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Notizen/Angewandte Mathematik/B 10 - Finanzmathematik
AT · Matura

B 10 - Finanzmathematik

Zinseszins, Renten, Tilgungsplan, Annuität und Investitionsrechnung - das Kernhandwerkszeug aller wirtschaftsorientierten BHS-Cluster.

6 Abschnitte·~21 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·101010 / 13
Prüfungsprofil
B-10.1 · Zinseszins und SparformenB-10.2 · Renten- und AnnuitätenrechnungB-10.3 · Tilgungsplan und KreditberechnungB-10.4 · Investitionsrechnung und Kapitalwert
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 10 - Finanzmathematik
    • 01Zinseszins und Sparrechnung○
    • 02Renten- und Sparrechnung◐
    • 03Tilgungsplan und Annuität●
    • 04Investitionsrechnung und Kapitalwert●
    • 05Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip●
    • 06Abschreibung: linear und degressiv◐

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 9 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Zinseszins und Sparrechnung#

~4 Min Lesezeit●○○BasisLPB-10.1

Kernpunkte

Die Finanzmathematik beschreibt, wie sich Kapital über die Zeit verändert - die Grundlage von Sparen, Krediten und Investitionen. Der entscheidende Unterschied ist der zwischen einfachem Zins (Zinsen wachsen linear, jedes Jahr derselbe Betrag) und Zinseszins (Zinsen werden mitverzinst, das Kapital wächst exponentiell, ).

Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)

Kapitalentwicklung bei ZinseszinsSchaubild von K(t), y-Achsenabschnitt bei y = 10000, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015205000100001500020000t = 1820 000K(t)K(t) in EURt (Jahre)
Abb. 1Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.
Abb. 1 ↓
Beim Zinseszins gilt das Endkapital Kn=K0⋅qnK_n=K_0\cdot q^{n}Kn​=K0​⋅qn mit dem Zinsfaktor q=1+iq=1+iq=1+i. Diese Formel ist exponentielles Wachstum (B 4) in Reinform: Über 202020 Jahre macht der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins einen erheblichen Unterschied - der wahre Vorteil zeigt sich erst über lange Laufzeiten.
Stellt man die Formel um, beantwortet man die typischen Fragen: den Barwert K0=KnqnK_0=\tfrac{K_n}{q^{n}}K0​=qnKn​​ (Abzinsen - was ist eine zukünftige Summe heute wert?) und die Laufzeit über den Logarithmus n=ln⁡(Kn/K0)ln⁡qn=\tfrac{\ln(K_n/K_0)}{\ln q}n=lnqln(Kn​/K0​)​. Die Verdopplungszeit ist der Sonderfall t=ln⁡2ln⁡qt=\tfrac{\ln 2}{\ln q}t=lnqln2​.
Die Inflation π\piπ mindert die Kaufkraft und muss vom Nominalzins getrennt werden: Der reale Zins ist ir=1+i1+π−1i_r=\tfrac{1+i}{1+\pi}-1ir​=1+π1+i​−1. Bei 3 %3\,\%3% Nominalzins und 2 %2\,\%2% Inflation bleibt real nur etwa 1 %1\,\%1% - Nominal- und Realzins gleichzusetzen, ist ein häufiger Denkfehler.
Bei unterjähriger Verzinsung (monatlich, quartalsweise) wird der nominelle Jahreszins auf die Perioden verteilt: Pro Periode gilt der Zins inomm\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}minom​​ bei mmm Perioden im Jahr. Wegen des Zinseszinseffekts innerhalb des Jahres ist der effektive Jahreszins dann höher als der nominelle (siehe Abschnitt Effektivzins).
In der Matura sind Endkapital, Barwert und Laufzeit sicher zu berechnen und die Verzinsungsdauer korrekt zu zählen (Anzahl der vollen Jahre/Perioden). Bei „wann erreicht?"-Fragen wird auf ganze Perioden aufgerundet, da Zinsen meist erst am Periodenende gutgeschrieben werden.

Vokabeln

→ Kartei
  • Aufzinsungsfaktor$q=1+i$; mit ihm wird ein Kapital je Periode multipliziert.
  • BarwertHeutiger Gegenwert einer künftigen Zahlung; $K_{0}=\tfrac{K_{n}}{q^{n}}$.
  • EndwertWert eines Kapitals nach $n$ Perioden.
  • unterjährige VerzinsungVerzinsung mehrmals je Jahr; Zinssatz und Periodenzahl werden gemeinsam angepasst.
  • NominalzinsAngegebener Zinssatz ohne Berücksichtigung der Inflation.
  • RealzinsInflationsbereinigter Zinssatz; er misst den tatsächlichen Kaufkraftgewinn.

Zinseszinsformel (jährliche Verzinsung)

Kn=K0⋅(1+i)n,q=1+iK_{n}=K_{0}\cdot \left(1+i\right)^{n},\quad q=1+iKn​=K0​⋅(1+i)n,q=1+i

K0K_{0}K0​ ist das Anfangskapital, iii der Zinssatz als Dezimalzahl, nnn die Anzahl der Verzinsungsperioden und q=1+iq=1+iq=1+i der Aufzinsungsfaktor. Der Barwert folgt durch Division durch qnq^{n}qn.

Unterjährige Verzinsung und effektiver Zinssatz

Kn=K0⋅(1+inomm)mn,ieff=(1+inomm)m−1K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{mn},\quad i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1Kn​=K0​⋅(1+minom​​)mn,ieff​=(1+minom​​)m−1

mmm ist die Zahl der Zinsperioden je Jahr, nnn die Anzahl der Jahre. Beim Wechsel auf unterjährige Verzinsung werden BEIDE Größen angepasst - der Zinssatz geteilt und der Exponent vervielfacht.

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Musterbeispiel

Endkapital bei jährlicher Verzinsung

Eine Anlage von K0=15 000 EuroK_{0}=15\,000\,\mathrm{Euro}K0​=15000Euro wird 777 Jahre lang mit 3,25 %3{,}25\,\%3,25% jährlich verzinst. Bestimme das Endkapital.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1+3,25100=1,0325q=1+\tfrac{3{,}25}{100}=1{,}0325q=1+1003,25​=1,0325.

  2. 02Potenz

    q7=1,03257≈1,2509q^{7}=1{,}0325^{7}\approx 1{,}2509q7=1,03257≈1,2509.

  3. 03Endkapital

    K7=15 000⋅1,03257≈15 000⋅1,2509≈18 763,84K_{7}=15\,000\cdot 1{,}0325^{7}\approx 15\,000\cdot 1{,}2509\approx 18\,763{,}84K7​=15000⋅1,03257≈15000⋅1,2509≈18763,84 Euro.

  4. 04Zinsertrag

    Der Zinsgewinn beträgt K7−K0≈18 763,84−15 000=3 763,84K_{7}-K_{0}\approx 18\,763{,}84-15\,000=3\,763{,}84K7​−K0​≈18763,84−15000=3763,84 Euro.

Ergebnis: Endkapital ca. 18 763,84 Euro18\,763{,}84\,\mathrm{Euro}18763,84Euro.

Musterbeispiel

Abzinsen: Barwert einer einzelnen Zahlung

Welcher Betrag muss heute bei 3 %3\,\%3% jährlicher Verzinsung angelegt werden, damit in 888 Jahren genau 10 000 Euro10\,000\,\mathrm{Euro}10000Euro zur Verfügung stehen?

  1. 01Formel umstellen

    Aus Kn=K0⋅qnK_{n}=K_{0}\cdot q^{n}Kn​=K0​⋅qn folgt der Barwert K0=KnqnK_{0}=\tfrac{K_{n}}{q^{n}}K0​=qnKn​​ (Abzinsen).

  2. 02Zinsfaktor

    q=1,03q=1{,}03q=1,03, q8=1,038≈1,26677q^{8}=1{,}03^{8}\approx 1{,}26677q8=1,038≈1,26677.

  3. 03Barwert berechnen

    K0=10 0001,26677≈7 894,09K_{0}=\tfrac{10\,000}{1{,}26677}\approx 7\,894{,}09K0​=1,2667710000​≈7894,09 Euro.

  4. 04Kontrolle

    Aufzinsen: 7 894,09⋅1,038≈10 0007\,894{,}09\cdot 1{,}03^{8}\approx 10\,0007894,09⋅1,038≈10000 Euro - passt.

Ergebnis: Es sind heute rund 7 894,09 Euro7\,894{,}09\,\mathrm{Euro}7894,09Euro anzulegen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Zinseszins ist exponentielles Wachstum mit Faktor q=1+iq=1+iq=1+i pro Periode.

    Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)

    Kapitalentwicklung bei ZinseszinsSchaubild von K(t), y-Achsenabschnitt bei y = 10000, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015205000100001500020000t = 1820 000K(t)K(t) in EURt (Jahre)
    Abb.Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.
  2. 2

    Bei unterjähriger Verzinsung Periode anpassen und den nominellen Zinssatz teilen.

  3. 3

    Mit höherem Zinssatz wird die Verdopplungszeit deutlich kürzer.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Sparbuch mit 8 000 Euro8\,000\,\mathrm{Euro}8000Euro Anfangskapital wird mit 2 %2\,\%2% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 101010 Jahren? (HAK/HUM)

Maturafokus

  • Rechne konsequent mit dem Aufzinsungsfaktor q=1+iq=1+iq=1+i und der Formel Kn=K0⋅qnK_{n}=K_{0}\cdot q^{n}Kn​=K0​⋅qn; der Barwert folgt als K0=KnqnK_{0}=\tfrac{K_{n}}{q^{n}}K0​=qnKn​​.
  • Passe bei unterjähriger Verzinsung BEIDES an: den Zinssatz je Periode und die Anzahl der Perioden.
  • Trenne einfache Verzinsung (linear, nur innerhalb einer Periode) vom Zinseszins (exponentiell über mehrere Perioden).
  • Berechne den Realzins über 1+ireal=1+inom1+Inflation1+i_{\text{real}}=\tfrac{1+i_{\text{nom}}}{1+\text{Inflation}}1+ireal​=1+Inflation1+inom​​, nicht als bloße Differenz.
  • Kontrolliere die Laufzeit: Von 2020 bis 2025 sind es fünf Verzinsungsjahre, nicht sechs.

Typische Fehler

  • Einfache Verzinsung und Zinseszins werden verwechselt; über mehrere Jahre unterscheiden sich die Ergebnisse deutlich.
  • Nominalzins und Realzins werden gleichgesetzt; bei Inflation ist der Realzins spürbar niedriger.
  • Die Verzinsungsdauer wird falsch gezählt - die Anzahl der Jahre, nicht die Anzahl der Jahreszahlen.
  • Bei unterjähriger Verzinsung wird nur der Zinssatz geteilt, die Periodenzahl aber nicht erhöht.
  • Der Barwert wird durch Subtraktion statt durch Division durch qnq^{n}qn bestimmt.

§ 01

Aktive Wiederholung

Eine Spareinlage von 5 000 Euro5\,000\,\mathrm{Euro}5000Euro wird mit 2,8 %2{,}8\,\%2,8% p.a. verzinst. Wann ist sie auf 7 500 Euro7\,500\,\mathrm{Euro}7500Euro angewachsen?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02
§ 02

Renten- und Sparrechnung#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPB-10.2

Kernpunkte

Eine Rente ist eine Folge regelmäßiger Zahlungen gleicher Höhe RRR über mehrere Perioden - ein Sparplan, eine Pensionsauszahlung, eine Leibrente. Statt jede Zahlung einzeln zu verzinsen, fasst die Rentenrechnung die ganze Folge in einer Formel zusammen ().

Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig

vorschüssig nachschüssig t=0 1 2 3 4
Abb. 2Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.
Abb. 2 ↓
Der erste Schritt ist immer, den Zahlungszeitpunkt zu klären: nachschüssig (am Periodenende) oder vorschüssig (am Periodenanfang). Bei vorschüssigen Zahlungen wird jede Rate eine Periode länger verzinst - das erklärt den zusätzlichen Faktor qqq in den Formeln.
Der Endwert (Rentenendwert) summiert alle Zahlungen mit Zinsen auf das Laufzeitende auf: nachschüssig E=R⋅qn−1q−1E=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q-1}E=R⋅q−1qn−1​, vorschüssig zusätzlich ⋅q\cdot q⋅q. Er beantwortet „wie viel habe ich am Ende angespart?".
Der Barwert diskontiert dieselben Zahlungen auf heute: nachschüssig B=R⋅qn−1qn(q−1)B=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q^{n}(q-1)}B=R⋅qn(q−1)qn−1​. Er beantwortet „welcher Einmalbetrag heute ist gleichwertig zur ganzen Zahlungsreihe?". Bar- und Endwert nicht zu vertauschen, ist hier zentral - der eine bezieht sich auf das Ende, der andere auf den Anfang.
Der Spezialfall der ewigen Rente (unendliche Laufzeit) vereinfacht sich zu B=RiB=\tfrac{R}{i}B=iR​ - relevant etwa bei Stiftungen, die nur die Zinsen ausschütten und das Kapital erhalten. Hier reicht der jährliche Zinsertrag genau für die ewige Auszahlung.
Häufige Fehler sind das Vergessen des Faktors qqq bei vorschüssigen Renten und eine falsche Anzahl der Zahlungen (bei monatlicher Rente über 151515 Jahre sind es n=180n=180n=180, nicht 151515). In der Matura sind die Anwendungen Pensionsvorsorge, Sparplan und Auszahlplan - stets mit klarer Zuordnung von RRR, nnn und dem Periodenzins.

Vokabeln

→ Kartei
  • RenteFolge regelmäßiger, gleich hoher Zahlungen.
  • nachschüssigZahlung am ENDE jeder Periode.
  • vorschüssigZahlung am ANFANG jeder Periode; der Wert ist um den Faktor $q$ höher.
  • RentenbarwertHeutiger Gegenwert aller künftigen Raten.
  • RentenendwertWert aller Raten am Ende der Laufzeit.
  • ZeitstrahlGrafische Darstellung aller Zahlungszeitpunkte; Grundlage jeder Rentenrechnung.

Endwert einer nachschüssigen Rente

En=R⋅qn−1q−1,q=1+iE_{n}=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1},\quad q=1+iEn​=R⋅q−1qn−1​,q=1+i

RRR ist die gleichbleibende Rate am ENDE jeder Periode, nnn die Anzahl der Raten und q=1+iq=1+iq=1+i. Der Endwert bezieht sich auf den Zeitpunkt der letzten Zahlung und ist stets größer als die Summe der Einzahlungen.

Barwert einer nachschüssigen Rente

B=R⋅qn−1qn⋅(q−1),q=1+iB=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q^{n}\cdot (q-1)},\quad q=1+iB=R⋅qn⋅(q−1)qn−1​,q=1+i

Der Barwert ist der Endwert, abgezinst auf den Zeitpunkt vor der ersten Zahlung - daher das zusätzliche qnq^{n}qn im Nenner. Er ist stets kleiner als die Summe der Raten.

Endwert vorschüssige Rente

Envor=R⋅q⋅qn−1q−1E_{n}^{\text{vor}}=R\cdot q\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1}Envor​=R⋅q⋅q−1qn−1​

Bei vorschüssiger Zahlung wirkt jede Rate eine Periode länger, deshalb der zusätzliche Faktor qqq gegenüber der nachschüssigen Formel. Ob vor- oder nachschüssig gezahlt wird, steht im Aufgabentext und ist zuerst zu klären.

Musterbeispiel

Endwert einer nachschüssigen Rente

Anlage 1 200 Euro1\,200\,\mathrm{Euro}1200Euro/Jahr nachschüssig, 101010 Jahre, i=3,5 %i=3{,}5\,\%i=3,5%.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1,035q=1{,}035q=1,035, q10≈1,4106q^{10}\approx 1{,}4106q10≈1,4106.

  2. 02Endwert

    E=1 200⋅1,4106−10,035≈1 200⋅11,73≈14 076E=1\,200\cdot \tfrac{1{,}4106-1}{0{,}035}\approx 1\,200\cdot 11{,}73\approx 14\,076E=1200⋅0,0351,4106−1​≈1200⋅11,73≈14076 Euro.

Ergebnis: Endwert ca. 14 076 Euro14\,076\,\mathrm{Euro}14076Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Erkenne, ob Zahlung am Periodenanfang (vorschüssig) oder -ende (nachschüssig) erfolgt.

    Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig

    vorschüssig nachschüssig t=0 1 2 3 4
    Abb.Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.
  2. 2

    Endwert summiert alle Zahlungen mit Zinsen, Barwert diskontiert sie auf heute.

  3. 3

    Praktische Anwendung: Sparpläne, Pensionsmodelle, Auszahlpläne.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Sparrate von 200 Euro200\,\mathrm{Euro}200Euro/Monat wird nachschüssig 151515 Jahre lang bei 0,25 %0{,}25\,\%0,25%/Monat angelegt. Berechne den Endwert. (HAK)

Maturafokus

  • Kläre zuerst zwei Dinge: vorschüssig oder nachschüssig, und Barwert oder Endwert gesucht - alles Weitere folgt daraus.
  • Multipliziere bei VORSCHÜSSIGEN Renten den nachschüssigen Wert zusätzlich mit qqq; die Zahlung wirkt eine Periode länger.
  • Zähle die Anzahl der Zahlungen genau; nnn ist die Zahl der Raten, nicht die Zahl der Jahresgrenzen.
  • Zeichne einen Zeitstrahl mit allen Zahlungen und dem Bezugszeitpunkt, bevor du eine Formel wählst.
  • Prüfe das Ergebnis am Überschlag: Der Endwert muss größer als die Summe der Einzahlungen sein, der Barwert kleiner.

Typische Fehler

  • Bei vorschüssigen Renten fehlt der Faktor qqq.
  • Die Anzahl der Zahlungen wird falsch angesetzt; ein Jahr zu viel oder zu wenig verschiebt das Ergebnis erheblich.
  • Barwert und Endwert werden vertauscht; der eine bezieht sich auf den Anfang, der andere auf das Ende.
  • Der Bezugszeitpunkt wird nicht festgelegt; Zahlungen verschiedener Zeitpunkte werden dann unzulässig addiert.
  • Eine ewige Rente wird mit der Formel für endliche Laufzeiten gerechnet.

§ 02

Aktive Wiederholung

Es werden 101010 Jahre lang am Jahresende je 1 200 Euro1\,200\,\mathrm{Euro}1200Euro angelegt (i=3,5 %i=3{,}5\,\%i=3,5%). Bestimme den Endwert.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03
§ 03

Tilgungsplan und Annuität#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-10.3

Kernpunkte

Die Tilgungsrechnung ist die Umkehrung der Sparrechnung: Ein heute aufgenommener Kredit K0K_0K0​ wird durch regelmäßige Zahlungen über die Laufzeit zurückgeführt. Beim Annuitätenkredit - dem Standardfall - ist diese Zahlung konstant und heißt Annuität AAA.
Die Annuität setzt sich in jeder Periode aus zwei Teilen zusammen: dem Zinsanteil (Zinsen auf die aktuelle Restschuld) und dem Tilgungsanteil (der eigentlichen Schuldrückführung). Die Annuität ist der Barwert-Kehrwert: A=K0⋅qn(q−1)qn−1A=K_0\cdot \tfrac{q^{n}(q-1)}{q^{n}-1}A=K0​⋅qn−1qn(q−1)​.
Der Tilgungsplan macht den Verlauf transparent - Zeile für Zeile mit Restschuld, Zinsen, Tilgung und Annuität (). Die Reihenfolge ist entscheidend: Die Zinsen werden stets aus der Restschuld zu Periodenbeginn berechnet, erst dann ergibt sich aus A−ZinsenA-\text{Zinsen}A−Zinsen die Tilgung.

Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung

Tilgungsplan: Annuität = Zinsen + TilgungSäulendiagramm: Euro nach Jahr, Daten: Tilgung · J1: 9828; Tilgung · J2: 10811; Tilgung · J3: 11892; Tilgung · J4: 13081; Tilgung · J5: 14389; Zinsen · J1: 6000; Zinsen · J2: 5017; Zinsen · J3: 3936; Zinsen · J4: 2747; Zinsen · J5: 143902000400060008000100001200014000J1J2J3J4J5EuroJahrTilgungZinsen
Abb. 3Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
Abb. 3 ↓
Obwohl die Annuität konstant bleibt, verschiebt sich ihre Zusammensetzung systematisch: Der Zinsanteil sinkt von Jahr zu Jahr (die Restschuld schrumpft), während der Tilgungsanteil entsprechend steigt. Am Anfang zahlt man also überwiegend Zinsen, am Ende überwiegend Tilgung.
Das gesamte Zinsvolumen ergibt sich als Differenz n⋅A−K0n\cdot A-K_0n⋅A−K0​ - die Summe aller Annuitäten minus der ursprünglichen Schuld. Über lange Laufzeiten kann dieser Betrag beträchtlich sein und macht den Unterschied zwischen Laufzeiten anschaulich.
Sondertilgungen verkürzen die Laufzeit und senken das Zinsvolumen, variable Annuitäten erlauben Flexibilität. In der Matura sind die Annuität sicher zu berechnen, ein Tilgungsplan für kurze Laufzeiten manuell aufzustellen und die Anteile zu interpretieren - der häufigste Fehler ist, die Zinsen aus der Restschuld nach statt vor der Annuität zu berechnen.

Vokabeln

→ Kartei
  • AnnuitätGleichbleibende Zahlung aus Zins- und Tilgungsanteil.
  • TilgungsplanTabelle mit Restschuld, Zinsen, Tilgung und neuer Restschuld je Periode.
  • RestschuldNoch offener Kreditbetrag zu Beginn einer Periode.
  • ZinsanteilTeil der Annuität, der die Zinsen der Periode deckt; er sinkt im Zeitverlauf.
  • TilgungsanteilTeil der Annuität, der die Schuld verringert; er steigt im Zeitverlauf.
  • LaufzeitAnzahl der Perioden bis zur vollständigen Rückzahlung.

Annuität bei Kreditrückzahlung

A=K0⋅qn⋅(q−1)qn−1A=K_{0}\cdot \dfrac{q^{n}\cdot(q-1)}{q^{n}-1}A=K0​⋅qn−1qn⋅(q−1)​

K0K_{0}K0​ ist die Kreditsumme, nnn die Laufzeit in Perioden und q=1+iq=1+iq=1+i. Die Annuität ist die gleichbleibende Gesamtzahlung; ihr Zinsanteil sinkt und ihr Tilgungsanteil steigt von Periode zu Periode.

Musterbeispiel

Annuität eines Kredits

Ein Kredit von 100 000 Euro100\,000\,\mathrm{Euro}100000Euro wird mit 3,5 %3{,}5\,\%3,5% jährlich verzinst und über 151515 Jahre in nachschüssigen Annuitäten getilgt. Bestimme die jährliche Annuität.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1,035q=1{,}035q=1,035, q15≈1,6753q^{15}\approx 1{,}6753q15≈1,6753.

  2. 02Annuitätenformel

    A=100 000⋅1,6753⋅0,0350,6753≈100 000⋅0,08683≈8 683A=100\,000\cdot \tfrac{1{,}6753\cdot 0{,}035}{0{,}6753}\approx 100\,000\cdot 0{,}08683\approx 8\,683A=100000⋅0,67531,6753⋅0,035​≈100000⋅0,08683≈8683 Euro.

Ergebnis: Jährliche Annuität rund 8 683 Euro8\,683\,\mathrm{Euro}8683Euro.

Musterbeispiel

Tilgungsplan für 3 Jahre

Kredit 10 000 Euro10\,000\,\mathrm{Euro}10000Euro, 5 %5\,\%5% p.a., Laufzeit 3 Jahre.

  1. 01Annuität

    q=1,05q=1{,}05q=1,05, q3=1,1576q^{3}=1{,}1576q3=1,1576. A=10 000⋅1,1576⋅0,050,1576≈3 672A=10\,000\cdot \tfrac{1{,}1576\cdot 0{,}05}{0{,}1576}\approx 3\,672A=10000⋅0,15761,1576⋅0,05​≈3672 Euro.

  2. 02Jahr 1

    Restschuld 10000, Zinsen 500, Tilgung 3172, neue Restschuld 6 8286\,8286828.

  3. 03Jahr 2

    Restschuld 6828, Zinsen 341,40, Tilgung 3330,60, Restschuld 3 497,403\,497{,}403497,40.

  4. 04Jahr 3

    Restschuld 3497,40, Zinsen 174,87, Tilgung 3497,13, Restschuld ≈0\approx 0≈0.

Ergebnis: Annuität 3 6723\,6723672 Euro; Gesamtzinsen ca. 1 0161\,0161016 Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Annuität bleibt konstant, aber Zins- und Tilgungsanteil verändern sich.

    Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung

    Tilgungsplan: Annuität = Zinsen + TilgungSäulendiagramm: Euro nach Jahr, Daten: Tilgung · J1: 9828; Tilgung · J2: 10811; Tilgung · J3: 11892; Tilgung · J4: 13081; Tilgung · J5: 14389; Zinsen · J1: 6000; Zinsen · J2: 5017; Zinsen · J3: 3936; Zinsen · J4: 2747; Zinsen · J5: 143902000400060008000100001200014000J1J2J3J4J5EuroJahrTilgungZinsen
    Abb.Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
  2. 2

    Annuitätenformel ist standardisiert; nur Kapital, Zinssatz und Laufzeit einsetzen.

  3. 3

    Mit zunehmender Laufzeit sinkt der Zinsanteil, die Tilgung steigt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Familie nimmt einen Kredit von 200 000 Euro200\,000\,\mathrm{Euro}200000Euro zu 2,9 %2{,}9\,\%2,9% p.a. für 252525 Jahre auf. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen. (HAK)

Maturafokus

  • Rechne die Annuität über A=K0⋅qn (q−1)qn−1A=K_{0}\cdot\tfrac{q^{n}\,(q-1)}{q^{n}-1}A=K0​⋅qn−1qn(q−1)​ und benenne sie als gleichbleibende Jahresrate.
  • Baue den Tilgungsplan spaltenweise auf: Restschuld, Zinsen aus der Restschuld zu Jahresbeginn, Tilgung als Differenz zur Annuität, neue Restschuld.
  • Berechne die Zinsen IMMER aus der Restschuld VOR der laufenden Zahlung.
  • Deute die Verschiebung der Anteile: Der Zinsanteil sinkt, der Tilgungsanteil steigt - bei gleichbleibender Annuität.
  • Prüfe den Plan an der Endbedingung: Nach der letzten Rate muss die Restschuld null sein.

Typische Fehler

  • Die Annuitätenformel wird mit vertauschtem Zähler und Nenner oder falschem Vorzeichen angesetzt.
  • Die Zinsen werden aus der Restschuld NACH der Zahlung berechnet; jede Zeile des Plans wird dadurch falsch.
  • Vor- und nachschüssige Annuität werden verwechselt.
  • Der Tilgungsanteil wird als konstant angenommen; konstant ist die Annuität, nicht die Tilgung.
  • Die Endprobe unterbleibt; ein Rundungsfehler in Zeile 1 pflanzt sich unbemerkt durch den ganzen Plan.

§ 03

Aktive Wiederholung

Ein Kredit von 50 000 Euro50\,000\,\mathrm{Euro}50000Euro wird mit 4 %4\,\%4% p.a. über 888 Jahre getilgt. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen.

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§ 04
§ 04

Investitionsrechnung und Kapitalwert#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-10.4

Kernpunkte

Die Investitionsrechnung beurteilt, ob sich eine Anlage - eine Maschine, ein Projekt - finanziell lohnt. Das Grundproblem: Eine heutige Investition steht künftigen Erträgen gegenüber, und Geld zu verschiedenen Zeitpunkten ist nicht direkt vergleichbar. Die Lösung ist das Abzinsen aller Zahlungen auf einen gemeinsamen Stichtag (Äquivalenzprinzip).
Der Kapitalwert (Net Present Value) NPV=−I0+∑t=1nCtqtNPV=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\tfrac{C_t}{q^{t}}NPV=−I0​+∑t=1n​qtCt​​ summiert die auf heute abgezinsten Cashflows und subtrahiert die Anfangsinvestition. Wichtig: I0I_0I0​ wird negativ angesetzt (es ist eine Auszahlung), und jeder Cashflow wird mit 1qt\tfrac{1}{q^{t}}qt1​ diskontiert () - spätere Zahlungen wiegen weniger.

Barwerte der Cashflows einer Investition

Barwerte der Cashflows einer InvestitionSäulendiagramm: Barwert (Euro), Daten: Barwert (Euro) · Jahr 1: 23585; Barwert (Euro) · Jahr 2: 22250; Barwert (Euro) · Jahr 3: 20991; Barwert (Euro) · Jahr 4: 1980205000100001500020000Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 423585222502099119802Barwert (Euro)
Abb. 4Vier Cashflows von je 25 00025\,00025000 Euro, auf heute abgezinst (6 %6\,\%6%): Spätere Zahlungen sind weniger wert; ihre Summe (≈86 628\approx 86\,628≈86628) übersteigt die Investition von 80 00080\,00080000.
Abb. 4 ↓
Die Entscheidungsregel ist einfach: Ist NPV>0NPV>0NPV>0, übersteigen die abgezinsten Erträge die Investition, das Projekt lohnt sich; ist NPV<0NPV<0NPV<0, lohnt es nicht. Der NPV misst also den heutigen „Mehrwert" der Investition über die geforderte Verzinsung hinaus.
Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Kalkulationszinssatz, bei dem genau NPV=0NPV=0NPV=0 wird - die „Rendite" des Projekts. Übersteigt der IRR den geforderten Zinssatz, ist die Investition vorteilhaft. IRR und Kalkulationszinssatz sind dabei sauber zu trennen.
Der Kalkulationszinssatz wirkt stark auf das Ergebnis: Ein niedriger Zinssatz zinst künftige Cashflows weniger stark ab und erhöht damit den NPV; ein hoher Zinssatz kann ein Projekt unrentabel erscheinen lassen. Die Amortisationszeit ergänzt die Analyse - der Zeitpunkt, ab dem die kumulierten Cashflows die Investition decken.
Konkurrierende Projekte vergleicht man über NPV oder IRR. In der Matura ist der NPV mit gegebenen (oft konstanten) Cashflows zu berechnen - hier hilft die Rentenbarwertformel - und die Investition zu beurteilen; der häufigste Fehler ist, die Diskontierung ganz zu vergessen oder I0I_0I0​ positiv anzusetzen.

Vokabeln

→ Kartei
  • KapitalwertSumme aller auf den Zeitpunkt null abgezinsten Zahlungen einer Investition.
  • CashflowEin- oder Auszahlung einer Periode.
  • DiskontierungAbzinsen künftiger Zahlungen auf den heutigen Wert.
  • KalkulationszinssatzAngesetzter Zinssatz für die Abzinsung; er spiegelt die Alternativanlage.
  • interner ZinsfußZinssatz, bei dem der Kapitalwert null wird; Schwellenwert der Vorteilhaftigkeit.
  • AmortisationszeitZeitraum, nach dem die Investition durch Rückflüsse gedeckt ist.

Kapitalwert (NPV)

NPV=−I0+∑t=1nCtqtNPV=-I_{0}+\sum_{t=1}^{n}\dfrac{C_{t}}{q^{t}}NPV=−I0​+t=1∑n​qtCt​​

I0I_{0}I0​ ist die Anfangsinvestition (als Auszahlung positiv eingesetzt und daher mit Minus davor), CtC_{t}Ct​ der Rückfluss der Periode ttt und qqq der Aufzinsungsfaktor des Kalkulationszinssatzes. Positiver Kapitalwert bedeutet vorteilhaft.

Musterbeispiel

Kapitalwert eines Investitionsprojekts

Investition 80 00080\,00080000 Euro, vier jährliche Cashflows je 25 00025\,00025000 Euro, Kalkulationszinssatz 6 %6\,\%6%.

  1. 01Diskontfaktoren

    11,06t\tfrac{1}{1{,}06^{t}}1,06t1​ für t=1,...,4t=1,...,4t=1,...,4.

  2. 02Barwert

    25 000⋅1−1,06−40,06≈25 000⋅3,4651≈86 62825\,000\cdot \tfrac{1-1{,}06^{-4}}{0{,}06}\approx 25\,000\cdot 3{,}4651\approx 86\,62825000⋅0,061−1,06−4​≈25000⋅3,4651≈86628 Euro.

  3. 03NPV

    NPV=−80 000+86 628≈6 628NPV=-80\,000+86\,628\approx 6\,628NPV=−80000+86628≈6628 Euro.

Ergebnis: NPV ca. 6 628 Euro6\,628\,\mathrm{Euro}6628Euro - Investition lohnt sich.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Diskontiere alle zukünftigen Cashflows auf den Anfangszeitpunkt.

  2. 2

    Subtrahiere die Investition; ist NPV positiv, lohnt sich das Projekt.

  3. 3

    IRR ist die Verzinsung, bei der NPV gleich Null ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Maschine kostet 50 000 Euro50\,000\,\mathrm{Euro}50000Euro und liefert in den nächsten 5 Jahren je 14 000 Euro14\,000\,\mathrm{Euro}14000Euro Cashflow. Bestimme den Kapitalwert bei 5 %5\,\%5% und beurteile die Investition. (HAK)

Maturafokus

  • Setze die Anfangsinvestition als NEGATIVEN Zahlungsstrom zum Zeitpunkt null an.
  • Diskontiere jeden künftigen Cashflow einzeln mit seinem eigenen Exponenten: NPV=−I0+∑CFtqt\mathrm{NPV}=-I_{0}+\sum \tfrac{CF_{t}}{q^{t}}NPV=−I0​+∑qtCFt​​.
  • Entscheide nach der klaren Regel: NPV>0\mathrm{NPV}>0NPV>0 bedeutet vorteilhaft, NPV<0\mathrm{NPV}<0NPV<0 bedeutet nachteilig.
  • Deute den internen Zinsfuß als jenen Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert genau null wird.
  • Vergleiche Alternativen bei GLEICHER Laufzeit und gleichem Kalkulationszinssatz, sonst ist der Vergleich unzulässig.

Typische Fehler

  • Die Cashflows werden ohne Diskontierung addiert; spätere Zahlungen werden dadurch überbewertet.
  • Die Investitionssumme wird positiv angesetzt; das Vorzeichen kippt die Entscheidung.
  • Interner Zinsfuß und Kalkulationszinssatz werden verwechselt.
  • Alle Cashflows werden mit demselben Exponenten abgezinst statt mit ihrem jeweiligen Zeitindex.
  • Ein Restwert am Laufzeitende bleibt unberücksichtigt, obwohl er im Text genannt ist.

§ 04

Aktive Wiederholung

Eine Investition von 80 000 Euro80\,000\,\mathrm{Euro}80000Euro liefert in den nächsten 4 Jahren je 25 000 Euro25\,000\,\mathrm{Euro}25000Euro. Berechne den Kapitalwert bei einem Kalkulationszinssatz von 6 %6\,\%6%.

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§ 05
§ 05

Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-10.1

Kernpunkte

Das Äquivalenzprinzip ist das Fundament der gesamten Finanzmathematik: Zwei Zahlungen sind nur dann vergleichbar, wenn man sie auf denselben Stichtag (Bezugszeitpunkt) auf- oder abzinst. Geldbeträge zu verschiedenen Zeitpunkten ohne diese Umrechnung direkt zu vergleichen, ist der grundlegende Fehler - sie müssen erst „auf einen Nenner" gebracht werden.
Daraus erwächst die Notwendigkeit, Zinssätze fair zu vergleichen. Der nominelle Jahreszins inomi_{\text{nom}}inom​ ist der angeschriebene Satz, der die unterjährige Verzinsung ignoriert; der effektive Jahreszins ieffi_{\text{eff}}ieff​ berücksichtigt den Zinseszinseffekt innerhalb des Jahres und gibt die tatsächliche jährliche Verzinsung an.
Bei mmm-facher unterjähriger Verzinsung gilt ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1ieff​=(1+minom​​)m−1. Der Periodenzins inomm\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}minom​​ wird also mit mmm potenziert, nicht durch mmm geteilt - dieser Exponent ist die häufigste Fehlerquelle. Der Effektivzins ist dadurch stets mindestens so groß wie der Nominalzins.
Je häufiger verzinst wird (größeres mmm), desto höher der Effektivzins - allerdings mit abnehmendem Zuwachs (). Im Grenzfall m→∞m\to\inftym→∞ (stetige Verzinsung) strebt er gegen einom−1\mathrm{e}^{i_{\text{nom}}}-1einom​−1; bei 6 %6\,\%6% nominal sind das nur rund 6,18 %6{,}18\,\%6,18%, also kaum mehr als bei monatlicher Verzinsung.

Effektivzins nach Verzinsungshäufigkeit

Effektivzins nach VerzinsungshäufigkeitSäulendiagramm: Effektivzins (%), Daten: Effektivzins (%) · jährlich: 6; Effektivzins (%) · halbjährl.: 6.09; Effektivzins (%) · quartal: 6.14; Effektivzins (%) · monatl.: 6.17; Effektivzins (%) · stetig: 6.185.95.9566.056.16.156.26.25jährlichhalbjährl.quartalmonatl.stetig66.096.146.176.18Effektivzins (%)
Abb. 5Bei 6 %6\,\%6% Nominalzins steigt der Effektivzins mit der Verzinsungshäufigkeit mmm und nähert sich der stetigen Verzinsung (e0,06−1≈6,18 %\mathrm{e}^{0{,}06}-1\approx 6{,}18\,\%e0,06−1≈6,18%).
Abb. 5 ↓
Der praktische Nutzen ist die Vergleichbarkeit: Erst der Effektivzins macht Spar- oder Kreditangebote mit unterschiedlichen Verzinsungsperioden direkt vergleichbar und ist daher die zentrale Entscheidungsgröße - in Österreich für Kredite gesetzlich anzugeben.
In der Matura ist der Effektivzins aus Nominalzins und Verzinsungshäufigkeit zu berechnen und konkurrierende Angebote darüber zu vergleichen; beim Auf- und Abzinsen ist der Bezugszeitpunkt stets ausdrücklich festzulegen, damit der Vergleich dem Äquivalenzprinzip genügt.

Vokabeln

→ Kartei
  • EffektivzinsTatsächliche Jahresverzinsung einschließlich unterjährigen Zinseszinses.
  • NominalzinsAngegebener Jahreszinssatz ohne Berücksichtigung der Zinsperioden.
  • ÄquivalenzprinzipZahlungen sind nur vergleichbar, wenn sie auf denselben Zeitpunkt bezogen sind.
  • BezugszeitpunktZeitpunkt, auf den alle Zahlungen auf- oder abgezinst werden.
  • ZinsperiodeZeitabschnitt, nach dem Zinsen gutgeschrieben werden.
  • stetige VerzinsungGrenzfall unendlich häufiger Verzinsung; der Faktor ist $\mathrm{e}^{i}$.

Effektiver Jahreszins

ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}}=\left(1+\dfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1ieff​=(1+minom​​)m−1

inomi_{\text{nom}}inom​ ist der angegebene Jahreszinssatz, mmm die Zahl der Zinsperioden je Jahr. Der Effektivzins erfasst den unterjährigen Zinseszins und ist die EINZIGE Größe, mit der Angebote verschiedener Periodizität vergleichbar werden.

Musterbeispiel

Effektivzins bei monatlicher Verzinsung

Nominalzins 6 %6\,\%6%, monatliche Verzinsung (m=12m=12m=12). Bestimme den Effektivzins.

  1. Schritt 1 - Periodenzins

    Monatszins 0,0612=0,005\tfrac{0{,}06}{12}=0{,}005120,06​=0,005.

  2. Schritt 2 - Aufzinsen

    ieff=(1+0,005)12−1=1,00512−1i_{\text{eff}}=(1+0{,}005)^{12}-1=1{,}005^{12}-1ieff​=(1+0,005)12−1=1,00512−1.

  3. Schritt 3 - Auswerten und Deuten

    1,00512≈1,061681{,}005^{12}\approx 1{,}061681,00512≈1,06168, also ieff≈6,17 %i_{\text{eff}}\approx 6{,}17\,\%ieff​≈6,17% - rund 0,170{,}170,17 Prozentpunkte über dem Nominalzins.

Ergebnis: Effektivzins ≈6,17 %\approx 6{,}17\,\%≈6,17%.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Kredit hat einen Nominalzins von 8 %8\,\%8% bei vierteljährlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins. (HAK)

Maturafokus

  • Berechne den Effektivzins als ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1ieff​=(1+minom​​)m−1 - mit mmm als Zahl der Zinsperioden je Jahr.
  • Vergleiche Angebote ausschließlich über den Effektivzins; Nominalzinssätze verschiedener Periodizität sind nicht vergleichbar.
  • Lege bei jeder Äquivalenzrechnung den Bezugszeitpunkt ausdrücklich fest und zinse ALLE Zahlungen darauf.
  • Beziehe Nebenkosten wie Bearbeitungsgebühren in den Effektivzins ein, wenn der Text sie nennt.
  • Deute das Ergebnis als tatsächliche Jahresverzinsung samt Zinseszinseffekt innerhalb des Jahres.

Typische Fehler

  • Nominal- und Effektivzins werden gleichgesetzt; bei monatlicher Verzinsung liegen sie merklich auseinander.
  • Der Exponent mmm fehlt oder es wird durch mmm dividiert statt potenziert.
  • Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte werden direkt verglichen, ohne auf- oder abzuzinsen.
  • Der Bezugszeitpunkt wechselt mitten in der Rechnung.
  • Bei stetiger Verzinsung wird die diskrete Formel verwendet statt ei\mathrm{e}^{i}ei.

§ 05

Aktive Wiederholung

Eine Bank wirbt mit 6 %6\,\%6% nominellem Jahreszins bei monatlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins und beurteile den Unterschied.

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§ 06
§ 06

Abschreibung: linear und degressiv#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-10.1

Kernpunkte

Anlagegüter - Maschinen, Fahrzeuge, Gebäude - verlieren über die Jahre an Wert. Die Abschreibung (AfA) verteilt die Anschaffungskosten buchhalterisch über die Nutzungsdauer und hält den jeweiligen Buchwert fest. Zwei Methoden sind zu kennen, deren Verläufe sich deutlich unterscheiden ().

Buchwertverlauf: linear vs. degressiv

Buchwertverlauf linear vs. degressivSchaubild von linear, y-Achsenabschnitt bei y = 24000, fallend, im Bereich x von 0 bis 5, Schaubild von degressiv, y-Achsenabschnitt bei y = 24000, fallend, im Bereich x von 0 bis 512345500010000150002000025000lineardegressivBuchwert (Euro)Jahr k
Abb. 6Die lineare Abschreibung lässt den Buchwert als Gerade fallen (konstanter Betrag), die degressive als Exponentialkurve mit anfangs höheren, später kleineren Abschreibungsbeträgen.
Abb. 6 ↓
Die lineare Abschreibung verteilt den abzuschreibenden Betrag gleichmäßig: Der jährliche Betrag ist dlin=A−Rnd_{\text{lin}}=\tfrac{A-R}{n}dlin​=nA−R​ (Anschaffungswert AAA, Restwert RRR, Nutzungsdauer nnn). Wichtig ist, zuerst den Restwert abzuziehen - nur die Differenz A−RA-RA−R wird abgeschrieben. Der Buchwert fällt als Gerade.
Die degressive (geometrische) Abschreibung nimmt einen konstanten Prozentsatz ppp vom jeweiligen Restbuchwert: Bk=A⋅(1−p)kB_k=A\cdot(1-p)^{k}Bk​=A⋅(1−p)k. Der Prozentsatz wirkt also stets auf den aktuellen Buchwert, nicht auf den Anschaffungswert - dies zu verwechseln, ist der typische Fehler. Der Buchwert fällt als Exponentialkurve.
Der Unterschied im Verlauf ist der Kern des Themas: Linear schreibt jedes Jahr denselben Betrag ab; degressiv schreibt am Anfang viel mehr ab (hoher Restbuchwert) und gegen Ende immer weniger. Degressiv bildet den realen Wertverlust vieler Güter - etwa eines Neuwagens - besser ab.
Eine technische Eigenheit: Die rein degressive Abschreibung erreicht den Wert null nie exakt (Exponentialkurve), weshalb in der Praxis gegen Ende der Nutzungsdauer oft auf die lineare Methode gewechselt wird. Der Buchwert sinkt zudem nie unter den vereinbarten Restwert.
In der Matura ist der Buchwert nach kkk Jahren bei beiden Methoden zu berechnen und ihr Verlauf zu vergleichen; Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer müssen sauber zugeordnet werden. Die degressive Formel ist wieder exponentieller Zerfall (B 4) - dieselbe Mathematik wie beim radioaktiven Zerfall, nur im kaufmännischen Kontext.

Vokabeln

→ Kartei
  • AnschaffungswertUrsprünglicher Wert des Anlageguts zum Zeitpunkt der Beschaffung.
  • BuchwertVerbleibender Wert nach den bisherigen Abschreibungen.
  • RestwertAm Ende der Nutzungsdauer verbleibender Wert; Untergrenze der Abschreibung.
  • lineare AbschreibungGleichbleibender jährlicher Abschreibungsbetrag.
  • degressive AbschreibungGleichbleibender Prozentsatz vom jeweiligen Restbuchwert.
  • NutzungsdauerZeitraum, über den das Anlagegut abgeschrieben wird.

Lineare und degressive Abschreibung

dlin=A−Rn,Bk=A⋅(1−p)k  (degressiv)d_{\text{lin}}=\dfrac{A-R}{n},\quad B_{k}=A\cdot(1-p)^{k}\;(\text{degressiv})dlin​=nA−R​,Bk​=A⋅(1−p)k(degressiv)

AAA ist der Anschaffungswert, RRR der Restwert, nnn die Nutzungsdauer, ppp der degressive Abschreibungssatz und BkB_{k}Bk​ der Buchwert nach kkk Jahren. Linear ist der Betrag konstant, degressiv der Prozentsatz vom jeweiligen Restbuchwert.

Musterbeispiel

Lineare Abschreibung und Buchwert

Maschine A=24 000A=24\,000A=24000, Restwert R=4 000R=4\,000R=4000, n=5n=5n=5 Jahre. Bestimme jährliche AfA und Buchwert nach 3 Jahren.

  1. Schritt 1 - Jährliche AfA

    d=24 000−4 0005=20 0005=4 000 Eurod=\tfrac{24\,000-4\,000}{5}=\tfrac{20\,000}{5}=4\,000\,\mathrm{Euro}d=524000−4000​=520000​=4000Euro pro Jahr.

  2. Schritt 2 - Buchwert nach 3 Jahren

    B3=24 000−3⋅4 000=24 000−12 000=12 000 EuroB_{3}=24\,000-3\cdot 4\,000=24\,000-12\,000=12\,000\,\mathrm{Euro}B3​=24000−3⋅4000=24000−12000=12000Euro.

  3. Schritt 3 - Deuten

    Nach 3 Jahren beträgt der Buchwert 12 000 Euro12\,000\,\mathrm{Euro}12000Euro; nach 5 Jahren ist der Restwert 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro erreicht.

Ergebnis: Jährliche Abschreibung 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro, Buchwert nach 3 Jahren 12 000 Euro12\,000\,\mathrm{Euro}12000Euro.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug (A=30 000 EuroA=30\,000\,\mathrm{Euro}A=30000Euro) wird degressiv mit 20 %20\,\%20% pro Jahr abgeschrieben. Berechne den Buchwert nach 2 Jahren. (HAK)

Maturafokus

  • Rechne die lineare Abschreibung als Anschaffungswert−RestwertNutzungsdauer\tfrac{\text{Anschaffungswert}-\text{Restwert}}{\text{Nutzungsdauer}}NutzungsdauerAnschaffungswert−Restwert​ je Jahr.
  • Wende bei der degressiven Abschreibung den Prozentsatz auf den jeweiligen RESTBUCHWERT an: BWk=AW⋅(1−p)kBW_{k}=AW\cdot(1-p)^{k}BWk​=AW⋅(1−p)k.
  • Vergleiche die Verläufe: linear ergibt eine Gerade, degressiv eine fallende Exponentialkurve mit hohen Anfangsbeträgen.
  • Prüfe, dass der Buchwert den vorgegebenen Restwert nicht unterschreitet.
  • Ordne die Größen sauber zu - Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer stehen alle im Aufgabentext.

Typische Fehler

  • Bei linearer Abschreibung wird der Restwert nicht vom Anschaffungswert abgezogen.
  • Bei degressiver Abschreibung wird der Prozentsatz auf den Anschaffungswert statt auf den Restbuchwert angewandt.
  • Der Buchwert sinkt rechnerisch unter den Restwert, ohne dass das auffällt.
  • Abschreibungsbetrag und Buchwert werden verwechselt; der eine ist die jährliche Minderung, der andere der verbleibende Wert.
  • Die degressive Abschreibung wird als konstanter EURO-Betrag geführt; konstant ist der Prozentsatz.

§ 06

Aktive Wiederholung

Eine Maschine kostet 24 000 Euro24\,000\,\mathrm{Euro}24000Euro, Restwert 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro, Nutzungsdauer 5 Jahre. Berechne die lineare jährliche Abschreibung und den Buchwert nach 3 Jahren.

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Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Zinseszins und Sparrechnung○
    • 02Renten- und Sparrechnung◐
    • 03Tilgungsplan und Annuität●
    • 04Investitionsrechnung und Kapitalwert●
    • 05Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip●
    • 06Abschreibung: linear und degressiv◐

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Aus den Notizen ins Training

B 10 - Finanzmathematik

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Ein Sparbuch mit 8 000 Euro8\,000\,\mathrm{Euro}8000Euro Anfangskapital wird mit 2 %2\,\%2% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 101010 Jahren? (HAK/HUM)

2 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

Siehe auch

  • B 2 - Algebra: Terme, Gleichungen und LogarithmenDie Laufzeit einer Verzinsung folgt aus einer Exponentialgleichung.
  • B 4 - Funktionale Zusammenhänge in AnwendungssituationenZinseszins ist exponentielles Wachstum in seiner geläufigsten Anwendung.
  • B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, GewinnInvestitionsrechnung und Kostenrechnung greifen im Betrieb ineinander.

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B 9 - Schließende Statistik: Konfidenz und Tests

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B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn

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