AG 1 - Zahlen, Terme, Potenzen und Logarithmen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Zahlenmengen N, Z, Q, R und C#

~4 Min LesezeitBasisAG-1.1

Zahlenmengen-Hierarchie

Abb. 1N als Kern, schalenartig erweitert um Z, Q, R und C.

Die natürlichen Zahlen

\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\dots\}

bilden die Basis zum Zählen; in Österreich gehört die Null per Konvention zu

\mathbb{N}

.

Die ganzen Zahlen

\mathbb{Z}

entstehen durch Hinzunehmen der negativen Zahlen, die rationalen Zahlen

\mathbb{Q}

durch alle Brüche

\tfrac{p}{q}

mit

q\neq 0

.

Reelle Zahlen

\mathbb{R}

füllen die Zahlengerade lückenlos; irrationale Zahlen wie

\sqrt{2}

,

\pi

oder

\mathrm{e}

besitzen keine periodische Dezimaldarstellung.

Komplexe Zahlen

\mathbb{C}

erweitern

\mathbb{R}

um die imaginäre Einheit

\mathrm{i}=\sqrt{-1}

; sie liegen in der AHS-Matura außerhalb des Grundkompetenzkatalogs, treten aber in Erweiterungsaufgaben auf.

Es gilt die strikte Inklusionskette

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

; jede Erweiterung löst eine Gleichungsklasse, die in der vorigen Menge nicht lösbar war.

Bei Modellierungen muss der Zahlenbereich zum Kontext passen: Personenanzahl in

\mathbb{N}

, Kontostand in

\mathbb{Q}

, Streckenlängen in

\mathbb{R}^{+}

.

Die Erweiterungen der Zahlenmengen folgen alle demselben Muster: Jede entsteht, weil eine Rechenoperation in der bisherigen Menge nicht ausführbar war. In

\mathbb{N}

ist

3-5

unlösbar, also entsteht

\mathbb{Z}

; in

\mathbb{Z}

ist

3:5

unlösbar, also entsteht

\mathbb{Q}

; in

\mathbb{Q}

hat

x^{2}=2

keine Lösung, also entsteht

\mathbb{R}

; und in

\mathbb{R}

hat

x^{2}=-1

keine Lösung, also entsteht

\mathbb{C}

. Wer diese Kette nachzeichnen kann, beantwortet jede Frage nach der Zugehörigkeit einer Zahl mit einer Begründung statt mit einer Behauptung.

Die Unterscheidung zwischen rationalen und irrationalen Zahlen wird regelmäßig geprüft und lässt sich an der Dezimaldarstellung ablesen: Rationale Zahlen haben eine endliche oder periodische Entwicklung, irrationale eine unendliche nichtperiodische.

\sqrt{2}

,

\pi

und

\mathrm{e}

sind die Standardbeispiele. Umgekehrt lässt sich jede periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben - daraus folgt auch die zunächst überraschende Gleichheit

0{,}\overline{9}=1

.

In der Reifeprüfung tritt

\mathbb{C}

vor allem als Antwort auf die Frage auf, warum eine quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante keine reelle Lösung besitzt. Die imaginäre Einheit ist über

\mathrm{i}^{2}=-1

definiert, und eine komplexe Zahl hat die Form

a+b\,\mathrm{i}

mit reellem Real- und Imaginärteil. Über

\mathbb{C}

hat dann jede Polynomgleichung

n

-ten Grades genau

n

Lösungen - das ist der Fundamentalsatz der Algebra.

Vokabeln

→ Kartei

natürliche Zahlen$\mathbb{N}$; die Zählzahlen, je nach Konvention mit oder ohne null.
ganze Zahlen$\mathbb{Z}$; Erweiterung um die negativen Zahlen, damit jede Subtraktion lösbar ist.
rationale ZahlAls Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar; endliche oder periodische Dezimalentwicklung.
irrationale ZahlNicht als Bruch darstellbar; unendliche nichtperiodische Dezimalentwicklung.
imaginäre Einheit$\mathrm{i}$ mit $\mathrm{i}^{2}=-1$; Grundlage der komplexen Zahlen.
Fundamentalsatz der AlgebraÜber $\mathbb{C}$ hat jede Polynomgleichung $n$-ten Grades genau $n$ Lösungen.

Musterbeispiel

Zahlentyp bestimmen

Ordne $-\tfrac{7}{3}$ , $\sqrt{2}$ , $0{,}\overline{27}$ und $\pi$ den Zahlenmengen $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ zu.

Bruch
$-\tfrac{7}{3}\in\mathbb{Q}$ , da Bruch ganzer Zahlen; nicht in $\mathbb{Z}$ .
Wurzel aus 2
Beweis über Widerspruch zeigt, dass $\sqrt{2}$ nicht als Bruch darstellbar ist; $\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .
Periodische Dezimalzahl
$0{,}\overline{27}=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}\in\mathbb{Q}$ .
Kreiszahl
$\pi$ ist transzendent, also $\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Ergebnis: Periodische und endliche Dezimalzahlen sind rational; Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sowie $\pi$ und $\mathrm{e}$ sind irrational.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stell dir die Zahlenmengen als ineinander verschachtelte Schalen vor: ganz innen die natürlichen Zahlen.
Zahlenmengen-Hierarchie
Abb.N als Kern, schalenartig erweitert um Z, Q, R und C.
2
Jede Erweiterung löst ein Problem: negative Zahlen, Brüche, irrationale Wurzeln und schließlich Wurzeln aus negativen Zahlen.
3
In Maturaaufgaben wird oft die kleinste Menge gefragt, in der eine Zahl enthalten ist - schreite immer von innen nach aussen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben sind vier Zahlen:

a=-3

,

b=\tfrac{5}{8}

,

c=\sqrt{16}

,

d=\sqrt{7}

. Kreuze die jeweils kleinste Zahlenmenge an, in der die Zahl liegt:

\mathbb{N}

,

\mathbb{Z}

,

\mathbb{Q}

,

\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\sqrt{4}$ wird als irrational bezeichnet; irrational ist eine Zahl erst, wenn sie sich NICHT als Bruch schreiben lässt.
$0$ wird nicht zu $\mathbb{N}$ gezählt oder umgekehrt, ohne die verwendete Konvention zu nennen.
Aus „unendlich viele Nachkommastellen" wird auf Irrationalität geschlossen; $\tfrac{1}{3}$ hat unendlich viele und ist rational.
Die imaginäre Einheit wird als $\sqrt{-1}$ gerechnet statt über $\mathrm{i}^{2}=-1$ definiert.
$0{,}\overline{9}$ wird als kleiner als 1 angesehen; beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Zahl.

Aktive Wiederholung

Ordne $\tfrac{22}{7}$ , $\sqrt{9}$ , $1{,}010010001\dots$ (nicht periodisch) und $-5$ den Mengen $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ zu und begründe jede Zuordnung mit einem Satz.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik (Oberstufe), Kompetenzbereich Algebra und Geometrie (BMBWF / RIS) · Grundkompetenzen Mathematik AHS (IQS)

Terme, Variablen und Äquivalenzumformungen#

~3 Min LesezeitBasisAG-1.2AG-2.1

Faktorisierung und Nullstellen von f(x)=x²-9

Abb. 2Die faktorisierte Form

x^{2}-9=(x-3)(x+3)

macht die Nullstellen

x=\pm 3

unmittelbar sichtbar - sie sind die Schnittpunkte der Parabel mit der

x

-Achse.

Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Operationszeichen - etwa

3x^{2}-2x+1

oder der Bruchterm

\tfrac{2a+1}{a-3}

. Variablen sind dabei reine Platzhalter: Erst durch Einsetzen konkreter Zahlen erhält ein Term einen Wert, und genau diese Werte will man durch geschicktes Umformen erhalten.

Eine Äquivalenzumformung - Ausmultiplizieren, Herausheben, Kürzen oder Erweitern - ändert nur die Schreibweise eines Terms, nicht seinen Wert. Erlaubt ist sie genau dann, wenn der Definitionsbereich unverändert bleibt; deshalb gehört zu jeder Bruchumformung die Angabe, welche

x

-Werte ausgeschlossen sind.

Beim Kürzen darf nie durch Null dividiert werden:

\tfrac{x^{2}-9}{x-3}

vereinfacht sich für

x\neq 3

zu

x+3

, doch an der Stelle

x=3

war der ursprüngliche Term gar nicht definiert. Diese Definitionslücke muss man mit anschreiben, sonst gilt die Umformung als unvollständig.

Die binomischen Formeln

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}

und

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

sind das schärfste Umformwerkzeug. Rückwärts gelesen liefern sie die Faktorisierung - aus

x^{2}-9

wird

(x-3)(x+3)

-, mit der sich Brüche kürzen und Nullstellen direkt ablesen lassen.

Polynome höheren Grades zerlegt man mit Polynomdivision oder dem Hornerschema in

P(x)=(x-x_{0})\cdot Q(x)+r

. Ist

x_{0}

eine Nullstelle, so ist der Rest

r=0

; der abgespaltene Linearfaktor senkt den Grad - die Standardtechnik der späteren Kurvendiskussion (Thema AN).

Anschaulich ist jede Umformung ein Brillenwechsel auf denselben Ausdruck: Die ausmultiplizierte Form eignet sich zum Ableiten, die faktorisierte zum Ablesen der Nullstellen. Die Matura belohnt, wer bewusst die passende Form wählt, statt mechanisch immer dieselbe zu erzwingen.

Vokabeln

→ Kartei

TermSinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen ohne Gleichheitszeichen.
ÄquivalenzumformungUmformung, die die Lösungsmenge unverändert lässt.
binomische Formel$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$ sowie $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.
FaktorisierenUmschreiben einer Summe in ein Produkt.
HauptnennerKleinstes gemeinsames Vielfaches aller Nenner.
DefinitionsmengeMenge aller Werte, für die der Term definiert ist.

Binomische Formeln

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},\quad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\quad (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Die drei Merkformeln fürs Ausmultiplizieren und Faktorisieren. Der doppelte Mittelterm $2ab$ ist der Teil, der beim Rechnen am häufigsten verloren geht.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Term mit Potenzen und Wurzel vereinfachen

Vereinfache $\dfrac{\sqrt{a^{3}}\cdot a^{-1/2}}{a^{2}}$ für $a>0$ und gib das Ergebnis als Potenz von $a$ an.

Wurzel als Potenz schreiben
$\sqrt{a^{3}}=a^{3/2}$ .
Zähler zusammenfassen
$a^{3/2}\cdot a^{-1/2}=a^{3/2-1/2}=a^{1}=a$ .
Nenner kürzen
$\dfrac{a}{a^{2}}=a^{1-2}=a^{-1}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $a^{-1}=\tfrac{1}{a}$ für $a>0$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Äquivalenzumformung ändert die Schreibweise eines Terms, nicht seinen Wert.
2
Beim Bruch faktorisierst du Zähler und Nenner und kürzt nur gemeinsame Faktoren.
3
Schreib am Ende den Definitionsbereich auf - das schützt dich vor Punktabzug.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Vereinfache den Term

\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}

so weit wie möglich und gib den Definitionsbereich in

\mathbb{R}

an.

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Typische Fehler

$(a+b)^{2}$ wird zu $a^{2}+b^{2}$ verkürzt; der Term $2ab$ fehlt.
Aus einer Summe im Zähler wird gekürzt, obwohl nur Faktoren gekürzt werden dürfen.
Beim Freistellen wird nur ein Teil der Seite behandelt.
Ein Minuszeichen vor einer Klammer wird nicht auf alle Glieder verteilt.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms bleibt unerwähnt, obwohl der Nenner null werden kann.

Aktive Wiederholung

Vereinfache $\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}$ und gib den Definitionsbereich an.

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Quellen: Mathago Maturaaufgaben - Algebra (Mathago)

Potenzen, Wurzeln und rationale Exponenten#

~3 Min LesezeitStandardAG-2.1

Potenzfunktionen mit ganzem und rationalem Exponenten

Abb. 3Je größer der Exponent, desto steiler der Anstieg; der Bruchexponent

\tfrac{1}{2}

liefert die Wurzelfunktion

\sqrt{x}=x^{1/2}

(für

x\ge 0

).

Eine Potenz

a^{n}

mit

n\in\mathbb{N}

bedeutet die

n

-fache Multiplikation der Basis

a

mit sich selbst. Die scheinbar willkürlichen Konventionen

a^{0}=1

(für

a\neq 0

) und

a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}

sind kein Zufall - sie sind genau so gewählt, dass das Gesetz

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

lückenlos weitergilt.

Damit lässt sich auch das Wurzelziehen als Potenzieren schreiben:

\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}

für

a>0

. Ein rationaler Exponent ist also nur eine kompakte Wurzelschreibweise -

a^{1/2}=\sqrt{a}

,

a^{2/3}=\sqrt[3]{a^{2}}

-, wodurch jede Wurzelrechnung auf die drei Potenzgesetze zurückfällt.

Die Potenzgesetze

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

,

\tfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

und

(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

gelten nur bei gleicher Basis; bei gleichem Exponenten kommt

a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}

hinzu. Für Summen gibt es keine solche Regel:

a^{m}+a^{n}

lässt sich nicht zu

a^{m+n}

zusammenfassen.

Die Voraussetzung

a>0

ist beim rationalen Exponenten zentral:

(-8)^{1/2}

ist in

\mathbb{R}

nicht definiert, weil keine reelle Zahl quadriert

-8

ergibt. Und bei geraden Wurzeln gilt

\sqrt{a^{2}}=|a|

, nicht

a

- der Betrag erzwingt das nichtnegative Ergebnis.

In Anwendungen sind Potenzen die Sprache des prozentuellen Wachstums:

5\,\%

Zinsen pro Jahr entsprechen dem Wachstumsfaktor

1{,}05

, über

8

Jahre also

1{,}05^{8}

. Dieselbe Struktur kehrt bei den Exponentialfunktionen (Thema FA) und beim Zinseszins in WS wieder.

Anschaulich verschiebt jeder Schritt auf der Exponentenleiter den Wert um denselben Faktor - aus dem Multiplizieren von Werten wird das Addieren von Exponenten. Genau diese Übersetzung „mal wird plus" nutzt später der Logarithmus, der die Umkehrung liefert.

Vokabeln

→ Kartei

BasisDie zu potenzierende Zahl.
ExponentAngabe, wie oft die Basis als Faktor auftritt.
RadikandAusdruck unter dem Wurzelzeichen.
rationaler ExponentBruchexponent; er entspricht einer Wurzel.
PotenzgesetzRegel zum Zusammenfassen von Potenzen gleicher Basis.
RationalisierenBeseitigen einer Wurzel aus dem Nenner durch geschicktes Erweitern.

Potenzgesetze (gleiche Basis)

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\quad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

Bei gleicher Basis werden Exponenten addiert, subtrahiert oder multipliziert. Alle drei Regeln setzen dieselbe Basis voraus - bei verschiedenen Basen gilt keine davon.

Wurzel als rationaler Exponent

a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}},\quad a>0,\; n\in\mathbb{N}^{*}

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben. Der Nenner nennt den Wurzelgrad, der Zähler die Potenz unter der Wurzel.

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Musterbeispiel

Potenzen mit rationalem Exponenten zusammenfassen

Schreibe $\dfrac{\sqrt[3]{x^{4}}\cdot x^{2/3}}{\sqrt{x}}$ für $x>0$ als einzelne Potenz von $x$ .

Wurzeln als Potenzen
$\sqrt[3]{x^{4}}=x^{4/3}$ und $\sqrt{x}=x^{1/2}$ .
Zähler zusammenfassen
$x^{4/3}\cdot x^{2/3}=x^{4/3+2/3}=x^{2}$ .
Durch Nenner dividieren
$\dfrac{x^{2}}{x^{1/2}}=x^{2-1/2}=x^{3/2}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $x^{3/2}=\sqrt{x^{3}}$ für $x>0$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Wurzel ist nur eine andere Schreibweise für eine Potenz mit Bruchexponent.
2
Achte streng auf die Voraussetzung Basis größer Null, sonst gelten die Regeln nicht.
3
Vereinfache zuerst innerhalb, dann über die Potenzgesetze - so vermeidest du Vorzeichenfehler.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Welche der folgenden Schreibweisen sind äquivalent zu

a^{2/3}

für

a>0

? Kreuze alle zutreffenden Ausdrücke an.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei ungleichen Basen werden die Exponenten addiert; das Gesetz gilt nur bei gleicher Basis.
$\sqrt{a^{2}}$ wird als $a$ angegeben; richtig ist $|a|$ .
$(a+b)^{n}$ wird gliedweise potenziert.
Der negative Exponent wird als negatives Ergebnis gedeutet; er bedeutet den Kehrwert.
Wurzeln werden gliedweise gezogen: $\sqrt{a+b}$ ist nicht $\sqrt a+\sqrt b$ .

Aktive Wiederholung

Schreibe $\sqrt[4]{a^{6}}\cdot \dfrac{1}{a^{1/2}}$ als einzelne Potenz von $a$ (mit $a>0$ ).

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Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)

Logarithmen als Umkehrung der Exponentialfunktion#

~3 Min LesezeitStandardAG-2.1FA-5.6

Exponential- und Logarithmusfunktion als Spiegelung an y=x

Abb. 4Die Graphen von

\mathrm{e}^{x}

und

\ln x

liegen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden

y=x

- das ist die geometrische Bedeutung der Umkehrfunktion.

Der Logarithmus beantwortet die Umkehrfrage zur Potenz:

\log_{a}(x)

ist genau der Exponent, mit dem man die Basis

a

potenzieren muss, um

x

zu erhalten - kurz

a^{\log_{a}(x)}=x

. Logarithmieren und Potenzieren heben einander auf; deshalb ist der Graph von

\ln x

die an der Winkelhalbierenden

y=x

gespiegelte

\mathrm{e}

-Funktion.

Der natürliche Logarithmus

\ln x=\log_{\mathrm{e}}x

zur Basis

\mathrm{e}\approx 2{,}718

ist der Standard in Differentialrechnung und Wachstumsmodellen, weil seine Ableitung

\tfrac{1}{x}

und die von

\mathrm{e}^{x}

wieder

\mathrm{e}^{x}

besonders einfach sind.

Die Logarithmusgesetze sind die Potenzgesetze in Spiegelung: Ein Produkt wird zur Summe (

\log(xy)=\log x+\log y

), ein Quotient zur Differenz, eine Potenz zum Faktor (

\log(x^{r})=r\log x

). Diese Verwandlung „mal wird plus" ist der Grund, warum man eine Unbekannte aus dem Exponenten überhaupt herausholen kann.

Über den Basiswechsel

\log_{a}(x)=\tfrac{\ln x}{\ln a}

lässt sich jede Basis auf

\ln

(oder

\log_{10}

) zurückführen - praktisch, weil der Taschenrechner nur diese beiden Tasten besitzt.

Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert;

\ln(x-3)

verlangt also

x>3

. Diese Bedingung schränkt den Definitions- und Lösungsbereich vieler Aufgaben ein und ist häufig die eigentliche Hürde.

Die Standardanwendung ist das Lösen von Exponentialgleichungen: Aus

a\cdot\mathrm{e}^{kx}=b

wird durch Dividieren und Logarithmieren

x=\tfrac{1}{k}\ln\tfrac{b}{a}

. So ergeben sich Verdopplungszeit

t=\tfrac{\ln 2}{k}

und Halbwertszeit - die Brücke zu den Wachstumsmodellen (Thema FA).

Vokabeln

→ Kartei

LogarithmusExponent, mit dem die Basis potenziert werden muss, um das Argument zu erhalten.
natürlicher LogarithmusLogarithmus zur Basis $\mathrm{e}$; Schreibweise $\ln$.
dekadischer LogarithmusLogarithmus zur Basis 10; Schreibweise $\lg$.
Basiswechsel$\log_{b}a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$; erlaubt die Berechnung mit jedem Rechner.
NumerusDas Argument des Logarithmus; es muss positiv sein.
LogarithmengesetzRegel, die Produkt, Quotient oder Potenz im Argument in eine einfachere Verknüpfung überführt.

Logarithmusgesetze (x, y > 0)

\log(xy)=\log x+\log y,\quad \log\!\frac{x}{y}=\log x-\log y,\quad \log(x^{r})=r\log x

Der Logarithmus macht aus Produkten Summen, aus Quotienten Differenzen und holt Exponenten vor den Term. Genau das macht ihn zum Werkzeug für Exponentialgleichungen.

Basiswechselformel

\log_{a}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}

Rechnet einen Logarithmus zu beliebiger Basis in natürliche Logarithmen um. Notwendig, weil der Taschenrechner meist nur $\ln$ und $\log_{10}$ kennt.

Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum mit Rate k

t_{2}=\dfrac{\ln 2}{k}

Die Zeit bis zur Verdopplung hängt NUR von der Rate ab, nicht vom Anfangsbestand. Deshalb ist sie eine Kennzahl des Vorgangs, keine der Ausgangsmenge.

Musterbeispiel

Halbwertszeit aus Zerfallsgleichung

Eine Substanz zerfällt gemäß $N(t)=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{-0{,}05\,t}$ (Zeit in Jahren). Bestimme die Halbwertszeit.

Halbwertsgleichung
$\tfrac{N_{0}}{2}=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{-0{,}05\,t}$ - durch $N_{0}$ teilen.
Logarithmieren
$\ln(\tfrac{1}{2})=-0{,}05\,t$ , also $t=-\dfrac{\ln(1/2)}{0{,}05}=\dfrac{\ln 2}{0{,}05}$ .
Numerisch
$t\approx 13{,}86$ Jahre.
$t=\dfrac{\ln 2}{0{,}05}\approx 13{,}86$

Ergebnis: Die Halbwertszeit beträgt rund $13{,}9$ Jahre.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Logarithmus beantwortet die Frage: mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, um diesen Wert zu erhalten?
2
Setze beim Lösen $\ln$ auf beiden Seiten an und nutze $\ln(\mathrm{e}^{x})=x$ .
3
Prüfe immer den Definitionsbereich: das Argument im Logarithmus muss positiv sein.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Gleichung

3\cdot a^{x}=12

mit

a>0

,

a\neq 1

. Drücke

x

als Funktion von

a

aus.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$\ln(a+b)$ wird zu $\ln a+\ln b$ zerlegt; für Summen gibt es kein Gesetz.
Der Basiswechsel wird verkehrt notiert; im Zähler steht der Logarithmus des ARGUMENTS.
Ein negatives oder null-wertiges Argument wird zugelassen.
$\log(a)\cdot\log(b)$ wird mit $\log(a\cdot b)$ verwechselt.
$\tfrac{\ln a}{\ln b}$ wird mit $\ln\tfrac{a}{b}$ gleichgesetzt.

Aktive Wiederholung

Löse $5\cdot \mathrm{e}^{0{,}12\,t}=200$ nach $t$ auf und gib den Wert auf zwei Nachkommastellen an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzkatalog AG 2.1 (IQS)

Intervalle, Mengen und Schreibweisen#

~3 Min LesezeitBasisAG-1.1

Intervall [-2, 5) auf der Zahlengeraden

Abb. 5Voller Punkt = Rand eingeschlossen (eckige Klammer), offener Ring = Rand ausgeschlossen (runde Klammer).

Intervalle bündeln alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Ein abgeschlossenes Intervall

[a,b]

enthält seine Randpunkte (eckige Klammer, voller Punkt auf der Zahlengeraden), ein offenes

(a,b)

schließt sie aus (runde Klammer, offener Ring); die halboffene Mischform

[a,b)

tritt in Lösungsmengen besonders häufig auf.

Jedes Intervall lässt sich gleichwertig als Menge schreiben:

[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x<b\}

. Die Wahl der Klammer entscheidet also unmittelbar über

\le

oder

<

in der Bedingung - ein häufiger Stolperstein bei der Punktevergabe.

Mengen verknüpft man mit Vereinigung

A\cup B

(mindestens eine Bedingung erfüllt), Durchschnitt

A\cap B

(beide zugleich) und Differenz

A\setminus B

(in

A

, aber nicht in

B

). Genau diese Operationen liefern die Lösungsmengen zusammengesetzter Ungleichungen.

Unbeschränkte Intervalle schreibt man mit

\infty

immer mit runder Klammer:

[3,\infty)

, niemals

[3,\infty]

- denn

\infty

ist keine erreichbare Zahl und kann nie selbst Randpunkt sein.

Definitionsbereiche erscheinen oft als Vereinigung mehrerer Intervalle:

\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)

ist der Definitionsbereich von

\tfrac{1}{x}

. Eine herausgenommene Stelle wird also zu zwei offenen Rändern.

Die leere Menge

\emptyset

ist schließlich die Lösungsmenge einer unerfüllbaren Bedingung; sie ist streng von

\{0\}

zu unterscheiden, das die eine Zahl

0

enthält.

Die Intervallschreibweise ist die kompakteste Form, eine Lösungsmenge anzugeben, und ihre Klammern tragen Bedeutung: Eine eckige Klammer schließt die Grenze ein, eine runde schließt sie aus.

[2;5)

enthält also die 2, aber nicht die 5. An der Unendlichkeit steht IMMER eine runde Klammer, weil

\infty

keine Zahl ist und deshalb nicht zum Intervall gehören kann.

Für zusammengesetzte Lösungsmengen braucht es die Mengenoperationen. Die Vereinigung

A\cup B

enthält alles, was in mindestens einer der beiden Mengen liegt, der Durchschnitt

A\cap B

nur das Gemeinsame, die Differenz

A\setminus B

alles aus

A

ohne die Elemente von

B

. Die Lösung von

|x|>3

etwa ist

(-\infty;-3)\cup(3;\infty)

- zwei getrennte Bereiche, die sich nur als Vereinigung schreiben lassen.

In Sachaufgaben ist die Übersetzung zwischen Sprache und Schreibweise gefragt: „mindestens 18" wird zu

[18;\infty)

, „unter 100" zu

(-\infty;100)

, „zwischen 5 und 10, jeweils einschließlich" zu

[5;10]

. Wer diese Übersetzung sauber vornimmt, vermeidet den häufigsten Fehler bei Ungleichungen - die Verwechslung von offener und geschlossener Grenze.

Vokabeln

→ Kartei

IntervallZusammenhängender Bereich der Zahlengeraden.
offenes IntervallBereich ohne seine Randpunkte; runde Klammern.
abgeschlossenes IntervallBereich einschließlich der Randpunkte; eckige Klammern.
VereinigungAlle Elemente, die in mindestens einer der Mengen liegen.
DurchschnittAlle Elemente, die in beiden Mengen liegen.
leere MengeMenge ohne Elemente; Zeichen $\emptyset$.

Intervall- und Mengenschreibweise

[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\},\quad (a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}

Eckige Klammern schließen den Randpunkt ein, runde schließen ihn aus. Der Unterschied entscheidet, ob eine Randlösung zur Lösungsmenge gehört.

Musterbeispiel

Definitionsbereich als Intervallvereinigung

Bestimme den Definitionsbereich von $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ und schreibe ihn als Intervall.

Wurzelbedingung
Der Radikand muss nichtnegativ sein: $x-2\ge 0$ .
Nennerbedingung
Der Nenner darf nicht Null sein, also $\sqrt{x-2}\neq 0$ , somit $x-2>0$ .
Zusammenführen
Beide Bedingungen verlangen $x>2$ .

Ergebnis: Definitionsbereich: $D=(2,\infty)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eckige Klammern schließen den Rand ein, runde Klammern schließen ihn aus.
2
Lösungsmengen von Ungleichungen lassen sich als Intervall oder als Menge gleichwertig schreiben.
3
Bei Unendlich steht immer eine runde Klammer, da Unendlich kein erreichbarer Wert ist.

Typische Fehler

Offene und geschlossene Intervallgrenzen werden vertauscht.
An der Unendlichkeit steht eine eckige Klammer.
Zwei getrennte Bereiche werden als ein Intervall geschrieben.
Vereinigung und Durchschnitt werden verwechselt.
Die leere Menge wird als $\{0\}$ notiert; sie enthält gar kein Element.

Aktive Wiederholung

Gib die Lösungsmenge von $-2\le x<5$ sowohl in Intervall- als auch in Mengenschreibweise an und stelle sie auf der Zahlengeraden dar.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik, Kompetenzbereich Algebra und Geometrie (BMBWF / RIS)

Betrag, Runden und Näherungswerte#

~4 Min LesezeitBasisAG-1.2

Betragsfunktion f(x)=|x|

Abb. 6V-förmiger Graph: für

x\ge 0

ist

f(x)=x

, für

x<0

ist

f(x)=-x

; im Knick bei

0

ist

f

stetig, aber nicht differenzierbar.

Der Betrag

|a|

misst den Abstand einer Zahl von Null auf der Zahlengeraden und ist deshalb nie negativ - so ist

|{-7}|=7

ebenso wie

|7|=7

. Als Funktion betrachtet liefert

f(x)=|x|

den charakteristischen V-Graphen mit Knick im Ursprung.

Rechnerisch ist der Betrag eine Fallunterscheidung:

|a|=a

für

a\ge 0

und

|a|=-a

für

a<0

. Betragsgleichungen wie

|x-2|=5

löst man daher in zwei Fällen (

x-2=5

und

x-2=-5

) und prüft jede Lösung mit einer Probe.

Beim Runden auf

n

Nachkommastellen entscheidet die erste wegfallende Ziffer: Ist sie

\ge 5

, wird aufgerundet, sonst ab. Entscheidend ist, erst das Endergebnis zu runden - frühes Runden von Zwischenwerten pflanzt sich als Rundungsfehler fort.

Signifikante Stellen zählen ab der ersten von Null verschiedenen Ziffer; die Messgenauigkeit begrenzt, wie viele davon überhaupt sinnvoll sind. Ein Ergebnis darf nie genauer wirken als die ungenaueste Eingangsgröße.

Der absolute Fehler

|x_{\text{exakt}}-x_{\text{näherung}}|

gibt die Abweichung in der Originaleinheit an; der relative Fehler setzt ihn ins Verhältnis zum exakten Wert und macht so verschieden große Werte vergleichbar (meist als Prozentwert).

Anschaulich beantwortet der absolute Fehler „um wie viel?", der relative „um wie viel im Verhältnis zur Größe?". Eine Abweichung von

3

ist bei einem Wert von

200

klein (

1{,}5\,\%

), bei einem Wert von

5

jedoch gewaltig (

60\,\%

).

Der Betrag

|x|

ist der ABSTAND einer Zahl von null auf der Zahlengeraden und deshalb nie negativ. Aus dieser Deutung folgt unmittelbar die Lösung jeder Betragsgleichung:

|x-3|=5

bedeutet „der Abstand von

x

zu 3 beträgt 5", also

x=8

oder

x=-2

. Die Fallunterscheidung ist damit keine Formel zum Auswendiglernen, sondern eine Übersetzung.

Beim Runden entscheidet die erste weggelassene Ziffer: Ab 5 wird aufgerundet, darunter abgerundet. Wichtiger als die Regel ist jedoch die Frage, WOHIN gerundet wird - kontextgerecht bedeutet bei Geldbeträgen zwei Nachkommastellen, bei Personenzahlen ganze Zahlen und bei Schwellenwerten oft Aufrunden auch bei einer Nachkommastelle unter 5, weil ein Bruchteil nicht genügt.

Für die Bewertung eines Näherungswerts stehen zwei Größen zur Verfügung: der absolute Fehler

|x_{\text{genau}}-x_{\text{näherung}}|

in der Einheit der Größe und der relative Fehler als dessen Quotient mit dem genauen Wert, meist in Prozent. Erst der relative Fehler macht Genauigkeiten vergleichbar - ein Millimeter Abweichung ist bei einer Schraube gravierend und bei einer Autobahn belanglos. In der Reifeprüfung ist außerdem stets anzugeben, mit wie vielen signifikanten Stellen das Endergebnis sinnvoll ist.

Vokabeln

→ Kartei

BetragAbstand einer Zahl von null; stets nichtnegativ.
absoluter FehlerBetrag der Abweichung vom genauen Wert, in derselben Einheit.
relativer FehlerAbsoluter Fehler geteilt durch den genauen Wert; dimensionslos.
signifikante StelleVerlässliche Ziffer eines Näherungswerts.
RundungsfehlerAbweichung, die durch das Runden entsteht.
NäherungswertBewusst gerundeter Wert mit angegebener Genauigkeit.

Betrag als Fallunterscheidung

|a|=\begin{cases} a & a\ge 0 \\ -a & a<0 \end{cases}

Der Betrag ist keine Rechenoperation, sondern eine Fallunterscheidung. Deshalb zerfällt jede Betragsgleichung in zwei Fälle, die einzeln zu lösen sind.

Relativer Fehler

\text{relativer Fehler}=\dfrac{|x_{\text{exakt}}-x_{\text{näherung}}|}{|x_{\text{exakt}}|}

Setzt den absoluten Fehler ins Verhältnis zum exakten Wert und macht Abweichungen vergleichbar. Ein Millimeter ist bei einer Schraube viel, bei einer Brücke nichts.

Musterbeispiel

Absoluter und relativer Fehler

Der exakte Wert ist $200$ , gemessen wurden $197$ . Bestimme absoluten und relativen Fehler.

Absoluter Fehler
$|200-197|=3$ .
Relativer Fehler
$\dfrac{3}{200}=0{,}015$ .
In Prozent
$0{,}015=1{,}5\,\%$ .

Ergebnis: Absoluter Fehler $3$ , relativer Fehler $1{,}5\,\%$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Betrag misst den Abstand zur Null und ist daher nie negativ.
2
Beim Runden rundet eine erste wegfallende Ziffer ab fünf aufwärts auf.
3
Der relative Fehler setzt den absoluten Fehler ins Verhältnis zum exakten Wert und macht Genauigkeiten vergleichbar.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Längenmessung wird

\ell_{\text{mess}}=49{,}2\ \text{cm}

abgelesen; der exakte Wert beträgt

\ell=50\ \text{cm}

. Berechne den absoluten und den relativen Fehler (in Prozent).

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Typische Fehler

$|x|$ wird für negative $x$ negativ angegeben; der Betrag ist nie negativ.
Absoluter und relativer Fehler werden vermischt.
Es wird auf mehr Stellen gerundet, als die Eingangsdaten hergeben.
Bei Schwellenwerten wird abgerundet, obwohl der Wert nicht ausreicht.
$|a-b|$ wird als $|a|-|b|$ berechnet.

Aktive Wiederholung

Eine Messung ergibt $\ell=12{,}47$ m, der exakte Wert ist $12{,}5$ m. Berechne absoluten und relativen Fehler und runde sinnvoll.

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Quellen: IQS Grundkompetenzen Mathematik AHS (IQS)