Elektrizität - Ladung, Feld, Strom und Kondensator — Physik · Matura-Zusammenfassung

Elektrostatik und Coulomb-Gesetz#

~4 Min LesezeitBasisPHY-EM-4.1

Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung, positiv und negativ; gleichnamige stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Ladung ist quantisiert, das heißt sie tritt nur in Vielfachen der Elementarladung

e=1{,}602\cdot 10^{-19}

C auf, und in einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten.

Die Kraft zwischen zwei Punktladungen beschreibt das Coulomb-Gesetz

F=k\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}

mit

k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}988\cdot 10^{9}

Nm

^{2}

/C

^{2}

. Es hat dieselbe

1/r^{2}

-Form wie das Gravitationsgesetz, ist aber um viele Größenordnungen stärker - zwischen Elementarteilchen dominiert die elektrische Kraft völlig über die Gravitation.

Statt von Fernwirkung spricht man vom elektrischen Feld als Vermittler: Die Feldstärke

\vec E=\vec F/q

(Einheit V/m bzw. N/C) gibt die Kraft an, die eine kleine Probeladung an einem Ort erfährt (). Das Feld existiert auch dort, wo gerade keine Probeladung ist.

Elektrisches Feld - zwei Punktladungen

Abb. 1Feldlinien laufen von + zu -; Liniendichte zeigt Feldstärke.

Abb. 1 ↓

Anschaulich macht man das Feld durch Feldlinien: Sie beginnen an positiven Ladungen und enden an negativen, kreuzen sich nie, und ihre Dichte zeigt die Feldstärke an. So lässt sich der Feldverlauf eines Dipols oder Plattenkondensators auf einen Blick erfassen.

Zur Energie führt das elektrische Potenzial

\varphi

(Energie pro Ladung); die Spannung

U=\varphi_{1}-\varphi_{2}

ist die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten. Während

\vec E

ein Vektor ist, sind Potenzial und Spannung skalare Größen - eine Unterscheidung, die in der Matura oft geprüft wird.

Im Plattenkondensator ist das Feld homogen (überall gleich groß und gleich gerichtet), und es gilt der einfache Zusammenhang

E=U/d

zwischen Feldstärke, angelegter Spannung und Plattenabstand. Das ist die Grundlage vieler Aufgaben zur Beschleunigung geladener Teilchen.

Vokabeln

→ Kartei

Coulomb-GesetzKraft zwischen zwei Punktladungen; proportional zum Produkt der Ladungen und zu $\tfrac{1}{r^{2}}$.
elektrische FeldstärkeKraft je Ladung, $\vec E=\tfrac{\vec F}{q}$; Vektor in $\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$.
PotenzialPotentielle Energie je Ladung; Skalar in Volt.
FeldlinieGedachte Linie in Richtung der Feldstärke; sie beginnt an positiven und endet an negativen Ladungen.
homogenes FeldFeld gleicher Stärke und Richtung, etwa zwischen den Platten eines Kondensators.
InfluenzLadungstrennung in einem Leiter durch ein äußeres Feld.

Coulomb-Gesetz

F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}

$q_{1}$ und $q_{2}$ sind die Ladungen in C, $r$ ihr Abstand in m, $\varepsilon_{0}=8{,}854\cdot10^{-12}\,\tfrac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}$ die elektrische Feldkonstante. Der Vorfaktor beträgt rund $8{,}99\cdot10^{9}$ ; die $\tfrac{1}{r^{2}}$ -Abhängigkeit ist dieselbe wie bei der Gravitation.

Elektrische Feldstärke

\vec E=\dfrac{\vec F}{q},\quad |\vec E|=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{|Q|}{r^{2}}

$\vec E$ ist ein Vektor in $\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ , gleichbedeutend mit $\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$ . Die zweite Form gilt für das Radialfeld einer Punktladung, nicht für den Plattenkondensator.

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Musterbeispiel

Coulomb-Kraft im Wasserstoffatom (klassisch)

Berechne die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (Abstand $r=5{,}29\cdot 10^{-11}$ m).

Werte
$e=1{,}602\cdot 10^{-19}$ C; $k=8{,}988\cdot 10^{9}$ Nm $^{2}$ /C $^{2}$ .
Formel
$F=k\dfrac{e^{2}}{r^{2}}$ .
Einsetzen
$F=8{,}988\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{(1{,}602\cdot 10^{-19})^{2}}{(5{,}29\cdot 10^{-11})^{2}}\approx 8{,}24\cdot 10^{-8}$ N.

Ergebnis: Anziehungskraft $\approx 8{,}2\cdot 10^{-8}$ N - das ist die Zentripetalkraft im Bohrschen Modell.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Im Coulomb-Gesetz steckt eine 1/r-Quadrat-Abhängigkeit, ganz ähnlich wie bei der Gravitation.
Elektrisches Feld - zwei Punktladungen
Abb.Feldlinien laufen von + zu -; Liniendichte zeigt Feldstärke.
2
Das elektrische Feld ist die Kraftwirkung pro Probeladung.
3
Im Plattenkondensator ist das Feld homogen und gleich U durch d.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere das Coulomb-Gesetz und vergleiche es mit dem Gravitationsgesetz nach Newton. Berechne die Coulomb-Kraft zwischen zwei Punktladungen

q_{1}=+2\,\mu

C und

q_{2}=+4\,\mu

C im Abstand

r=0{,}10

m.

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Typische Fehler

Die Coulomb-Konstante wird mit einer anderen Naturkonstanten verwechselt; sie beträgt rund $8{,}99\cdot10^{9}\,\tfrac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{C}^{2}}$ .
Der Plattenabstand wird in Zentimeter eingesetzt statt in Meter.
Bei mehreren Ladungen werden die Kraftbeträge addiert statt die Vektoren.
Feldstärke und Potenzial werden gleichgesetzt; die eine ist die Änderung des anderen je Weg.
Die $\tfrac{1}{r^{2}}$ -Abhängigkeit wird als $\tfrac{1}{r}$ gerechnet; die halbe Entfernung vervierfacht die Kraft.

Aktive Wiederholung

Zwei Ladungen $q_{1}=+5\,\mu$ C und $q_{2}=-3\,\mu$ C befinden sich im Abstand $0{,}20$ m. Berechne die Coulomb-Kraft auf $q_{2}$ und gib die Richtung an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: OpenStax College Physics - Electric Charge and Field (OpenStax)

Gleichstromkreise und Kirchhoff#

~4 Min LesezeitBasisPHY-EM-4.2

Ein elektrischer Strom ist gerichteter Ladungstransport; die Stromstärke

I=\Delta Q/\Delta t

(Einheit Ampere) gibt die pro Sekunde durch einen Querschnitt fließende Ladung an. Die Spannung

U=W/Q

(Einheit Volt) ist die pro Ladung verrichtete Arbeit - sie ist der „Antrieb", der die Ladungen durch den Kreis treibt.

Für ohmsche Widerstände gilt das ohmsche Gesetz

U=R\,I

: Strom und Spannung sind proportional, der Widerstand

R

ist die konstante Steigung der linearen

I

-

U

-Kennlinie (). Bauteile wie Glühlampen oder Dioden sind dagegen nichtohmsch - ihre Kennlinie ist gekrümmt.

I-U-Kennlinie eines ohmschen Widerstandes

Abb. 3Lineare Beziehung; Steigung 1/R.

Abb. 3 ↓

Verzweigte Netzwerke beherrscht man mit den Kirchhoffschen Regeln: Die Knotenregel (

\sum I=0

) folgt aus der Ladungserhaltung (was hineinfließt, fließt heraus), die Maschenregel (

\sum U=0

) aus der Energieerhaltung (über jede geschlossene Schleife summieren sich die Spannungen zu null).

In der Reihenschaltung fließt überall derselbe Strom, und die Widerstände addieren sich:

R_{ges}=\sum R_{i}

. In der Parallelschaltung liegt an allen Zweigen dieselbe Spannung, und die Kehrwerte addieren sich:

1/R_{ges}=\sum 1/R_{i}

- der Gesamtwiderstand ist dann kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Die elektrische Leistung ist

P=U\,I

, die in einer Zeit

t

umgesetzte Energie

W=P\,t

. Im Alltag wird sie in Kilowattstunden abgerechnet (

1

kWh

=3{,}6\cdot 10^{6}

J) - daraus lassen sich Energiekosten eines Geräts direkt berechnen.

Jede Stromrechnung beginnt mit einer sauberen Schaltskizze und festgelegten Strom- und Spannungsrichtungen (). Gemischte Schaltungen fasst man schrittweise zusammen: erst Parallel- und Reihengruppen zu Ersatzwiderständen, dann den Gesamtstrom, schließlich rückwärts die Teilspannungen und Teilströme.

Einfacher Stromkreis - Spannungsquelle, R, A, V

Abb. 2Voltmeter parallel zum Verbraucher, Amperemeter in Serie.

Abb. 2 ↓

Vokabeln

→ Kartei

KnotenregelErste Kirchhoffsche Regel: Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist null.
MaschenregelZweite Kirchhoffsche Regel: Die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche ist null.
ReihenschaltungBauteile hintereinander; gleicher Strom, Spannungen addieren sich.
ParallelschaltungBauteile nebeneinander; gleiche Spannung, Ströme addieren sich.
ohmsches Gesetz$U=R\cdot I$; gilt für ohmsche Widerstände bei konstanter Temperatur.
KilowattstundeEnergieeinheit der Abrechnung; $1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\cdot10^{6}\,\mathrm{J}$.

Ohmsches Gesetz und elektrische Leistung

U=R\,I,\quad P=U\,I=I^{2}R=\dfrac{U^{2}}{R}

$U$ in V, $I$ in A, $R$ in $\Omega$ . Die drei Leistungsformen sind gleichwertig - man wählt jene, in der die gegebenen Größen vorkommen. Das ohmsche Gesetz gilt nur bei konstanter Temperatur und nicht für Dioden.

Parallelschaltung

\dfrac{1}{R_{ges}}=\sum\dfrac{1}{R_{i}}

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist stets KLEINER als der kleinste Einzelwiderstand. In der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände dagegen unmittelbar.

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Musterbeispiel

Gemischte Schaltung

In einer Schaltung sind zwei Widerstände $R_{1}=20\,\Omega$ und $R_{2}=30\,\Omega$ in Reihe geschaltet; parallel zur Reihe liegt $R_{3}=60\,\Omega$ . An die Anordnung wird $U=12$ V gelegt. Berechne Gesamtwiderstand, Strom und Spannung an $R_{1}$ .

Reihe
$R_{12}=R_{1}+R_{2}=50\,\Omega$ .
Parallel
$R_{ges}=(1/R_{12}+1/R_{3})^{-1}=(1/50+1/60)^{-1}\approx 27{,}3\,\Omega$ .
Gesamtstrom
$I_{ges}=U/R_{ges}=12/27{,}3\approx 0{,}44$ A.
Strom im Reihenzweig
$I_{12}=U/R_{12}=12/50=0{,}24$ A.
Spannung an R1
$U_{1}=I_{12}\cdot R_{1}=0{,}24\cdot 20=4{,}8$ V.

Ergebnis: $R_{ges}\approx 27{,}3\,\Omega$ , $I_{ges}\approx 0{,}44$ A, $U_{1}\approx 4{,}8$ V.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Im Gleichstromkreis verbinden Ohms Gesetz und die Kirchhoff-Regeln Spannungen, Ströme und Widerstände.
Einfacher Stromkreis - Spannungsquelle, R, A, V
Abb.Voltmeter parallel zum Verbraucher, Amperemeter in Serie.
2
Bei der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände, bei der Parallelschaltung die Leitwerte.
3
Die elektrische Leistung folgt aus P gleich U mal I.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre die Kirchhoffschen Regeln und wende sie auf eine gemischte Schaltung mit

R_{1}=10\,\Omega

,

R_{2}=20\,\Omega

parallel, in Reihe mit

R_{3}=15\,\Omega

an einer Spannung von

24

V an. Berechne den Gesamtstrom und die Spannungen an den Widerständen.

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Typische Fehler

Der Parallelwiderstand wird als Summe gebildet statt als Kehrwertsumme.
Der Spannungsabfall am Innenwiderstand der Quelle wird vergessen; die Klemmenspannung sinkt unter die Leerlaufspannung.
Leistung und Energie werden verwechselt; die eine wird in W, die andere in Wh oder J gemessen.
Bei der Maschenregel werden die Vorzeichen nicht konsequent gegen den Umlaufsinn geführt.
In der Reihenschaltung wird an jedem Bauteil dieselbe Spannung angenommen; gleich ist dort der STROM.

Aktive Wiederholung

Ein Wasserkocher hat $2000$ W bei $230$ V. Welchen Widerstand hat er, welcher Strom fließt? Wie viel kostet es, $1$ L Wasser von $15^{\circ}$ C auf $100^{\circ}$ C zu erhitzen, wenn der Tarif $0{,}30$ EUR/kWh beträgt und der Kocher den Wirkungsgrad $90\%$ hat?

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Quellen: OpenStax College Physics - DC Circuits (OpenStax)

Kondensator und Energiespeicher#

~4 Min LesezeitStandardPHY-EM-4.3

Ein Kondensator speichert elektrische Ladung und damit Energie im elektrischen Feld zwischen zwei leitenden Flächen. Seine Kapazität

C=Q/U

(Einheit Farad, F

=

C/V) gibt an, wie viel Ladung er pro Volt aufnehmen kann - ein großes

C

bedeutet viel Ladung bei wenig Spannung.

Für den Plattenkondensator gilt

C=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\dfrac{A}{d}

(): Die Kapazität wächst mit der Plattenfläche und sinkt mit dem Abstand. Ein Dielektrikum zwischen den Platten erhöht sie zusätzlich um den Faktor

\varepsilon_{r}

, weil es das Feld teilweise abschwächt.

Plattenkondensator - homogenes Feld

Abb. 4Zwischen den Platten ist das Feld homogen:

E=U/d

. Die Kapazität ist

C=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A/d

.

Abb. 4 ↓

Die im geladenen Kondensator gespeicherte Energie ist

E_{C}=\tfrac{1}{2}C U^{2}=\tfrac{1}{2}Q U

. Der Faktor

\tfrac{1}{2}

ist wichtig (nicht

QU

): Er entsteht, weil die Spannung während des Ladens von null bis

U

ansteigt und im Mittel nur

U/2

wirkt.

Bei der Schaltung verhalten sich Kondensatoren genau umgekehrt zu Widerständen: In der Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten (

C=\sum C_{i}

), in der Reihenschaltung die Kehrwerte (

1/C=\sum 1/C_{i}

). Das ist eine beliebte Verwechslungsfalle.

Über einen Widerstand

R

lädt und entlädt sich ein Kondensator nicht sprunghaft, sondern exponentiell:

U_{C}(t)=U_{0}(1-e^{-t/RC})

beim Laden,

U_{0}e^{-t/RC}

beim Entladen. Die Zeitkonstante

\tau=RC

bestimmt das Tempo; nach etwa

5\tau

ist der Vorgang praktisch abgeschlossen.

Kondensatoren sind überall dort im Einsatz, wo Energie schnell gespeichert oder abgegeben werden muss: im Blitzgerät der Kamera, im Defibrillator, zur Glättung pulsierender Gleichspannung und als Schwingkreis-Bauteil in der Hochfrequenztechnik.

Vokabeln

→ Kartei

KapazitätLadung je Spannung, $C=\tfrac{Q}{U}$; Einheit Farad.
PlattenkondensatorZwei parallele Leiterplatten; $C=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\tfrac{A}{d}$.
DielektrikumIsolator zwischen den Platten; erhöht die Kapazität um $\varepsilon_{r}$.
Zeitkonstante$\tau=R\,C$; charakteristische Lade- bzw. Entladezeit.
FeldenergieIm elektrischen Feld gespeicherte Energie, $E=\tfrac{1}{2}C\,U^{2}$.
DurchschlagsfestigkeitHöchste Feldstärke, die ein Isolator ohne Durchschlag aushält.

Kondensator: Kapazität, Energie, Plattenkondensator

C=\dfrac{Q}{U},\quad E_{C}=\tfrac{1}{2}C U^{2},\quad C_{Platte}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\dfrac{A}{d}

$Q$ ist die Ladung in C, $U$ die Spannung, $A$ die Plattenfläche, $d$ der Plattenabstand und $\varepsilon_{r}$ die Dielektrizitätszahl des Isolators. Der Faktor $\tfrac{1}{2}$ in der Energie stammt daraus, dass die Spannung beim Laden erst linear anwächst.

Zeitkonstante RC-Glied

\tau=R\,C

$R$ in $\Omega$ , $C$ in F ergibt $\tau$ in Sekunden. Nach einer Zeitkonstanten sind rund 63 % der Endladung erreicht, nach fünf praktisch 100 %.

Musterbeispiel

Plattenkondensator

$A=0{,}050$ m $^{2}$ , $d=0{,}5$ mm, $U=100$ V, $\varepsilon_{r}=1$ .

Kapazität
$C=\varepsilon_{0}A/d=8{,}854\cdot 10^{-12}\cdot 0{,}05/5\cdot 10^{-4}\approx 8{,}85\cdot 10^{-10}$ F $= 885$ pF.
Ladung
$Q=C U\approx 8{,}85\cdot 10^{-8}$ C $= 88{,}5$ nC.
Energie
$E_{C}=\tfrac{1}{2}C U^{2}\approx 4{,}43\cdot 10^{-6}$ J $\approx 4{,}4\,\mu$ J.

Ergebnis: $C\approx 885$ pF, $Q\approx 88{,}5$ nC, $E\approx 4{,}4\,\mu$ J.

Musterbeispiel

Aufladung eines RC-Glieds

Ein Kondensator $C=100\,\mu$ F wird über einen Widerstand $R=10\,$ k $\Omega$ an $U_{0}=12$ V geladen. Bestimme die Zeitkonstante, die Spannung nach $t=\tau$ und nach $t=2\tau$ sowie die Zeit, bis $90\%$ der Endspannung erreicht sind.

Zeitkonstante
$\tau=R C=10^{4}\,\Omega\cdot 100\cdot 10^{-6}\,$ F $=1{,}0$ s.
Nach einer Zeitkonstante
$U_{C}(\tau)=U_{0}(1-e^{-1})=12\cdot 0{,}632\approx 7{,}6$ V (rund $63\%$ ).
Nach zwei Zeitkonstanten
$U_{C}(2\tau)=U_{0}(1-e^{-2})=12\cdot 0{,}865\approx 10{,}4$ V (rund $86\%$ ).
Zeit für 90 %
$1-e^{-t/\tau}=0{,}9\Rightarrow e^{-t/\tau}=0{,}1\Rightarrow t=\tau\ln 10\approx 2{,}30$ s.

Ergebnis: $\tau=1{,}0$ s; $U_{C}(\tau)\approx 7{,}6$ V, $U_{C}(2\tau)\approx 10{,}4$ V; $90\%$ nach $\approx 2{,}3$ s. Nach rund $5\tau$ gilt der Kondensator als praktisch voll geladen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Ein Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld zwischen zwei Platten.
2
Die Energie ist halbe Kapazität mal Spannung im Quadrat.
3
Beim Laden und Entladen über einen Widerstand läuft der Vorgang exponentiell mit der Zeitkonstanten RC ab.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Beschreibe Aufbau und Funktion eines Plattenkondensators und erläutere den Einfluss eines Dielektrikums. Berechne die Energie eines Defibrillator-Kondensators mit

C=32\,\mu

F bei

U=2000

V.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Energie wird als $E=Q\,U$ angesetzt; der Faktor $\tfrac{1}{2}$ fehlt.
Reihen- und Parallelregel werden von den Widerständen übernommen; bei Kondensatoren gilt sie umgekehrt.
Das Dielektrikum bleibt unberücksichtigt; die Kapazität kommt um den Faktor $\varepsilon_{r}$ zu klein heraus.
Ladung und Kapazität werden verwechselt; die Kapazität ist die Ladung JE Volt.
Die Zeitkonstante wird als Zeit bis zur vollständigen Ladung gedeutet; nach $\tau$ sind erst 63 % erreicht.

Aktive Wiederholung

Ein Plattenkondensator hat Fläche $0{,}050$ m $^{2}$ , Abstand $0{,}5$ mm und Luft als Dielektrikum. Berechne Kapazität, gespeicherte Ladung bei $U=100$ V und Energie.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Capacitance (OpenStax)

Elektrisches Feld, Potenzial und Energie#

~4 Min LesezeitStandardPHY-EM-4.4

Elektrisches Feld - zwei Punktladungen

Abb. 5Feldlinien laufen von + zu -; Liniendichte zeigt Feldstärke.

Feldstärke und Potenzial beschreiben dasselbe elektrische Feld aus zwei verschiedenen Blickwinkeln: Die Feldstärke

\vec E

ist ein VEKTOR und sagt, welche Kraft auf eine Probeladung wirkt; das Potenzial

\varphi

ist ein SKALAR und sagt, welche potentielle Energie je Ladung an diesem Ort gespeichert ist. Wer die beiden auseinanderhält, vermeidet den häufigsten Fehler dieses Kapitels.

Zwischen beiden vermittelt die Spannung:

U=\varphi_{1}-\varphi_{2}

ist die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten, und im homogenen Feld gilt der einfache Zusammenhang

E=\tfrac{U}{d}

. Daraus folgt unmittelbar die Einheitengleichheit

1\,\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=1\,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}

- zwei Schreibweisen derselben Größe.

Das elektrostatische Feld ist konservativ: Die Arbeit beim Verschieben einer Ladung hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg. Auf einem geschlossenen Weg ist die Arbeit deshalb null. Genau daraus folgt, dass sich überhaupt ein Potenzial definieren lässt - bei wegabhängiger Arbeit gäbe es keine eindeutige Energie je Ort.

Äquipotenzialflächen sind Flächen gleichen Potenzials; auf ihnen wird keine Arbeit verrichtet. Sie stehen deshalb überall SENKRECHT auf den Feldlinien. Beim Plattenkondensator sind es Ebenen parallel zu den Platten, bei einer Punktladung konzentrische Kugelschalen. In einer Skizze müssen beide Scharen einander rechtwinklig schneiden - eine schräge Kreuzung ist ein Zeichenfehler.

Die Beschleunigung geladener Teilchen folgt aus der Energiebilanz

q\,U=\tfrac{1}{2}m\,v^{2}

: Die vom Feld verrichtete Arbeit wird vollständig zu kinetischer Energie. Daraus ergibt sich

v=\sqrt{\tfrac{2\,q\,U}{m}}

- die Endgeschwindigkeit hängt nur von der durchlaufenen Spannung ab, nicht vom Plattenabstand oder von der Bahnform.

Diese Beziehung hat eine Gültigkeitsgrenze, die in der Prüfung genannt gehört: Bei Spannungen im Bereich einiger hunderttausend Volt erreichen Elektronen einen nennenswerten Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit, und die klassische Formel liefert zu große Werte. Dort ist relativistisch zu rechnen.

Ein Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht ist stets eine Äquipotenzialfläche, und in seinem Inneren verschwindet das Feld - das ist das Prinzip des Faradayschen Käfigs. Deshalb schützt eine Autokarosserie bei Blitzschlag, und deshalb enden Feldlinien an einer Leiteroberfläche immer senkrecht.

Vokabeln

→ Kartei

PotenzialPotentielle Energie je Ladung an einem Ort; Skalar in Volt.
SpannungPotenzialdifferenz zwischen zwei Punkten.
ÄquipotenzialflächeFläche gleichen Potenzials; sie steht senkrecht auf den Feldlinien.
konservatives FeldFeld, in dem die Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt.
ElektronenvoltEnergie, die ein Elektron beim Durchlaufen von 1 V aufnimmt; $1\,\mathrm{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{J}$.
Faradayscher KäfigLeitende Hülle, in deren Innerem das elektrostatische Feld verschwindet.

Homogenes Feld und Arbeit

E=\dfrac{U}{d},\quad W=q\,U

$U$ ist die Spannung zwischen den Platten, $d$ ihr Abstand in METERN, $q$ die verschobene Ladung. Die Arbeit hängt nur von der durchlaufenen Spannung ab, nicht vom Weg - das elektrostatische Feld ist konservativ.

Energiebilanz beschleunigter Ladung

q\,U=\tfrac{1}{2}m v^{2}

$q$ ist die Ladung, $U$ die Beschleunigungsspannung, $m$ die Masse. Die Endgeschwindigkeit hängt weder vom Plattenabstand noch von der Bahnform ab; bei sehr hohen Spannungen ist relativistisch zu rechnen.

Musterbeispiel

Elektron in der Elektronenkanone

Elektron beschleunigt durch $U=200$ V; $m_{e}=9{,}11\cdot 10^{-31}$ kg, $e=1{,}602\cdot 10^{-19}$ C.

Energie
$E_{kin}=eU=1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 200\approx 3{,}20\cdot 10^{-17}$ J.
Geschwindigkeit
$v=\sqrt{2E_{kin}/m}=\sqrt{2\cdot 3{,}20\cdot 10^{-17}/9{,}11\cdot 10^{-31}}$ .
Auswertung
$v\approx 8{,}4\cdot 10^{6}$ m/s ( $\approx 2{,}8\%$ von $c$ , nichtrelativistisch vertretbar).

Ergebnis: $E_{kin}\approx 3{,}2\cdot 10^{-17}$ J $=200$ eV, $v\approx 8{,}4\cdot 10^{6}$ m/s.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Feldstärke ist ein Vektor, das Potenzial ein Skalar - beide beschreiben dasselbe Feld unterschiedlich.
Elektrisches Feld - zwei Punktladungen
Abb.Feldlinien laufen von + zu -; Liniendichte zeigt Feldstärke.
2
Beim Verschieben einer Ladung gegen das Feld wird Arbeit q mal U verrichtet.
3
In der Elektronenkanone wird diese Arbeit vollständig in kinetische Energie umgesetzt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Unterschied zwischen elektrischer Feldstärke und elektrischem Potenzial. Erkläre am Beispiel einer Elektronenkanone, wie elektrische Energie in Bewegungsenergie umgewandelt wird, und berechne die Endgeschwindigkeit bei

U=500

V.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Feldstärke und Spannung werden verwechselt; ihre Einheiten $\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ und V verraten den Fehler.
Die Arbeit im Feld wird als wegabhängig angenommen; das elektrostatische Feld ist konservativ.
Äquipotenzialflächen werden parallel zu den Feldlinien gezeichnet statt senkrecht.
Bei hohen Beschleunigungsspannungen wird klassisch gerechnet, ohne die relativistische Grenze zu erwähnen.
Im Inneren eines Leiters wird ein Feld angenommen; im elektrostatischen Gleichgewicht ist es dort null.

Aktive Wiederholung

Ein zunächst ruhendes Elektron durchläuft eine Beschleunigungsspannung von $200$ V. Berechne seine kinetische Energie und seine Endgeschwindigkeit (nichtrelativistisch).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Electric Potential (OpenStax)

Reale Spannungsquelle und elektronische Bauteile#

~3 Min LesezeitStandardPHY-EM-4.5

I-U-Kennlinie eines ohmschen Widerstandes

Abb. 6Lineare Beziehung; Steigung 1/R.

Eine ideale Spannungsquelle würde unabhängig vom entnommenen Strom dieselbe Spannung liefern; reale Quellen tun das nicht. Man modelliert sie als ideale Quellenspannung

U_{0}

(die elektromotorische Kraft, EMK) in Reihe mit einem Innenwiderstand

R_{i}

. Die nach außen messbare Klemmenspannung sinkt mit dem Strom:

U_{K}=U_{0}-I\,R_{i}

.

Zwei Grenzfälle veranschaulichen das: Bei Leerlauf (

I=0

) ist die Klemmenspannung gleich der vollen Quellenspannung

U_{0}

; beim Kurzschluss fällt sie auf null, und es fließt der maximale Strom

I_{K}=U_{0}/R_{i}

. Genau deshalb sinkt die Klemmenspannung einer Autobatterie beim Anlassen kurz ab - der Anlasser zieht einen sehr großen Strom.

Die größte Leistung gibt eine Quelle bei Lastanpassung ab, also wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand ist (

R_{\text{Last}}=R_{i}

). Der Wirkungsgrad beträgt dann allerdings nur

50\%

, weil die Hälfte der Leistung im Innenwiderstand verheizt wird.

Halbleiter wie Silizium und Germanium liegen in ihrer Leitfähigkeit zwischen Leitern und Isolatoren. Anders als bei Metallen steigt ihre Leitfähigkeit mit der Temperatur, und durch gezielte Dotierung (Einbau von Fremdatomen) lässt sie sich einstellen - die Grundlage der gesamten Elektronik.

Eine Diode (ein pn-Übergang) lässt den Strom nur in einer Richtung (Durchlassrichtung) passieren und sperrt in der anderen. Ihre Kennlinie ist stark nichtlinear; als Gleichrichter macht sie aus Wechselspannung eine pulsierende Gleichspannung.

Temperaturabhängige Widerstände (NTC-Heißleiter mit sinkendem, PTC-Kaltleiter mit steigendem Widerstand) und der lichtabhängige LDR dienen als Sensoren - etwa zur Temperatur- oder Helligkeitsmessung. Ihre charakteristische, nichtlineare Kennlinie unterscheidet sie vom ohmschen Widerstand.

Vokabeln

→ Kartei

InnenwiderstandWiderstand innerhalb der Spannungsquelle; er verursacht den Spannungsabfall bei Belastung.
KlemmenspannungTatsächlich an den Anschlüssen messbare Spannung unter Last.
LeerlaufspannungSpannung ohne Stromentnahme; entspricht der Quellenspannung.
KennlinieAuftragung von Strom über Spannung eines Bauteils.
DiodeBauteil mit richtungsabhängiger Leitfähigkeit und Schwellenspannung.
NTCHeißleiter; sein Widerstand sinkt mit steigender Temperatur.

Klemmenspannung der realen Quelle

U_{K}=U_{0}-I\,R_{i}

$U_{0}$ ist die Leerlaufspannung, $R_{i}$ der Innenwiderstand, $I$ der entnommene Strom. Je größer die Belastung, desto stärker bricht die Klemmenspannung ein - bei $I=0$ stimmen beide überein.

Strom im belasteten Quellenkreis

I=\dfrac{U_{0}}{R_{i}+R_{Last}}

Innen- und Lastwiderstand liegen in Reihe. Für $R_{\text{Last}}=0$ ergibt sich der Kurzschlussstrom $\tfrac{U_{0}}{R_{i}}$ - der größtmögliche Strom der Quelle.

Musterbeispiel

Belastete Batterie mit Innenwiderstand

$U_{0}=12$ V, $R_{i}=0{,}5\,\Omega$ , $R=5{,}5\,\Omega$ .

Strom
$I=\dfrac{U_{0}}{R_{i}+R}=\dfrac{12}{0{,}5+5{,}5}=2{,}0$ A.
Klemmenspannung
$U_{K}=I\cdot R=2{,}0\cdot 5{,}5=11$ V.
Innerer Abfall
$U_{i}=I\cdot R_{i}=2{,}0\cdot 0{,}5=1{,}0$ V $=U_{0}-U_{K}$ .

Ergebnis: $I=2{,}0$ A, Klemmenspannung $11$ V, $1{,}0$ V fallen am Innenwiderstand ab.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Jede reale Quelle hat einen Innenwiderstand, an dem Spannung abfällt, sobald Strom fließt.
2
Deshalb sinkt die Klemmenspannung unter Last, am stärksten beim Kurzschluss.
3
Halbleiterbauteile wie Dioden und temperaturabhängige Widerstände sind das Fundament der Elektronik.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre das Modell der realen Spannungsquelle mit Innenwiderstand. Warum sinkt die Klemmenspannung einer Autobatterie beim Anlassen kurz ab? Beschreibe ausserdem die Funktion einer Diode als Gleichrichter.

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Typische Fehler

Der Innenwiderstand der Quelle wird vernachlässigt, obwohl der Laststrom groß ist.
Die Diode wird als ohmscher Widerstand behandelt; ihre Kennlinie ist gekrümmt und richtungsabhängig.
NTC und PTC werden im Temperaturverhalten vertauscht.
Leerlaufspannung und Klemmenspannung werden gleichgesetzt; sie stimmen nur bei $I=0$ überein.
Die Diode wird in Sperrrichtung als leitend angenommen; dort fließt praktisch kein Strom.

Aktive Wiederholung

Eine Batterie hat die Quellenspannung $U_{0}=12$ V und den Innenwiderstand $R_{i}=0{,}5\,\Omega$ . An sie wird ein Lastwiderstand $R=5{,}5\,\Omega$ angeschlossen. Berechne Strom, Klemmenspannung und den inneren Spannungsabfall.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Electromotive Force, Terminal Voltage (OpenStax)

Elektrische Energie, Leistung und Sicherheit#

~4 Min LesezeitBasisPHY-EM-4.6

Die elektrische Leistung lässt sich je nach gegebenen Größen auf drei gleichwertige Arten schreiben:

P=U\,I=I^{2}R=U^{2}/R

. Die in einer Zeit umgesetzte Energie ist

W=P\,t

und wird im Haushalt in Kilowattstunden abgerechnet (

1

kWh

=3{,}6\cdot 10^{6}

J) - daraus folgen Verbrauch und Kosten direkt.

Der Wirkungsgrad

\eta=W_{\text{nutz}}/W_{\text{zu}}

entscheidet, wie viel der bezahlten Energie tatsächlich nützlich wird. Bei Kostenrechnungen muss man ihn mitführen: Ein Wasserkocher mit

90\%

Wirkungsgrad braucht mehr elektrische Energie, als die reine Wärmebilanz des Wassers verlangt.

Im Haushalt sind alle Verbraucher parallel an die

230

-V-Netzspannung angeschlossen (), damit jedes Gerät dieselbe Spannung erhält und unabhängig von den anderen ein- und ausgeschaltet werden kann. In Reihe würden sich die Geräte gegenseitig beeinflussen.

Haushaltsstromkreis mit Sicherung

Abb. 7Verbraucher hängen an

230

V; die Sicherung trennt den Kreis bei Überstrom.

Abb. 7 ↓

Zum Schutz dienen zwei verschiedene Einrichtungen: Die Sicherung bzw. der Leitungsschutzschalter trennt den Kreis bei zu hohem Strom (Überlast, Kurzschluss) und schützt so die Leitung vor Überhitzung. Der FI-Schutzschalter (RCD) dagegen vergleicht hin- und rückfließenden Strom und schaltet schon bei einem kleinen Fehlerstrom ab - er schützt den Menschen.

Der Schutzleiter (Erdung) und eine zuverlässige Isolation verhindern, dass gefährliche Berührungsspannungen an Gerätegehäusen auftreten: Im Fehlerfall fließt der Strom über den Schutzleiter ab und löst die Schutzeinrichtung aus, statt über den Menschen zu fließen.

Wie gefährlich ein Stromschlag ist, hängt von Stromstärke, Einwirkdauer und Weg durch den Körper ab. Schon ab etwa

30

mA wird netzfrequenter Wechselstrom lebensgefährlich (Atemlähmung, Herzkammerflimmern) - genau hier setzt die Auslöseschwelle des FI-Schutzschalters an.

Vokabeln

→ Kartei

elektrische Leistung$P=U\cdot I$; momentan umgesetzte Energie je Zeit.
WirkungsgradVerhältnis von Nutz- zu aufgenommener Energie.
SchmelzsicherungSchutzelement, das die Leitung bei Überstrom trennt.
FI-SchutzschalterFehlerstromschutzschalter; er trennt bei Differenz zwischen Hin- und Rückstrom.
SchutzleiterLeiter, der leitfähige Gehäuse mit der Erde verbindet.
NetzspannungIn Österreich 230 V Effektivwert bei 50 Hz.

Elektrische Leistung und Energie

P=U\,I=\dfrac{U^{2}}{R},\quad W=P\,t

$P$ in W, $t$ in s ergibt $W$ in J; in der Abrechnung wird stattdessen in kWh gerechnet, mit $1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\cdot10^{6}\,\mathrm{J}$ .

Wirkungsgrad

\eta=\dfrac{W_{nutz}}{W_{zu}}

$W_{\text{nutz}}$ ist die tatsächlich genutzte, $W_{\text{zu}}$ die aufgewendete Energie. Der Wert ist dimensionslos und stets kleiner als eins; über 100 % widerspricht dem Energieerhaltungssatz.

Musterbeispiel

Energiebedarf und Kosten des Wasserkochers

$2000$ W, $\eta=90\%$ , $1{,}0$ L Wasser von $15$ auf $100^{\circ}$ C.

Nutzwärme
$Q=mc\Delta T=1{,}0\cdot 4180\cdot 85\approx 3{,}55\cdot 10^{5}$ J.
Elektrische Energie
$W=Q/\eta=3{,}55\cdot 10^{5}/0{,}90\approx 3{,}95\cdot 10^{5}$ J $\approx 0{,}110$ kWh.
Heizdauer
$t=Q/(P\eta)=3{,}55\cdot 10^{5}/1800\approx 197$ s $\approx 3{,}3$ min.
Kosten
$0{,}110\cdot 0{,}30\approx 0{,}033$ EUR, also gut $3$ Cent.

Ergebnis: Rund $0{,}11$ kWh, etwa $3{,}3$ min Heizdauer und ungefähr $3$ Cent pro Kochvorgang.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Leistung ist Energie pro Zeit; abgerechnet wird die Energie in Kilowattstunden.
2
Haushaltsgeräte liegen parallel an 230 Volt, damit jedes unabhängig arbeitet.
3
Sicherung schützt die Leitung vor Überstrom, der FI-Schutzschalter schützt den Menschen vor Fehlerströmen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die Begriffe elektrische Leistung und Energie und berechne die Jahreskosten eines Geräts. Erkläre ausserdem die Schutzfunktion von Sicherung und FI-Schutzschalter.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Leistung und Energie werden verwechselt; W gegen kWh.
Der Wirkungsgrad wird bei der Kostenrechnung vergessen; die aufgenommene Energie ist größer als die genutzte.
Sicherung und FI-Schutzschalter werden gleichgesetzt; sie erkennen völlig verschiedene Fehlerfälle.
Haushaltsgeräte werden als in Reihe geschaltet beschrieben; dann wäre die Spannung an jedem Gerät kleiner.
Die Umrechnung $1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\,\mathrm{MJ}$ wird nicht durchgeführt, wenn die Aufgabe Joule verlangt.

Aktive Wiederholung

Ein Wasserkocher mit $2000$ W (Wirkungsgrad $90\%$ ) erhitzt $1{,}0$ L Wasser von $15^{\circ}$ C auf $100^{\circ}$ C. Berechne die nötige elektrische Energie, die Heizdauer und die Kosten bei einem Tarif von $0{,}30$ EUR/kWh ( $c_{W}=4180$ J/(kg K)).

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Electric Power and Energy (OpenStax)