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Notizen/Mathematik/AG 4 - Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis
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AG 4 - Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis

Trigonometrische Verhältnisse, Sinussatz, Cosinussatz, Einheitskreis, Bogenmaß. Werkzeuge für Anwendungsaufgaben in Geometrie und Modellierung. Vgl. Thema FA 3 (Winkel- und Schwingungsfunktionen), in dem Sinus und Kosinus als Funktionen reeller Argumente fortgeführt werden.

6 Abschnitte·~19 Min Lesezeit·2 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·0444 / 13
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AG 4.1 · Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen DreieckAG 4.2 · Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90 Grad (Einheitskreis)
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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. AG 4 - Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis
    • 01Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan○
    • 02Sinus- und Cosinussatz◐
    • 03Einheitskreis und Bogenmaß◐
    • 04Anwendungen aus Geometrie und Vermessung◐
    • 05Trigonometrische Grundbeziehungen◐
    • 06Bogenmaß und Polarkoordinaten◐

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 8 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan#

~3 Min Lesezeit●○○BasisLPAG-4.1

Kernpunkte

Viele praktische Fragen laufen darauf hinaus, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite oder einen fehlenden Winkel zu bestimmen - etwa die Höhe eines Turms aus Entfernung und Blickwinkel. Die Trigonometrie löst das, indem sie jedem spitzen Winkel ein festes Verhältnis zweier Seiten zuordnet, das wegen der Ähnlichkeit aller gleichwinkeligen Dreiecke nicht von der Größe des Dreiecks abhängt.
Bezogen auf den spitzen Winkel α\alphaα heißt die gegenüberliegende Seite Gegenkathete, die anliegende Ankathete und die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite Hypotenuse. Damit gelten sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}sinα=HypotenuseGegenkathete​, cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos\alpha=\tfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}cosα=HypotenuseAnkathete​ und tan⁡α=GegenkatheteAnkathete\tan\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}tanα=AnkatheteGegenkathete​; die Merkhilfe SOH-CAH-TOA fasst genau diese drei Brüche zusammen.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt stets dem rechten Winkel gegenüber - in einer schief gezeichneten Skizze also nicht zwangsläufig „unten" (). Welche Kathete Gegen- und welche Ankathete ist, hängt dagegen vom betrachteten Winkel ab: Wechselt man zum zweiten spitzen Winkel, vertauschen beide ihre Rollen, weshalb der Sinus des einen gleich dem Cosinus des anderen ist.

Rechtwinkliges Dreieck - Gegen/Ankathete/Hypotenuse

Rechtwinkliges DreieckGeometrische Zeichnung, A, B, C, Ankathete b, Gegenkathete a, Hypotenuse cABCAnkathetebGegenkatheteaHypotenusecα
Abb. 1Beziehungen sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos, tan⁡\tantan in Bezug auf Winkel α\alphaα am rechten Winkel.
Abb. 1 ↓
Sind zwei der drei Bestimmungsstücke bekannt - zwei Seiten oder eine Seite und ein Winkel -, lassen sich alle übrigen berechnen. Die drei Seiten verknüpft zusätzlich der Satz des Pythagoras a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}a2+b2=c2 mit der Hypotenuse ccc. Einen unbekannten Winkel gewinnt man aus einem bekannten Verhältnis über die Umkehrtasten sin⁡−1\sin^{-1}sin−1, cos⁡−1\cos^{-1}cos−1 bzw. tan⁡−1\tan^{-1}tan−1 des Taschenrechners.
Ein Zahlenbeispiel macht das Vorgehen greifbar: Bei Hypotenuse c=10c=10c=10 und α=30∘\alpha=30^{\circ}α=30∘ liefert sin⁡30∘=a10\sin 30^{\circ}=\tfrac{a}{10}sin30∘=10a​ die Gegenkathete a=10⋅sin⁡30∘=5a=10\cdot\sin 30^{\circ}=5a=10⋅sin30∘=5, und cos⁡30∘\cos 30^{\circ}cos30∘ ergibt die Ankathete b=10⋅cos⁡30∘≈8,66b=10\cdot\cos 30^{\circ}\approx 8{,}66b=10⋅cos30∘≈8,66. Die Probe mit dem Pythagoras bestätigt 52+8,662≈100=1025^{2}+8{,}66^{2}\approx 100=10^{2}52+8,662≈100=102.
Anwendungen reichen von Vermessungs- und Höhenaufgaben bis zur Mechanik, wo eine schräg wirkende Kraft über sin⁡\sinsin und cos⁡\coscos in ihre waagrechte und senkrechte Komponente zerlegt wird - dieselbe Komponentenzerlegung, die der Vektorrechnung in Thema AG 3 zugrunde liegt. Besitzt ein Dreieck keinen rechten Winkel mehr, versagen diese einfachen Verhältnisse; dann übernehmen der Sinus- und der Cosinussatz der nächsten Sektion.

Vokabeln

→ Kartei
  • HypotenuseLängste Seite; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
  • GegenkatheteSeite gegenüber dem betrachteten Winkel.
  • AnkatheteAm Winkel anliegende Seite, die nicht die Hypotenuse ist.
  • TangensVerhältnis von Gegen- zu Ankathete; die Größe für Steigungen.
  • KomplementwinkelWinkel, der einen gegebenen auf 90° ergänzt.
  • Höhensatz$h^{2}=p\cdot q$; Beziehung zwischen Höhe und Hypotenusenabschnitten.

Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse,  cos⁡α=AnkatheteHypotenuse,  tan⁡α=GegenkatheteAnkathete\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\;\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\;\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}sinα=HypotenuseGegenkathete​,cosα=HypotenuseAnkathete​,tanα=AnkatheteGegenkathete​

Die drei Grundverhältnisse gelten NUR im rechtwinkligen Dreieck. Welche Seite Gegen- und welche Ankathete ist, entscheidet der gewählte Bezugswinkel.

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Musterbeispiel

Höhe eines Baumes mit Theodolit

Aus 404040 m Entfernung wird die Spitze eines Baumes unter 28∘28^{\circ}28∘ anvisiert. Wie hoch ist der Baum (Augenhöhe 1,61{,}61,6 m)?

  1. 01Trigonometrische Beziehung

    tan⁡28∘=h−1,640\tan 28^{\circ}=\dfrac{h-1{,}6}{40}tan28∘=40h−1,6​.

  2. 02Umformen

    h−1,6=40⋅tan⁡28∘≈21,27h-1{,}6=40\cdot\tan 28^{\circ}\approx 21{,}27h−1,6=40⋅tan28∘≈21,27.

  3. 03Auswerten

    h≈22,9h\approx 22{,}9h≈22,9 m.

Ergebnis: Der Baum ist rund 22,922{,}922,9 m hoch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.

  2. 2

    In einer Anwendungsaufgabe zeichnest du zuerst ein klares rechtwinkliges Dreieck.

  3. 3

    Prüfe am Ende immer, ob der berechnete Wert realistisch ist.

Maturafokus

  • Zeichne zuerst eine beschriftete Skizze und markiere den Bezugswinkel - ohne sie werden Sinus und Kosinus vertauscht.
  • Ordne die Seiten dem Winkel zu: Gegenkathete gegenüber, Ankathete anliegend, Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber.
  • Kontrolliere den Rechnermodus (DEG oder RAD), bevor du eine Winkelfunktion auswertest.
  • Rechne Steigungen in Prozent über den TANGENS: tan⁡α=p100\tan\alpha=\tfrac{p}{100}tanα=100p​.
  • Prüfe das Ergebnis geometrisch - die Hypotenuse ist stets die längste Seite.

Typische Fehler

  • Sinus und Kosinus werden vertauscht, weil keine Skizze angefertigt wurde.
  • Der Rechner steht im falschen Winkelmodus.
  • Die Prozentsteigung wird mit dem Sinus statt dem Tangens gerechnet.
  • Es wird mit dem Komplementwinkel gerechnet.
  • Der Satz des Pythagoras wird in einem nicht rechtwinkligen Dreieck angewandt.

§ 01

Aktive Wiederholung

Ein Hang steigt unter 25∘25^{\circ}25∘ an. Wie lang ist die Strecke entlang des Hanges, wenn der Höhenunterschied 808080 m beträgt?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft (BMBWF)

§ 02
§ 02

Sinus- und Cosinussatz#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPAG-4.2

Kernpunkte

Sobald ein Dreieck keinen rechten Winkel mehr hat, greifen die einfachen Seitenverhältnisse nicht mehr. Zwei allgemeine Sätze schließen diese Lücke und erlauben es, aus drei gegebenen Bestimmungsstücken die fehlenden zu berechnen: der Sinussatz und der Cosinussatz. Welcher der beiden passt, entscheidet allein die Kombination der gegebenen Stücke.
Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck und verbindet jede Seite mit dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels: asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2Rsinαa​=sinβb​=sinγc​=2R, wobei RRR der Umkreisradius ist. Längere Seiten liegen also größeren Winkeln gegenüber. Man setzt ihn ein, wenn ein Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite bekannt sind, wie in WSW- und SWW-Konfigurationen.
Der Cosinussatz c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gammac2=a2+b2−2abcosγ verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke: Der Korrekturterm −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma−2abcosγ misst, wie stark der Winkel γ\gammaγ vom rechten Winkel abweicht. Für γ=90∘\gamma=90^{\circ}γ=90∘ ist cos⁡γ=0\cos\gamma=0cosγ=0, und die Formel geht in c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}c2=a2+b2 über. Er greift, wenn drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS) bekannt sind.
Faustregel zur Wahl: Ist ein vollständiges Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt, führt der Sinussatz am schnellsten zum Ziel; fehlt ein solches Paar, beginnt man mit dem Cosinussatz. Für a=5a=5a=5, b=7b=7b=7 und eingeschlossenem Winkel γ=60∘\gamma=60^{\circ}γ=60∘ etwa ergibt sich c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡60∘=74−35=39c^{2}=5^{2}+7^{2}-2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60^{\circ}=74-35=39c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos60∘=74−35=39, also c≈6,24c\approx 6{,}24c≈6,24.
Vorsicht ist beim Sinussatz geboten, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind (SsW): Hier kann es zwei Lösungen geben, denn zu einem Sinuswert gehören zwei Winkel, α\alphaα und 180∘−α180^{\circ}-\alpha180∘−α. Man muss prüfen, ob auch der zweite, stumpfe Winkel mit der Winkelsumme 180∘180^{\circ}180∘ im Dreieck verträglich ist - dieser mehrdeutige Fall wird in der Matura gern übersehen.
Bei stumpfen Winkeln ist cos⁡γ\cos\gammacosγ negativ, sodass der Korrekturterm im Cosinussatz die Seite ccc vergrößert - ein Vorzeichenfehler an dieser Stelle ist eine häufige Fehlerquelle. Beide Sätze sind die zentralen Werkzeuge der Vermessung und bilden die Grundlage der Anwendungsaufgaben in der übernächsten Sektion; eine Skizze mit beschrifteten Seiten und Winkeln sichert die richtige Zuordnung.

Vokabeln

→ Kartei
  • Sinussatz$\tfrac{a}{\sin\alpha}=\tfrac{b}{\sin\beta}=\tfrac{c}{\sin\gamma}$.
  • Kosinussatz$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$; Verallgemeinerung des Pythagoras.
  • SWSZwei Seiten und der eingeschlossene Winkel; Fall für den Kosinussatz.
  • SSWZwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel; hier tritt Zweideutigkeit auf.
  • zweideutiger FallZwei verschiedene Dreiecke passen zur selben Angabe.
  • DreiecksungleichungJede Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen.

Sinussatz (R = Umkreisradius)

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2Rsinαa​=sinβb​=sinγc​=2R

Jede Seite steht im selben Verhältnis zum Sinus des GEGENÜBERLIEGENDEN Winkels. Der gemeinsame Wert ist der doppelte Umkreisradius.

Cosinussatz (Verallgemeinerung des Pythagoras)

c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gammac2=a2+b2−2abcosγ

Für γ=90∘\gamma=90^{\circ}γ=90∘ verschwindet der Korrekturterm und übrig bleibt der Satz des Pythagoras. Der Winkel muss der von aaa und bbb eingeschlossene sein.

Musterbeispiel

Vermessungsaufgabe mit Cosinussatz

Drei Punkte AAA, BBB, CCC bilden ein Dreieck mit ∣AB∣=120|AB|=120∣AB∣=120 m, ∣AC∣=85|AC|=85∣AC∣=85 m und Winkel bei A=72∘A=72^{\circ}A=72∘. Wie weit sind BBB und CCC voneinander entfernt?

  1. 01Cosinussatz

    ∣BC∣2=1202+852−2⋅120⋅85⋅cos⁡72∘|BC|^{2}=120^{2}+85^{2}-2\cdot 120\cdot 85\cdot\cos 72^{\circ}∣BC∣2=1202+852−2⋅120⋅85⋅cos72∘.

  2. 02Auswerten

    ∣BC∣2=14400+7225−20400⋅0,309≈21625−6304=15321|BC|^{2}=14400+7225-20400\cdot 0{,}309\approx 21625-6304=15321∣BC∣2=14400+7225−20400⋅0,309≈21625−6304=15321.

  3. 03Wurzel

    ∣BC∣≈123,8|BC|\approx 123{,}8∣BC∣≈123,8 m.

Ergebnis: Die Strecke ∣BC∣|BC|∣BC∣ beträgt rund 123,8123{,}8123,8 m.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Sinussatz: Seiten verhalten sich wie die Sinus ihrer Gegenwinkel.

    Sinussatz (R = Umkreisradius)

    asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2Rsinαa​=sinβb​=sinγc​=2R

    Jede Seite steht im selben Verhältnis zum Sinus des GEGENÜBERLIEGENDEN Winkels. Der gemeinsame Wert ist der doppelte Umkreisradius.

  2. 2

    Cosinussatz: nutze ihn bei drei Seiten oder bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.

    Cosinussatz (Verallgemeinerung des Pythagoras)

    c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gammac2=a2+b2−2abcosγ

    Für γ=90∘\gamma=90^{\circ}γ=90∘ verschwindet der Korrekturterm und übrig bleibt der Satz des Pythagoras. Der Winkel muss der von aaa und bbb eingeschlossene sein.

  3. 3

    Prüfe die Lösung im Kontext - Winkelsumme im Dreieck ist 180∘180^{\circ}180∘.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

In einem Dreieck ist die Seite a=12a=12a=12 cm, der gegenüberliegende Winkel α=40∘\alpha=40^{\circ}α=40∘ und β=70∘\beta=70^{\circ}β=70∘. Berechne die Seite bbb.

Maturafokus

  • Wähle nach der Angabe: Kosinussatz bei SSS und SWS, Sinussatz bei SSW und WSW.
  • Ordne im Sinussatz jede Seite ihrem GEGENÜBERLIEGENDEN Winkel zu.
  • Prüfe beim Sinussatz den zweideutigen Fall - zu einem Sinuswert gehören ein spitzer und ein stumpfer Winkel.
  • Berechne den größten Winkel bevorzugt mit dem Kosinussatz; dort ist die Lösung eindeutig.
  • Kontrolliere über die Winkelsumme 180° und die Regel „größerer Winkel gegenüber größerer Seite".

Typische Fehler

  • Im Sinussatz wird ein anliegender statt des gegenüberliegenden Winkels eingesetzt.
  • Im Kosinussatz wird ein nicht eingeschlossener Winkel verwendet.
  • Der zweideutige Fall bleibt unerkannt.
  • Das Vorzeichen im Kosinussatz wird vertauscht - es lautet −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma−2abcosγ.
  • Die Kontrolle über die Winkelsumme entfällt.

§ 02

Aktive Wiederholung

Im Dreieck gilt a=8a=8a=8, b=10b=10b=10, γ=60∘\gamma=60^{\circ}γ=60∘. Berechne Seite ccc.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Sinussatz (Mathago)

§ 03
§ 03

Einheitskreis und Bogenmaß#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAG-4.2

Kernpunkte

Die Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck erklären Sinus und Cosinus nur für spitze Winkel zwischen 0∘0^{\circ}0∘ und 90∘90^{\circ}90∘. Der Einheitskreis hebt diese Beschränkung auf: Er definiert sin⁡\sinsin und cos⁡\coscos für jeden beliebigen Winkel und macht sie damit zur Grundlage der späteren Winkel- und Schwingungsfunktionen (Thema FA 3).
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung und den Radius 111. Trägt man einen Winkel φ\varphiφ von der positiven xxx-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn ab, so trifft der zweite Schenkel den Kreis in genau einem Punkt P(cos⁡φ ∣ sin⁡φ)P(\cos\varphi\,|\,\sin\varphi)P(cosφ∣sinφ) (). Der Cosinus ist also die xxx-Koordinate, der Sinus die yyy-Koordinate dieses Punktes.

Einheitskreis — Sinus und Kosinus

P(cos φ | sin φ) φ cos φ sin φ
Abb. 2Punkt P(cos⁡φ∣sin⁡φ)P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)P(cosφ∣sinφ) auf dem Einheitskreis; φ\varphiφ im Bogenmaß.
Abb. 2 ↓
Aus dieser Deutung liest man die Vorzeichen direkt ab: Im ersten Quadranten sind beide positiv, im zweiten ist nur der Sinus positiv (der Cosinus negativ), im dritten beide negativ, im vierten nur der Cosinus. Weil PPP stets auf dem Kreis mit Radius 111 liegt, gilt nach Pythagoras für jeden Winkel sin⁡2φ+cos⁡2φ=1\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1sin2φ+cos2φ=1.
Neben dem Gradmaß misst man Winkel im Bogenmaß über die Länge des zugehörigen Kreisbogens am Einheitskreis. Ein voller Umlauf entspricht dem Umfang 2π2\pi2π, also 2π2\pi2π rad =360∘=360^{\circ}=360∘; daraus folgt 1 rad=180∘π≈57,3∘1\,\text{rad}=\tfrac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57{,}3^{\circ}1rad=π180∘​≈57,3∘. Umgerechnet wird mit φrad=φdeg⋅π180\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{deg}}\cdot\dfrac{\pi}{180}φrad​=φdeg​⋅180π​, sodass etwa 90∘90^{\circ}90∘ dem Wert π2\tfrac{\pi}{2}2π​ entsprechen.
Weil zu jedem reellen Argument ein Kreispunkt gehört, sind sin⁡\sinsin und cos⁡\coscos nun für beliebige reelle Zahlen definiert - auch für Winkel über 360∘360^{\circ}360∘ oder negative Winkel. Da sich der Punkt PPP nach einem vollen Umlauf wiederholt, sind sin⁡\sinsin und cos⁡\coscos periodisch mit der Periode 2π2\pi2π; der Tangens als Quotient hat die kürzere Periode π\piπ.
In der Analysis ist das Bogenmaß Standard: Schreibt man sin⁡x\sin xsinx, ist xxx im Bogenmaß gemeint. Wer den Taschenrechner im Gradmodus belässt, erhält dort falsche Werte - die Moduskontrolle (DEG/RAD) ist daher Pflicht. Periodische Vorgänge wie Gezeiten oder Schwingungen modelliert man genau über diese kreisförmige Bewegung, indem man Frequenz und Phase anpasst.

Vokabeln

→ Kartei
  • EinheitskreisKreis mit Radius eins um den Ursprung.
  • BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge; $180^{\circ}$ entsprechen $\pi$.
  • QuadrantViertel der Ebene; er legt die Vorzeichen der Winkelfunktionen fest.
  • PeriodizitätWiederholung der Funktionswerte nach $2\pi$.
  • trigonometrischer Pythagoras$\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1$.
  • RadiantEinheit des Bogenmaßes.

Trigonometrischer Pythagoras

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1sin2α+cos2α=1

Der Satz des Pythagoras am Einheitskreis, angewandt auf die Koordinaten des Kreispunktes. Er gilt für JEDEN Winkel.

Umrechnung Grad in Bogenmaß

φrad=φdeg⋅π180\varphi_{\text{rad}}=\varphi_{\text{deg}}\cdot\dfrac{\pi}{180}φrad​=φdeg​⋅180π​

Der Faktor π180\tfrac{\pi}{180}180π​ stammt aus 180∘180^{\circ}180∘ entspricht π\piπ. Für die Rückrichtung wird mit dem Kehrwert multipliziert.

Interaktive Grafik lädt…

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Musterbeispiel

Punkt auf dem Einheitskreis und Bogenmaß

Bestimme zum Winkel φ=120∘\varphi=120^{\circ}φ=120∘ den zugehörigen Punkt P(cos⁡φ ∣ sin⁡φ)P(\cos\varphi\,|\,\sin\varphi)P(cosφ∣sinφ) auf dem Einheitskreis und gib φ\varphiφ im Bogenmaß an.

  1. 01Bogenmaß

    φ=120∘⋅π180=2π3\varphi=120^{\circ}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}φ=120∘⋅180π​=32π​.

  2. 02Quadrant

    120∘120^{\circ}120∘ liegt im zweiten Quadranten, also ist der Cosinus negativ und der Sinus positiv.

  3. 03Koordinaten

    cos⁡120∘=−12\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}cos120∘=−21​ und sin⁡120∘=32≈0,87\sin 120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87sin120∘=23​​≈0,87.

Ergebnis: Der Punkt ist P=(−12 ∣ 32)≈(−0,5 ∣ 0,87)P=(-\tfrac{1}{2}\,|\,\tfrac{\sqrt{3}}{2})\approx(-0{,}5\,|\,0{,}87)P=(−21​∣23​​)≈(−0,5∣0,87) bei φ=2π3\varphi=\tfrac{2\pi}{3}φ=32π​.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Auf dem Einheitskreis liest du Sinus an der senkrechten Achse und Cosinus an der waagrechten Achse ab.

    Einheitskreis — Sinus und Kosinus

    P(cos φ | sin φ) φ cos φ sin φ
    Abb.Punkt P(cos⁡φ∣sin⁡φ)P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)P(cosφ∣sinφ) auf dem Einheitskreis; φ\varphiφ im Bogenmaß.
  2. 2

    Bogenmaß misst den zurückgelegten Weg auf dem Kreis - 2π2\pi2π ist eine ganze Runde.

  3. 3

    Die Periodizität erlaubt es dir, jeden Winkel auf [0, 2π)[0,\,2\pi)[0,2π) zurückzuführen.

Maturafokus

  • Lies Sinus als yyy-Koordinate und Kosinus als xxx-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
  • Rechne zwischen Grad und Bogenmaß um: φrad=φGrad⋅π180\varphi_{\mathrm{rad}}=\varphi_{\mathrm{Grad}}\cdot\tfrac{\pi}{180}φrad​=φGrad​⋅180π​.
  • Merke die Anker: 30∘=π630^{\circ}=\tfrac{\pi}{6}30∘=6π​, 45∘=π445^{\circ}=\tfrac{\pi}{4}45∘=4π​, 60∘=π360^{\circ}=\tfrac{\pi}{3}60∘=3π​, 90∘=π290^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}90∘=2π​.
  • Bestimme Vorzeichen über den Quadranten und nutze die Symmetrien für Werte über 90°.
  • Nutze sin⁡2φ+cos⁡2φ=1\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1sin2φ+cos2φ=1 als Pythagoras am Einheitskreis.

Typische Fehler

  • Sinus und Kosinus werden als xxx- bzw. yyy-Koordinate vertauscht.
  • Grad werden in Formeln eingesetzt, die Bogenmaß verlangen.
  • Die Vorzeichen in den Quadranten werden geraten.
  • sin⁡2φ\sin^{2}\varphisin2φ wird als sin⁡(φ2)\sin(\varphi^{2})sin(φ2) gelesen.
  • Winkel über 360° werden nicht auf den Grundbereich reduziert.

§ 03

Aktive Wiederholung

Berechne cos⁡φ\cos\varphicosφ, wenn sin⁡φ=35\sin\varphi=\tfrac{3}{5}sinφ=53​ und φ\varphiφ im zweiten Quadranten liegt.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Bogenmaß und Einheitskreis (IQS)

§ 04
§ 04

Anwendungen aus Geometrie und Vermessung#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAG-4.1LPAG-4.2

Kernpunkte

Trigonometrie entfaltet ihren Nutzen erst in Anwendungen: Entfernungen, die man nicht direkt messen kann, Höhen unzugänglicher Punkte oder Flächen unregelmäßiger Grundstücke werden über Winkel und wenige messbare Strecken erschlossen. Der Schlüssel ist stets, die Realsituation in ein oder mehrere Dreiecke zu übersetzen.
Vermessungsaufgaben verbinden den Sinus- und den Cosinussatz mit der Maßstabsübersetzung und einer sorgfältigen Einheitenkontrolle. Eine beschriftete Skizze, in der jede gegebene Strecke und jeder Winkel eingetragen ist, verhindert die meisten Folgefehler und macht sichtbar, welcher Satz auf welches Dreieck anzuwenden ist.
Höhenbestimmungen über zwei Standpunkte sind der Klassiker: Von zwei Punkten mit bekanntem Abstand wird dieselbe Spitze unter verschiedenen Winkeln anvisiert. Im so entstehenden Hilfsdreieck berechnet man mit dem Sinussatz zunächst eine Sichtstrecke und daraus über den Sinus die gesuchte Höhe.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks erhält man aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel über A=12absin⁡γA=\tfrac{1}{2}ab\sin\gammaA=21​absinγ. Diese Formel ist nichts anderes als „halbe Grundlinie mal Höhe", denn bsin⁡γb\sin\gammabsinγ ist genau die zur Seite aaa gehörende Höhe. Für a=6a=6a=6, b=8b=8b=8 und γ=30∘\gamma=30^{\circ}γ=30∘ ergibt sich A=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=12A=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 30^{\circ}=12A=21​⋅6⋅8⋅sin30∘=12.
Auch Volumsberechnungen in regelmäßigen Vielecken und Prismen bauen auf diesen trigonometrischen Grundlagen auf, etwa wenn man ein regelmäßiges Vieleck in gleiche Bestimmungsdreiecke zerlegt. Bei zusammengesetzten Figuren empfiehlt sich generell eine schrittweise Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke, deren Teilergebnisse man am Ende zusammensetzt.
Typische Fehlerquellen sind ein vergessener Maßstab, doppelt gezählte Teilflächen bei zusammengesetzten Figuren und ein Vorzeichenfehler beim Cosinus eines stumpfen Winkels. In der Matura sollte man Einheiten und die gewählte Genauigkeit am Ende ausdrücklich dokumentieren und prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang plausibel ist.

Vokabeln

→ Kartei
  • HöhenwinkelWinkel über der Waagrechten zu einem höher gelegenen Punkt.
  • TiefenwinkelWinkel unter der Waagrechten zu einem tiefer gelegenen Punkt.
  • StandlinieBekannte Strecke, von der aus gemessen wird.
  • VorwärtseinschneidenBestimmung eines Punktes aus zwei Winkeln über einer Standlinie.
  • AugenhöheHöhe des Messgeräts über dem Boden; sie gehört zur Endhöhe addiert.
  • NeigungswinkelWinkel zwischen einer Fläche oder Strecke und der Waagrechten.

Dreiecksfläche aus zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel

A△=12absin⁡γA_{\triangle}=\tfrac{1}{2}ab\sin\gammaA△​=21​absinγ

Ersetzt die Höhe durch bsin⁡γb\sin\gammabsinγ und macht damit die Höhenkonstruktion überflüssig. Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen.

Musterbeispiel

Zwei-Standpunkte-Aufgabe

Standpunkte AAA, BBB liegen 200200200 m voneinander entfernt; Sichtwinkel zur Spitze α=32∘\alpha=32^{\circ}α=32∘ bzw. β=43∘\beta=43^{\circ}β=43∘. Berechne die Berghöhe.

  1. 01Innenwinkel im Hilfsdreieck

    γ=180∘−32∘−43∘=105∘\gamma=180^{\circ}-32^{\circ}-43^{\circ}=105^{\circ}γ=180∘−32∘−43∘=105∘.

  2. 02Sinussatz

    Distanz von AAA zur Spitze: dA=200sin⁡43∘sin⁡105∘≈141,2d_{A}=\dfrac{200\sin 43^{\circ}}{\sin 105^{\circ}}\approx 141{,}2dA​=sin105∘200sin43∘​≈141,2 m.

  3. 03Höhe

    h=dA⋅sin⁡32∘≈141,2⋅0,530≈74,9h=d_{A}\cdot\sin 32^{\circ}\approx 141{,}2\cdot 0{,}530\approx 74{,}9h=dA​⋅sin32∘≈141,2⋅0,530≈74,9 m.

Ergebnis: Der Berg ist rund 74,974{,}974,9 m hoch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    In Anwendungsaufgaben startest du mit einer beschrifteten Skizze.

  2. 2

    Identifiziere den passenden Satz - Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, Sinus- oder Cosinussatz sonst.

  3. 3

    Prüfe am Schluss Einheiten und ob das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Rampe mit Länge 444 m hat einen Höhenunterschied von 0,60{,}60,6 m. Berechne den Neigungswinkel der Rampe und die horizontale Strecke.

Maturafokus

  • Fertige zu jeder Vermessungsaufgabe eine beschriftete Skizze an und trage alle gegebenen Größen ein.
  • Zerlege komplexe Figuren in rechtwinklige Teildreiecke, wo das möglich ist.
  • Unterscheide Höhen-, Tiefen- und Steigungswinkel und benenne die Bezugslinie.
  • Rechne mit Zwischenergebnissen in voller Genauigkeit und runde erst am Schluss.
  • Prüfe das Ergebnis auf Plausibilität - Turmhöhen von Kilometern verraten einen Modusfehler.

Typische Fehler

  • Die Augenhöhe des Beobachters wird bei Höhenmessungen vergessen.
  • Höhen- und Tiefenwinkel werden vertauscht.
  • Es wird mit gerundeten Zwischenwerten weitergerechnet.
  • Die Skizze fehlt; die Zuordnung der Seiten wird geraten.
  • Der Rechnermodus bleibt ungeprüft.

§ 04

Aktive Wiederholung

Aus zwei Standorten AAA und BBB (∣AB∣=200|AB|=200∣AB∣=200 m) wird die Spitze eines Berges anvisiert: α=32∘\alpha=32^{\circ}α=32∘ (von AAA aus), β=43∘\beta=43^{\circ}β=43∘ (von BBB aus). Bestimme die Höhe des Berges.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Anwendungsaufgaben (Mathago)

§ 05
§ 05

Trigonometrische Grundbeziehungen#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAG-4.1

Kernpunkte

Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels sind nicht unabhängig voneinander - wenige Grundbeziehungen verknüpfen sie so eng, dass aus einem Wert die übrigen folgen. Diese Identitäten sind das Werkzeug, um trigonometrische Ausdrücke umzuformen und Gleichungen zu lösen.
Die wichtigste ist der trigonometrische Pythagoras sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1sin2α+cos2α=1, der für jeden Winkel gilt. Er ist die unmittelbare Folge des Satzes von Pythagoras am Einheitskreis, wo cos⁡α\cos\alphacosα und sin⁡α\sin\alphasinα die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse 111 sind. Aus ihm lässt sich jeder der beiden Werte aus dem anderen gewinnen.
Der Tangens ist als Quotient definiert: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}tanα=cosαsinα​, gültig nur für cos⁡α≠0\cos\alpha\neq 0cosα=0. An den Stellen α=90∘\alpha=90^{\circ}α=90∘ und α=270∘\alpha=270^{\circ}α=270∘, wo der Cosinus verschwindet, ist der Tangens daher nicht definiert - dort besitzt seine Funktion senkrechte Asymptoten.
Aus einem bekannten Funktionswert und der Quadrantenlage lassen sich die übrigen Werte bestimmen. Ist etwa sin⁡α\sin\alphasinα gegeben, liefert cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}cosα=±1−sin2α​ den Betrag des Cosinus; das richtige Vorzeichen entscheidet der Quadrant. Anschließend folgt der Tangens als Quotient der beiden Werte.
Komplementbeziehungen wie sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alphasin(90∘−α)=cosα folgen direkt aus dem rechtwinkligen Dreieck, in dem sich die beiden spitzen Winkel zu 90∘90^{\circ}90∘ ergänzen. Ein Beispiel zum Verfahren: Ist cos⁡α=0,6\cos\alpha=0{,}6cosα=0,6 und liegt α\alphaα im vierten Quadranten, so ist sin⁡α=−1−0,36=−0,8\sin\alpha=-\sqrt{1-0{,}36}=-0{,}8sinα=−1−0,36​=−0,8 und tan⁡α=−0,80,6=−43\tan\alpha=\tfrac{-0{,}8}{0{,}6}=-\tfrac{4}{3}tanα=0,6−0,8​=−34​.
Das Vorzeichen von Sinus, Cosinus und Tangens hängt vom Quadranten ab und muss bei jeder Umkehrung beachtet werden - der häufigste Fehler ist, beim Wurzelziehen das negative Vorzeichen zu unterschlagen. Wer die Vorzeichen je Quadrant sicher beherrscht und den trigonometrischen Pythagoras als Umformungswerkzeug einsetzt, löst die zugehörigen Typ-1-Aufgaben zuverlässig.

Vokabeln

→ Kartei
  • IdentitätGleichung, die für alle zulässigen Werte gilt.
  • AdditionstheoremFormel für den Sinus oder Kosinus einer Winkelsumme.
  • DoppelwinkelformelSonderfall des Additionstheorems für $2\varphi$.
  • DefinitionslückeStelle, an der die Funktion nicht definiert ist.
  • UmkehrfunktionArkusfunktion; sie liefert den Winkel zu einem Funktionswert.
  • HauptwertVon der Arkusfunktion gelieferter Winkel im festgelegten Grundbereich.

Trigonometrische Grundbeziehungen

sin⁡2α+cos⁡2α=1,tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1,\quad \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}sin2α+cos2α=1,tanα=cosαsinα​

Die beiden Beziehungen, aus denen sich fast jede trigonometrische Identität umformen lässt. Der Tangens ist an den Nullstellen des Kosinus nicht definiert.

Musterbeispiel

Fehlende Werte aus dem Pythagoras

Es gilt sin⁡α=0,6\sin\alpha=0{,}6sinα=0,6 und α\alphaα liegt im zweiten Quadranten. Bestimme cos⁡α\cos\alphacosα.

  1. 01Pythagoras

    cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−0,36=0,64\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-0{,}36=0{,}64cos2α=1−sin2α=1−0,36=0,64.

  2. 02Wurzel

    cos⁡α=±0,8\cos\alpha=\pm 0{,}8cosα=±0,8.

  3. 03Quadrant

    Im zweiten Quadranten ist der Kosinus negativ, also cos⁡α=−0,8\cos\alpha=-0{,}8cosα=−0,8.

Ergebnis: cos⁡α=−0,8\cos\alpha=-0{,}8cosα=−0,8 und damit tan⁡α=0,6−0,8=−0,75\tan\alpha=\dfrac{0{,}6}{-0{,}8}=-0{,}75tanα=−0,80,6​=−0,75.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Der trigonometrische Pythagoras verknüpft Sinus und Kosinus eines Winkels zu einer festen Gleichung.

  2. 2

    Aus einem Funktionswert folgt der zweite über diese Gleichung, das Vorzeichen liefert der Quadrant.

  3. 3

    Der Tangens ergibt sich anschließend als Quotient von Sinus und Kosinus.

Maturafokus

  • Nutze den trigonometrischen Pythagoras sin⁡2φ+cos⁡2φ=1\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1sin2φ+cos2φ=1 als wichtigste Umformung.
  • Verwende tan⁡φ=sin⁡φcos⁡φ\tan\varphi=\tfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}tanφ=cosφsinφ​ und beachte die Definitionslücken bei cos⁡φ=0\cos\varphi=0cosφ=0.
  • Setze die Additionstheoreme ein, wenn ein Argument als Summe oder Differenz auftritt.
  • Leite die Doppelwinkelformeln aus den Additionstheoremen ab, statt sie isoliert zu lernen.
  • Belege eine Identität durch Umformen EINER Seite bis zur anderen, nicht durch Einsetzen von Zahlen.

Typische Fehler

  • sin⁡(2φ)\sin(2\varphi)sin(2φ) wird als 2sin⁡φ2\sin\varphi2sinφ gelesen.
  • Die Definitionslücken des Tangens bleiben unerwähnt.
  • Eine Identität wird durch ein Zahlenbeispiel „bewiesen".
  • In den Additionstheoremen werden die Vorzeichen vertauscht.
  • sin⁡2φ\sin^{2}\varphisin2φ wird mit sin⁡(φ2)\sin(\varphi^{2})sin(φ2) verwechselt.

§ 05

Aktive Wiederholung

Gegeben ist sin⁡α=0,6\sin\alpha=0{,}6sinα=0,6 mit α\alphaα im zweiten Quadranten. Bestimme cos⁡α\cos\alphacosα und tan⁡α\tan\alphatanα.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Trigonometrie AHS (IQS)

§ 06
§ 06

Bogenmaß und Polarkoordinaten#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAG-4.2

Kernpunkte

Das Bogenmaß misst einen Winkel nicht in Grad, sondern über die Länge des Bogens, den er am Einheitskreis ausschneidet. Weil der Umfang des Einheitskreises 2π2\pi2π beträgt, entspricht ein voller Umlauf dem Wert 2π2\pi2π. Dieses natürliche Maß ist die Standardeinheit der Analysis.
Umgerechnet wird über Bogenmaß=Gradmaß⋅π180∘\text{Bogenmaß}=\text{Gradmaß}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}}Bogenmaß=Gradmaß⋅180∘π​. Die wichtigsten Werte sollte man auswendig kennen: 30∘=π630^{\circ}=\tfrac{\pi}{6}30∘=6π​, 45∘=π445^{\circ}=\tfrac{\pi}{4}45∘=4π​, 60∘=π360^{\circ}=\tfrac{\pi}{3}60∘=3π​ und 90∘=π290^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}90∘=2π​. Der Faktor wird leicht falsch herum verwendet - merke: von Grad zu Bogenmaß wird mit π180\tfrac{\pi}{180}180π​ multipliziert, in die Gegenrichtung mit 180π\tfrac{180}{\pi}π180​.
Der Grund für diese Vorliebe liegt in der Differentialrechnung: Die Ableitung von sin⁡x\sin xsinx ist nur dann das vertraute cos⁡x\cos xcosx, wenn das Argument xxx im Bogenmaß steht; im Gradmaß träte ein störender Faktor π180\tfrac{\pi}{180}180π​ auf. Schreibt man in der Analysis sin⁡x\sin xsinx, ist daher stets das Bogenmaß gemeint.
Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt nicht durch seine kartesischen Koordinaten xxx und yyy, sondern durch den Abstand rrr vom Ursprung und den Winkel φ\varphiφ, den die Verbindungslinie mit der positiven xxx-Achse einschließt. Diese Darstellung ist überall dort natürlich, wo eine Drehung oder ein Kreis im Spiel ist.
Die Umrechnung in kartesische Koordinaten folgt direkt aus dem Einheitskreis, skaliert mit rrr: x=rcos⁡φx=r\cos\varphix=rcosφ und y=rsin⁡φy=r\sin\varphiy=rsinφ. Für r=3r=3r=3 und φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}φ=2π​ etwa ergibt sich x=3cos⁡π2=0x=3\cos\tfrac{\pi}{2}=0x=3cos2π​=0 und y=3sin⁡π2=3y=3\sin\tfrac{\pi}{2}=3y=3sin2π​=3, also der Punkt (0 ∣ 3)(0\,|\,3)(0∣3). Der Cosinus liefert stets die xxx-, der Sinus die yyy-Koordinate.
Trägt man sin⁡x\sin xsinx über dem im Bogenmaß gemessenen xxx auf, entsteht die charakteristische Wellenlinie mit Periode 2π2\pi2π und Nullstellen bei 000, π\piπ und 2π2\pi2π () - sie ist der Übergang zu den Winkelfunktionen des Themas FA 3. In der Matura sind sicheres Umrechnen zwischen Grad- und Bogenmaß sowie die konsequente Verwendung des Bogenmaßes in Analysis-Aufgaben gefragt.

Sinusfunktion y=\sin x im Bogenmaß

Sinusfunktion y = sin x im BogenmaßSchaubild von y = sin x, Nullstellen bei x = 0, 3.142, 6.283, Hochpunkt bei (1.571, 1), Tiefpunkt bei (4.712, -1), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 6.283123456−1−0.50.51Maxx = π/2πMinx = 3π/2y = sin xf(x)x
Abb. 3Eine volle Periode über [0, 2π][0,\,2\pi][0,2π] mit Nullstellen bei 000, π\piπ und 2π2\pi2π.
Abb. 3 ↓

Vokabeln

→ Kartei
  • BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge im Einheitskreis.
  • KreissektorVon zwei Radien und dem Bogen begrenztes Kreisstück.
  • PolarkoordinatenDarstellung eines Punktes durch Abstand und Winkel.
  • kartesische KoordinatenDarstellung durch $x$- und $y$-Wert.
  • MittelpunktswinkelWinkel im Kreismittelpunkt, der den Sektor aufspannt.
  • KreissegmentVon Sehne und Bogen begrenztes Kreisstück.

Bogenmaß und Polarkoordinaten

Bogenmaß=Grad⋅π180∘,x=rcos⁡φ,  y=rsin⁡φ\text{Bogenmaß}=\text{Grad}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}},\quad x=r\cos\varphi,\;y=r\sin\varphiBogenmaß=Grad⋅180∘π​,x=rcosφ,y=rsinφ

Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand und Winkel statt durch xxx und yyy. Der Winkel steht dabei im Bogenmaß.

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Musterbeispiel

Polar in kartesisch umrechnen

Gegeben sind r=2r=2r=2 und φ=π3\varphi=\tfrac{\pi}{3}φ=3π​. Bestimme die kartesischen Koordinaten.

  1. 01x-Koordinate

    x=2cos⁡π3=2⋅0,5=1x=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot 0{,}5=1x=2cos3π​=2⋅0,5=1.

  2. 02y-Koordinate

    y=2sin⁡π3=2⋅32=3≈1,73y=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx 1{,}73y=2sin3π​=2⋅23​​=3​≈1,73.

  3. 03Punkt

    Der Punkt hat die Koordinaten x=1x=1x=1 und y≈1,73y\approx 1{,}73y≈1,73.

Ergebnis: Kartesisch: P=(1 ∣ 3)≈(1 ∣ 1,73)P=(1\,|\,\sqrt{3})\approx (1\,|\,1{,}73)P=(1∣3​)≈(1∣1,73).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Im Bogenmaß entspricht ein voller Kreis dem Wert zwei Pi statt dreihundertsechzig Grad.

  2. 2

    Mit dem Faktor Pi durch hundertachtzig rechnest du Grad in Bogenmaß um.

  3. 3

    Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt über Abstand und Winkel; Kosinus liefert die x-, Sinus die y-Koordinate.

Maturafokus

  • Rechne zwischen Grad und Bogenmaß mit π180\tfrac{\pi}{180}180π​ bzw. 180π\tfrac{180}{\pi}π180​ um und nenne die Richtung.
  • Berechne Bogenlänge b=rφb=r\varphib=rφ und Sektorfläche A=12r2φA=\tfrac{1}{2}r^{2}\varphiA=21​r2φ mit φ\varphiφ im Bogenmaß.
  • Wandle Polarkoordinaten in kartesische um: x=rcos⁡φx=r\cos\varphix=rcosφ, y=rsin⁡φy=r\sin\varphiy=rsinφ.
  • Bestimme umgekehrt r=x2+y2r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}r=x2+y2​ und den Winkel unter Beachtung des Quadranten.
  • Kontrolliere über den Anteil am Vollkreis - ein 120°-Sektor ist ein Drittel.

Typische Fehler

  • Grad werden in b=rφb=r\varphib=rφ eingesetzt.
  • Bogenlänge und Sektorfläche werden verwechselt; die Einheit verrät den Fehler.
  • Beim Umrechnen wird mit 180π\tfrac{180}{\pi}π180​ statt π180\tfrac{\pi}{180}180π​ multipliziert.
  • Der Quadrant wird bei der Winkelbestimmung aus xxx und yyy nicht beachtet.
  • Der Sektorumfang wird mit der Bogenlänge gleichgesetzt; die beiden Radien fehlen.

§ 06

Aktive Wiederholung

Wandle den Punkt mit r=2r=2r=2 und φ=π3\varphi=\tfrac{\pi}{3}φ=3π​ in kartesische Koordinaten um.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)

Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Rechtwinkliges Dreieck - sin, cos, tan○
    • 02Sinus- und Cosinussatz◐
    • 03Einheitskreis und Bogenmaß◐
    • 04Anwendungen aus Geometrie und Vermessung◐
    • 05Trigonometrische Grundbeziehungen◐
    • 06Bogenmaß und Polarkoordinaten◐

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

AG 4 - Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

~19
Min
2
Kompetenzen
50
Fragen
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Beispielfrage

In einem Dreieck ist die Seite a=12a=12a=12 cm, der gegenüberliegende Winkel α=40∘\alpha=40^{\circ}α=40∘ und β=70∘\beta=70^{\circ}β=70∘. Berechne die Seite bbb.

2 BE · 2021

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • BMBWF Formelheft

Mathago

  • Mathago Sinussatz

IQS

  • IQS Bogenmaß und Einheitskreis

Siehe auch

  • FA 3 - Winkel- und SchwingungsfunktionenDer Einheitskreis liefert die Definition, aus der die Schwingungsfunktionen entstehen.
  • AG 3 - Vektoren, Geraden und EbenenWinkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen kommen aus derselben Kosinusbeziehung.
  • AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und AbleitungsregelnDer Tangens ist die Steigung - und damit die geometrische Deutung der Ableitung.

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AG 3 - Vektoren, Geraden und Ebenen

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FA 1 - Funktionsbegriff, lineare und Potenzfunktionen

EuraStudy·Notizen T·04·MMXXVI

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