B 12 - Modellierung und lineare Optimierung — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Wachstums- und Zerfallsmodelle#

~4 Min LesezeitStandardB-12.1

Die Modellierung ist der Kern der angewandten Mathematik: Ein realer Vorgang wird durch eine Funktion beschrieben, mit ihr berechnet und prognostiziert. Bei Wachstums- und Zerfallsprozessen stehen vier Grundmodelle zur Wahl, deren richtige Auswahl der erste und wichtigste Schritt ist.

Lineares Wachstum

N(t)=N_0+a\cdot t

addiert in gleichen Zeiten denselben Betrag

a

(konstanter Zuwachs); sein Graph ist eine Gerade. Es passt, wenn die Daten gleiche Differenzen aufweisen - etwa eine feste Sparrate ohne Verzinsung.

Exponentielles Wachstum

N(t)=N_0\cdot q^{t}

multipliziert in gleichen Zeiten mit demselben Faktor

q

(konstante Quotienten, ). Es beschreibt Zinsen, Populationen und Zerfall - kennt aber keine Obergrenze und wächst daher langfristig unrealistisch stark.

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Abb. 1Wachstumsfaktor

a > 1

liefert J-Kurve,

a < 1

asymptotischen Zerfall.

Abb. 1 ↓

Beschränktes Wachstum

N(t)=K-(K-N_0)\,\mathrm{e}^{-kt}

nähert sich einer Sättigungsgrenze

K

von unten und wächst dabei stetig langsamer - typisch für Abkühlung oder das Befüllen eines Behälters. Es hat keinen Wendepunkt.

Logistisches Wachstum verbindet beide Welten zur S-Kurve: anfangs nahezu exponentiell, dann mit einem Wendepunkt bei halber Kapazität abflachend gegen die Grenze

K

(). Es ist das realistischste Modell für begrenzte Ressourcen und der Hauptunterschied zum beschränkten Wachstum (das keine S-Form hat).

Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000

Abb. 2S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.

Abb. 2 ↓

Die Modellwahl prüft man am Datenmuster: gleiche Differenzen deuten auf linear, gleiche Quotienten auf exponentiell, eine erkennbare Sättigung auf beschränktes oder logistisches Wachstum. Häufige Fehler sind, ein Exponentialmodell über realistische Grenzen zu extrapolieren oder den Wachstumsfaktor

q

mit der Wachstumsrate

p=q-1

zu verwechseln.

Vokabeln

→ Kartei

lineares WachstumGleichbleibender absoluter Zuwachs je Zeiteinheit.
exponentielles WachstumGleichbleibender relativer Zuwachs; der Bestand wird je Periode mit $q$ multipliziert.
beschränktes WachstumAnnäherung an eine Sättigungsgrenze; der Zuwachs ist proportional zum verbleibenden Abstand.
logistisches WachstumS-förmiger Verlauf mit Wendepunkt bei halber Sättigungsgrenze.
SättigungsgrenzeOberer Grenzwert $S$, dem sich der Bestand nähert.
WendepunktStelle größten Zuwachses beim logistischen Modell.

Exponentielles Wachstum / Zerfall

N(t)=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{kt}\;\text{oder}\;N(t)=N_{0}\cdot q^{t}

$N_{0}$ ist der Anfangsbestand, $q$ der Wachstumsfaktor je Zeiteinheit und $k=\ln q$ die Wachstumskonstante. Beide Schreibweisen beschreiben denselben Verlauf; $k>0$ bedeutet Wachstum, $k<0$ Abnahme.

Beschränktes Wachstum (Sättigung)

N(t)=K-(K-N_{0})\mathrm{e}^{-kt}

$K$ ist die Sättigungsgrenze, $N_{0}$ der Anfangsbestand und $k>0$ die Annäherungskonstante. Der Zuwachs ist proportional zum verbleibenden Abstand $K-N$ ; die Kurve flacht von Anfang an ab und hat KEINEN Wendepunkt.

Logistisches Wachstum mit Kapazität K

N(t)=\dfrac{K}{1+\left(\tfrac{K-N_{0}}{N_{0}}\right)\mathrm{e}^{-kt}}

$K$ ist die Kapazitätsgrenze, $N_{0}$ der Anfangsbestand und $k$ die Wachstumskonstante. Der Verlauf ist S-förmig: zunächst nahezu exponentiell, mit Wendepunkt bei $N=\tfrac{K}{2}$ und anschließender Annäherung an $K$ .

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Logistisches Wachstum modellieren

Eine Tierpopulation wird durch $N(t)=\tfrac{800}{1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}}$ beschrieben. Bestimme Anfangs- und Sättigungswert sowie den Wendepunkt.

Anfangswert
$N(0)=\tfrac{800}{1+15}=\tfrac{800}{16}=50$ .
Sättigung
$\lim_{t\to\infty}N(t)=800$ .
Wendepunkt
Beim logistischen Modell ist Wendepunkt bei halber Kapazität: $N=400$ . Aus $400=\tfrac{800}{1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}}$ folgt $1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}=2$ , also $\mathrm{e}^{-0{,}3t}=\tfrac{1}{15}$ , $t=\tfrac{\ln 15}{0{,}3}\approx 9{,}03$ .

Ergebnis: Anfangswert 50, Sättigung 800, Wendepunkt $(9{,}03\,|\,400)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Prüfe zuerst Datenmuster: gleiche Differenzen oder gleiche Quotienten?
2
Bei Sättigung kommt beschränktes oder logistisches Modell in Frage.
Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000
Abb.S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.
3
Extrapoliere nur über sinnvolle Zeiträume.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Stadt wächst exponentiell von

80\,000

Einwohnern im Jahr 2010 auf

95\,000

im Jahr 2020. Bestimme die jährliche Wachstumsrate und prognostiziere die Bevölkerung 2030. (HUM)

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Typische Fehler

Das Exponentialmodell wird weit über den Datenbereich hinaus extrapoliert, ohne die Grenze zu nennen.
Beschränktes und logistisches Wachstum werden verwechselt; nur das logistische hat einen Wendepunkt.
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate werden vertauscht: $q=1{,}04$ gegenüber $p=0{,}04$ .
Die Sättigungsgrenze wird aus dem letzten Datenpunkt geschätzt statt aus dem Sachkontext begründet.
Ein fallender Bestand wird mit positivem $k$ modelliert; beim Zerfall ist $k$ negativ.

Aktive Wiederholung

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 4 Stunden. Stelle ein Wachstumsmodell auf und bestimme die Anzahl nach 10 Stunden, wenn anfangs 200 Bakterien vorhanden sind.

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Lineare Optimierung (grafisches Verfahren)#

~4 Min LesezeitStandardB-12.3

Die lineare Optimierung löst Planungsprobleme mit knappen Ressourcen: Welche Produktmengen maximieren den Gewinn, wenn Arbeitszeit und Material begrenzt sind? Gesucht wird das Maximum (oder Minimum) einer linearen Zielfunktion

z=a\,x+b\,y

unter mehreren linearen Nebenbedingungen.

Jede Restriktion ist eine Ungleichung (etwa

2x+3y\leq 60

für die Arbeitszeit), nicht eine Gleichung - sie als Gleichheit zu formulieren, ist ein häufiger Fehler. Hinzu kommen stets die Nichtnegativitätsbedingungen

x,y\geq 0

, da keine negativen Stückzahlen produziert werden.

Alle Ungleichungen zusammen begrenzen im Koordinatensystem den zulässigen Bereich - ein Polygon, dessen Punkte alle Bedingungen erfüllen (). Jede Restriktion „schneidet" eine Halbebene weg; was übrig bleibt, ist die Menge der realisierbaren Produktionspläne.

Lineare Optimierung - zulässiger Bereich

Abb. 3Der zulässige Bereich ist das Polygon aller Restriktionen; die Zielfunktion verschiebt sich parallel, ihr Optimum liegt stets in einer Ecke.

Abb. 3 ↓

Das Eckenprinzip ist der Schlüssel: Das Optimum einer linearen Zielfunktion liegt stets in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs (oder auf einer ganzen Kante). Man muss also nicht unendlich viele Punkte prüfen, sondern nur die endlich vielen Ecken.

Praktisch berechnet man daher die Eckpunkte als Schnittpunkte je zweier Restriktionsgeraden, wertet die Zielfunktion in jeder Ecke aus und wählt den besten Wert. Die grafische Alternative zeichnet die Zielfunktion als Geradenschar und verschiebt sie parallel bis zur letzten Ecke des Bereichs.

Häufige Fehler sind, den Eckpunkt am Schnitt der „falschen" Geraden zu wählen oder die Nichtnegativität zu vergessen. Weiterführend geben Schattenpreise an, wie stark sich das Optimum ändert, wenn man eine Ressourcengrenze lockert - in der Matura genügt meist das saubere Eckenverfahren mit Interpretation des optimalen Produktionsplans.

Vokabeln

→ Kartei

ZielfunktionZu maximierende oder zu minimierende lineare Funktion.
RestriktionNebenbedingung in Form einer linearen Ungleichung.
zulässiger BereichSchnittmenge aller Restriktionen; das Optimum liegt an seinem Rand.
EckpunktSchnittpunkt zweier begrenzender Randgeraden des zulässigen Bereichs.
Nichtnegativitätsbedingung$x\ge0$ und $y\ge0$; in Sachkontexten fast immer erforderlich.
IsogewinngeradeGerade gleichen Zielfunktionswerts; ihre Verschiebung zeigt das Optimum an.

Lineares Programm

z=ax+by \to \max, \quad \text{u.B.d.N.}\;A\vec x\leq \vec b,\;\vec x\geq \vec 0

$z$ ist die zu maximierende Zielfunktion, $A\vec x\le\vec b$ fasst die Restriktionen zusammen, $\vec x\ge\vec0$ sind die Nichtnegativitätsbedingungen. Das Optimum eines linearen Programms liegt stets in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.

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Musterbeispiel

Lineare Optimierung - Produktion zweier Produkte

Ein Betrieb stellt Produkte A und B her. Pro Stück $A$ Deckungsbeitrag $40\,\mathrm{Euro}$ , pro $B$ $30\,\mathrm{Euro}$ . Restriktionen: Maschine $2\,A+B\leq 100$ , Material $A+B\leq 80$ , $A,B\geq 0$ . Maximiere den Deckungsbeitrag.

Zielfunktion
$D(A,B)=40A+30B$ , soll maximiert werden.
Eckpunkte des zulässigen Bereichs
$(0,\,0)$ , $(0,\,80)$ , $(20,\,60)$ , $(50,\,0)$ .
Werte berechnen
$D(0,\,0)=0$ , $D(0,\,80)=2400$ , $D(20,\,60)=800+1800=2600$ , $D(50,\,0)=2000$ .
Optimum
Maximaler Deckungsbeitrag $2\,600\,\mathrm{Euro}$ bei $A=20$ , $B=60$ .

Ergebnis: Optimum: $A=20$ , $B=60$ , $D=2\,600\,\mathrm{Euro}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Markiere zuerst den zulässigen Bereich durch Schneiden aller Ungleichungen.
Lineare Optimierung - zulässiger Bereich
Abb.Der zulässige Bereich ist das Polygon aller Restriktionen; die Zielfunktion verschiebt sich parallel, ihr Optimum liegt stets in einer Ecke.
2
Berechne die Eckpunkte als Schnittpunkte je zweier Restriktionen.
3
Werte die Zielfunktion in allen Ecken aus und wähle das Optimum.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Tischlerei stellt Stühle (

x

) und Bänke (

y

) her. Restriktionen:

2x+y\leq 12

,

x+2y\leq 10

,

x,y\geq 0

. Maximiere

z=30x+25y

. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Eine Restriktion wird mit Gleichheitszeichen formuliert; der zulässige Bereich schrumpft dadurch auf eine Gerade.
Der Eckpunkt wird als Schnitt zweier Geraden gewählt, die den zulässigen Bereich dort gar nicht begrenzen.
Die Nichtnegativitätsbedingungen werden vergessen; negative Produktionsmengen erscheinen als Lösung.
Nur ein Eckpunkt wird geprüft; das Optimum liegt an einer anderen Ecke.
Die Ganzzahligkeit wird ignoriert, obwohl es um Stückzahlen geht - dann ist auf zulässige ganze Werte zu prüfen.

Aktive Wiederholung

Ein Betrieb produziert Sessel ( $x$ ) und Tische ( $y$ ). Pro Sessel 2 Stunden Arbeit, pro Tisch 3 Stunden; insgesamt 60 Stunden verfuegbar. Pro Sessel $1\,\mathrm{m}^{2}$ Holz, pro Tisch $2\,\mathrm{m}^{2}$ ; insgesamt $40\,\mathrm{m}^{2}$ . Deckungsbeitrag $50$ bzw. $80\,\mathrm{Euro}$ . Maximiere.

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Einfache Differentialgleichungen (HTL)#

~3 Min LesezeitVertiefungB-12.4

Eine Differentialgleichung (DGL) beschreibt einen Prozess nicht durch die Funktion selbst, sondern durch den Zusammenhang zwischen ihr und ihrer Ableitung - also durch das Änderungsgesetz. Sie ist die natürliche Sprache der Naturwissenschaften und im HTL-Cluster ein eigener Schwerpunkt.

Das wichtigste Beispiel ist

N'(t)=k\,N(t)

: „Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand." Ihre Lösung ist das exponentielle Wachstum

N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{kt}

- genau die Eigenschaft, die schon bei der Ableitung der Exponentialfunktion (B 5) auftrat. Das Vorzeichen von

k

entscheidet über Wachstum (

k>0

) oder Zerfall (

k<0

).

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz

T'(t)=-k\,(T(t)-T_U)

besagt, dass die Abkühlrate proportional zur Temperaturdifferenz zur Umgebung ist. Seine Lösung

T(t)=T_U+(T_0-T_U)\,\mathrm{e}^{-kt}

nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur

T_U

() - ein beschränkter Prozess.

Newtonsches Abkühlungsgesetz

Abb. 4Die Lösung

T(t)=T_{U}+(T_{0}-T_{U})\,\mathrm{e}^{-kt}

der Abkühl-DGL nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur

T_{U}=20\,^{\circ}\mathrm{C}

.

Abb. 4 ↓

Die logistische DGL

N'(t)=k\,N(t)\,\bigl(1-\tfrac{N(t)}{K}\bigr)

bremst das Wachstum, je näher der Bestand der Kapazität

K

kommt; ihre Lösung ist die S-Kurve. So entsteht aus einem einfachen Änderungsgesetz das realistische Sättigungsverhalten.

Im HTL-Unterricht werden diese Standard-DGL hauptsächlich erkannt, nicht hergeleitet: Man identifiziert den Lösungstyp anhand der Struktur der Gleichung, setzt die Anfangsbedingung ein und bestimmt den Parameter

k

aus einem weiteren Datenpunkt.

Bei der Anwendung ist Sorgfalt mit dem Vorzeichen des Wachstumsfaktors und der Anfangsbedingung geboten; die Lösung darf nicht über ihren Gültigkeitsbereich hinaus extrapoliert werden. In der Matura folgt auf die Rechnung stets die Sachinterpretation der Lösung im jeweiligen Kontext.

Vokabeln

→ Kartei

DifferentialgleichungGleichung, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpft.
allgemeine LösungLösungsschar mit freier Konstante.
spezielle LösungAus der Anfangsbedingung eindeutig festgelegte Lösung.
AnfangsbedingungVorgegebener Funktionswert zu einem Zeitpunkt.
WachstumskonstanteFaktor $k$ in $N'=k\,N$; er steuert Richtung und Tempo.
GleichgewichtslösungKonstante Lösung, bei der die Ableitung null ist.

Exponential-DGL

N'(t)=kN(t)\Rightarrow N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{kt}

Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand - das ist die definierende Eigenschaft exponentiellen Wachstums. Die Konstante $N_{0}$ folgt aus der Anfangsbedingung; ohne sie bleibt nur die allgemeine Lösungsschar.

Newtonsches Abkühlungsgesetz

T'(t)=-k(T(t)-T_{U})\Rightarrow T(t)=T_{U}+(T_{0}-T_{U})\mathrm{e}^{-kt}

$T_{U}$ ist die konstante Umgebungstemperatur, $T_{0}$ die Anfangstemperatur und $k>0$ die Abkühlungskonstante. Die Abkühlung ist proportional zum Temperaturunterschied; die Temperatur nähert sich $T_{U}$ , erreicht sie aber nie exakt.

Musterbeispiel

Newtonsches Abkühlungsgesetz anwenden

Anfangstemperatur $80^{\circ}\mathrm{C}$ , Umgebung $20^{\circ}\mathrm{C}$ , nach 10 min $60^{\circ}\mathrm{C}$ .

Modell
$T(t)=20+60\mathrm{e}^{-kt}$ (mit $T_{0}-T_{U}=60$ ).
k bestimmen
$60=20+60\mathrm{e}^{-10k}\Rightarrow \mathrm{e}^{-10k}=\tfrac{40}{60}=\tfrac{2}{3}$ , also $k=\tfrac{\ln 1{,}5}{10}\approx 0{,}0405$ .
Temperatur nach 30 min
$T(30)=20+60\mathrm{e}^{-1{,}216}\approx 20+60\cdot 0{,}296\approx 37{,}8^{\circ}$ .

Ergebnis: Nach $30$ min ist die Temperatur ca. $37{,}8^{\circ}\mathrm{C}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne, welche Standard-DGL vorliegt - Exponential, Newton, logistisch.
2
Setze die Anfangsbedingung ein, um Parameter zu bestimmen.
3
Interpretiere die Lösung im Sachkontext.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Bestandsfunktion

N

erfüllt

N'(t)=-0{,}08\cdot N(t)

. Bestimme den Lösungstyp und gib bei

N(0)=500

die Funktion sowie den Wert nach 10 Zeiteinheiten an. (HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Das Vorzeichen der Wachstumskonstanten wird verwechselt; aus Zerfall wird Wachstum.
Die Anfangsbedingung bleibt unbenutzt; die Lösung enthält eine unbestimmte Konstante.
Die Lösung wird über die Sättigung hinaus extrapoliert.
Die allgemeine Lösung wird als spezielle ausgegeben, obwohl der Anfangswert gegeben ist.
Die Probe unterbleibt; ein Vorzeichenfehler in der Lösung bleibt unentdeckt.

Aktive Wiederholung

Eine Tasse Kaffee kühlt von $80^{\circ}\mathrm{C}$ in einem $20^{\circ}\mathrm{C}$ -Raum ab. Nach $10$ Minuten ist die Temperatur $60^{\circ}\mathrm{C}$ . Bestimme $k$ und prognostiziere die Temperatur nach $30$ Minuten.

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Modellparameter aus Datenpunkten bestimmen#

~3 Min LesezeitStandardB-12.1

Ein Modell ist erst nutzbar, wenn seine Parameter bestimmt sind. Hat man den Modelltyp gewählt, legen gemessene Datenpunkte die freien Parameter eindeutig fest - ein Exponentialmodell etwa durch zwei Punkte (). Das ist die Brücke von der allgemeinen Funktionsklasse zur konkreten Prognosefunktion.

Modellkurve durch zwei Datenpunkte

Abb. 5Zwei Messpunkte legen das Exponentialmodell

N(t)=N_{0}\,q^{t}

eindeutig fest: aus dem Quotienten der Werte folgt

q

, aus einem Punkt dann

N_{0}

.

Abb. 5 ↓

Beim linearen Modell

N(t)=N_0+a\,t

liefern zwei Datenpunkte alles: die Steigung

a=\tfrac{N_2-N_1}{t_2-t_1}

als Zuwachs pro Zeiteinheit und den Achsenabschnitt

N_0

durch Einsetzen eines Punktes.

Beim exponentiellen Modell

N(t)=N_0\cdot q^{t}

ergibt sich der Wachstumsfaktor aus dem Quotienten zweier Werte:

q=\bigl(\tfrac{N_2}{N_1}\bigr)^{1/(t_2-t_1)}

. Entscheidend ist der Quotient (nicht die Differenz!) und der Wurzelexponent

\tfrac{1}{t_2-t_1}

, der den Zeitabstand berücksichtigt - beides zu übersehen, sind die häufigsten Fehler.

Wachstumsfaktor

q

und Wachstumsrate

p

hängen über

q=1+p

zusammen: Ein

q=1{,}03

bedeutet

3\,\%

Wachstum, ein

q=0{,}9

eine Abnahme um

10\,\%

. Die beiden zu verwechseln, verfälscht die Interpretation -

q

ist der Faktor,

p

die prozentuale Änderung.

Bei beschränkten und logistischen Modellen geht man zweistufig vor: Zuerst legt man die Kapazität

K

aus dem Sättigungsverhalten der Daten fest, dann bestimmt man

k

(und ggf.

c

) aus einem weiteren Punkt durch Logarithmieren. So braucht jedes Modell genau so viele Datenpunkte wie freie Parameter.

Die Plausibilitätsprüfung schließt jede Parameterbestimmung ab: Ein berechnetes

q<1

bedeutet Abnahme,

q>1

Zunahme, und dies muss zur Datenlage passen. In der Matura ist der Operator „bestimmen" wörtlich zu nehmen - die Parameter werden rechnerisch hergeleitet, nicht geraten, und die Modellwahl wird am Datenmuster begründet.

Vokabeln

→ Kartei

ParameterZahlenwert im Modellansatz, der aus Daten bestimmt wird.
WachstumsfaktorFaktor $q$ je Zeiteinheit.
AnfangswertFunktionswert bei $t=0$.
DatenpunktBeobachtetes Wertepaar aus Zeit und Bestand.
ModellanpassungBestimmung der Parameter so, dass das Modell die Daten trifft.
KontrollpunktNicht zur Anpassung verwendeter Datenpunkt; er prüft die Güte des Modells.

Wachstumsfaktor aus zwei Datenpunkten

q=\left(\dfrac{N_{2}}{N_{1}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})},\quad p=q-1

$N_{1}$ und $N_{2}$ sind die Bestände zu den Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ . Der Wurzelexponent ist der ZEITABSTAND - bei nicht benachbarten Datenpunkten ist er ungleich eins, und genau das wird übersehen.

Musterbeispiel

Exponentialmodell aus zwei Werten

Bestand $N(2)=320$ und $N(6)=720$ . Bestimme $q$ , $N_{0}$ und das Modell.

Schritt 1 - Wachstumsfaktor
$q=\left(\tfrac{720}{320}\right)^{1/(6-2)}=\left(2{,}25\right)^{1/4}\approx 1{,}2247$ .
Schritt 2 - Anfangswert
Aus $N(2)=N_{0}\,q^{2}=320$ folgt $N_{0}=\tfrac{320}{1{,}2247^{2}}=\tfrac{320}{1{,}5}\approx 213{,}3$ .
Schritt 3 - Modell und Interpretation
Modell $N(t)\approx 213{,}3\cdot 1{,}2247^{t}$ ; jährliche Wachstumsrate $p=q-1\approx 22{,}5\,\%$ .

Ergebnis: Modell $N(t)\approx 213{,}3\cdot 1{,}2247^{t}$ mit rund $22{,}5\,\%$ Wachstum pro Zeiteinheit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Population beträgt im Jahr 0 genau

1\,200

und im Jahr 3 genau

1\,500

Tiere. Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor (auf vier Nachkommastellen). (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Beim Exponentialmodell wird die Differenz statt des Quotienten der Werte gebildet.
Der Zeitabstand $t_{2}-t_{1}\neq1$ wird im Wurzelexponenten übersehen.
Wachstumsrate $p$ und Wachstumsfaktor $q$ werden verwechselt; es gilt $p=q-1$ .
Die Parameter werden geraten oder grafisch geschätzt, obwohl der Operator „bestimmen" eine Rechnung verlangt.
Das Modell wird nicht an einem weiteren Datenpunkt geprüft; ein Ausreißer bleibt unbemerkt.

Aktive Wiederholung

Ein Kapital wächst von $5\,000\,\mathrm{Euro}$ (Jahr 0) auf $6\,200\,\mathrm{Euro}$ (Jahr 5). Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor sowie die Wachstumsrate und gib das Modell $N(t)$ an.

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Halbwertszeit und Verdopplungszeit#

~3 Min LesezeitStandardB-12.1

Verdopplungs- und Halbwertszeit sind die anschaulichen Kennzahlen exponentieller Prozesse (). Sie beantworten „wie lange dauert es, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert)?" und charakterisieren das Tempo eines Wachstums oder Zerfalls unabhängig vom Anfangswert.

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Abb. 6Wachstumsfaktor

a > 1

liefert J-Kurve,

a < 1

asymptotischen Zerfall.

Abb. 6 ↓

Genau diese Unabhängigkeit ist das Kennzeichen: Beim exponentiellen Wachstum vergeht zwischen jeder Verdopplung dieselbe Zeitspanne - egal, ob von

100

auf

200

oder von

1000

auf

2000

. Die Verdopplungszeit vom Anfangswert abhängig zu machen, ist ein typischer Denkfehler.

Hergeleitet wird sie aus

N_0\,q^{t_2}=2N_0

: Nach Kürzen von

N_0

und Logarithmieren folgt

t_2=\tfrac{\ln 2}{\ln q}

, beim stetigen Modell

N_0\,\mathrm{e}^{kt}

entsprechend

t_2=\tfrac{\ln 2}{k}

. Das Logarithmusgesetz

\ln(q^{t})=t\ln q

ist hier der Schlüssel -

\tfrac{\ln 2}{\ln q}

und

\ln 2\cdot\ln q

nicht zu verwechseln.

Beim Zerfall heißt die analoge Größe Halbwertszeit

t_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{|k|}

(bzw.

\tfrac{\ln 0{,}5}{\ln q}

mit

q<1

). Der Betrag bzw. das negative

\ln 0{,}5

sorgen dafür, dass eine positive Zeit herauskommt - mit positivem

k

zu rechnen, liefert fälschlich eine negative Halbwertszeit.

Zur schnellen Kontrolle dient die Faustregel „72": Die Verdopplungszeit in Jahren beträgt näherungsweise

72/p_\%

- bei

4\,\%

Zins also etwa

18

Jahre, sehr nahe am exakten Wert

17{,}67

. So lässt sich ein Logarithmus-Ergebnis ohne Rechner plausibilisieren.

Halbwerts- und Verdopplungszeit kennzeichnen exponentielle Prozesse eindeutig und treten fächerübergreifend auf: in der Physik beim radioaktiven Zerfall, in der Medizin beim Wirkstoffabbau, in der Finanzmathematik bei der Kapitalverdopplung. In der Matura sind sie exakt über den Logarithmus zu berechnen und im Kontext zu deuten.

Vokabeln

→ Kartei

VerdopplungszeitZeitspanne, in der sich der Bestand verdoppelt; unabhängig vom Anfangswert.
HalbwertszeitZeitspanne, in der sich der Bestand halbiert.
72er-RegelÜberschlag: Verdopplungszeit in Jahren $\approx\tfrac{72}{\text{Zinssatz in \%}}$.
ZerfallskonstanteNegativer Exponent $k$; sein Betrag steht im Nenner der Halbwertszeit.
exponentielle AbnahmeVerlauf mit konstantem prozentuellem Rückgang je Periode.
mittlere Lebensdauer$\tfrac{1}{|k|}$; um den Faktor $\ln 2$ länger als die Halbwertszeit.

Verdopplungs- und Halbwertszeit

t_{2}=\dfrac{\ln 2}{\ln q}=\dfrac{\ln 2}{k},\quad t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|k|}

$k$ ist die Wachstums- bzw. Zerfallskonstante. Beim Zerfall ist $k$ negativ, weshalb das Minuszeichen die Halbwertszeit positiv macht; beide Zeiten sind vom Anfangsbestand unabhängig.

Musterbeispiel

Halbwertszeit aus der Zerfallskonstante

Zerfall $N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11t}$ ( $t$ in Tagen). Bestimme die Halbwertszeit.

Schritt 1 - Ansatz
Halbwertszeit: $N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11\,t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}N_{0}$ .
Schritt 2 - Logarithmieren
$\mathrm{e}^{-0{,}11\,t_{1/2}}=0{,}5\Rightarrow -0{,}11\,t_{1/2}=\ln 0{,}5=-0{,}6931$ .
Schritt 3 - Auflösen und Deuten
$t_{1/2}=\tfrac{0{,}6931}{0{,}11}\approx 6{,}30$ Tage - nach gut sechs Tagen ist stets die Hälfte der jeweils vorhandenen Substanz zerfallen.

Ergebnis: Halbwertszeit $t_{1/2}\approx 6{,}3$ Tage.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Kapital wird mit

4\,\%

p.a. verzinst. Berechne die Verdopplungszeit und vergleiche sie mit der Näherung der 72er-Regel. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Das Logarithmusgesetz wird falsch angewandt: Es gilt $\tfrac{\ln 2}{\ln q}$ , nicht $\ln 2\cdot\ln q$ .
Beim Zerfall wird mit positivem $k$ gerechnet und eine negative Halbwertszeit angegeben.
Die Verdopplungszeit wird vom Anfangswert abhängig gemacht; sie ist es nicht.
Die 72er-Regel wird als exakte Formel verwendet statt als Überschlag.
Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer werden gleichgesetzt; sie unterscheiden sich um den Faktor $\ln 2$ .

Aktive Wiederholung

Ein radioaktives Präparat zerfällt nach $N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11t}$ ( $t$ in Tagen). Berechne die Halbwertszeit und interpretiere das Ergebnis.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Modellbewertung und Grenzen der Extrapolation#

~3 Min LesezeitVertiefungB-12.1B-12.2

Ein gutes Modellierungsergebnis endet nicht mit der Rechnung, sondern mit der Bewertung: Wie tragfähig ist das Modell, und wo liegen seine Grenzen? Jedes mathematische Modell ist eine Vereinfachung der Wirklichkeit, und seine Aussagekraft endet dort, wo seine Annahmen nicht mehr gelten.

Das klassische Beispiel ist das Exponentialmodell: Es überschätzt langfristig dramatisch, weil es keine Sättigung kennt - eine Population kann nicht unbegrenzt wachsen, ein Umsatz nicht ewig exponentiell steigen. Bei begrenzten Ressourcen ist das logistische Modell mit seiner Kapazitätsgrenze realistischer ().

Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000

Abb. 7S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.

Abb. 7 ↓

Zentral ist die Unterscheidung von Interpolation und Extrapolation: Werte innerhalb des Datenbereichs (Interpolation) sind meist verlässlich, Vorhersagen über den Datenbereich hinaus (Extrapolation) werden mit wachsender Distanz zunehmend unsicher. Eine Prognose über

100

Jahre ist daher mit großer Vorsicht zu genießen.

Die Modellgüte lässt sich überprüfen, indem man Modellwerte mit weiteren, nicht zur Anpassung verwendeten Messdaten vergleicht, oder über das Bestimmtheitsmaß

R^{2}

der Regression (B 7). Ein hohes

R^{2}

belegt allerdings nur die Passung im Datenbereich, nicht die Gültigkeit der Extrapolation.

Die Sensitivität ist ein weiterer Bewertungsaspekt: Kleine Änderungen der Parameter - etwa der Wachstumsrate um wenige Zehntelprozent - können langfristige Prognosen stark verschieben. Diese Unsicherheit muss bei Entscheidungen offen kommuniziert werden, statt eine Scheingenauigkeit vorzutäuschen.

In der Matura ist die Modellkritik im Anforderungsbereich III gefragt: die Eignung und Grenzen eines Modells begründen, eine weit reichende Extrapolation kritisch hinterfragen und konkurrierende Modelle (exponentiell vs. logistisch) anhand der Daten abwägen. Reine Rechnung ohne diese Bewertung kostet Punkte - und „hohe Korrelation" ist nie ein Beweis für Kausalität.

Vokabeln

→ Kartei

ModellbildungÜbersetzung eines Sachverhalts in mathematische Beziehungen.
ModellkritikBeurteilung von Annahmen, Anpassungsgüte und Gültigkeitsbereich.
InterpolationAuswertung innerhalb des Datenbereichs; in der Regel zulässig.
ExtrapolationAuswertung außerhalb des Datenbereichs; nur mit ausdrücklichem Vorbehalt.
AnpassungsgüteMaß dafür, wie gut das Modell die Daten trifft.
ÜberanpassungModell, das die Streuung der Daten mitmodelliert und dadurch schlecht vorhersagt.

Konkurrierende Wachstumsmodelle

N_{\text{exp}}(t)=N_{0}q^{t}\;\text{vs.}\;N_{\text{log}}(t)=\dfrac{K}{1+c\,\mathrm{e}^{-kt}}

Beide Modelle können dieselben frühen Daten gleich gut treffen und dennoch völlig verschieden extrapolieren: Das exponentielle wächst unbegrenzt, das logistische nähert sich der Kapazität $K$ . Die Entscheidung zwischen ihnen ist eine Sachfrage, keine Rechenfrage.

Musterbeispiel

Exponentielles vs. logistisches Modell beurteilen

Eine Population folgt zunächst $N(t)=100\cdot 1{,}5^{t}$ . Beurteile, bis wann dieses Modell sinnvoll ist, wenn der Lebensraum höchstens $5\,000$ Individuen trägt.

Schritt 1 - Grenze bestimmen
Kapazitätsgrenze erreicht, wenn $100\cdot 1{,}5^{t}=5\,000\Rightarrow 1{,}5^{t}=50\Rightarrow t=\tfrac{\ln 50}{\ln 1{,}5}\approx 9{,}65$ .
Schritt 2 - Bewerten
Ab $t\approx 9{,}65$ liefert das Exponentialmodell unrealistisch hohe Werte, weil es die Kapazitätsgrenze ignoriert.
Schritt 3 - Alternative
Geeigneter ist ein logistisches Modell mit Kapazität $K=5\,000$ , das anfangs nahezu exponentiell verläuft und gegen $K$ sättigt.

Ergebnis: Das Exponentialmodell ist nur etwa für $t<9{,}65$ tragfähig; danach ist ein logistisches Modell vorzuziehen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Unternehmen modelliert seinen Umsatz exponentiell und prognostiziert daraus den Umsatz in 15 Jahren. Beurteile diese Prognose und nenne zwei Faktoren, welche die Aussagekraft begrenzen. (HAK)

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Typische Fehler

Ein gut passendes Modell wird unbegrenzt extrapoliert, ohne Sättigungs- oder Realitätsgrenzen zu nennen.
Hohe Korrelation wird als Beweis für Kausalität gedeutet.
Die Modellkritik fehlt vollständig; im Anforderungsbereich III kostet das die Punkte.
Die Anpassungsgüte wird allein am Bestimmtheitsmaß festgemacht; ein überangepasstes Modell hat ebenfalls ein hohes $R^{2}$ .
Die Parameter werden nicht auf Plausibilität geprüft - eine negative Sättigungsgrenze etwa ist sachlich unmöglich.

Aktive Wiederholung

Ein exponentielles Modell sagt für eine Stadt in 100 Jahren mehr Einwohner voraus, als die Region beherbergen kann. Beurteile die Aussagekraft des Modells und schlage eine geeignetere Modellklasse vor.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)