FA 2 - Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Polynomfunktionen höheren Grades#

~4 Min LesezeitStandardFA-4.1

Eine Polynomfunktion entsteht durch Aufsummieren von Potenzen mit konstanten Vorfaktoren:

P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}

. Der höchste auftretende Exponent ist der Grad

n

, sein Vorfaktor

a_{n}

der Leitkoeffizient. Diese beiden Größen legen bereits das grobe Aussehen fest, denn für betragsgroße

x

überwiegt der Term

a_{n}x^{n}

alle übrigen und bestimmt allein das Endverhalten - also wohin der Graph an den Rändern strebt.

Anschaulich gilt: Bei geradem Grad laufen beide Äste in dieselbe Richtung (für

a_{n}>0

beide nach

+\infty

, wie bei der Parabel), bei ungeradem Grad in entgegengesetzte (für

a_{n}>0

von

-\infty

nach

+\infty

). Ein negativer Leitkoeffizient spiegelt dieses Bild an der

x

-Achse. Daraus folgt eine nützliche Konsequenz: Ein Polynom ungeraden Grades besitzt immer mindestens eine reelle Nullstelle, weil der Graph zwangsläufig von unten nach oben durchlaufen muss.

Ein Polynom vom Grad

n

hat höchstens

n

reelle Nullstellen; mehrfache Nullstellen senken die effektive Anzahl der Schnittstellen mit der

x

-Achse. Die Vielfachheit prägt dabei das lokale Verhalten: An einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die Achse, an einer doppelten berührt er sie (Extrempunkt auf der Achse), an einer dreifachen durchsetzt er sie mit waagrechter Tangente - genau deshalb ist die Tangente bei einer dreifachen Nullstelle flach.

Die faktorisierte Form

P(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots(x-x_{n})

macht alle Nullstellen und ihre Vielfachheiten unmittelbar sichtbar - jeder Linearfaktor

(x-x_{i})

liefert eine Nullstelle

x_{i}

, ein mehrfach auftretender Faktor die entsprechende Vielfachheit. Kompakt schreibt man das als

P(x)=a_{n}\prod_{i=1}^{k}(x-x_{i})^{m_{i}}

. Umgekehrt ist genau diese Zerlegung das Ziel jeder Nullstellensuche.

Lässt sich keine Nullstelle direkt ablesen, errät man eine ganzzahlige Nullstelle (ein Teiler des konstanten Glieds

a_{0}

) und spaltet den zugehörigen Linearfaktor per Polynomdivision oder Hornerschema ab:

P(x)=(x-x_{0})\cdot Q(x)+r

. Ist

x_{0}

tatsächlich Nullstelle, so ist der Rest

r=0

, und das Restpolynom

Q(x)

hat einen um

1

kleineren Grad. So zerlegt man ein Polynom dritten Grades nach einem erratenen Faktor in eine quadratische Restgleichung, die man mit der ABC-Formel löst.

Die Symmetrie verrät sich an den Exponenten: Treten nur gerade Hochzahlen auf, ist der Graph achsensymmetrisch zur

y

-Achse; treten nur ungerade auf, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Der abgebildete Verlauf von

P(x)=x^{3}-7x+6

() zeigt mit seinen drei Nullstellen bei

-3

,

1

und

2

das typische Bild eines Polynoms dritten Grades. Diese Werkzeuge - Endverhalten, Nullstellen, Vielfachheit und Symmetrie - bilden die Grundlage der späteren Kurvendiskussion (Thema AN).

Polynom 3. Grades P(x)=x³-7x+6

Abb. 1Drei Nullstellen bei

x=-3

,

x=1

und

x=2

; Endverhalten von

-\infty

nach

+\infty

.

Abb. 1 ↓

Vokabeln

→ Kartei

Polynomfunktion$a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}$ mit natürlichen Exponenten.
GradHöchster Exponent; er begrenzt die Nullstellenzahl.
LeitkoeffizientKoeffizient der höchsten Potenz.
PolynomdivisionAbspalten eines Linearfaktors nach gefundener Nullstelle.
VielfachheitAnzahl des Auftretens eines Linearfaktors.
AbsolutgliedKonstanter Summand; seine Teiler sind Kandidaten für Nullstellen.

Faktorisierte Form mit Vielfachheiten

P(x)=a_{n}\prod_{i=1}^{k}(x-x_{i})^{m_{i}}

Jede Nullstelle erscheint als Linearfaktor. Die Vielfachheit entscheidet, ob der Graph die Achse schneidet oder nur berührt.

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Musterbeispiel

Polynom mit Erraten und Polynomdivision

Faktorisiere $P(x)=x^{3}-7x+6$ .

Nullstelle erraten
Probe $x=1$ : $1-7+6=0$ , also $(x-1)$ Faktor.
Polynomdivision
$P(x):(x-1)=x^{2}+x-6$ .
Quadratisches Restpolynom
$x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$ .
Ergebnis
$P(x)=(x-1)(x+3)(x-2)$ mit Nullstellen $1$ , $2$ , $-3$ .

Ergebnis: $P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$ ; Nullstellen $x=1, 2, -3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Grad eines Polynoms gibt eine Obergrenze für die Anzahl reeller Nullstellen.
2
Polynomdivision oder das Hornerschema halbieren oft den Aufwand.
3
Endverhalten und Vielfachheit der Nullstellen formen den Graphen entscheidend.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Polynom dritten Grades hat genau eine reelle Nullstelle. Welche Aussage über den Graphen kann mit Sicherheit getroffen werden?

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei der Polynomdivision werden fehlende Potenzen nicht mit null aufgefüllt.
Der Grad wird mit der Anzahl der Nullstellen gleichgesetzt.
Das Randverhalten wird ohne Berücksichtigung des Leitkoeffizienten angegeben.
Die Probe durch Rückmultiplizieren unterbleibt.
Eine doppelte Nullstelle wird als zwei getrennte gezählt.

Aktive Wiederholung

Bestimme alle Nullstellen von $P(x)=x^{3}-3x^{2}-4x+12$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Polynomfunktionen (IQS)

Exponentialfunktionen und Wachstumsmodelle#

~4 Min LesezeitStandardFA-5.1FA-5.2FA-5.3

Charakteristisch für exponentielles Wachstum ist, dass sich der Bestand in gleichen Zeitschritten stets mit demselben Faktor verändert - nicht um einen festen Betrag wie beim linearen Wachstum, sondern um einen festen Prozentsatz. Das beschreibt die Exponentialfunktion

f(x)=a\cdot b^{x}

: Für

b>1

wächst sie, für

0<b<1

zerfällt sie. Der Parameter

a

ist der Anfangswert (der Wert bei

x=0

), der Parameter

b

der Wachstumsfaktor pro Einheit.

Den Zusammenhang zwischen Wachstumsfaktor und prozentueller Änderung muss man sauber trennen: Ein Faktor

b=1{,}05

bedeutet

+5\,\%

pro Periode,

b=0{,}9

einen Rückgang um

10\,\%

. Über mehrere Perioden potenziert sich der Faktor (

b^{x}

) - dieselbe Struktur wie beim Zinseszins. Anschaulich erzeugt jeder gleich große Schritt auf der

x

-Achse eine Multiplikation mit demselben

b

, weshalb der Graph immer steiler ansteigt statt mit konstanter Steigung.

Wird das Wachstum nicht in Sprüngen, sondern ununterbrochen gedacht, schreibt man die stetige Form

f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{\lambda x}

mit der Wachstumsrate

\lambda

(

\lambda>0

Wachstum,

\lambda<0

Zerfall). Diskreter Faktor und stetige Rate hängen über

b=\mathrm{e}^{\lambda}

zusammen. Genau hier lauert ein häufiger Fehler -

\mathrm{e}^{0{,}05}\approx 1{,}0513

entspricht rund

5{,}13\,\%

und nicht glatt

5\,\%

.

Eine zentrale Kenngröße ist die Zeit bis zur Verdopplung beziehungsweise Halbierung. Setzt man

\mathrm{e}^{\lambda T}=2

(oder

=\tfrac{1}{2}

) und logarithmiert, ergibt sich die Verdopplungszeit

T_{2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

und die Halbwertszeit

T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|\lambda|}

. Bemerkenswert ist, dass diese Zeit nicht vom Anfangswert

a

abhängt - eine Bakterienkultur verdoppelt sich stets im selben Takt, egal wie groß sie schon ist.

Um eine Unbekannte aus dem Exponenten zu befreien, logarithmiert man: Aus

a\cdot b^{x}=c

wird

x=\dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}

. Die natürliche Basis

\mathrm{e}

ist dabei vor allem in den Naturwissenschaften der Standard, weil sie sich beim Ableiten am einfachsten verhält. Der Vergleich in der Abbildung zeigt eindrücklich, wie der exponentielle Verlauf

f(x)=2^{x}

den linearen

g(x)=4x

nach kurzer Zeit überholt ().

Exponentielles Wachstum vs. linear

Abb. 2Vergleich

f(x)=2^{x}

und

g(x)=4x

- der exponentielle Verlauf überholt schnell.

Abb. 2 ↓

In Sachaufgaben gilt jedes Exponentialmodell nur in einem realistischen Zeitfenster: Reine Exponentialfunktionen wachsen unbeschränkt, in der Wirklichkeit bremsen Knappheit oder Sättigung das Wachstum - dann ist ein beschränktes oder logistisches Modell angebracht (Modellreflexion, siehe folgende Sektionen). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit dieser Funktionen wird über die Ableitung erfasst (Thema AN), denn

\mathrm{e}^{\lambda x}

ist die einzige Funktion, die proportional zu sich selbst wächst.

Vokabeln

→ Kartei

Exponentialfunktion$N_{0}\cdot q^{t}$ bzw. $N_{0}\cdot\mathrm{e}^{kt}$.
WachstumsfaktorFaktor je Periode.
WachstumsrateRelative Änderung je Periode; $p=q-1$.
HalbwertszeitZeit bis zur Halbierung.
VerdopplungszeitZeit bis zur Verdopplung; vom Anfangswert unabhängig.
SättigungObergrenze, die reales Wachstum begrenzt.

Exponentialfunktion

f(x)=a\cdot b^{x}\;\text{mit}\;a>0,\;b>0,\;b\neq 1

Die Variable steht im Exponenten. Für $b>1$ wächst die Funktion, für $0<b<1$ fällt sie; $b=1$ wäre konstant und ist ausgeschlossen.

Kontinuierliches Wachstums-/Zerfallsmodell

N(t)=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{\lambda t}

Die e-Schreibweise desselben Vorgangs. Positives $\lambda$ bedeutet Wachstum, negatives Zerfall.

Verdopplungs- und Halbwertszeit

T_{2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda},\quad T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|\lambda|}

Beide hängen nur von der Rate ab, nicht vom Anfangsbestand. Der Betrag im Nenner sorgt dafür, dass die Halbwertszeit positiv bleibt.

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Musterbeispiel

Bakterienwachstum

Anfangs $200$ Bakterien, Verdopplungszeit $30$ min. Bakterienzahl nach $4$ h?

Wachstumsrate
$\lambda=\tfrac{\ln 2}{30}\,\text{min}^{-1}$ , also nach $240$ min: $\lambda\cdot 240=8\ln 2$ .
Modell
$N(240)=200\cdot \mathrm{e}^{8\ln 2}=200\cdot 2^{8}=200\cdot 256$ .

Ergebnis: $N=51\,200$ Bakterien nach $4$ Stunden.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Exponentielles Wachstum bedeutet, dass der Bestand in gleichen Zeitintervallen mit einem konstanten Faktor multipliziert wird.
Exponentielles Wachstum vs. linear
Abb.Vergleich $f(x)=2^{x}$ und $g(x)=4x$ - der exponentielle Verlauf überholt schnell.
2
Verdopplungs- und Halbwertszeit verbinden Rate und natürlichen Logarithmus.
3
Modelle gelten nur in einem realistischen Zeitfenster - im Sachkontext kommt es zu Sättigung oder Knappheit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Aktivität einer radioaktiven Probe sinkt gemäß

A(t)=A_{0}\cdot \mathrm{e}^{-0{,}023\,t}

(

t

in Jahren). Berechne die Halbwertszeit auf eine Nachkommastelle und interpretiere das Ergebnis.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Lineares und exponentielles Wachstum werden verwechselt.
Die Halbwertszeit wird negativ angegeben.
Wachstumsrate und -faktor werden gleichgesetzt.
Der Anfangswert wird nicht bei $t=0$ abgelesen.
Exponentielles Wachstum wird unbegrenzt fortgeschrieben.

Aktive Wiederholung

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell mit Verdopplungszeit $30$ min. Wie viele Bakterien sind nach $4$ h vorhanden, wenn anfangs $200$ Bakterien gezählt werden?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft - Exponential (BMBWF)

Logarithmusfunktion#

~3 Min LesezeitStandardFA-1.9

Die Logarithmusfunktion

f(x)=\log_{a}(x)

beantwortet die Umkehrfrage zur Exponentialfunktion: Sie gibt zu jedem

x

den Exponenten zurück, mit dem man die Basis

a

potenzieren muss, um

x

zu erhalten. Logarithmus und Exponentialfunktion gleicher Basis heben einander auf - das halten die Umkehrgesetze

\log_{a}(a^{x})=x

und

a^{\log_{a}(x)}=x

fest.

Weil eine positive Basis hoch irgendeinen Exponenten stets positiv bleibt, kann das Argument eines Logarithmus nur positiv sein: Der Definitionsbereich ist

D_{f}=\mathbb{R}^{+}

, der Wertebereich ganz

\mathbb{R}

. Genau diese Bedingung ist in Aufgaben oft die eigentliche Hürde -

\ln(2x-3)

etwa verlangt

2x-3>0

, also

x>1{,}5

. Den Definitionsbereich abzugrenzen ist daher der erste Schritt jeder Logarithmusaufgabe.

Der Graph spiegelt die Umkehrung wider: Für

a>1

ist die Logarithmusfunktion streng monoton steigend, für

0<a<1

streng monoton fallend; in beiden Fällen schneidet sie die

x

-Achse bei

x=1

, denn

\log_{a}(1)=0

gilt für jede Basis. Die

y

-Achse ist senkrechte Asymptote - nähert sich

x

von rechts der Null, fällt der Funktionswert (bei

a>1

) gegen

-\infty

().

Logarithmusfunktion f(x)=\ln x

Abb. 3Definitionsbereich

x>0

, Nullstelle bei

x=1

, sehr langsames Wachstum.

Abb. 3 ↓

Da

f(x)=\log_{a}(x)

die Umkehrfunktion von

g(x)=a^{x}

ist, sind ihre Graphen zueinander symmetrisch bezüglich der ersten Mediane

y=x

. Man erhält den einen also durch Spiegelung des anderen an dieser Geraden, wobei Definitions- und Wertebereich ihre Rollen vertauschen. Diese Spiegelsymmetrie ist ein verlässliches Kontrollmittel beim Skizzieren.

Charakteristisch ist das extrem langsame Wachstum: Um den Funktionswert um einen festen Betrag zu erhöhen, muss das Argument jedes Mal mit demselben Faktor multipliziert werden. Genau deshalb verwendet man logarithmische Skalen, wenn riesige Wertebereiche handhabbar werden sollen - der pH-Wert, die Dezibel-Skala und die Richter-Skala sind die klassischen Beispiele: Eine Stufe mehr bedeutet dort den zehnfachen Wert.

Beim Lösen einer Logarithmusgleichung nutzt man die Umkehrung direkt: Aus

\log_{a}(\dots)=b

folgt

\dots=a^{b}

. Umgekehrt ist der Logarithmus das Werkzeug, um Exponentialgleichungen zu lösen - dort holt man die Unbekannte mit

\ln

aus dem Exponenten (Thema FA Exponentialfunktionen, AG Logarithmen). Jede gefundene Lösung ist abschließend gegen den Definitionsbereich zu prüfen, damit kein negatives oder null-wertiges Argument übrig bleibt.

Vokabeln

→ Kartei

LogarithmusfunktionUmkehrfunktion der Exponentialfunktion.
senkrechte AsymptoteGerade $x=0$, der sich der Graph nähert.
erste MedianeGerade $y=x$; Spiegelachse zwischen Funktion und Umkehrfunktion.
natürlicher LogarithmusLogarithmus zur Basis $\mathrm{e}$.
LinearisierungAuftragen von $\ln y$ gegen $x$; exponentielle Daten werden zur Geraden.
UmkehrfunktionFunktion, die die Zuordnung umdreht.

Umkehrgesetze

\log_{a}(a^{x})=x,\quad a^{\log_{a}(x)}=x

Logarithmus und Exponentialfunktion heben einander auf. Genau darauf beruht jedes Lösen von Exponentialgleichungen.

Musterbeispiel

Definitionsbereich, Nullstelle und Funktionswert

Gegeben ist $f(x)=\log_{2}(x-1)$ . Bestimme den Definitionsbereich, die Nullstelle und löse $f(x)=3$ .

Definitionsbereich
Das Argument muss positiv sein: $x-1>0$ , also $D=(1,\infty)$ .
Nullstelle
$\log_{2}(x-1)=0$ bedeutet $x-1=2^{0}=1$ , also $x=2$ .
Gleichung lösen
Aus $\log_{2}(x-1)=3$ folgt $x-1=2^{3}=8$ , also $x=9$ .
Probe
Beide Lösungen liegen in $D=(1,\infty)$ , sind also gültig.

Ergebnis: Definitionsbereich $D=(1,\infty)$ , Nullstelle bei $x=2$ , Lösung von $f(x)=3$ ist $x=9$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.
2
Der Definitionsbereich beginnt erst ab positiven Werten.
3
Logarithmische Skalen verdichten große Wertebereiche - typisch für pH oder Dezibel.

Typische Fehler

Der Definitionsbereich wird auf $\mathbb{R}$ ausgedehnt.
Die Asymptote wird waagrecht statt senkrecht angegeben.
Die Nullstelle wird bei $x=0$ vermutet; sie liegt bei $x=1$ .
Das Wachstum wird als beschränkt beschrieben; der Logarithmus wächst unbeschränkt.
Exponential- und Logarithmusfunktion werden in der Spiegelachse vertauscht.

Aktive Wiederholung

Bestimme Definitionsbereich und Nullstelle von $f(x)=\ln(2x-3)$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Logarithmus (IQS)

Modellwahl: linear, quadratisch, exponentiell, Polynom#

~3 Min LesezeitVertiefungFA-4.1FA-5.1

Die Modellwahl entscheidet, mit welchem Funktionstyp ein realer Zusammenhang beschrieben wird - und sie beginnt nicht mit dem Rechnen, sondern mit dem Erkennen des Änderungsverhaltens in den Daten. Die Leitfrage lautet: Wächst die Größe in gleichen Zeitschritten um denselben Betrag oder um denselben Faktor?

Ein konstanter absoluter Zuwachs pro Schritt (immer

+3

) spricht für ein lineares Modell

f(x)=k\,x+d

; ein konstanter Faktor pro Schritt (immer mal

1{,}2

) für ein exponentielles Modell

f(x)=a\cdot b^{x}

. Praktisch prüft man das, indem man bei gleichabständigen

x

-Werten die Differenzen (linear) oder die Quotienten (exponentiell) aufeinanderfolgender

y

-Werte bildet - jene, die konstant bleiben, entscheiden über den Typ.

Quadratische und Polynom-Modelle passen, wenn der Verlauf ein klar ausgeprägtes Maximum, Minimum oder einen Wendepunkt zeigt - etwa bei Wurfbewegungen (Parabel) oder bei Flächen- und Volumenoptimierungen. Hier ist nicht ein gleichbleibender Faktor das Kennzeichen, sondern eine charakteristische Krümmung, die mit der Aufgabenstellung übereinstimmen muss.

Liegen Messpunkte vor, passt man die Modelle per Regression an und vergleicht ihre Güte am Bestimmtheitsmaß

R^{2}

: Je näher

R^{2}

bei

1

liegt, desto besser folgt das Modell den Daten. Vorsicht jedoch - ein

R^{2}

über

0{,}9

allein ist kein Beweis für das richtige Modell. Ein höhergradiges Polynom kann jede Punktwolke fast perfekt treffen und trotzdem inhaltlich unsinnig sein; die fachliche Plausibilität geht vor.

Jedes Modell gilt nur in einem begrenzten Definitionsbereich. Extrapoliert man weit über die Datenbasis hinaus, liefert besonders das exponentielle Modell rasch unrealistische Werte - eine Bevölkerung kann nicht ewig exponentiell wachsen. Deshalb gehört zu jeder Modellantwort die Angabe, in welchem Bereich sie sinnvoll ist.

Stößt ein Modell an seine Grenzen, ist der Wechsel selbst Teil der geforderten Modellreflexion: Bei Sättigung etwa löst ein beschränktes oder logistisches Wachstum das reine Exponentialmodell ab. In Teil-2-Aufgaben wird genau diese begründete Wahl und Kritik des Modells geprüft - nicht nur das Einsetzen von Zahlen, sondern das Argumentieren über die Angemessenheit der Beschreibung (Kompetenz FA 5.6).

Vokabeln

→ Kartei

ModellwahlEntscheidung für einen Funktionstyp anhand von Daten und Sachverhalt.
erste DifferenzUnterschied aufeinanderfolgender Funktionswerte; konstant bei linearem Modell.
zweite DifferenzDifferenz der ersten Differenzen; konstant bei quadratischem Modell.
AnpassungsgüteMaß dafür, wie gut das Modell die Daten trifft.
ÜberanpassungModell, das die Streuung mitmodelliert und schlecht vorhersagt.
KontrollpunktNicht zur Anpassung verwendeter Datenpunkt.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Modell aus einer Wertetabelle bestimmen

Eine Wertetabelle ordnet den Stellen $x=0$ , $1$ , $2$ , $3$ die Werte $50$ , $60$ , $72$ und $86{,}4$ zu. Begründe, welches Modell passt, und stelle die Funktionsgleichung auf.

Differenzen prüfen
Differenzen aufeinanderfolgender Werte: $10$ , $12$ , $14{,}4$ - nicht konstant, also kein lineares Modell.
Quotienten prüfen
Quotienten: $\tfrac{60}{50}=\tfrac{72}{60}=\tfrac{86{,}4}{72}=1{,}2$ - konstant, also exponentielles Modell.
Gleichung aufstellen
Anfangswert $a=f(0)=50$ , Wachstumsfaktor $b=1{,}2$ , somit $f(x)=50\cdot 1{,}2^{x}$ .
Deutung
Der Bestand wächst pro Schritt um $20\,\%$ ; das Modell gilt im Rahmen des erfassten Zeitraums.

Ergebnis: Exponentielles Modell $f(x)=50\cdot 1{,}2^{x}$ (konstanter Wachstumsfaktor $1{,}2$ , also $+20\,\%$ pro Schritt).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Lineares Wachstum erkennt man am konstanten Zuwachs; exponentielles am konstanten Faktor.
2
Quadratische oder Polynom-Modelle haben Wendepunkte und Maxima, die zur Aufgabe passen müssen.
3
Reflektiere immer den Gültigkeitsbereich - Modelle sind keine universellen Wahrheiten.

Typische Fehler

Das Modell wird allein an der Anpassungsgüte gewählt; ein Polynom hohen Grades trifft jede Punktmenge.
Konstante Differenzen und Quotienten werden nicht geprüft.
Die Modellwahl bleibt unbegründet.
Es wird weit über den Datenbereich hinaus extrapoliert.
Ein guter Fit wird als Beleg für einen ursächlichen Zusammenhang gelesen.

Aktive Wiederholung

Welche Modellart passt zu einer Wertetabelle, bei der sich der Funktionswert alle 10 Sekunden verdoppelt? Begründe deine Wahl.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Modellreflexion (IQS)

Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten#

~3 Min LesezeitVertiefungFA-1.3FA-1.5

Eine gebrochen-rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome,

f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}

. Anders als ein Polynom ist sie nicht überall definiert: Überall dort, wo der Nenner null wird (

q(x_{0})=0

), entsteht eine Definitionslücke, und der Definitionsbereich ist

\mathbb{R}

ohne diese Stellen. Die Untersuchung beginnt deshalb stets mit den Nennernullstellen.

An einer Definitionslücke sind zwei Fälle zu unterscheiden. Ist der Zähler dort ungleich null, liegt eine Polstelle vor; ist auch der Zähler null - stimmt also eine Nennernullstelle mit einer Zählernullstelle überein - so lässt sich der gemeinsame Faktor kürzen und es bleibt eine hebbare Lücke (ein einzelnes „Loch" im sonst glatten Graphen). Diese saubere Unterscheidung ist eine klassische Stolperfalle.

Eine Polstelle erzeugt eine senkrechte Asymptote: Nähert sich

x

der Polstelle, so streben die Funktionswerte gegen

+\infty

oder

-\infty

. Ob beide Seiten in dieselbe Richtung laufen (gerade Vielfachheit der Nennernullstelle, kein Vorzeichenwechsel) oder in entgegengesetzte (ungerade Vielfachheit, mit Vorzeichenwechsel), entscheidet die Vielfachheit dieser Nullstelle.

Das Verhalten für betragsgroße

x

liefert eine waagrechte oder schiefe Asymptote, je nach Gradverhältnis von Zähler und Nenner: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, ist die

x

-Achse

y=0

waagrechte Asymptote; sind die Grade gleich, ist es die Gerade durch den Quotienten der Leitkoeffizienten; ist der Zählergrad um genau

1

größer, ergibt eine Polynomdivision eine schiefe Asymptote.

Am Beispiel

f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}

wird das konkret: Der Nenner verschwindet bei

x=2

, der Zähler ist dort

3\neq 0

- also eine Polstelle mit senkrechter Asymptote

x=2

. Da Zähler- und Nennergrad beide

1

sind, ist die waagrechte Asymptote der Quotient der Leitkoeffizienten,

y=1

. Der Definitionsbereich ist

D=\mathbb{R}\setminus\{2\}

.

Anschaulich nähert sich der Graph seinen Asymptoten beliebig an, ohne sie zu erreichen - die Asymptoten bilden das Gerüst, an dem man den Verlauf rasch skizziert. Untersucht man später zusätzlich Nullstellen, Extrema und das Krümmungsverhalten über die Ableitung (Thema AN), so ergibt sich daraus die vollständige Kurvendiskussion einer rationalen Funktion.

Vokabeln

→ Kartei

gebrochen-rationale FunktionQuotient zweier Polynomfunktionen.
PolstelleDefinitionslücke mit unbeschränkt wachsenden Funktionswerten.
behebbare LückeDefinitionslücke, die durch Kürzen verschwindet.
waagrechte AsymptoteGrenzwert für sehr große Argumente.
senkrechte AsymptoteGerade an einer Polstelle.
GradvergleichVergleich von Zähler- und Nennergrad; er liefert die Asymptote.

Gebrochen-rationale Funktion

f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},\quad q(x_{0})=0\;\Rightarrow\;\text{Definitionslücke bei }x_{0}

Die Nullstellen des Nenners sind aus dem Definitionsbereich auszuschließen. Ob dort ein Pol oder eine behebbare Lücke sitzt, klärt das Kürzen.

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Musterbeispiel

Asymptoten bestimmen

Untersuche $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ auf Definitionsbereich und Asymptoten.

Definitionsbereich
Nenner null bei $x=2$ , also $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .
Senkrechte Asymptote
Bei $x=2$ liegt eine Polstelle vor (Zähler dort ungleich null), also senkrechte Asymptote $x=2$ .
Waagrechte Asymptote
Zähler- und Nennergrad sind gleich, der Quotient der Leitkoeffizienten ist $1$ , also $y=1$ .

Ergebnis: Senkrechte Asymptote $x=2$ , waagrechte Asymptote $y=1$ , $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen.
2
An den Nullstellen des Nenners liegen Definitionslücken, die als Polstellen oder hebbare Lücken auftreten.
3
Das Verhalten für betragsgroße Argumente liefert die waagrechte oder schiefe Asymptote.

Typische Fehler

Nennernullstellen bleiben im Definitionsbereich.
Polstelle und behebbare Lücke werden verwechselt.
Bei gleichem Grad wird $y=0$ als waagrechte Asymptote angegeben statt des Leitkoeffizientenquotienten.
Das einseitige Verhalten wird nicht getrennt untersucht.
Die senkrechte Asymptote wird als Teil des Graphen gezeichnet.

Aktive Wiederholung

Bestimme Definitionsbereich und senkrechte Asymptote von $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Rationale Funktionen AHS (IQS)

Stetiges Wachstum und die eulersche Zahl#

~3 Min LesezeitVertiefungFA-5.1FA-5.3

Beim diskreten Wachstum springt der Bestand am Ende jeder Periode auf einen neuen Wert. Lässt man die Perioden immer kürzer werden und schließlich ununterbrochen verzinsen, geht das diskrete in das stetige (kontinuierliche) Wachstum über. Es wird durch

N(t)=N_{0}\cdot\mathrm{e}^{\lambda t}

beschrieben, wobei

N_{0}

der Anfangsbestand und

\lambda

die Wachstumskonstante ist.

Die eulersche Zahl

\mathrm{e}\approx 2{,}718

taucht dabei nicht zufällig auf: Sie ergibt sich genau als Grenzwert beim unendlich oft verzinsten Wachstum, formal

\mathrm{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}

. Verzinst man einen Euro ein Jahr lang zu

100\,\%

, aber in immer feineren Schritten, nähert sich das Endkapital genau diesem Wert

\mathrm{e}

.

Das Vorzeichen der Konstante entscheidet über die Richtung:

\lambda>0

liefert Wachstum,

\lambda<0

Zerfall. Bei Zerfallsprozessen schreibt man den Exponenten daher mit Minuszeichen, etwa

N(t)=N_{0}\cdot\mathrm{e}^{-0{,}05\,t}

; das Vorzeichen zu vergessen ist ein häufiger Fehler. Die abgebildete Kurve zeigt einen solchen Zerfall, der pro Halbwertszeit auf die Hälfte sinkt ().

Stetiger Zerfall N(t)=100·e^{-0,05 t}

Abb. 4Halbwertszeit

T_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{0{,}05}\approx 13{,}86

; pro Halbwertszeit halbiert sich der Bestand.

Abb. 4 ↓

Diskreter Wachstumsfaktor

a

und stetige Rate

\lambda

beschreiben denselben Vorgang und hängen über

a=\mathrm{e}^{\lambda}

zusammen; umgekehrt ist

\lambda=\ln a

. Ein jährlicher Faktor

a=1{,}05

entspricht also der stetigen Rate

\lambda=\ln 1{,}05\approx 0{,}0488

. Die beiden Zahlen direkt gleichzusetzen -

\lambda=0{,}05

statt

0{,}0488

- ist genau der typische Umrechnungsfehler.

Verdopplungs- und Halbwertszeit folgen unmittelbar aus der Modellgleichung: Setzt man

\mathrm{e}^{\lambda t}=2

und logarithmiert, erhält man

t=\dfrac{\ln 2}{|\lambda|}

. Diese Zeit ist unabhängig vom Anfangsbestand

N_{0}

- eine wesentliche Eigenschaft exponentieller Prozesse, mit der sich ein Modell rasch im Kopf überschlagen lässt.

Damit schließt sich der Kreis zu den Exponentialfunktionen (Thema FA) und zum Logarithmus (Thema AG): Die stetige Form ist nur die natürliche Basis

\mathrm{e}

derselben Wachstumsidee, und das Logarithmieren ist das Standardwerkzeug, um die Zeit

t

aus dem Exponenten zu lösen. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit

N^{\prime}(t)=\lambda\,N(t)

verbindet das Modell schließlich mit der Differentialrechnung (Thema AN).

Vokabeln

→ Kartei

eulersche Zahl$\mathrm{e}\approx2{,}71828$; Basis des natürlichen Wachstums.
stetiges WachstumModell $N_{0}\mathrm{e}^{kt}$ mit fortlaufender Verzinsung.
WachstumskonstanteExponent $k$; momentane relative Änderungsrate.
periodische VerzinsungZinsgutschrift in festen Abständen.
GrenzwertWert, dem sich eine Folge beliebig nähert.
natürliches WachstumWachstum mit zum Bestand proportionaler Änderungsrate.

Stetiges Wachstum

N(t)=N_{0}\cdot\mathrm{e}^{\lambda t},\qquad a=\mathrm{e}^{\lambda}

Verknüpft die e-Form mit dem Wachstumsfaktor je Periode: $a=\mathrm{e}^{\lambda}$ . Beide Modelle beschreiben denselben Vorgang.

Musterbeispiel

Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum

Eine Größe wächst stetig mit $\lambda=0{,}03$ pro Jahr. Wann hat sie sich verdoppelt?

Ansatz
Verdopplung: $\mathrm{e}^{0{,}03\,t}=2$ .
Logarithmieren
$0{,}03\,t=\ln 2$ , also $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}03}$ .
Numerisch
$t\approx 23{,}1$ Jahre.

Ergebnis: Die Verdopplungszeit beträgt rund $23$ Jahre.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stetiges Wachstum nutzt die eulersche Zahl als Basis und eine Rate im Exponenten.
2
Der diskrete Wachstumsfaktor ist die eulersche Zahl hoch der stetigen Rate.
3
Die Verdopplungszeit ergibt sich aus dem natürlichen Logarithmus von zwei geteilt durch die Rate.

Typische Fehler

$k$ und $q$ werden gleichgesetzt; es gilt $k=\ln q$ .
Die eulersche Zahl wird als gerundete Konstante behandelt und Zwischenwerte gerundet.
Stetiges und periodisches Wachstum werden vermengt.
$\mathrm{e}^{kt}$ wird als $\mathrm{e}\cdot kt$ gelesen.
Der Unterschied zwischen den Modellen wird als vernachlässigbar dargestellt, ohne ihn zu berechnen.

Aktive Wiederholung

Eine Population wächst stetig mit $\lambda=0{,}03$ pro Jahr. Bestimme die Verdopplungszeit.

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Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)