AG 3 - Vektoren, Geraden und Ebenen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Vektoren - Addition, Skalierung, Betrag#

~4 Min LesezeitBasisAG-3.1

Ein Vektor fasst zwei Informationen in einem einzigen Objekt zusammen: eine Richtung und eine Länge. Formal ist ein Vektor in

\mathbb{R}^{n}

ein geordnetes

n

-Tupel reeller Zahlen, etwa

\vec{a}=(3,-4)

in der Ebene oder

\vec{a}=(3,-4,\,0)

im Raum. Anders als ein Punkt, der einen festen Ort markiert, ist ein Vektor ortsungebunden — derselbe Pfeil darf beliebig parallel verschoben werden, solange Richtung und Länge erhalten bleiben. Genau das macht ihn zur natürlichen Sprache für Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Kräfte.

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert:

\vec{a}+\vec{b}=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})

. Anschaulich hängt man den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten und verbindet Start mit Ziel — die Spitze-an-Schaft-Konstruktion, die zur Parallelogrammregel führt (). Die Reihenfolge spielt keine Rolle (

\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}

), und die Differenz

\vec{a}-\vec{b}

ist der Vektor, der von der Spitze von

\vec{b}

zur Spitze von

\vec{a}

zeigt. Daraus folgt die meistgebrauchte Formel überhaupt: Der Vektor von Punkt

A

nach Punkt

B

ist

\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}

(„Spitze minus Schaft").

Vektoraddition — Parallelogrammregel

Abb. 1a + b als Diagonale des aus a und b aufgespannten Parallelogramms.

Abb. 1 ↓

Die skalare Multiplikation

\lambda\vec{a}

streckt den Vektor um den Faktor

|\lambda|

. Für

\lambda>1

wird er länger, für

0<\lambda<1

kürzer, und ein negatives

\lambda

dreht zusätzlich die Richtung um

180^{\circ}

um. Zwei Vektoren heißen parallel (kollinear), wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist,

\vec{b}=\lambda\vec{a}

— genau dieser Test entscheidet später bei Geraden und Ebenen über „parallel oder nicht".

Die Länge eines Vektors, sein Betrag, ist die Wurzel aus der Quadratsumme der Komponenten:

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

. Das ist nichts anderes als der Satz von Pythagoras, angewendet auf die Komponenten als Katheten. Für

\vec{a}=(3,-4)

etwa ist

|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5

. Weil Quadrate nie negativ sind, gilt stets

|\vec{a}|\geq 0

, und der Betrag ist genau dann

0

, wenn

\vec{a}=\vec{0}

der Nullvektor ist.

Teilt man einen Vektor durch seine eigene Länge, erhält man den Einheitsvektor

\hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

: gleiche Richtung wie

\vec{a}

, aber auf die Länge

1

genormt. Er beantwortet die Frage „in welche Richtung?" losgelöst von „wie weit?". Multipliziert man

\hat{a}

mit einer gewünschten Länge

\ell

, erhält man bequem einen Vektor genau dieser Länge in Richtung

\vec{a}

— etwa um auf einer Geraden eine Strecke von

\ell

Metern abzutragen.

In Anwendungen trägt jede Komponente eine eigene Bedeutung: Bei einer Geschwindigkeit

\vec{v}=(20,\,15,\,0)

sind das die Anteile in

x

-,

y

- und

z

-Richtung, und

|\vec{v}|=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25

ist der Gesamtbetrag der Geschwindigkeit (). Diese Trennung — getrennt nach Komponenten rechnen und am Ende über den Betrag zusammenführen — ist die Grundidee, die das ganze Kapitel trägt und im Skalarprodukt ihre Fortsetzung findet.

Vokabeln

→ Kartei

VektorGröße mit Betrag und Richtung, in Komponenten dargestellt.
OrtsvektorVektor vom Ursprung zu einem Punkt.
Verbindungsvektor$\vec{AB}=\vec b-\vec a$; Spitze minus Anfang.
BetragLänge des Vektors, $\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
EinheitsvektorVektor der Länge eins in gegebener Richtung.
kollinearParallel; ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen.

Betrag (Länge) eines Vektors in R³

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

Der Satz des Pythagoras im Raum. Der Betrag ist stets eine nichtnegative Zahl - nie ein Vektor.

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Musterbeispiel

Betrag, Einheitsvektor und Linearkombination

Gegeben sind $\vec{a}=(3,-4)$ und $\vec{b}=(1,\,2)$ . Berechne $|\vec{a}|$ , den Einheitsvektor $\hat{a}$ und die Linearkombination $2\vec{a}-3\vec{b}$ .

Betrag
$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .
$|\vec{a}|=5$
Einheitsvektor
Durch den Betrag dividieren: $\hat{a}=\tfrac{1}{5}(3,-4)=(0{,}6,\,-0{,}8)$ . Probe: $\sqrt{0{,}6^{2}+0{,}8^{2}}=1$ .
Vielfache bilden
$2\vec{a}=(6,-8)$ und $3\vec{b}=(3,\,6)$ .
Differenz
Komponentenweise: $2\vec{a}-3\vec{b}=(6-3,\;-8-6)=(3,-14)$ .

Ergebnis: $|\vec{a}|=5$ , $\hat{a}=(0{,}6\,|\,-0{,}8)$ und $2\vec{a}-3\vec{b}=(3\,|\,-14)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Ein Vektor speichert Richtung und Länge - er ist nicht an einen Ort gebunden.
2
Bei der Addition gehst du den ersten Vektor und hängst den zweiten an seine Spitze.
Vektoraddition — Parallelogrammregel
Abb.a + b als Diagonale des aus a und b aufgespannten Parallelogramms.
3
Den Betrag liefert der Satz von Pythagoras in der jeweiligen Dimension.

Typische Fehler

Der Verbindungsvektor wird als $\vec a-\vec b$ gebildet.
Der Betrag wird ohne Wurzel angegeben.
Ortsvektor und Verbindungsvektor werden gleichgesetzt.
Beim Skalieren wird nur eine Komponente multipliziert.
Kollinearität wird an der Zeichnung geschätzt statt über ein Vielfaches nachgewiesen.

Aktive Wiederholung

Berechne $|\vec{a}|$ , $\hat{a}$ und $2\vec{a}-3\vec{b}$ für $\vec{a}=(3,-4,\,0)$ und $\vec{b}=(1,\,1,\,2)$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: BMBWF Formelheft AHS Mathematik (BMBWF)

Skalarprodukt und Winkel#

~3 Min LesezeitStandardAG-3.3

Während Addition und Skalierung zwei Vektoren bzw. einen Vektor und eine Zahl verarbeiten, beantwortet das Skalarprodukt eine neue Frage: Wie stark zeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung? Bemerkenswert ist, dass sein Ergebnis

\vec{a}\cdot\vec{b}

kein Vektor ist, sondern eine einzige reelle Zahl — ein „Skalar", daher der Name. Die Operation verlässt also die Welt der Pfeile und liefert eine Maßzahl.

Rechnerisch multipliziert man die Komponenten paarweise und summiert:

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}

. Für

\vec{a}=(2,\,1,\,2)

und

\vec{b}=(1,\,2,-2)

etwa ergibt sich

2+2-4=0

. Das ist dieselbe komponentenweise Buchhaltung wie bei der Addition — nur dass am Ende alles zu einer Zahl aufaddiert statt zu einem neuen Vektor zusammengefasst wird.

Der eigentliche Gehalt steckt in der zweiten Darstellung

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi

, wobei

\varphi

der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (). Das Skalarprodukt ist also das Produkt der Längen, gewichtet mit dem Cosinus des Zwischenwinkels. Bei spitzem Winkel ist es positiv, bei stumpfem negativ, bei rechtem Winkel null — sein Vorzeichen verrät bereits die grobe Lage der Vektoren zueinander.

Skalarprodukt und Zwischenwinkel

Abb. 2Der Zwischenwinkel

\varphi

verbindet das Skalarprodukt mit den Längen:

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

.

Abb. 2 ↓

Daraus folgt das wichtigste Kriterium der ganzen Vektorrechnung: Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann normal (rechtwinkelig) aufeinander, wenn

\vec{a}\cdot\vec{b}=0

— denn dann ist

\cos\varphi=0

, also

\varphi=90^{\circ}

. Im Beispiel oben war

\vec{a}\cdot\vec{b}=0

, die Vektoren sind somit orthogonal. Dieses Null-Kriterium ersetzt jede mühsame Winkelmessung durch eine einzige Rechnung.

Stellt man die Winkelbeziehung um, liefert sie den Zwischenwinkel direkt:

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Eng verwandt ist die Projektion von

\vec{b}

auf

\vec{a}

, also der Längenanteil von

\vec{b}

in Richtung von

\vec{a}

:

b_{\|}=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}

. Anschaulich ist das der „Schatten", den

\vec{b}

auf die Wirkungslinie von

\vec{a}

wirft, wenn das Licht senkrecht von oben einfällt.

Das Skalarprodukt ist kommutativ (

\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}

) und in beiden Argumenten linear, sodass man wie mit gewöhnlichen Klammern ausmultiplizieren darf. In der Physik ist es die verrichtete Arbeit

W=\vec{F}\cdot\vec{s}

: Nur der Kraftanteil längs des Weges zählt. Damit schlägt das Skalarprodukt die Brücke von der reinen Geometrie zur Trigonometrie des nächsten Themas, in dem

\cos\varphi

zur eigenständigen Funktion wird.

Vokabeln

→ Kartei

SkalarproduktZahl aus zwei Vektoren; null genau bei Orthogonalität.
orthogonalRechtwinkelig zueinander.
ZwischenwinkelWinkel zwischen zwei Vektoren, über den Kosinus berechenbar.
ProjektionAnteil eines Vektors in Richtung eines anderen.
NullvektorVektor mit lauter Nullkomponenten; ohne Richtung.
NormalvektorVektor, der auf einer Geraden oder Ebene senkrecht steht.

Skalarprodukt mit Winkelbeziehung

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi

Verbindet die reine Rechenvorschrift mit der Geometrie. Weil $\cos90^{\circ}=0$ ist, erkennt man Orthogonalität am Wert null.

Musterbeispiel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Berechne den Winkel zwischen $\vec{a}=(2,\,1,\,2)$ und $\vec{b}=(1,\,2,-2)$ .

Skalarprodukt
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot(-2)=0$ .
Folgerung
Wenn $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ und keiner der Vektoren der Nullvektor ist, sind die Vektoren orthogonal.
$\cos\varphi=0\Rightarrow\varphi=90^{\circ}$

Ergebnis: Die Vektoren stehen normal aufeinander, $\varphi=90^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren mit einer einzigen Zahl - dem Cosinus-gewichteten Produkt der Längen.
2
Verschwindet das Skalarprodukt, dann stehen die Vektoren normal aufeinander.
3
Für den Winkel zwischen den Vektoren teilst du das Skalarprodukt durch beide Beträge und nimmst den Arcus Cosinus.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben ist der Vektor

\vec{a}=(3,-2)

. Bestimme einen Vektor

\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}

mit

|\vec{b}|=1

, der auf

\vec{a}

normal steht.

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Typische Fehler

Das Skalarprodukt wird als Vektor notiert.
Orthogonalität wird an der Skizze geschätzt statt nachgewiesen.
Im Nenner der Winkelformel fehlen die Beträge.
Skalar- und Kreuzprodukt werden verwechselt.
Aus $\vec a\cdot\vec b=0$ wird geschlossen, einer der Vektoren sei der Nullvektor.

Aktive Wiederholung

Prüfe, ob die Vektoren $\vec{u}=(1,-2,\,2)$ und $\vec{v}=(2,\,2,\,1)$ aufeinander normal stehen.

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Quellen: Mathago - Vektoren Skalarprodukt (Mathago)

Kreuzprodukt und Flächen-/Volumsberechnungen#

~3 Min LesezeitVertiefungAG-3.2

Im Raum stellt sich oft die Frage nach einer Richtung, die auf zwei gegebenen Richtungen zugleich senkrecht steht — etwa nach der Normalrichtung einer Ebene. Das Kreuzprodukt

\vec{a}\times\vec{b}

liefert genau das: einen Vektor, der sowohl auf

\vec{a}

als auch auf

\vec{b}

normal steht. Es ist ausschließlich in

\mathbb{R}^{3}

definiert, denn nur dort gibt es zu einer Ebene eine eindeutige dritte Richtung zum „Ausweichen".

Berechnet wird es über die Determinantenformel

\vec{a}\times\vec{b}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})

. Als Merkhilfe lässt man für jede Komponente die gleichnummerige Zeile aus und bildet über Kreuz die Differenz der restlichen Produkte. Die Probe ist bequem: Das Ergebnis muss mit

\vec{a}

und mit

\vec{b}

jeweils das Skalarprodukt

0

liefern, weil es ja auf beiden normal steht.

Der Betrag des Kreuzprodukts hat eine anschauliche Bedeutung:

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin\varphi

ist genau der Flächeninhalt des von

\vec{a}

und

\vec{b}

aufgespannten Parallelogramms. Während das Skalarprodukt mit

\cos\varphi

den parallelen Anteil zweier Vektoren misst, misst das Kreuzprodukt mit

\sin\varphi

den senkrechten — die beiden Produkte ergänzen einander also perfekt.

Halbiert man die Parallelogrammfläche, erhält man den Flächeninhalt des Dreiecks:

A=\tfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|

. Für ein Dreieck

ABC

bildet man die Kantenvektoren

\vec{AB}

und

\vec{AC}

, ihr Kreuzprodukt, dessen Betrag, und halbiert — der Standardweg zur Dreiecksfläche im Raum, der ganz ohne Höhe und Grundlinie auskommt.

Verknüpft man drei Vektoren über

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}

, entsteht das Spatprodukt, dessen Betrag das Volumen des aufgespannten Parallelepipeds (Spats) angibt. Ergibt das Spatprodukt

0

, liegen die drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene — sie sind komplanar bzw. linear abhängig. Das ist ein kompakter Test auf lineare Abhängigkeit, der ein ganzes Gleichungssystem erspart.

Anders als das Skalarprodukt ist das Kreuzprodukt antikommutativ:

\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})

— ein Vertauschen kehrt also die Richtung des Ergebnisvektors um. Welche der beiden möglichen Richtungen herauskommt, regelt die Rechte-Hand-Regel. Die für die Matura wichtigste Anwendung ist die nächste Sektion: Aus zwei Richtungsvektoren einer Ebene erzeugt das Kreuzprodukt unmittelbar deren Normalvektor.

Vokabeln

→ Kartei

KreuzproduktVektor, der auf beiden Faktoren senkrecht steht.
NormalvektorErgebnis des Kreuzprodukts zweier Richtungsvektoren einer Ebene.
ParallelogrammflächeBetrag des Kreuzprodukts der beiden Seitenvektoren.
SpatproduktSkalarprodukt eines Vektors mit dem Kreuzprodukt zweier anderer.
antikommutativVertauschen der Faktoren kehrt das Vorzeichen um.
TetraedervolumenEin Sechstel des Betrags des Spatprodukts.

Kreuzprodukt (nur in R³)

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}

Liefert einen Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Deshalb ist es das Werkzeug für Normalvektoren von Ebenen.

Spatprodukt

V_{\text{Spat}}=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|

Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des von drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Wird es null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene.

Musterbeispiel

Dreiecksfläche im Raum

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit Ecken $A(1,\,0,\,0)$ , $B(0,\,1,\,0)$ , $C(0,\,0,\,1)$ .

Kantenvektoren
$\vec{AB}=(-1,\,1,\,0)$ , $\vec{AC}=(-1,\,0,\,1)$ .
Kreuzprodukt
$\vec{AB}\times\vec{AC}=(1,\,1,\,1)$ .
Betrag
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{3}$ .
Dreiecksfläche
$A=\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\approx 0{,}866$ .

Ergebnis: Dreiecksfläche $A=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$ Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stelle dir das Kreuzprodukt als Werkzeug vor, das einen Normalvektor und eine Fläche gleichzeitig liefert.
2
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Parallelogrammfläche; ein halbes Kreuzprodukt liefert die Dreiecksfläche.
3
Verschwindet das Spatprodukt, dann liegen die drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene.

Typische Fehler

Das Kreuzprodukt wird als Zahl angegeben.
Die Reihenfolge wird als beliebig angenommen; sie kehrt das Vorzeichen um.
Für die Dreiecksfläche fehlt der Faktor $\tfrac{1}{2}$ .
Das Kreuzprodukt wird in der Ebene ohne Ergänzung der dritten Komponente gebildet.
Beim Spatprodukt wird der Betrag vergessen; ein Volumen ist nie negativ.

Aktive Wiederholung

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit Ecken $A(1,\,0,\,0)$ , $B(0,\,1,\,0)$ , $C(0,\,0,\,1)$ über das Kreuzprodukt.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS - Vektoraufgaben (IQS)

Geraden in Parameter- und Koordinatenform#

~4 Min LesezeitStandardAG-3.4

Eine Gerade ist die Bahn eines Punktes, der von einem Startpunkt aus geradlinig in eine feste Richtung wandert. Genau das fasst die Parameterform

g:\vec{X}=\vec{P}+t\cdot\vec{v}

in Formeln:

\vec{P}

ist der Aufpunkt (irgendein Punkt der Geraden),

\vec{v}\neq\vec{0}

der Richtungsvektor, und der Parameter

t\in\mathbb{R}

durchläuft alle reellen Zahlen, wobei jedes

t

genau einen Geradenpunkt liefert. Liest man

t

als Zeit, beschreibt die Gleichung eine gleichförmige Bewegung.

Den Richtungsvektor gewinnt man aus zwei bekannten Punkten als Differenz

\vec{v}=\vec{B}-\vec{A}

; als Aufpunkt darf man jeden Geradenpunkt frei wählen. Deshalb ist die Parameterform nicht eindeutig —

\vec{P}+t\vec{v}

und

\vec{P}+t\,(2\vec{v})

beschreiben dieselbe Gerade. Beim Vergleich zweier Geraden muss man diese Mehrdeutigkeit im Kopf behalten und stets die Richtungen, nicht die zufällig gewählten Aufpunkte vergleichen.

Ob ein Punkt

Q

auf

g

liegt, klärt die Punktprobe: Man setzt

\vec{Q}=\vec{P}+t\vec{v}

an und sucht ein einziges

t

, das ALLE Koordinatengleichungen zugleich erfüllt. Liefert eine Komponente ein anderes

t

als die übrigen, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Diese Konsistenzprüfung ist der Kern fast jeder Lagebeziehungs-Aufgabe.

In der Ebene

\mathbb{R}^{2}

gibt es für zwei Geraden drei Möglichkeiten: Sie sind identisch, echt parallel (gleiche Richtung, kein gemeinsamer Punkt) oder sie schneiden sich in genau einem Punkt (). Man vergleicht zuerst die Richtungsvektoren auf Parallelität; nur wenn sie nicht parallel sind, existiert überhaupt ein Schnittpunkt, den man durch Gleichsetzen findet.

Schnittpunkt zweier Geraden

Abb. 3Nicht parallele Geraden in

\mathbb{R}^{2}

schneiden sich in genau einem Punkt

S

; das Gleichsetzen der Parameterformen liefert ihn.

Abb. 3 ↓

Im Raum

\mathbb{R}^{3}

kommt ein vierter Fall hinzu: windschiefe Geraden, die weder parallel sind noch sich schneiden — sie laufen in verschiedenen „Höhen" aneinander vorbei. Den Schnittpunkt sucht man durch Gleichsetzen der Parameterformen, was drei Gleichungen für die zwei Unbekannten

t

und

s

ergibt. Löst man zwei davon, MUSS die dritte als Probe ebenfalls aufgehen; tut sie es nicht, sind die Geraden windschief.

In

\mathbb{R}^{2}

lässt sich jede Gerade auch als Koordinatengleichung

ax+by=c

schreiben und umgekehrt in Parameterform überführen. Die Schnittpunktberechnung zweier Geraden ist dann genau dasselbe Problem wie das Lösen eines linearen Gleichungssystems aus Thema AG 2 — die Vektorrechnung gibt diesem Problem nur eine anschauliche geometrische Gestalt.

Vokabeln

→ Kartei

Parameterform$\vec x=\vec p+t\,\vec r$ mit Aufpunkt und Richtungsvektor.
RichtungsvektorVektor, der die Richtung der Geraden angibt.
AufpunktPunkt, durch den die Gerade verläuft.
KoordinatenformParameterfreie Gleichung der Geraden in der Ebene.
PunktprobePrüfung, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.
ParameterLaufvariable, die jeden Punkt der Geraden erzeugt.

Parameterdarstellung einer Geraden

g:\;\vec{X}=\vec{P}+t\cdot\vec{v},\quad t\in\mathbb{R}

Ein Aufpunkt plus ein Vielfaches des Richtungsvektors durchläuft die ganze Gerade. Der Parameter $t$ ist die einzige freie Größe.

Musterbeispiel

Schnittpunkt zweier Geraden in $\mathbb{R}^{2}$

Bestimme den Schnittpunkt von $g:\vec{X}=(1,\,2)+t(2,\,1)$ und $h:\vec{X}=(3,\,1)+s(-1,\,2)$ .

Koordinatengleichungen
$1+2t=3-s$ und $2+t=1+2s$ .
Auflösen
Aus erster Gleichung $s=2-2t$ , einsetzen: $2+t=1+2(2-2t)=5-4t$ , also $5t=3$ und $t=0{,}6$ .
Punkte berechnen
$\vec{X}=(1+1{,}2,\,2+0{,}6)=(2{,}2,\,2{,}6)$ .

Ergebnis: Schnittpunkt $S(2{,}2\,|\,2{,}6)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Gerade beschreibst du mit einem Aufpunkt und einer Richtung.
2
Den Aufpunkt findest du oft im Aufgabentext, die Richtung ergibt sich aus zwei Punkten oder einer Steigung.
3
Für Lagebeziehungen prüfst du zuerst die Richtungsvektoren auf Parallelität.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Drohne fliegt entlang der Geraden

g:\vec{X}=(0,\,0,\,30)+t(20,\,15,\,0)

(Zeit

t

in Sekunden, Strecken in Metern). Bestimme die Position der Drohne nach

4

Sekunden und ihre Geschwindigkeit.

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Typische Fehler

Der Richtungsvektor wird als Ortsvektor eines Punktes verwendet.
Bei der Punktprobe genügt eine übereinstimmende Komponente; nötig sind alle.
Parameter- und Koordinatenform werden vermengt.
Zwei Geraden werden aufgrund gleicher Richtungsvektoren als identisch bezeichnet; sie können auch parallel sein.
Der Richtungsvektor wird normiert, obwohl die Aufgabe das nicht verlangt - der Parameterwert ändert sich dadurch.

Aktive Wiederholung

Prüfe die Lagebeziehung der Geraden $g:\vec{X}=(1,\,2,\,3)+t(1,\,1,\,0)$ und $h:\vec{X}=(2,\,1,\,3)+s(2,\,2,\,0)$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: IQS Mathematik Vektorgeometrie (IQS)

Ebenen in Parameter- und Normalvektorform#

~3 Min LesezeitVertiefungAG-3.3AG-3.4

Eine Ebene wird von einem Aufpunkt und ZWEI Richtungen aufgespannt — entsprechend trägt ihre Parameterform zwei Parameter:

E:\vec{X}=\vec{P}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v}

. Jedes Paar

(s,t)

liefert genau einen Ebenenpunkt. Damit wirklich eine Ebene und nicht bloß eine Gerade entsteht, müssen die Richtungsvektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

linear unabhängig sein, dürfen also nicht parallel zueinander liegen.

Oft handlicher ist die Normalvektorform, die die Ebene über ihre Senkrechte beschreibt:

\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P})=0

. Sie besagt, dass ein Punkt

X

genau dann in der Ebene liegt, wenn der Verbindungsvektor

\vec{X}-\vec{P}

normal auf den Normalvektor

\vec{n}

steht — hier zahlt sich das Orthogonalitätskriterium des Skalarprodukts aus. Ausmultipliziert wird daraus die kompakte Koordinatengleichung

n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=d

.

Den Normalvektor liefert das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:

\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}

— genau dafür wurde es eingeführt. Sind nur drei Punkte

A

,

B

,

C

gegeben, bildet man zwei Verbindungsvektoren

\vec{AB}

und

\vec{AC}

, kreuzt sie zum Normalvektor und bestimmt

d

, indem man die Koordinaten eines der Punkte in die Gleichung einsetzt.

Ob ein Punkt in der Ebene liegt, prüft man durch Einsetzen seiner Koordinaten in die Ebenengleichung. Bei einer Geraden setzt man ihre Punkte

\vec{P}+t\vec{v}

in die Ebenengleichung ein und löst nach

t

: Eine eindeutige Lösung bedeutet einen Durchstoßpunkt, ein Widerspruch bedeutet echte Parallelität, und eine für alle

t

wahre Aussage bedeutet, dass die Gerade ganz in der Ebene liegt.

Der Abstand eines Punktes

Q

von der Ebene ist die Länge des Lotes und ergibt sich mit der Hesseschen Normalform zu

d=\dfrac{|\vec{n}\cdot(\vec{Q}-\vec{P})|}{|\vec{n}|}

. Der Betrag im Zähler ist entscheidend — ein Abstand ist nie negativ —, und die Division durch

|\vec{n}|

normiert den Normalvektor auf die Länge

1

, sodass wirklich eine Länge und kein bloßes Skalarprodukt herauskommt.

Damit sind alle Bausteine der analytischen Raumgeometrie beisammen: Punkte, Geraden und Ebenen, jeweils in Parameter- und Koordinatenform, verbunden durch Skalar- und Kreuzprodukt. Die folgende Sektion bündelt sie zu einem systematischen Verfahren, mit dem sich sämtliche Lagebeziehungen zwischen diesen Objekten klassifizieren lassen.

Vokabeln

→ Kartei

Parameterform der Ebene$\vec x=\vec p+s\,\vec u+t\,\vec v$ mit zwei Richtungsvektoren.
NormalvektorVektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Normalvektorform$\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0$.
Koordinatenform$ax+by+cz=d$; die Koeffizienten bilden den Normalvektor.
Hessesche NormalformNormierte Form; sie liefert unmittelbar den Abstand eines Punktes.
SpurpunktSchnittpunkt der Ebene mit einer Koordinatenachse.

Normalvektorform einer Ebene

E:\;n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=d,\quad \vec{n}=(n_{1},n_{2},n_{3})\perp E

Die Koeffizienten der Gleichung sind zugleich die Koordinaten des Normalvektors. Deshalb liest man ihn ohne jede Rechnung ab.

Abstand Punkt-Ebene

d=\dfrac{|\vec{n}\cdot(\vec{Q}-\vec{P})|}{|\vec{n}|}

Projiziert den Verbindungsvektor auf den Normalvektor. Die Division durch $|\vec{n}|$ ist die Normierung - ohne sie ist das Ergebnis um den Faktor $|\vec{n}|$ falsch.

Musterbeispiel

Ebene durch drei Punkte aufstellen

Ebene $E$ durch $A(1,\,0,\,0)$ , $B(0,\,2,\,0)$ und $C(0,\,0,\,3)$ .

Richtungsvektoren
$\vec{AB}=(-1,\,2,\,0)$ , $\vec{AC}=(-1,\,0,\,3)$ .
Normalvektor
$\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=(6,\,3,\,2)$ .
Ebenengleichung
$6(x-1)+3(y-0)+2(z-0)=0\Rightarrow 6x+3y+2z=6$ .

Ergebnis: Ebenengleichung: $6x+3y+2z=6$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Ebene brauchst du in zwei Formen: Parameterform mit zwei Richtungen oder Normalvektorform mit einer einzigen Gleichung.
2
Aus drei Punkten konstruierst du zwei Verbindungsvektoren und bildest deren Kreuzprodukt.
3
Den Abstand eines Punktes zur Ebene liefert die Hessesche Normalform - dabei ist der Betrag im Zähler entscheidend.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Solarpanel-Fläche wird durch die Ebene

E:\,2x+y+2z=10

beschrieben. Berechne den Abstand des Sonnensensors

S(1,\,1,\,1)

zur Ebene.

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Typische Fehler

Die beiden Richtungsvektoren sind kollinear; sie spannen dann keine Ebene auf.
Der Normalvektor wird als Differenz statt als Kreuzprodukt gebildet.
Bei der Hesseschen Normalform wird die Normierung vergessen.
Koordinaten- und Parameterform werden vermischt.
Das Vorzeichen im Abstand wird nicht als Betrag genommen.

Aktive Wiederholung

Stelle die Ebene durch $A(1,\,0,\,0)$ , $B(0,\,2,\,0)$ und $C(0,\,0,\,3)$ in Normalvektorform auf.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzen AG 3.3 / 3.4 (IQS)

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen#

~3 Min LesezeitVertiefungAG-3.3AG-3.4

Zwei Geraden im Raum stehen in genau einer von vier Beziehungen: Sie sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Die ersten beiden Fälle haben parallele Richtungsvektoren, die letzten beiden nicht — deshalb beginnt jede Untersuchung mit dem Vergleich der Richtungen, und erst danach folgt ein Punkttest, der innerhalb jeder Gruppe weiter unterscheidet.

Zwei Richtungsvektoren sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist,

\vec{u}=\lambda\,\vec{v}

. Findet man ein solches

\lambda

, kommen nur „identisch" oder „echt parallel" in Frage; die Entscheidung trifft der Punkttest: Liegt der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen, sind sie identisch, andernfalls echt parallel (sie laufen wie zwei Schienen nebeneinander her).

Sind die Richtungen NICHT parallel, setzt man die Parameterformen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Hat es eine Lösung, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt; ist es unlösbar (typischerweise ein Widerspruch in der dritten Gleichung), sind die Geraden windschief — der charakteristische Raumfall, den es in der Ebene gar nicht gibt.

Eine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu ihr verlaufen oder sie in genau einem Punkt durchstoßen. Den Schlüssel liefert das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalvektor der Ebene: Ist

\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0

, durchstößt die Gerade die Ebene; ist

\vec{u}\cdot\vec{n}=0

, verläuft sie parallel zur Ebene oder liegt vollständig in ihr.

Im Parallelfall

\vec{u}\cdot\vec{n}=0

entscheidet erneut ein Punkttest: Erfüllt der Aufpunkt der Geraden die Ebenengleichung, liegt die ganze Gerade in der Ebene, sonst verläuft sie echt parallel über ihr. Es ist dasselbe zweistufige Muster wie bei den Geraden — zuerst das Richtungs- bzw. Normalenkriterium, dann der Punkttest zur Verfeinerung.

Zwei Ebenen schließlich sind identisch, parallel oder schneiden sich in einer Schnittgeraden, erkennbar an ihren Normalvektoren: Sind die Normalvektoren parallel, sind die Ebenen parallel oder identisch, sonst gibt es eine Schnittgerade. Die Matura belohnt das systematische Schema „Richtungen bzw. Normalen vergleichen → Punkttest → Ergebnis sauber anschreiben" — wer es konsequent abarbeitet, klassifiziert jede Lagebeziehung sicher.

Vokabeln

→ Kartei

windschiefGeraden im Raum ohne Schnittpunkt und ohne Parallelität.
identischZwei Geraden mit derselben Punktmenge.
SchnittwinkelKleinster Winkel zwischen zwei sich schneidenden Objekten.
PunktprobePrüfung, ob ein Punkt auf einer Geraden oder in einer Ebene liegt.
ParallelitätGleiche Richtung ohne gemeinsamen Punkt.
SpurgeradeSchnittgerade zweier Ebenen.

Parallelitätstest Gerade-Ebene

\vec{u}\cdot\vec{n}=0\;\Rightarrow\;\text{Gerade parallel zur Ebene (oder in ihr)}

Steht der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalvektor, läuft die Gerade parallel zur Ebene. Ob sie in der Ebene liegt, klärt erst die Punktprobe.

Musterbeispiel

Geraden auf Parallelität prüfen

Prüfe, ob $g:\vec{x}=(1,\,0,\,2)+t\,(1,\,1,\,0)$ und $h:\vec{x}=(0,\,1,\,2)+s\,(2,\,2,\,0)$ parallel sind.

Richtungsvektoren
Richtung von $g$ ist $(1,\,1,\,0)$ , von $h$ ist $(2,\,2,\,0)$ .
Vielfaches?
$(2,\,2,\,0)=2\cdot(1,\,1,\,0)$ , die Richtungen sind parallel.
Punkttest
Liegt der Aufpunkt $(0,\,1,\,2)$ von $h$ auf $g$ ? Aus $1+t=0$ folgt $t=-1$ , dann ist $y=-1\neq 1$ , also nicht.

Ergebnis: Die Geraden sind echt parallel (gleiche Richtung, kein gemeinsamer Punkt).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren: sind sie Vielfache, kommen nur identisch oder parallel infrage.
2
Bei unterschiedlichen Richtungen entscheidet das Gleichsetzen der Parameterformen über Schnitt oder Windschiefe.
3
Für Gerade und Ebene zeigt das Skalarprodukt von Richtung und Normalvektor, ob die Gerade die Ebene schneidet.

Typische Fehler

Der Fall windschief wird übersehen; im Raum ist er der Regelfall.
Aus kollinearen Richtungsvektoren wird auf Identität geschlossen, ohne die Punktprobe.
Beim Schnittwinkel fehlt der Betrag; es kommt ein stumpfer Winkel heraus.
Gerade und Ebene werden gleichgesetzt, ohne die Parallelität über $\vec r\cdot\vec n=0$ zu prüfen.
Die Lagebeziehung wird behauptet statt begründet.

Aktive Wiederholung

Untersuche die Lagebeziehung der Geraden $g:\vec{x}=(1,\,0,\,2)+t\,(1,\,1,\,0)$ und $h:\vec{x}=(0,\,1,\,2)+s\,(2,\,2,\,0)$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Lagebeziehungen im Raum AHS (IQS)

AG 3 - Vektoren, Geraden und Ebenen

Kernpunkte

Betrag, Einheitsvektor und Linearkombination

Kernpunkte

Winkel zwischen zwei Vektoren

Kernpunkte

Dreiecksfläche im Raum

Kernpunkte

Schnittpunkt zweier Geraden in R2\mathbb{R}^{2}R2

Kernpunkte

Ebene durch drei Punkte aufstellen

Kernpunkte

Geraden auf Parallelität prüfen

Quellen

Schnittpunkt zweier Geraden in $\mathbb{R}^{2}$