pro Tag entstünde.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: MIT OCW 8.20 - Introduction to Special Relativity (MIT OpenCourseWare)

Antimaterie, Paarbildung und Annihilation#

~3 Min LesezeitVertiefungPHY-Rel-8.3

Zu jedem Teilchen existiert ein Antiteilchen mit exakt gleicher Masse, aber entgegengesetzter Ladung und entgegengesetzten weiteren Quantenzahlen. Das Antiteilchen des Elektrons ist das Positron - Antimaterie ist keine „negative Masse", sondern gleichsam ein Spiegelbild gewöhnlicher Materie.

Bei der Paarbildung wandelt sich reine Energie in Materie um: Ein hinreichend energiereiches Photon erzeugt (im Feld eines Atomkerns) ein Teilchen-Antiteilchen-Paar (), sobald seine Energie die Schwelle

E_{\gamma}\geq 2 m c^{2}

erreicht.

Paarbildung - Photon wird zu Materie

Abb. 6Ein Photon mit

E_{\gamma}\geq 2 m c^{2}

erzeugt ein Elektron-Positron-Paar; die Annihilation ist der umgekehrte Vorgang.

Abb. 6 ↓

Für ein Elektron-Positron-Paar liegt diese Schwellenenergie bei

2\cdot 0{,}511=1{,}022

MeV; jeder Energieüberschuss wird zur kinetischen Energie der beiden Teilchen. Das entspricht Gammastrahlung von rund

1{,}2

pm Wellenlänge.

Der umgekehrte Prozess ist die Annihilation: Treffen Teilchen und Antiteilchen aufeinander, vernichten sie sich vollständig, und ihre gesamte Masse wird zu Strahlung. Bei

e^{+}+e^{-}\to 2\gamma

entstehen zwei Photonen - zwei, nicht eines, denn die Impulserhaltung verlangt es.

In all diesen Prozessen bleiben Energie, Impuls, elektrische Ladung und weitere Quantenzahlen erhalten. Paarbildung und Annihilation sind die direkteste Demonstration von

E=mc^{2}

: die vollständige Umwandlung zwischen Masse und Energie in beide Richtungen.

Eine wichtige Anwendung ist die Positronen-Emissions-Tomografie (PET): Ein dem Körper zugeführter Positronenstrahler annihiliert mit Elektronen im Gewebe, und die dabei in genau entgegengesetzte Richtungen ausgesandten zwei Gammaquanten werden detektiert und zu einem Schnittbild des Stoffwechsels verrechnet.

Vokabeln

→ Kartei

AntiteilchenTeilchen gleicher Masse mit entgegengesetzter Ladung.
PaarbildungUmwandlung eines Photons in ein Teilchen-Antiteilchen-Paar.
AnnihilationZerstrahlung von Teilchen und Antiteilchen in Photonen.
SchwellenenergieMindestenergie für die Paarbildung; $2\,m\,c^{2}$.
PositronAntiteilchen des Elektrons; entsteht beim $\beta^{+}$-Zerfall.
PETPositronen-Emissions-Tomographie; bildgebendes Verfahren auf Basis der Annihilation.

Schwellenenergie der Paarbildung

E_{\gamma}\geq 2\,m\,c^{2}

$m$ ist die Ruhemasse EINES der beiden erzeugten Teilchen; da stets ein Paar entsteht, steht der Faktor zwei davor. Für ein Elektron-Positron-Paar sind das rund 1,022 MeV, und die Reaktion braucht einen Stoßpartner für die Impulsbilanz.

Elektron-Positron-Annihilation

e^{+}+e^{-}\to 2\gamma

Aus dem Paar entstehen MINDESTENS zwei Photonen - ein einzelnes könnte Energie- und Impulserhaltung nicht gleichzeitig erfüllen. Bei Annihilation in Ruhe fliegen die beiden Photonen mit je 511 keV genau entgegengesetzt auseinander; darauf beruht die PET.

Musterbeispiel

Schwellenenergie und Wellenlänge der Paarbildung

Elektron-Positron-Paar, $m_{e}c^{2}=0{,}511$ MeV.

Schwellenenergie
$E_{\gamma}=2\cdot 0{,}511=1{,}022$ MeV $=1{,}64\cdot 10^{-13}$ J.
Wellenlänge
$\lambda=hc/E=6{,}626\cdot 10^{-34}\cdot 3{,}0\cdot 10^{8}/1{,}64\cdot 10^{-13}$ .
Auswertung
$\lambda\approx 1{,}2\cdot 10^{-12}$ m - hochenergetische Gammastrahlung.

Ergebnis: Mindestens $1{,}022$ MeV ( $\lambda\approx 1{,}2$ pm) sind nötig - der Energieüberschuss wird zu kinetischer Energie der Teilchen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Zu jedem Teilchen gibt es ein Antiteilchen mit gleicher Masse und entgegengesetzter Ladung.
2
Energiereiche Photonen können Teilchen-Antiteilchen-Paare erzeugen, sobald die doppelte Ruheenergie erreicht ist.
3
Bei der Annihilation wandelt sich Materie vollständig in Strahlung um - das nutzt die PET-Bildgebung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre Paarbildung und Annihilation als Umwandlung zwischen Energie und Materie. Welche Erhaltungssätze gelten? Beschreibe die Anwendung in der PET-Bildgebung.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Schwellenenergie wird nur mit einer Ruheenergie angesetzt; es entstehen zwei Teilchen.
Die Annihilation wird mit einem einzelnen Photon beschrieben; das verletzt die Impulserhaltung.
Antimaterie wird als „negative Masse" missverstanden; ihre Masse ist positiv, entgegengesetzt ist die Ladung.
Die Paarbildung wird ohne Stoßpartner beschrieben; im freien Raum ist sie aus Impulsgründen unmöglich.
Antiteilchen werden als exotisch beschrieben; Positronen entstehen bei jedem $\beta^{+}$ -Zerfall.

Aktive Wiederholung

Berechne die Mindestenergie eines Photons, das ein Elektron-Positron-Paar erzeugen kann ( $m_{e}c^{2}=0{,}511$ MeV), und gib die Wellenlänge dieses Photons an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Particle Physics (OpenStax)