FA 1 - Funktionsbegriff, lineare und Potenzfunktionen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Funktionsbegriff und Darstellungswechsel#

~4 Min LesezeitBasisFA-1.1FA-1.2

Der Funktionsbegriff ist das Herzstück des gesamten Kapitels FA: Eine Funktion beschreibt, wie eine Größe eindeutig von einer anderen abhängt - etwa der Preis von der Stückzahl oder die Fallhöhe von der Zeit. Formal ordnet eine Funktion

f

jedem Element der Definitionsmenge

D_{f}

genau ein Element der Zielmenge

Z_{f}

zu, kurz

f:D_{f}\to Z_{f},\;x\mapsto f(x)

. Das Wort „eindeutig" ist dabei die entscheidende Bedingung und unterscheidet eine Funktion von einer beliebigen Zuordnung.

Dieselbe Funktion lässt sich auf vier gleichwertige Arten festhalten: als Wertetabelle, als Graph, als Formel und als verbale Beschreibung. Diese Darstellungsformen sind äquivalent und ineinander überführbar - aus der Formel erzeugt man eine Tabelle durch Einsetzen, aus der Tabelle einen Graphen durch Einzeichnen der Punkte. Die Matura prüft fast immer genau diesen Darstellungswechsel, etwa wenn ein Graph einer passenden Formel oder einem Sachtext zugeordnet werden soll.

Zwei Mengen gehören untrennbar zu jeder Funktion. Die Definitionsmenge

D_{f}

sammelt alle erlaubten Eingaben

x

, der Wertebereich

W_{f}

dagegen ist die Menge aller tatsächlich angenommenen

y

-Werte - also nur jener Ausgaben, die wirklich vorkommen. Im Sachkontext schränkt die Bedeutung den Definitionsbereich oft ein: Eine Zeit kann nicht negativ sein, eine Personenanzahl nur ganzzahlig. Wer hier blind ganz

\mathbb{R}

zulässt, verschenkt Punkte.

Ob eine vorgelegte Zuordnung überhaupt eine Funktion ist, klärt der vertikale Streifen-Test: Verschiebt man eine senkrechte Gerade über den Graphen, so darf sie ihn an jeder Stelle höchstens einmal treffen. Trifft sie ihn zweimal, besäße eine

x

-Koordinate zwei verschiedene

y

-Werte - und genau das ist verboten. Eine liegende Parabel oder ein Kreis fällt deshalb durch, eine Gerade oder eine stehende Parabel besteht den Test.

Am Graphen lassen sich globale Eigenschaften unmittelbar ablesen: Eine Funktion kann auf einem Bereich monoton steigen oder monoton fallen, und dort, wo der Graph die

x

-Achse kreuzt, wechselt der Funktionswert sein Vorzeichen. Diese anschauliche Sprechweise - steigt, fällt, schneidet die Achse - bildet die Brücke zu den späteren Funktionseigenschaften und zur Differentialrechnung, in der Monotonie über das Vorzeichen der Ableitung präzisiert wird.

Ein konkretes Beispiel macht das greifbar: Die Zuordnung „Stückzahl

\to

Gesamtpreis" bei einem Stückpreis von

2

Euro ist die Funktion

f(x)=2x

mit

D_{f}=\mathbb{N}

(nur ganze Stückzahlen) und

W_{f}=\{0,\,2,\,4,\dots\}

. Sie ist eine echte Funktion, weil jede Stückzahl genau einen Preis liefert. Umgekehrt wäre „Preis

\to

Stückzahl" nur dann eine Funktion, wenn aus jedem Preis eindeutig eine Stückzahl folgt - der prüfende Rückblick auf die Eindeutigkeit lohnt sich immer.

Vokabeln

→ Kartei

FunktionEindeutige Zuordnung von genau einem Funktionswert je Argument.
DefinitionsbereichMenge der zulässigen Argumente.
WertebereichMenge der tatsächlich angenommenen Funktionswerte.
GraphMenge aller Punkte $(x\,|\,f(x))$.
DarstellungswechselÜbergang zwischen Term, Tabelle, Graph und Wortformulierung.
ExtrapolationAuswertung außerhalb des Datenbereichs; nur mit Vorbehalt zulässig.

Allgemeine Schreibweise

f:D_{f}\to Z_{f},\;x\mapsto f(x)

Eine Funktion ist mehr als ein Term: Sie besteht aus Definitionsmenge, Zielmenge und Zuordnungsvorschrift. Erst alle drei zusammen legen sie fest.

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Musterbeispiel

Funktion erkennen und Definitions- sowie Wertebereich angeben

Eine Zuordnung ist durch eine Wertetabelle gegeben: $x\in\{1,\,2,\,3,\,4\}$ mit den zugehörigen Werten $y=2,\,5,\,5,\,8$ . Entscheide, ob eine Funktion vorliegt, und gib Definitions- und Wertebereich an.

Eindeutigkeit prüfen
Jedem $x$ ist genau ein $y$ zugeordnet: $1\mapsto 2$ , $2\mapsto 5$ , $3\mapsto 5$ , $4\mapsto 8$ . Keine $x$ -Koordinate trägt zwei verschiedene Werte, also liegt eine Funktion vor.
Definitionsmenge
Die Eingabewerte bilden $D_{f}=\{1,\,2,\,3,\,4\}$ .
Wertebereich
Die tatsächlich angenommenen Ausgaben sind $W_{f}=\{2,\,5,\,8\}$ - der Wert $5$ wird in der Menge nur einmal genannt, obwohl er zweimal auftritt.
Hinweis
Dass zwei verschiedene $x$ denselben $y$ -Wert liefern, ist erlaubt; verboten wäre nur ein $x$ mit zwei verschiedenen $y$ -Werten.

Ergebnis: Es liegt eine Funktion vor mit $D_{f}=\{1,\,2,\,3,\,4\}$ und $W_{f}=\{2,\,5,\,8\}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung - jedem Eingabewert wird genau ein Ausgabewert zugewiesen.
2
Wechsle zwischen den Darstellungen Tabelle, Graph, Formel und Text, ohne Informationen zu verlieren.
3
Definitions- und Wertebereich sind oft entscheidend für die Bedeutung im Kontext.

Typische Fehler

Argument und Funktionswert werden vertauscht.
Eine Zuordnung mit zwei Werten je Argument wird als Funktion bezeichnet.
Der Definitionsbereich passt nicht zum Sachkontext.
Das Modell wird über den Datenbereich hinaus ausgewertet, ohne die Grenze zu nennen.
Die Deutung fehlt, obwohl der Operator „interpretieren" sie verlangt.

Aktive Wiederholung

Prüfe, ob die Zuordnung "Personenanzahl -> Eintrittspreis" eine Funktion ist, und gib Definitions- und Wertebereich an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Funktionsbegriff (IQS)

Lineare Funktionen#

~4 Min LesezeitBasisFA-2.1FA-2.2

Die lineare Funktion ist das einfachste und zugleich meistgenutzte Modell der Schulmathematik: Sie beschreibt jeden Zusammenhang mit konstanter Änderungsrate. Ihre Hauptform lautet

f(x)=kx+d

, wobei die Steigung

k

und der Achsenabschnitt

d

die Gerade vollständig festlegen. Ihr Graph ist stets eine Gerade - daher der Name -, und schon zwei Punkte genügen, um sie eindeutig zu zeichnen.

Die Steigung

k

beschreibt die Änderung von

y

pro Einheit von

x

und ist damit in Anwendungen fast immer eine Rate - etwa eine Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde oder Kosten pro Stück. Anschaulich gibt

k

an, um wie viel der Funktionswert wächst, wenn man auf der

x

-Achse einen Schritt nach rechts geht: Bei

k>0

steigt die Gerade, bei

k<0

fällt sie, bei

k=0

verläuft sie waagrecht und beschreibt eine konstante Funktion.

Aus zwei Punkten

A(x_{1}\,|\,y_{1})

und

B(x_{2}\,|\,y_{2})

berechnet man die Steigung als Differenzenquotient

k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

. Umgekehrt erkennt man Linearität in einer Wertetabelle daran, dass dieser Differenzenquotient konstant ist - gleiche Schritte in

x

erzeugen stets gleiche Schritte in

y

. Genau diese Konstanz unterscheidet die lineare von jeder anderen Funktion.

Der Achsenabschnitt

d

ist der Funktionswert an der Stelle

x=0

, also der Schnittpunkt mit der

y

-Achse; im Sachkontext ist er meist der Anfangswert, etwa eine Grundgebühr. Hat man

k

aus zwei Punkten bestimmt, gewinnt man

d

, indem man einen bekannten Punkt in

f(x)=kx+d

einsetzt und auflöst. So entsteht die vollständige Funktionsgleichung in wenigen Zeilen ().

Lineare Funktion f(x)=2x+1

Abb. 1Steigung

k=2

, Achsenabschnitt

d=1

.

Abb. 1 ↓

Die Lage zweier Geraden zueinander hängt allein von ihren Steigungen ab: Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen übereinstimmen (

k_{1}=k_{2}

), und sie stehen genau dann normal (rechtwinkelig) aufeinander, wenn

k_{1}\cdot k_{2}=-1

gilt. Die zweite Bedingung bedeutet, dass die eine Steigung der negative Kehrwert der anderen ist - ein häufig gefragtes Kriterium in Geometrie- und Modellaufgaben.

In Anwendungen interpretiert man Steigung und Achsenabschnitt immer mit Einheiten: Bei einem Tarif

K(t)=12+0{,}08\,t

ist

0{,}08

Euro pro Minute der Minutenpreis und

12

Euro die fixe Grundgebühr. Über die Schule hinaus sind lineare Modelle so wichtig, weil sie kompliziertere Funktionen lokal annähern - genau diese Idee greift die Analysis später wieder auf, wenn die Tangente eine Kurve in einem Punkt durch ihre beste Gerade ersetzt.

Vokabeln

→ Kartei

SteigungÄnderung des Funktionswerts je Einheit des Arguments.
OrdinatenabschnittFunktionswert an der Stelle null.
Punkt-Steigungs-Form$y-y_{1}=k\,(x-x_{1})$.
NullstelleArgument mit dem Funktionswert null.
ProportionalitätSonderfall der linearen Funktion mit $d=0$.
DifferenzenquotientSteigung zwischen zwei Punkten des Graphen.

Lineare Funktion - Hauptform

f(x)=k\cdot x+d

$k$ ist die Steigung, $d$ der Ordinatenabschnitt. Beide tragen im Sachkontext eine Einheit und eine Bedeutung.

Steigung aus zwei Punkten

k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Höhenunterschied durch Längenunterschied. Werden Zähler und Nenner vertauscht, entsteht der Kehrwert - meist unbemerkt.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Lineares Modell aus zwei Punkten

Ein Handytarif kostet $12$ Euro Grundgebühr plus $0{,}08$ Euro pro Minute. Stelle die Funktion auf und berechne die Kosten für $150$ Minuten.

Modell
$K(t)=12+0{,}08\,t$ .
Einsetzen
$K(150)=12+12=24$ .
Interpretation
Steigung $0{,}08$ Euro/min ist der Minutenpreis; Achsenabschnitt $12$ Euro die Grundgebühr.

Ergebnis: $150$ Minuten kosten $24$ Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Lineare Funktionen haben in jeder Tabelle einen konstanten Zuwachs - das ist die Steigung.
2
Aus zwei Punkten ergibt sich die Steigung als Differenzenquotient.
3
In Anwendungen sind Steigung und Achsenabschnitt oft Rate und Anfangswert.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine lineare Funktion

f

erfüllt

f(2)=5

und

f(5)=14

. Bestimme die Funktionsgleichung.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Steigung wird ohne Einheit angegeben.
Zähler und Nenner der Steigungsformel werden vertauscht.
Der Ordinatenabschnitt wird an einer beliebigen Stelle statt bei $x=0$ abgelesen.
Linear und proportional werden gleichgesetzt; proportional verlangt zusätzlich $d=0$ .
Die Steigung wird als Winkel gedeutet; sie ist der Tangens des Steigungswinkels.

Aktive Wiederholung

Bestimme die Gleichung der Geraden durch $A(-1,\,3)$ und $B(2,-3)$ .

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Quellen: IQS lineare Funktionen (IQS)

Quadratische Funktionen und Scheitelform#

~4 Min LesezeitStandardFA-4.1

Die quadratische Funktion ist das einfachste Modell mit gekrümmtem Graphen und beschreibt überall dort, wo etwas zuerst zu- und dann abnimmt - von der Wurfbahn bis zur gewinnoptimalen Stückzahl. Ihre allgemeine Form ist

f(x)=ax^{2}+bx+c

mit

a\neq 0

; die Bedingung

a\neq 0

stellt sicher, dass der quadratische Term nicht verschwindet und der Graph wirklich eine Parabel und keine Gerade ist.

Während die allgemeine Form gut zum Rechnen taugt, verrät die Scheitelform

f(x)=a(x-d)^{2}+e

die wichtigste Stelle der Parabel sofort: den Scheitel

S(d\,|\,e)

und die senkrechte Symmetrieachse

x=d

. Die Parabel ist nämlich spiegelsymmetrisch zu dieser Achse - links und rechts vom Scheitel verläuft sie exakt gleich. Zwischen beiden Formen wechselt man durch quadratische Ergänzung ().

Parabel f(x)=x²-x-2 mit Nullstellen

Abb. 2Nullstellen bei

x=-1

und

x=2

; Scheitel bei

(0{,}5\,|\,-2{,}25)

.

Abb. 2 ↓

Der Parameter

a

steuert Form und Orientierung: Bei

a>0

ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt einen tiefsten Punkt (Minimum), bei

a<0

ist sie nach unten geöffnet und hat einen höchsten Punkt (Maximum). Der Betrag von

a

bestimmt die Streckung - je größer

|a|

, desto schmaler und steiler die Parabel, je kleiner

|a|

, desto weiter ist sie geöffnet.

Den Scheitel findet man auch direkt aus der allgemeinen Form: Seine

x

-Koordinate ist

x_{S}=-\dfrac{b}{2a}

, den zugehörigen

y

-Wert liefert das Einsetzen

e=f(x_{S})

. Wer lieber umformt, erhält denselben Scheitel über die quadratische Ergänzung. Beide Wege sind gleichwertig; in der Matura genügt einer, er sollte aber mit sauberen Zwischenschritten dokumentiert sein.

Die Nullstellen - die Schnittpunkte mit der

x

-Achse - bestimmt man über die Lösungsformel

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

oder durch Faktorisieren. Die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl: Bei

D>0

gibt es zwei Nullstellen, bei

D=0

genau eine (die Parabel berührt die Achse im Scheitel), bei

D<0

keine reelle Nullstelle. Die Symmetrie hilft zusätzlich, die zweite Nullstelle aus der ersten zu spiegeln.

In Anwendungen steckt die Parabel hinter der Wurfparabel, der Maximalfläche und dem Brückenbogen. Ein geworfener Ball mit

h(t)=-5t^{2}+20t+1

erreicht seine größte Höhe genau im Scheitel, also bei

t_{S}=-\dfrac{20}{2\cdot(-5)}=2

Sekunden - hier zeigt sich, dass das Suchen eines Extremwerts und das Bestimmen des Scheitels dieselbe Aufgabe sind. Diese Idee führt direkt zur Differentialrechnung, in der Hoch- und Tiefpunkte über die Ableitung gefunden werden.

Vokabeln

→ Kartei

Normalform$f(x)=ax^{2}+bx+c$.
Scheitelform$f(x)=a(x-x_{S})^{2}+y_{S}$; der Scheitel ist direkt ablesbar.
ScheitelpunktHöchster oder tiefster Punkt der Parabel.
quadratische ErgänzungUmformung von der Normal- in die Scheitelform.
ÖffnungsfaktorKoeffizient $a$; er bestimmt Richtung und Streckung.
SymmetrieachseSenkrechte durch den Scheitel.

Scheitelform

f(x)=a(x-d)^{2}+e,\quad S(d\,|\,e)

In dieser Form ist der Scheitel direkt ablesbar. Das Vorzeichen in der Klammer ist gegenläufig: $(x-3)$ verschiebt nach rechts.

x-Koordinate des Scheitels (allgemeine Form)

x_{S}=-\dfrac{b}{2a}

Der Scheitel liegt auf der Symmetrieachse, genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Das Minuszeichen gehört zur Formel.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Wurfparabel - maximale Höhe

Die Flugbahn eines Balles wird durch $h(t)=-5t^{2}+20t+1$ (in Metern, $t$ in Sekunden) beschrieben. Wie hoch fliegt der Ball maximal?

Scheitel-Zeitpunkt
$t_{S}=-\dfrac{20}{2\cdot(-5)}=2$ .
Maximale Höhe
$h(2)=-5\cdot 4+20\cdot 2+1=21$ m.

Ergebnis: Der Ball erreicht nach $2$ s seine maximale Höhe von $21$ m.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine quadratische Funktion hat eine Parabel als Graphen.
2
Die Scheitelform liefert dir sofort die Spitze und die Symmetrieachse.
3
Vorzeichen von $a$ entscheidet, ob die Parabel ein Maximum oder Minimum hat.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die quadratische Funktion

f

hat ihren Scheitel in

S(3\,|\,-4)

und verläuft durch den Punkt

(0\,|\,5)

. Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelform.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei der quadratischen Ergänzung wird der Ausgleichsterm vergessen.
Der Scheitel wird mit einer Nullstelle verwechselt.
Das Vorzeichen in $x_{S}=-\tfrac{b}{2a}$ entfällt.
Der Faktor $a$ wird beim Ausklammern nicht mitgeführt.
Aus $D<0$ wird geschlossen, die Funktion habe keinen Scheitel.

Aktive Wiederholung

Forme $f(x)=2x^{2}-8x+5$ in die Scheitelform um und nenne den Scheitel.

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Quellen: Mathago quadratische Funktionen (Mathago)

Potenz- und Wurzelfunktionen#

~4 Min LesezeitStandardFA-3.1

Potenzfunktionen verallgemeinern die vertrauten Beispiele

x^{2}

und

x^{3}

zu einer ganzen Familie: Eine Potenzfunktion hat die Form

f(x)=a\cdot x^{r}

mit einem reellen Exponenten

r

, während die Basis

x

die Variable ist. Anders als bei der Exponentialfunktion, wo

x

im Exponenten steht, sitzt die Variable hier in der Basis - schon ein kleiner Unterschied im Exponenten

r

verändert den Verlauf des Graphen grundlegend.

Der Exponent entscheidet über den Definitionsbereich. Für positive ganzzahlige Exponenten ist

D_{f}=\mathbb{R}

, man darf also jedes

x

einsetzen. Bei negativen Exponenten - etwa

f(x)=x^{-1}=\dfrac{1}{x}

- muss

x\neq 0

ausgeschlossen werden, weil durch null nicht dividiert werden darf; der Definitionsbereich ist dann

\mathbb{R}\setminus\{0\}

.

Wurzelfunktionen sind nichts anderes als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten: Es gilt

\sqrt[n]{x}=x^{1/n}

, also etwa

\sqrt{x}=x^{1/2}

. Weil gerade Wurzeln aus negativen Zahlen in

\mathbb{R}

nicht existieren, ist der Definitionsbereich solcher Wurzelfunktionen auf

x\geq 0

eingeschränkt (). Diese Schreibweise als Potenz erlaubt es, jede Wurzel mit den vertrauten Potenzgesetzen zu behandeln.

Wurzelfunktion f(x)=\sqrt{x}=x¹/²

Abb. 3Definitionsbereich

x\geq 0

; flach steigend, keine Symmetrie.

Abb. 3 ↓

Bei ganzzahligen Exponenten verrät schon die Parität die Symmetrie des Graphen: Gerade Exponenten (

x^{2}

,

x^{4}

) liefern Achsensymmetrie zur

y

-Achse, denn

(-x)^{r}=x^{r}

; ungerade Exponenten (

x^{3}

,

x^{5}

) liefern Punktsymmetrie zum Ursprung, denn

(-x)^{r}=-x^{r}

. Genau daher tragen gerade und ungerade Funktionen ihren Namen.

Das Vorzeichen des Exponenten bestimmt das Grenzverhalten: Für

r>0

wächst

f(x)

mit wachsendem

x

über alle Grenzen, die Funktion strebt also gegen Unendlich. Für

r<0

nähert sich der Graph dagegen asymptotisch der

x

-Achse an, denn ein großer Nenner macht den Bruch beliebig klein - die

x

-Achse wird zur waagrechten Asymptote.

In Zuordnungsaufgaben der Matura geht es meist darum, die Form eines Graphen mit dem passenden Exponenten zu verknüpfen: flach und steigend deutet auf

0<r<1

(Wurzel), steil ansteigend auf großes

r

, fallend mit Asymptote auf

r<0

. In Modellierungen beschreiben Potenzfunktionen etwa, wie das Volumen mit der dritten Potenz der Länge wächst. Die Wurzelschreibweise als Potenz schlägt dabei die Brücke zurück zu den Potenz- und Wurzelgesetzen aus Thema AG.

Vokabeln

→ Kartei

Potenzfunktion$f(x)=a\,x^{n}$ mit festem Exponenten.
Achsensymmetrie$f(-x)=f(x)$; Spiegelung an der $y$-Achse.
Punktsymmetrie$f(-x)=-f(x)$; Spiegelung am Ursprung.
AsymptoteGerade, der sich der Graph beliebig nähert.
WurzelfunktionUmkehrung der Potenzfunktion auf geeignetem Bereich.
DefinitionslückeStelle, an der die Funktion nicht definiert ist.

Potenzfunktion

f(x)=a\cdot x^{r}

Hier steht die Variable in der BASIS, der Exponent ist fest. Bei der Exponentialfunktion ist es genau umgekehrt.

Musterbeispiel

Definitionsbereich, Symmetrie und Funktionswerte

Gegeben sind $f(x)=3x^{-2}$ und $g(x)=\sqrt{x}$ . Bestimme jeweils die größtmögliche Definitionsmenge in $\mathbb{R}$ , untersuche $f$ auf Symmetrie und berechne $f(2)$ sowie $g(9)$ .

Definitionsmenge von f
Der Exponent ist negativ, also darf der Nenner nicht null sein: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
Definitionsmenge von g
Der Radikand der Wurzel muss nichtnegativ sein, da $g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ : also $D_{g}=[0,\,\infty)$ .
Symmetrie von f
$f(-x)=3(-x)^{-2}=3x^{-2}=f(x)$ - der gerade Exponent macht $f$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Funktionswerte
$f(2)=3\cdot 2^{-2}=3\cdot\tfrac{1}{4}=0{,}75$ und $g(9)=\sqrt{9}=3$ .

Ergebnis: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $D_{g}=[0,\,\infty)$ , $f$ ist gerade; $f(2)=0{,}75$ und $g(9)=3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Potenzfunktion hat eine variable Basis und einen festen Exponenten.
2
Der Exponent entscheidet über Symmetrie und Wachstumsverhalten.
3
Bei Wurzeln ist der Definitionsbereich oft auf nichtnegative Zahlen beschränkt.

Typische Fehler

Der Definitionsbereich bei negativem oder gebrochenem Exponenten bleibt unerwähnt.
$\sqrt{x^{2}}$ wird als $x$ angegeben statt als $|x|$ .
Potenz- und Exponentialfunktion werden verwechselt; bei der einen steht $x$ in der Basis, bei der anderen im Exponenten.
Die Symmetrie wird geraten statt über $f(-x)$ geprüft.
Die Umkehrfunktion wird ohne Einschränkung des Definitionsbereichs gebildet.

Aktive Wiederholung

Skizziere die Funktionen $f(x)=x^{2}$ , $g(x)=x^{3}$ und $h(x)=\sqrt{x}$ in einem Koordinatensystem und nenne Definitionsbereich und Symmetrie.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Potenzfunktionen (IQS)

Direkte und indirekte Proportionalität#

~3 Min LesezeitBasisFA-1.1FA-2.1

Proportionalität ist der einfachste funktionale Zusammenhang zwischen zwei Größen und tritt in Sachaufgaben ständig auf. Man unterscheidet zwei Grundtypen, die sich entgegengesetzt verhalten: die direkte und die indirekte (umgekehrte) Proportionalität. Welcher Typ vorliegt, entscheidet die Frage, ob die zweite Größe mitwächst oder gerade kleiner wird, wenn die erste zunimmt.

Direkte Proportionalität bedeutet

y=k\cdot x

: Verdoppelt sich

x

, so verdoppelt sich auch

y

, verdreifacht sich

x

, verdreifacht sich

y

- das Verhältnis

\dfrac{y}{x}=k

bleibt konstant. Der Graph ist stets eine Ursprungsgerade, also eine Gerade durch den Punkt

(0\,|\,0)

. Ein typisches Beispiel ist der Zusammenhang Menge - Preis bei festem Stückpreis.

Bei indirekter Proportionalität gilt dagegen

y=\dfrac{k}{x}

, gleichbedeutend mit der Bedingung, dass das Produkt

x\cdot y=k

konstant bleibt. Hier führt mehr von der einen Größe zu weniger von der anderen: Doppelt so viele Arbeiter brauchen die halbe Zeit. Klassisch ist der Zusammenhang Geschwindigkeit - Zeit bei fester Strecke, denn schneller fahren heißt kürzer unterwegs sein.

Die Konstante

k

heißt Proportionalitätsfaktor und hat je nach Typ eine andere Rolle: Bei der direkten Proportionalität ist sie die Steigung der Ursprungsgeraden, bei der indirekten das konstante Produkt

x\cdot y

. In beiden Fällen liest man

k

aus einem einzigen bekannten Wertepaar ab - bei der direkten über

k=\dfrac{y}{x}

, bei der indirekten über

k=x\cdot y

.

Der Graph der indirekten Proportionalität ist eine Hyperbel, deren Äste sich den Koordinatenachsen immer weiter annähern, ohne sie je zu berühren: Die

x

- und die

y

-Achse sind ihre Asymptoten (). Anschaulich wird

y

riesig, wenn

x

winzig wird, und umgekehrt - das spiegelt genau die Konstanz des Produkts

x\cdot y=k

wider.

Indirekte Proportionalität y=\tfrac{36}{x}

Abb. 4Hyperbel mit konstantem Produkt

x\cdot y=36

; die Achsen sind Asymptoten.

Abb. 4 ↓

Beim Lösen einer Sachaufgabe lautet der erste Schritt daher stets, den Typ zu erkennen: Bleibt das Verhältnis

\dfrac{y}{x}

konstant (direkt) oder das Produkt

x\cdot y

(indirekt)? Aus vier Arbeitern mit

9

Tagen folgt das konstante Produkt

k=36

, sodass sechs Arbeiter nur

\dfrac{36}{6}=6

Tage benötigen. Die direkte Proportionalität ist dabei der Spezialfall der linearen Funktion mit

d=0

, die indirekte ein Spezialfall der Potenzfunktion mit

r=-1

- so verbinden sich beide Nachbarthemen.

Vokabeln

→ Kartei

direkte Proportionalität$y=k\,x$; konstanter Quotient.
indirekte Proportionalität$y=\tfrac{k}{x}$; konstantes Produkt.
ProportionalitätskonstanteFaktor $k$ mit Einheit und Sachbedeutung.
Schluss durch die EinheitLösungsweg über die Einheitsmenge.
HyperbelGraph der indirekten Proportionalität.
MaßstabVerhältnis von Bild- zu Originallänge; quadratisch bei Flächen.

Direkte und indirekte Proportionalität

y=k\cdot x\;\text{(direkt)},\qquad x\cdot y=k\;\text{(indirekt)}

Bei direkter Proportionalität ist der Quotient konstant, bei indirekter das Produkt. Die eine ergibt eine Ursprungsgerade, die andere eine Hyperbel.

Musterbeispiel

Indirekte Proportionalität anwenden

Vier Arbeiter benötigen $9$ Tage. Wie lange brauchen sechs Arbeiter?

Konstante
Das Produkt aus Arbeitern und Tagen ist konstant: $k=4\cdot 9=36$ .
Ansatz
Für sechs Arbeiter gilt $6\cdot t=36$ .
Lösen
$t=\dfrac{36}{6}=6$ .

Ergebnis: Sechs Arbeiter brauchen $6$ Tage - mehr Arbeiter, weniger Zeit (indirekt proportional).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bei direkter Proportionalität wachsen beide Größen im gleichen Verhältnis, der Graph ist eine Ursprungsgerade.
2
Bei indirekter Proportionalität bleibt das Produkt der Größen konstant.
3
Mehr Arbeiter bei gleicher Arbeit bedeuten weniger Zeit - ein klassischer indirekter Zusammenhang.

Typische Fehler

Jeder Zusammenhang wird als direkt proportional behandelt.
Bei indirekter Proportionalität wird der Quotient statt des Produkts konstant gehalten.
Der Maßstab wird bei Flächen linear umgerechnet statt quadratisch.
Die Konstante $k$ wird ohne Einheit geführt.
Linear und proportional werden gleichgesetzt.

Aktive Wiederholung

Vier Arbeiter brauchen $9$ Tage. Wie lange brauchen $6$ Arbeiter bei gleicher Leistung? Begründe die Art der Proportionalität.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Funktionale Abhängigkeiten AHS (IQS)

Funktionseigenschaften: Monotonie, Symmetrie, Nullstellen#

~3 Min LesezeitStandardFA-1.5

Hat man eine Funktion vorliegen, will man ihren Verlauf charakterisieren, ohne sie vollständig zeichnen zu müssen. Die wichtigsten Kenngrößen dafür sind Nullstellen, Monotonie und Symmetrie - sie lassen sich oft direkt aus dem Funktionsterm gewinnen und liefern zusammen schon ein erstaunlich genaues Bild des Graphen.

Nullstellen sind die Stellen mit

f(x)=0

und entsprechen geometrisch den Schnittpunkten des Graphen mit der

x

-Achse. Man findet sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt und die entstehende Gleichung löst - bei Polynomen meist durch Faktorisieren, sodass ein Produkt von Linearfaktoren entsteht und jeder Faktor eine Nullstelle liefert ().

Kubische Funktion f(x)=x³-4x

Abb. 5Nullstellen bei

x=-2,\,0,\,2

; punktsymmetrisch zum Ursprung.

Abb. 5 ↓

Vom Schnittpunkt mit der

x

-Achse streng zu trennen ist der Schnittpunkt mit der

y

-Achse: Er ist stets der Funktionswert

f(0)

, sofern

0

im Definitionsbereich liegt. Während es beliebig viele Nullstellen geben kann, besitzt eine Funktion höchstens einen

y

-Achsenschnittpunkt - sonst wäre die Eindeutigkeit verletzt. Diese beiden Achsenschnitte werden in Prüfungen besonders häufig verwechselt.

Die Monotonie beschreibt das Steigen oder Fallen: Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn größere

x

stets größere Funktionswerte liefern, und monoton fallend, wenn größere

x

stets kleinere Werte liefern. Wichtig ist der Zusatz „auf einem Intervall" - viele Funktionen steigen in einem Bereich und fallen in einem anderen, sind also nicht global monoton.

Symmetrie erkennt man durch Einsetzen von

-x

: Gilt

f(-x)=f(x)

, so ist die Funktion gerade und ihr Graph achsensymmetrisch zur

y

-Achse; gilt

f(-x)=-f(x)

, so ist sie ungerade und punktsymmetrisch zum Ursprung. Trifft keine der beiden Gleichungen zu, liegt keine dieser Symmetrien vor. Diese Probe spart viel Zeichenarbeit, weil man die eine Hälfte des Graphen aus der anderen erhält.

Am Beispiel

f(x)=x^{3}-4x

greifen alle Werkzeuge ineinander: Faktorisieren liefert

f(x)=x(x-2)(x+2)

mit den Nullstellen

-2,\,0,\,2

, und die Probe

f(-x)=-x^{3}+4x=-f(x)

zeigt Punktsymmetrie zum Ursprung (). So entsteht aus wenigen Rechnungen bereits ein vollständiges Bild des Verlaufs. Diese Eigenschaften sind die Vorstufe zur Kurvendiskussion in Thema AN, in der zusätzlich Hoch-, Tief- und Wendepunkte bestimmt werden.

Vokabeln

→ Kartei

MonotonieGleichbleibendes Steigungsverhalten über ein Intervall.
Achsensymmetrie$f(-x)=f(x)$.
Punktsymmetrie$f(-x)=-f(x)$.
VielfachheitWie oft eine Nullstelle als Linearfaktor auftritt.
RandverhaltenVerlauf für sehr große und sehr kleine Argumente.
UmkehrfunktionExistiert nur bei strenger Monotonie.

Symmetriebedingungen

f(-x)=f(x)\;\text{(gerade)},\qquad f(-x)=-f(x)\;\text{(ungerade)}

Symmetrie wird gerechnet, nicht geschätzt: Man setzt $-x$ ein und vergleicht. Nur gerade Exponenten geben Achsen-, nur ungerade Punktsymmetrie.

Musterbeispiel

Nullstellen und Symmetrie

Bestimme Nullstellen und Symmetrie von $f(x)=x^{3}-4x$ .

Faktorisieren
$f(x)=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2)$ .
Nullstellen
Nullstellen bei $x=0$ , $x=2$ und $x=-2$ .
Symmetrie
$f(-x)=(-x)^{3}-4(-x)=-x^{3}+4x=-f(x)$ , also punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ergebnis: Drei Nullstellen $-2,\,0,\,2$ ; die Funktion ist ungerade (punktsymmetrisch).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Nullstellen findest du, indem du den Funktionsterm gleich null setzt und faktorisierst.
2
Die Symmetrie prüfst du, indem du minus x einsetzt und das Ergebnis mit der Funktion vergleichst.
3
Monotonie beschreibst du immer bezogen auf ein Intervall, nicht pauschal für die ganze Funktion.

Typische Fehler

Monotonie wird an einzelnen Stellen statt über Intervalle beurteilt.
Symmetrie wird aus dem Bild abgelesen statt nachgerechnet.
Eine doppelte Nullstelle wird als Vorzeichenwechsel gedeutet; dort berührt der Graph nur.
Der Wertebereich wird mit dem Definitionsbereich verwechselt.
Die Umkehrfunktion wird ohne Monotonieprüfung gebildet.

Aktive Wiederholung

Untersuche $f(x)=x^{3}-4x$ auf Nullstellen und Symmetrie.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Funktionseigenschaften AHS (IQS)