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Notizen/Mathematik/AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und Ableitungsregeln
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AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und Ableitungsregeln

Vom mittleren zum momentanen Änderungsmaß, Ableitungsregeln (Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) und Tangentengleichung. Siehe Thema AN 2 (Kurvendiskussion und Optimierung), in dem die Ableitung zur Untersuchung von Monotonie und Extrema eingesetzt wird.

6 Abschnitte·~18 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·0888 / 13
Prüfungsprofil
AN 1.1 · Mittlere und momentane ÄnderungsrateAN 1.2 · Differentialquotient als GrenzwertAN 1.3 · Differenzen-/Differenzialquotient im Kontext deuten (Tangenten-/Normalsteigung)
Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und Ableitungsregeln
    • 01Mittlere und momentane Änderungsrate○
    • 02Differentialquotient als Grenzwert◐
    • 03Ableitungsregeln und Standardableitungen◐
    • 04Tangentengleichung und Normalsteigung◐
    • 05Anwendungen: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wachstumsraten◐
    • 06Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung◐

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 8 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Mittlere und momentane Änderungsrate#

~3 Min Lesezeit●○○BasisLPAN-1.1

Kernpunkte

Viele Sachfragen lauten nicht „wie groß?", sondern „wie schnell ändert sich etwas?" - wie rasch ein Tank leerläuft, ein Kapital wächst oder ein Auto schneller wird. Das Änderungsmaß macht diese Frage präzise, indem es die Änderung des Funktionswerts Δy\Delta yΔy ins Verhältnis zur Änderung des Arguments Δx\Delta xΔx setzt - es misst also nicht einen Wert, sondern ein Tempo.
Über ein ganzes Intervall [x1, x2][x_{1},\,x_{2}][x1​,x2​] misst der mittlere Differenzenquotient mˉ=f(x2)−f(x1)x2−x1\bar m=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}mˉ=x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​ die durchschnittliche Änderung. Geometrisch ist das genau die Steigung der Sekante durch die beiden Graphenpunkte (). Für f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 auf [1, 4][1,\,4][1,4] etwa ist mˉ=16−14−1=5\bar m=\dfrac{16-1}{4-1}=5mˉ=4−116−1​=5: Im Mittel wächst fff pro Einheit von xxx um 555.

Mittlere Änderungsrate als Sekantensteigung

Mittlere Änderungsrate als SekantensteigungSchaubild von f(x) = x², Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 4.512345101520P(1, 1)Q(4, 16)Sekante m = 5f(x) = x²yx
Abb. 1Die mittlere Änderungsrate auf [1, 4][1,\,4][1,4] ist die Steigung der Sekante: mˉ=16−14−1=5\bar m=\tfrac{16-1}{4-1}=5mˉ=4−116−1​=5.
Abb. 1 ↓
Anschaulich verbindet die Sekante zwei Punkte und mittelt über alles, was dazwischen geschieht - ob die Funktion zwischendurch schneller oder langsamer anstieg, verschwindet in einem einzigen Mittelwert. Das genügt für eine Durchschnittsgeschwindigkeit oder einen Durchschnittsverbrauch, sagt aber nichts über einen einzelnen Augenblick aus.
Genau dort setzt die momentane Änderungsrate an: Lässt man das Intervall immer kleiner werden, bis x2x_{2}x2​ gegen x1x_{1}x1​ rückt, geht die Sekantensteigung in die Steigung in einem einzigen Punkt über - die Ableitung. Sie ist der Grenzwert der mittleren Änderungsraten und das Thema der nächsten Sektion.
Die Einheit jeder Änderungsrate ist „Einheit von yyy je Einheit von xxx": bei Weg in Metern und Zeit in Sekunden also Meter pro Sekunde, bei Kosten in Euro und Stückzahl eben Euro pro Stück. Diese Einheit IST bereits die Interpretation - sie im Sachkontext anzugeben gehört untrennbar zur vollständigen Antwort.
Das Vorzeichen der Rate verrät die Richtung: positiv bedeutet Zunahme, negativ Abnahme. Eine negative Rate bei einem sinkenden Bestand - etwa einer abnehmenden Wassermenge - ist also kein Fehler, sondern die korrekte Aussage „nimmt ab". Mit dieser Trennung von mittlerer und momentaner Änderung ist der Boden für den Ableitungsbegriff bereitet.

Vokabeln

→ Kartei
  • Differenzenquotient$\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$; mittlere Änderungsrate.
  • SekanteGerade durch zwei Punkte des Graphen.
  • absolute ÄnderungDifferenz zweier Funktionswerte.
  • relative ÄnderungÄnderung bezogen auf den Ausgangswert.
  • MittelwertsatzSichert eine Stelle mit momentaner gleich mittlerer Rate.
  • ÄnderungsrateÄnderung je Einheit der unabhängigen Größe.

Mittlerer Differenzenquotient (Sekantensteigung)

m‾=f(x2)−f(x1)x2−x1\overline{m}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}m=x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​

Die mittlere Änderungsrate über ein ganzes Intervall, geometrisch die Steigung der Sekante. Sie sagt nichts über einen einzelnen Zeitpunkt.

Musterbeispiel

Mittlere Änderungsrate berechnen und deuten

Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 im Intervall [1, 4][1,\,4][1,4] und interpretiere sie.

  1. 01Funktionswerte

    f(1)=1f(1)=1f(1)=1 und f(4)=16f(4)=16f(4)=16.

  2. 02Differenzenquotient

    mˉ=f(4)−f(1)4−1=16−13=5\bar m=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{16-1}{3}=5mˉ=4−1f(4)−f(1)​=316−1​=5.

  3. 03Deutung

    Im Intervall [1, 4][1,\,4][1,4] wächst fff im Durchschnitt um 555 Einheiten pro Einheit von xxx; die Sekante durch (1 ∣ 1)(1\,|\,1)(1∣1) und (4 ∣ 16)(4\,|\,16)(4∣16) hat die Steigung 555.

Ergebnis: Mittlere Änderungsrate mˉ=5\bar m=5mˉ=5 (Sekantensteigung).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen.

  2. 2

    Schrumpfst du das Intervall, erhältst du im Grenzfall die momentane Änderungsrate.

    Differentialquotient als Grenzwert

    Differentialquotient als GrenzwertSchaubild von f(x) = 3x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -0.5 bis 4.51234102030405060P(x₀, f(x₀))Q(x₀+h, f(x₀+h))TangenteSekantef(x) = 3x²yx
    Abb.Sekanten durch P(x0|f(x0)) wandern auf Tangente zu, wenn h gegen 0 geht.
  3. 3

    Beide Raten haben die Einheit yyy pro xxx - vergiss diese Einheit im Sachkontext nie.

Maturafokus

  • Unterscheide streng: Differenzenquotient ist die MITTLERE, Differentialquotient die MOMENTANE Änderungsrate.
  • Deute den Differenzenquotienten geometrisch als Sekantensteigung.
  • Gib jede Änderungsrate mit ihrer zusammengesetzten Einheit an, etwa Meter je Sekunde.
  • Berechne die absolute Änderung als Differenz, die relative als Quotient.
  • Nutze den Mittelwertsatz als Brücke: Irgendwo im Intervall gilt die mittlere Rate momentan.

Typische Fehler

  • Absolute und relative Änderung werden verwechselt.
  • Die Einheit der Änderungsrate fehlt.
  • Der Differenzenquotient wird als Wert statt als Steigung gedeutet.
  • Zähler und Nenner werden vertauscht.
  • Eine mittlere Rate wird als Aussage über jeden Zeitpunkt gelesen.

§ 01

Aktive Wiederholung

Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 im Intervall [1, 4][1,\,4][1,4] und interpretiere das Ergebnis.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF AN 1.1 Grundkompetenz (IQS)

§ 02
§ 02

Differentialquotient als Grenzwert#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAN-1.2

Kernpunkte

Die vorige Sektion endete mit einer Idee: Schrumpft das Intervall einer Sekante auf einen einzigen Punkt zusammen, entsteht die Steigung in genau diesem Punkt. Der Differentialquotient gießt diese Idee in eine Definition und ist damit das Herzstück der gesamten Differentialrechnung.
Man hält die Stelle x0x_{0}x0​ fest und betrachtet einen zweiten Punkt im Abstand hhh. Der Differenzenquotient f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}hf(x0​+h)−f(x0​)​ ist die Sekantensteigung. Lässt man nun h→0h\to 0h→0 gehen, wandert der zweite Punkt auf den ersten zu, und die Sekanten kippen in eine Grenzlage (). Existiert dieser Grenzwert, heißt er Differentialquotient f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}f′(x0​)=limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​.

Differentialquotient als Grenzwert

Differentialquotient als GrenzwertSchaubild von f(x) = 3x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -0.5 bis 4.51234102030405060P(x₀, f(x₀))Q(x₀+h, f(x₀+h))TangenteSekantef(x) = 3x²yx
Abb. 2Sekanten durch P(x0|f(x0)) wandern auf Tangente zu, wenn h gegen 0 geht.
Abb. 2 ↓
Geometrisch ist f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0 ∣ f(x0))(x_{0}\,|\,f(x_{0}))(x0​∣f(x0​)) - jener Geraden, die sich dem Graphen dort am besten anschmiegt. Während die Sekante zwei Punkte verbindet, berührt die Tangente nur einen einzigen; sie ist die „eingefrorene" Grenzlage der immer kürzeren Sekanten.
Konkret für f(x)=3x2f(x)=3x^{2}f(x)=3x2 an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2: Der Differenzenquotient 3(2+h)2−12h=12h+3h2h=12+3h\dfrac{3(2+h)^{2}-12}{h}=\dfrac{12h+3h^{2}}{h}=12+3hh3(2+h)2−12​=h12h+3h2​=12+3h lässt sich kürzen, und für h→0h\to 0h→0 bleibt f′(2)=12f'(2)=12f′(2)=12. Das hhh im Nenner, das zunächst eine Division durch (fast) Null droht, hebt sich also weg - genau das macht den Grenzübergang überhaupt sauber durchführbar.
Inhaltlich ist der Differentialquotient die momentane Änderungsrate: die Momentangeschwindigkeit als Ableitung des Weges, die momentane Wachstumsrate als Ableitung des Bestands. Er beantwortet die Frage „wie schnell JETZT?" - im Gegensatz zum Differenzenquotienten, der über ein ganzes Intervall mittelt.
Bildet man f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) an JEDER Stelle, so entsteht eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f′f'f′, die jeder Stelle die dortige Steigung zuordnet. In der Leibniz-Schreibweise steht dafür dfdx\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}dxdf​, die an den Differenzenquotienten ΔfΔx\dfrac{\Delta f}{\Delta x}ΔxΔf​ erinnert. Diese Ableitungsfunktion ist das Werkzeug, mit dem die nächste Sektion bequeme Ableitungsregeln entwickelt.

Vokabeln

→ Kartei
  • DifferentialquotientGrenzwert des Differenzenquotienten für $h\to0$.
  • h-MethodeHerleitung der Ableitung über den Grenzübergang.
  • TangenteGerade, die den Graphen im Punkt berührt.
  • DifferenzierbarkeitExistenz der Ableitung an einer Stelle.
  • GrenzwertWert, dem sich ein Ausdruck beliebig nähert.
  • Leibniz-Schreibweise$\tfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$; betont das Verhältnis der Änderungen.

Differentialquotient (Ableitung an einer Stelle)

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}f′(x0​)=h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​

Der Grenzwert der Sekantensteigungen ist die Tangentensteigung. Ohne den Grenzübergang bleibt es beim Differenzenquotienten.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗
Musterbeispiel

Differentialquotient explizit auswerten

Berechne f′(2)f'(2)f′(2) für f(x)=3x2f(x)=3x^{2}f(x)=3x2.

  1. 01Differenzenquotient

    f(2+h)−f(2)h=3(2+h)2−12h=12h+3h2h=12+3h\tfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\tfrac{3(2+h)^{2}-12}{h}=\tfrac{12h+3h^{2}}{h}=12+3hhf(2+h)−f(2)​=h3(2+h)2−12​=h12h+3h2​=12+3h.

  2. 02Grenzwert

    Für h→0h\to 0h→0: f′(2)=12f'(2)=12f′(2)=12.

Ergebnis: Die Tangentensteigung an der Stelle x=2x=2x=2 ist 121212.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Stell dir vor, dass der zweite Punkt der Sekante immer näher an den festen Punkt ruckt.

  2. 2

    Der Grenzwert dieses Quotienten ergibt die Tangentensteigung.

  3. 3

    So entsteht aus diskreten Werten ein Mass für die momentane Änderung.

Maturafokus

  • Schreibe den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0h\to0h→0.
  • Deute ihn geometrisch als Tangentensteigung im Punkt.
  • Führe die h-Methode bei einfachen Funktionen vollständig vor - der Prüfungsoperator verlangt das.
  • Beachte, dass die Ableitung an einer Knickstelle nicht existiert.
  • Nutze beide Schreibweisen f′(x)f'(x)f′(x) und dfdx\tfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}dxdf​ und deute die zweite als Verhältnis von Änderungen.

Typische Fehler

  • hhh wird vor dem Kürzen null gesetzt; der Bruch wird unbestimmt.
  • Der Grenzwert wird weggelassen; der Differenzenquotient bleibt stehen.
  • Die Ableitung an der Stelle wird mit der Ableitungsfunktion verwechselt.
  • Differenzierbarkeit wird bei einer Knickstelle behauptet.
  • Die Tangentensteigung wird mit dem Funktionswert verwechselt.

§ 02

Aktive Wiederholung

Bestimme mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung von f(x)=3x2f(x)=3x^{2}f(x)=3x2 an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Differentialquotient (IQS)

§ 03
§ 03

Ableitungsregeln und Standardableitungen#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAN-1.3

Kernpunkte

Den Differentialquotienten für jede Funktion mühsam als Grenzwert auszurechnen wäre unzumutbar. Stattdessen leitet man ihn EINMAL für die Bausteine her und gewinnt Regeln, mit denen sich jede zusammengesetzte Funktion fast mechanisch ableiten lässt - das ist der Grund, warum Ableiten in der Praxis so schnell geht.
Der wichtigste Baustein ist die Potenzregel (xn)′=n xn−1(x^{n})'=n\,x^{n-1}(xn)′=nxn−1: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne, und der neue Exponent ist um 111 kleiner. Mit ihr leitet man jedes Polynom Glied für Glied ab - aus x3x^{3}x3 wird 3x23x^{2}3x2, aus xxx wird 111, und eine Konstante wird zu 000.
Die Summenregel (f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g'(f+g)′=f′+g′ und die Faktorregel (c f)′=c f′(c\,f)'=c\,f'(cf)′=cf′ besagen, dass man Summanden einzeln ableiten und konstante Faktoren einfach stehen lassen darf. Ableiten ist also „linear" - diese beiden Regeln machen aus der Potenzregel sofort die Ableitung beliebiger Polynome.
Bei einem Produkt darf man NICHT die Faktoren einzeln ableiten; stattdessen gilt die Produktregel (f⋅g)′=f′g+fg′(f\cdot g)'=f'g+fg'(f⋅g)′=f′g+fg′ und die Quotientenregel (fg)′=f′g−fg′g2\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}(gf​)′=g2f′g−fg′​. Bei der Quotientenregel ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend (das Minuszeichen!), und der Nenner wird quadriert.
Verkettete Funktionen - eine Funktion in einer anderen, f(g(x))f(g(x))f(g(x)) - leitet die Kettenregel ab: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x), kurz „äußere mal innere Ableitung". Für g(x)=ln⁡(2x2+1)g(x)=\ln(2x^{2}+1)g(x)=ln(2x2+1) etwa ist die äußere Ableitung 12x2+1\dfrac{1}{2x^{2}+1}2x2+11​, mal der inneren 4x4x4x, also g′(x)=4x2x2+1g'(x)=\dfrac{4x}{2x^{2}+1}g′(x)=2x2+14x​. Die innere Ableitung zu vergessen ist der häufigste Fehler überhaupt.
Daneben muss man die Standardableitungen auswendig parat haben: (ex)′=ex(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}(ex)′=ex (die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist), (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}(lnx)′=x1​, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx und (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx. Mit diesen Bausteinen und den vier Regeln ist jede maturarelevante Funktion ableitbar - die Voraussetzung für Tangenten und Kurvendiskussion.

Vokabeln

→ Kartei
  • Potenzregel$(x^{n})'=n\,x^{n-1}$.
  • Produktregel$(uv)'=u'v+uv'$.
  • Quotientenregel$\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$.
  • KettenregelÄußere mal innere Ableitung.
  • innere FunktionTerm im Argument der äußeren Funktion.
  • StammfunktionFunktion, deren Ableitung die gegebene ist.

Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel

(c f)′=c f′,  (f+g)′=f′+g′,  (f⋅g)′=f′g+fg′,  (fg)′=f′g−fg′g2(c\,f)'=c\,f',\;(f+g)'=f'+g',\;(f\cdot g)'=f'g+fg',\;\left(\tfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}(cf)′=cf′,(f+g)′=f′+g′,(f⋅g)′=f′g+fg′,(gf​)′=g2f′g−fg′​

Vier Regeln für vier Termstrukturen. Ein Produkt darf gerade NICHT faktorweise abgeleitet werden - dafür gibt es die Produktregel.

Kettenregel

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist der Faktor, der am häufigsten vergessen wird.

Standard-Ableitungen

( xn )′=n xn−1,  ( ex )′=ex,  ( ln⁡x )′=1x,  ( sin⁡x )′=cos⁡x,  ( cos⁡x )′=−sin⁡x(\,x^{n}\,)'=n\,x^{n-1},\;(\,\mathrm{e}^{x}\,)'=\mathrm{e}^{x},\;(\,\ln x\,)'=\tfrac{1}{x},\;(\,\sin x\,)'=\cos x,\;(\,\cos x\,)'=-\sin x(xn)′=nxn−1,(ex)′=ex,(lnx)′=x1​,(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx

Die fünf Ableitungen, die man auswendig braucht. ex\mathrm{e}^{x}ex ist die einzige Funktion, die sich beim Ableiten nicht ändert.

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Musterbeispiel

Ableitung mit Produkt- und Kettenregel

Bilde f(x)=x2⋅e−xf(x)=x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}f(x)=x2⋅e−x ab.

  1. 01Produktregel

    f′(x)=2x⋅e−x+x2⋅e−x⋅(−1)f'(x)=2x\cdot \mathrm{e}^{-x}+x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}\cdot (-1)f′(x)=2x⋅e−x+x2⋅e−x⋅(−1).

  2. 02Zusammenfassen

    f′(x)=(2x−x2) e−x=x(2−x) e−xf'(x)=(2x-x^{2})\,\mathrm{e}^{-x}=x(2-x)\,\mathrm{e}^{-x}f′(x)=(2x−x2)e−x=x(2−x)e−x.

Ergebnis: f′(x)=x(2−x) e−xf'(x)=x(2-x)\,\mathrm{e}^{-x}f′(x)=x(2−x)e−x.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Identifiziere zuerst die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung?

  2. 2

    Wende die passende Regel an und merke die innere Ableitung in der Kettenregel.

    Kettenregel

    (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

    Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist der Faktor, der am häufigsten vergessen wird.

  3. 3

    Prüfe dein Ergebnis an einer einfachen Stelle, etwa x=0x=0x=0.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gib die Ableitung der Funktion f(x)=3x2⋅sin⁡xf(x)=3x^{2}\cdot \sin xf(x)=3x2⋅sinx an.

Maturafokus

  • Erkenne zuerst die STRUKTUR des Terms: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
  • Wende die Kettenregel als äußere mal innere Ableitung an und benenne beide.
  • Merke die Standardableitungen von Potenz, Sinus, Kosinus, Exponential- und Logarithmusfunktion.
  • Vereinfache den Term vor dem Ableiten, wenn das die Regel spart.
  • Kontrolliere das Ergebnis durch eine Plausibilitätsprobe an einer bekannten Stelle.

Typische Fehler

  • Die innere Ableitung der Kettenregel wird vergessen.
  • Ein Produkt wird faktorweise abgeleitet.
  • Im Zähler der Quotientenregel werden die Summanden vertauscht.
  • Konstante Faktoren gehen beim Ableiten verloren.
  • (ex)′(\mathrm{e}^{x})'(ex)′ wird als x ex−1x\,\mathrm{e}^{x-1}xex−1 nach der Potenzregel gebildet.

§ 03

Aktive Wiederholung

Differenziere g(x)=ln⁡(2x2+1)g(x)=\ln(2x^{2}+1)g(x)=ln(2x2+1).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Ableitungsregeln (BMBWF)

§ 04
§ 04

Tangentengleichung und Normalsteigung#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAN-1.3

Kernpunkte

Die Tangente ist die Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt und dort genau seine Steigung übernimmt. Da die Steigung an der Stelle x0x_{0}x0​ gerade f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) ist, lautet ihre Gleichung t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)t(x)=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})+f(x_{0})t(x)=f′(x0​)⋅(x−x0​)+f(x0​) - eine Punkt-Steigungs-Form mit der Ableitung als Steigung ().

Tangente an f(x) = x³ − 2x bei x₀ = 1

Tangente an f(x) = x³ − 2xSchaubild von f, Nullstellen bei x = -1.414, 0, 1.414, Hochpunkt bei (-0.816, 1.089), Tiefpunkt bei (0.816, -1.089), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2.2 bis 2.2−2−112−6−4−2246B(1, −1)t(x) = x − 2fyx
Abb. 3Die Tangente berührt den Graphen in B(1 ∣ −1)B(1\,|\,{-1})B(1∣−1) und hat dort die Steigung f′(1)=1f'(1)=1f′(1)=1.
Abb. 3 ↓
Anschaulich ist die Tangente die beste lineare Näherung der Funktion in der Umgebung des Berührpunktes: In einem kleinen Bereich um x0x_{0}x0​ unterscheidet sich die gekrümmte Kurve kaum von ihrer Tangente. Auf dieser Idee beruht das „lineare Ersetzen" komplizierter Funktionen, etwa bei Näherungen und Fehlerabschätzungen.
Zum Aufstellen braucht man genau zwei Zutaten: den Funktionswert f(x0)f(x_{0})f(x0​) (wo wird berührt?) und die Ableitung f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) (wie steil?). Für f(x)=x3−2xf(x)=x^{3}-2xf(x)=x3−2x bei x0=1x_{0}=1x0​=1 etwa ist f(1)=−1f(1)=-1f(1)=−1 und f′(x)=3x2−2f'(x)=3x^{2}-2f′(x)=3x2−2, also f′(1)=1f'(1)=1f′(1)=1; eingesetzt ergibt sich t(x)=1⋅(x−1)−1=x−2t(x)=1\cdot(x-1)-1=x-2t(x)=1⋅(x−1)−1=x−2.
Senkrecht zur Tangente steht im Berührpunkt die Normale. Da zueinander normale Geraden Steigungen mit dem Produkt −1-1−1 haben, ist ihre Steigung der negative Kehrwert −1f′(x0)-\dfrac{1}{f'(x_{0})}−f′(x0​)1​ (sofern f′(x0)≠0f'(x_{0})\neq 0f′(x0​)=0). Die Normale wird für Konstruktions- und optische Aufgaben (Reflexion an einer Kurve) gebraucht.
Ist f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0, verläuft die Tangente waagrecht und die Normale senkrecht (deren Steigung ist nicht definiert). Sucht man umgekehrt alle Tangenten, die durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen, setzt man die Tangentengleichung mit diesem Punkt an - das liefert eine Bestimmungsgleichung für die unbekannte Berührstelle x0x_{0}x0​.
Auf der Tangente beruht auch das Newton-Verfahren: Man ersetzt die Funktion lokal durch ihre Tangente und nimmt deren Nullstelle als verbesserte Näherung für eine Nullstelle von fff - schrittweise wiederholt liefert das sehr genaue Werte. Die Tangente ist damit nicht nur Anschauung, sondern ein praktisches Rechenwerkzeug, das zur Kurvendiskussion (Thema AN 2) überleitet.

Vokabeln

→ Kartei
  • TangenteGerade mit der Steigung $f'(x_{0})$ durch den Kurvenpunkt.
  • NormaleGerade senkrecht zur Tangente im Berührpunkt.
  • BerührpunktGemeinsamer Punkt von Kurve und Tangente.
  • NormalsteigungNegativer Kehrwert der Tangentensteigung.
  • Punkt-Steigungs-Form$y-y_{0}=k\,(x-x_{0})$.
  • waagrechte TangenteTangente mit der Steigung null.

Tangentengleichung

t(x)=f′(x0) (x−x0)+f(x0)t(x)=f'(x_{0})\,(x-x_{0})+f(x_{0})t(x)=f′(x0​)(x−x0​)+f(x0​)

Punkt-Steigungs-Form mit der Ableitung als Steigung. Funktionswert und Ableitung sind an derselben Stelle auszuwerten.

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Musterbeispiel

Tangente an Kubikfunktion

Tangente an f(x)=x3−2xf(x)=x^{3}-2xf(x)=x3−2x im Punkt x0=1x_{0}=1x0​=1.

  1. 01Funktionswert

    f(1)=1−2=−1f(1)=1-2=-1f(1)=1−2=−1.

  2. 02Ableitung

    f′(x)=3x2−2f'(x)=3x^{2}-2f′(x)=3x2−2, also f′(1)=1f'(1)=1f′(1)=1.

  3. 03Tangente

    t(x)=1⋅(x−1)−1=x−2t(x)=1\cdot(x-1)-1=x-2t(x)=1⋅(x−1)−1=x−2.

Ergebnis: Tangentengleichung: t(x)=x−2t(x)=x-2t(x)=x−2.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die Tangente ist die Gerade, die den Graphen genau in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat.

  2. 2

    Du brauchst Funktionswert und Ableitung an der Berührstelle.

  3. 3

    Die Normale steht senkrecht auf der Tangente; ihre Steigung ist der negative Kehrwert.

Maturafokus

  • Stelle die Tangente über y=f(x0)+f′(x0) (x−x0)y=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0})y=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​) auf.
  • Berechne beides getrennt: den Funktionswert für den Punkt und die Ableitung für die Steigung.
  • Bilde die Normalsteigung als negativen Kehrwert −1f′(x0)-\tfrac{1}{f'(x_{0})}−f′(x0​)1​.
  • Beachte die Sonderfälle: waagrechte Tangente hat senkrechte Normale.
  • Prüfe zum Schluss, ob der Berührpunkt die Tangentengleichung erfüllt.

Typische Fehler

  • Der Funktionswert wird als Steigung eingesetzt.
  • Beim Kehrwert der Normalsteigung fehlt das Minus.
  • Die Ableitung wird an der falschen Stelle ausgewertet.
  • Die Tangente wird mit einer Sekante verwechselt.
  • Der Berührpunkt wird nicht kontrolliert.

§ 04

Aktive Wiederholung

Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)=x3−2xf(x)=x^{3}-2xf(x)=x3−2x im Punkt x0=1x_{0}=1x0​=1.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Tangentenproblem (IQS)

§ 05
§ 05

Anwendungen: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wachstumsraten#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAN-1.1LPAN-1.3

Kernpunkte

Die Ableitung ist die Mathematik der Änderungsraten - und Änderungsraten stecken überall im Sachkontext. Ihr roter Faden ist einfach: Hat man eine Bestandsfunktion, so liefert deren Ableitung die zugehörige Rate, und das Vorzeichen der Rate sagt, ob der Bestand gerade wächst oder fällt.
In der Physik ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit, v(t)=s′(t)v(t)=s'(t)v(t)=s′(t), und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit, a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t)=v'(t)=s''(t)a(t)=v′(t)=s′′(t). Aus einem Weg-Zeit-Gesetz s(t)=5t2+2ts(t)=5t^{2}+2ts(t)=5t2+2t folgt also v(t)=10t+2v(t)=10t+2v(t)=10t+2 und a(t)=10a(t)=10a(t)=10 - eine konstante Beschleunigung.
In Wachstumsmodellen ist die Wachstumsrate die Ableitung des Bestands. Für eine exponentielle Population N(t)=120 e0,06tN(t)=120\,\mathrm{e}^{0{,}06t}N(t)=120e0,06t etwa ist N′(t)=7,2 e0,06tN'(t)=7{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}06t}N′(t)=7,2e0,06t - selbst wieder exponentiell, was die Besonderheit der e\mathrm{e}e-Funktion widerspiegelt: ihre Änderungsrate ist proportional zum Bestand.
In der Wirtschaftsmathematik heißt die Ableitung der Kostenfunktion Grenzkostenfunktion K′(x)K'(x)K′(x): Sie gibt näherungsweise die Kosten der nächsten produzierten Einheit an. Analog gibt es Grenzerlös und Grenzgewinn - überall ist die Vorsilbe „Grenz-" das Stichwort für „Ableitung von".
Eine Maturaaufgabe verlangt fast immer Rechnung PLUS Interpretation im Sachkontext, samt Einheit. „N′(5)≈9,7N'(5)\approx 9{,}7N′(5)≈9,7" allein genügt nicht; es muss heißen: „Nach 555 Jahren wächst die Population um etwa 9,79{,}79,7 Tiere pro Jahr." Die Einheit der Ableitung ist stets Einheit-des-Bestands je Einheit-der-Variablen.
Schon das Vorzeichen der Ableitung erlaubt qualitative Aussagen: f′>0f'>0f′>0 bedeutet Zunahme, f′<0f'<0f′<0 Abnahme und f′=0f'=0f′=0 einen stationären Augenblick mit waagrechter Tangente. Genau diese Vorzeichenbetrachtung systematisiert die nächste Sektion zur Untersuchung von Monotonie und Extrema.

Vokabeln

→ Kartei
  • MomentangeschwindigkeitErste Ableitung des Weges nach der Zeit.
  • BeschleunigungZweite Ableitung des Weges nach der Zeit.
  • WachstumsrateAbleitung eines Bestands nach der Zeit.
  • VorzeichendeutungZunahme bei positiver, Abnahme bei negativer Ableitung.
  • GrenzkostenAbleitung der Kostenfunktion nach der Menge.
  • EinheitenkontrollePrüfung der zusammengesetzten Einheit als Rechenkontrolle.

Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen

v(t)=s′(t),a(t)=v′(t)=s′′(t)v(t)=s'(t),\quad a(t)=v'(t)=s''(t)v(t)=s′(t),a(t)=v′(t)=s′′(t)

Ableiten heißt physikalisch: eine Stufe weiter in der Änderung. Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung tragen jeweils eine andere Einheit.

Musterbeispiel

Geschwindigkeit und Beschleunigung aus dem Weg-Zeit-Gesetz

Die zurückgelegte Wegstrecke eines Fahrzeugs ist s(t)=5t2+2ts(t)=5t^{2}+2ts(t)=5t2+2t (sss in Metern, ttt in Sekunden). Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung nach t=3t=3t=3 s.

  1. 01Geschwindigkeit

    Erste Ableitung: v(t)=s′(t)=10t+2v(t)=s'(t)=10t+2v(t)=s′(t)=10t+2, also v(3)=32v(3)=32v(3)=32 (in m/s).

  2. 02Beschleunigung

    Zweite Ableitung: a(t)=v′(t)=10a(t)=v'(t)=10a(t)=v′(t)=10 - konstant (in m/s²).

  3. 03Deutung

    Nach 333 s bewegt sich das Fahrzeug mit 323232 m/s und beschleunigt gleichmäßig mit 101010 m/s².

Ergebnis: v(3)=32v(3)=32v(3)=32 m/s und a(3)=10a(3)=10a(3)=10 m/s² (konstante Beschleunigung).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die Ableitung verbindet Bestandsmodelle direkt mit Änderungsraten.

  2. 2

    In der Physik entspricht die erste Ableitung der Geschwindigkeit, die zweite der Beschleunigung.

  3. 3

    Prüfe in der Wirtschaft, ob die Aufgabe Grenzkosten, Grenzerlöse oder Grenzgewinn verlangt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Population eines geschützten Vogels wird durch N(t)=120 e0,06 tN(t)=120\,\mathrm{e}^{0{,}06\,t}N(t)=120e0,06t (ttt in Jahren ab Schutzbeginn) modelliert. Berechne die momentane Wachstumsrate nach 555 Jahren und interpretiere sie.

Maturafokus

  • Ordne die Ableitungen physikalisch zu: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung.
  • Deute das Vorzeichen der Ableitung als Richtung der Änderung.
  • Gib jede Größe mit ihrer zusammengesetzten Einheit an.
  • Übersetze „momentan" konsequent in die Ableitung, „im Mittel" in den Differenzenquotienten.
  • Prüfe die Größenordnung des Ergebnisses gegen den Sachverhalt.

Typische Fehler

  • Geschwindigkeit und Beschleunigung werden vertauscht.
  • Das Vorzeichen wird nicht gedeutet.
  • Die Einheit der Ableitung fehlt oder ist falsch zusammengesetzt.
  • Mittlere und momentane Rate werden vermischt.
  • Die Antwort bleibt eine Zahl ohne Rückdeutung in den Sachkontext.

§ 05

Aktive Wiederholung

Die zurückgelegte Wegstrecke eines Fahrzeugs ist s(t)=5t2+2ts(t)=5t^{2}+2ts(t)=5t2+2t. Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung nach t=3t=3t=3 s.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Anwendungen Differentialrechnung (Mathago)

§ 06
§ 06

Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPAN-1.3

Kernpunkte

Da die Ableitung f′f'f′ selbst wieder eine Funktion ist, darf man sie erneut ableiten. So entsteht die zweite Ableitung f′′=(f′)′f''=(f')'f′′=(f′)′, durch nochmaliges Ableiten die dritte f′′′f'''f′′′ und allgemein die nnn-te Ableitung f(n)f^{(n)}f(n). Bei einem Polynom sinkt der Grad mit jeder Ableitung um 111, bis schließlich eine Konstante und dann 000 übrig bleibt.
Während f′f'f′ angibt, wie sich fff ändert, gibt f′′f''f′′ an, wie sich f′f'f′ ändert - also wie sich die Steigung selbst verändert. Das ist die „Steigung der Steigung" und beschreibt das Krümmungsverhalten: Wächst die Steigung (f′′>0f''>0f′′>0), krümmt sich der Graph nach links (konvex); nimmt sie ab (f′′<0f''<0f′′<0), nach rechts (konkav).
Physikalisch ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit die Beschleunigung, a(t)=s′′(t)a(t)=s''(t)a(t)=s′′(t) - die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Eine konstante zweite Ableitung bedeutet also gleichmäßige Beschleunigung, eine verschwindende (a=0a=0a=0) eine konstante Geschwindigkeit.
Für f(x)=x4−2x2f(x)=x^{4}-2x^{2}f(x)=x4−2x2 etwa ergibt sich f′(x)=4x3−4xf'(x)=4x^{3}-4xf′(x)=4x3−4x, dann f′′(x)=12x2−4f''(x)=12x^{2}-4f′′(x)=12x2−4 und f′′′(x)=24xf'''(x)=24xf′′′(x)=24x - mit jeder Ableitung wird der Grad um eins kleiner. Die nächste Ableitung f(4)=24f^{(4)}=24f(4)=24 ist konstant, danach folgt 000.
Das praktisch Wichtigste: Die zweite Ableitung liefert das Kriterium zur Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten. An einer Stelle mit waagrechter Tangente (f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0) liegt bei f′′(x0)<0f''(x_{0})<0f′′(x0​)<0 ein Hochpunkt (der Graph ist dort rechtsgekrümmt), bei f′′(x0)>0f''(x_{0})>0f′′(x0​)>0 ein Tiefpunkt (linksgekrümmt).
Nullstellen der zweiten Ableitung wiederum markieren mögliche Wendepunkte, an denen die Krümmung umschlägt. Höhere Ableitungen sind damit kein Selbstzweck, sondern das Handwerkszeug der vollständigen Kurvendiskussion (nächstes Thema), in der f′f'f′ über Monotonie und Extrema und f′′f''f′′ über Krümmung und Wendepunkte entscheidet.

Vokabeln

→ Kartei
  • zweite AbleitungAbleitung der Ableitungsfunktion.
  • KrümmungVerhalten des Graphen, beschrieben durch $f''$.
  • Linkskrümmung$f''>0$; der Graph ist nach oben geöffnet.
  • Rechtskrümmung$f''<0$; der Graph ist nach unten geöffnet.
  • WendepunktStelle mit Krümmungswechsel.
  • hinreichendes KriteriumBedingung, die die Art des Extremums sichert.

Zweite Ableitung und Beschleunigung

f′′(x)=ddx(f′(x)),a(t)=s′′(t)f''(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f'(x)\big),\qquad a(t)=s''(t)f′′(x)=dxd​(f′(x)),a(t)=s′′(t)

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung des Graphen und physikalisch die Beschleunigung. Sie ist nicht das Quadrat der ersten.

Musterbeispiel

Ableitungen eines Polynoms

Bestimme die ersten drei Ableitungen von f(x)=x4−2x2f(x)=x^{4}-2x^{2}f(x)=x4−2x2.

  1. 01Erste Ableitung

    f′(x)=4x3−4xf'(x)=4x^{3}-4xf′(x)=4x3−4x.

  2. 02Zweite Ableitung

    f′′(x)=12x2−4f''(x)=12x^{2}-4f′′(x)=12x2−4.

  3. 03Dritte Ableitung

    f′′′(x)=24xf'''(x)=24xf′′′(x)=24x.

Ergebnis: f′(x)=4x3−4xf'(x)=4x^{3}-4xf′(x)=4x3−4x, f′′(x)=12x2−4f''(x)=12x^{2}-4f′′(x)=12x2−4, f′′′(x)=24xf'''(x)=24xf′′′(x)=24x.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die zweite Ableitung erhältst du, indem du die erste Ableitung erneut ableitest.

  2. 2

    Sie beschreibt, wie sich die Steigung selbst verändert, also die Krümmung.

  3. 3

    In der Physik ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit die Beschleunigung.

Maturafokus

  • Ordne der zweiten Ableitung das KRÜMMUNGSVERHALTEN zu: positiv linksgekrümmt, negativ rechtsgekrümmt.
  • Nutze die zweite Ableitung als hinreichendes Kriterium bei Extremstellen.
  • Deute die zweite Ableitung im Sachkontext, etwa als Beschleunigung.
  • Beachte, dass ein Wendepunkt eine Nullstelle der zweiten Ableitung MIT Vorzeichenwechsel verlangt.
  • Leite schrittweise ab und schreibe jede Stufe an - so bleiben Vorzeichenfehler sichtbar.

Typische Fehler

  • f′′f''f′′ wird als Quadrat von f′f'f′ gelesen.
  • Aus f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 wird ohne Vorzeichenwechsel auf einen Wendepunkt geschlossen.
  • Die zweite Ableitung wird bei der Extremwertprüfung nicht ausgewertet.
  • Krümmungsrichtung und Monotonie werden verwechselt.
  • Beim mehrfachen Ableiten wird die Kettenregel nur einmal angewandt.

§ 06

Aktive Wiederholung

Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von f(x)=x4−2x2f(x)=x^{4}-2x^{2}f(x)=x4−2x2.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Differentialrechnung AHS (IQS)

Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Mittlere und momentane Änderungsrate○
    • 02Differentialquotient als Grenzwert◐
    • 03Ableitungsregeln und Standardableitungen◐
    • 04Tangentengleichung und Normalsteigung◐
    • 05Anwendungen: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wachstumsraten◐
    • 06Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung◐

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und Ableitungsregeln

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

~18
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Beispielfrage

Gib die Ableitung der Funktion f(x)=3x2⋅sin⁡xf(x)=3x^{2}\cdot \sin xf(x)=3x2⋅sinx an.

3 BE · 2019

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Belege & Quellen

Quellen

IQS

  • BMBWF AN 1.1 Grundkompetenz

BMBWF

  • BMBWF Formelheft Ableitungsregeln

Mathago

  • Mathago Anwendungen Differentialrechnung

Siehe auch

  • AN 2 - Kurvendiskussion und OptimierungExtrema und Wendepunkte werden vollständig über die Ableitungen bestimmt.
  • AN 3 - Integralrechnung und AnwendungenIntegrieren ist die Umkehrung des Ableitens; beide sind über den Hauptsatz verbunden.
  • FA 1 - Funktionsbegriff, lineare und PotenzfunktionenDie Steigung der Geraden ist der einfachste Fall der Ableitung.

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FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen

Nächstes Thema

AN 2 - Kurvendiskussion und Optimierung

EuraStudy·Notizen T·08·MMXXVI

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