Hydrostatik und Aerostatik — Physik · Matura-Zusammenfassung

Druck, Schweredruck und Pascalsches Prinzip#

~4 Min LesezeitBasisPHY-Fluid-2b.1

Druck ist Kraft pro Fläche:

p=F/A

, mit der SI-Einheit Pascal (

1

Pa

=1

N/m

^{2}

); in der Praxis rechnet man oft in bar (

1

bar

=10^{5}

Pa). Dieselbe Kraft erzeugt auf einer kleinen Fläche großen Druck - deshalb durchsticht eine spitze Nadel mühelos, was ein stumpfer Stab nicht schafft.

In einer ruhenden Flüssigkeit wächst der Schweredruck linear mit der Tiefe:

p(h)=\rho g h

(). Bemerkenswert ist das hydrostatische Paradoxon - der Bodendruck hängt nur von Füllhöhe und Dichte ab, nicht von der Gefäßform oder der Gesamtmasse. Ein dünnes hohes Rohr erzeugt am Boden denselben Druck wie ein breites Becken gleicher Höhe.

Schweredruck - lineare Zunahme mit der Tiefe

Abb. 1Hydrostatischer Druck wächst linear mit der Tiefe:

p(h)=\rho g h

.

Abb. 1 ↓

Der Druck in einem ruhenden Fluid ist isotrop: Er wirkt an jedem Punkt in alle Richtungen gleich stark. Eine eingetauchte Fläche erfährt den Druck unabhängig von ihrer Orientierung - das ist die Voraussetzung für die folgenden Anwendungen.

Das Pascalsche Prinzip besagt, dass sich eine von außen aufgeprägte Druckänderung in einer eingeschlossenen Flüssigkeit unvermindert nach allen Seiten fortpflanzt. Schweredruck und aufgeprägter Druck (Kolben, Atmosphäre) addieren sich dabei zum Gesamtdruck.

Die hydraulische Presse nutzt das Pascalsche Prinzip: Wegen

\dfrac{F_{1}}{A_{1}}=\dfrac{F_{2}}{A_{2}}

verstärkt sie eine Kraft im Verhältnis der Kolbenflächen. Der Preis ist ein längerer Weg am kleinen Kolben - die Energie bleibt erhalten (

F_{1}s_{1}=F_{2}s_{2}

), Kraftgewinn bedeutet Wegverlust.

In kommunizierenden Gefäßen stehen die Flüssigkeitsspiegel bei gleicher Dichte überall gleich hoch, weil der Schweredruck am Boden nur von der Höhe abhängt. Bei zwei verschiedenen, nicht mischbaren Flüssigkeiten stellen sich die Höhen umgekehrt zum Dichteverhältnis ein - das Prinzip jedes U-Rohr-Manometers.

Vokabeln

→ Kartei

DruckKraft je Fläche, $p=\tfrac{F}{A}$; Einheit Pascal.
SchweredruckDruck durch das Eigengewicht der Flüssigkeitssäule, $p=\rho\,g\,h$.
Pascalsches PrinzipEin aufgeprägter Druck pflanzt sich in einer ruhenden Flüssigkeit allseitig gleich fort.
hydrostatisches ParadoxonDer Bodendruck hängt nur von Füllhöhe und Dichte ab, nicht von der Gefäßform.
hydraulische PresseKraftübersetzung über Kolben verschiedener Fläche; Arbeit bleibt erhalten.
AbsolutdruckGesamtdruck einschließlich des äußeren Luftdrucks.

Druck und hydrostatischer Schweredruck

p = \dfrac{F}{A};\quad p(h) = \rho\,g\,h

$F$ ist die senkrecht wirkende Kraft, $A$ die Fläche, $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit, $h$ die Tiefe unter der Oberfläche. Der Schweredruck hängt weder von der Gefäßform noch von der Gesamtmasse ab.

Hydraulische Presse (Pascal)

\dfrac{F_{1}}{A_{1}}=\dfrac{F_{2}}{A_{2}}

$A_{1}$ und $A_{2}$ sind die Kolbenflächen. Die Kraft wird im Verhältnis der Flächen übersetzt - dafür legt der große Kolben einen entsprechend kürzeren Weg zurück, denn die Arbeit bleibt erhalten.

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Musterbeispiel

Gesamtdruck auf einen Taucher

Ein Taucher befindet sich in $30$ m Tiefe im Meerwasser ( $\rho=1025$ kg/m $^{3}$ ). Welcher Gesamtdruck wirkt auf ihn? Luftdruck an der Oberfläche $p_{0}=1{,}013$ bar.

Schweredruck
$p_{h}=\rho g h=1025\cdot 9{,}81\cdot 30\approx 3{,}02\cdot 10^{5}$ Pa $\approx 3{,}02$ bar.
Gesamtdruck
$p_{ges}=p_{0}+p_{h}=1{,}013+3{,}02\approx 4{,}03$ bar.
Interpretation
Pro $10$ m Wassertiefe steigt der Druck um rund $1$ bar.

Ergebnis: Auf den Taucher wirken rund $4{,}0$ bar - das Vierfache des Atmosphärendrucks.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Druck ist Kraft pro Fläche; in einer Flüssigkeitssäule wächst er linear mit der Tiefe.
Schweredruck - lineare Zunahme mit der Tiefe
Abb.Hydrostatischer Druck wächst linear mit der Tiefe: $p(h)=\rho g h$ .
2
Das Pascalsche Prinzip erklärt, warum sich Druck in eingeschlossenen Fluiden gleichmäßig fortpflanzt.
3
Die hydraulische Presse verstärkt Kräfte - aber auf Kosten des Weges, denn Energie bleibt erhalten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere den Begriff Druck und das Pascalsche Prinzip. Erkläre die Funktion einer hydraulischen Presse und berechne, welche Last ein Druck von

20

N auf einer Kolbenfläche von

2{,}0

cm

^{2}

an einem Hubkolben von

50

cm

^{2}

heben kann.

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Typische Fehler

Druck und Kraft werden verwechselt; die Einheiten Pa und N verraten den Fehler sofort.
Bei der hydraulischen Presse wird die Energieerhaltung übergangen - Kraftgewinn bedeutet zwingend Wegverlust.
Der Schweredruck wird von der Gesamtmasse der Flüssigkeit abhängig gemacht statt von der Säulenhöhe.
Der Luftdruck wird beim absoluten Druck vergessen; in 10 m Wassertiefe herrschen rund 2 bar, nicht 1.
Die Dichte wird in $\tfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}}$ eingesetzt, obwohl die Formel $\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}$ verlangt.

Aktive Wiederholung

Eine hydraulische Hebebühne hat einen Druckkolben mit $A_{1}=5{,}0$ cm $^{2}$ und einen Hubkolben mit $A_{2}=400$ cm $^{2}$ . Welche Kraft am kleinen Kolben hebt ein Auto von $1200$ kg? Welcher Weg ist am kleinen Kolben nötig, um das Auto um $5$ cm zu heben?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Fluid Statics (OpenStax)

Archimedischer Auftrieb und Schwimmen#

~4 Min LesezeitBasisPHY-Fluid-2b.2

Das archimedische Prinzip erklärt, warum Körper in Flüssigkeiten leichter werden: Jeder eingetauchte Körper erfährt eine nach oben gerichtete Auftriebskraft

F_{A}=\rho_{\text{fl}}\,g\,V_{\text{verd}}

, die genau dem Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit entspricht (). Ursache ist der mit der Tiefe wachsende Schweredruck, der unten stärker drückt als oben.

Archimedisches Prinzip - Auftrieb

Abb. 2Auftriebskraft gleich Gewicht der verdrängten Flüssigkeit; Gleichgewicht von Gewicht und Auftrieb.

Abb. 2 ↓

Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt, entscheidet allein der Vergleich der Dichten: Bei

\rho_{\text{Körper}}<\rho_{\text{fl}}

schwimmt er, bei

\rho_{\text{Körper}}=\rho_{\text{fl}}

schwebt er in jeder Tiefe, bei

\rho_{\text{Körper}}>\rho_{\text{fl}}

sinkt er. Entscheidend ist die Dichte der Flüssigkeit, nicht die des Körpers, für den Betrag des Auftriebs.

Ein schwimmender Körper taucht gerade so tief ein, dass der Auftrieb sein Gewicht trägt; er verdrängt also genau sein eigenes Gewicht an Flüssigkeit (Verdrängungsregel). Daraus folgt für den eingetauchten Volumenanteil

\dfrac{V_{\text{ein}}}{V}=\dfrac{\rho_{\text{Körper}}}{\rho_{\text{fl}}}

- beim Eisberg rund

90\%

unter Wasser.

Das scheinbare Gewicht eines vollständig getauchten Körpers ist

F_{\text{schein}}=F_{G}-F_{A}

. Diesen Gewichtsverlust nutzt die Auftriebsmethode zur Dichtebestimmung: Aus dem Vergleich von Gewicht in Luft und im Wasser lässt sich die Dichte eines unregelmäßigen Körpers ermitteln.

Dass selbst ein Stahlschiff schwimmt, liegt an seinem großen Hohlraum: Seine mittlere Dichte (Stahl plus eingeschlossene Luft) liegt unter der des Wassers, während ein massiver Stahlwürfel mit höherer Dichte sinkt. Es zählt stets die mittlere Dichte des gesamten Körpers.

Anwendungen reichen vom Aräometer (Dichtemessung), über die Schwimmblase der Fische und das Tauchboot bis zum Heißluft- und Gasballon, bei dem der Auftrieb in Luft statt in Wasser wirkt. Überall ist es dieselbe Bilanz aus Gewicht und verdrängtem Medium.

Vokabeln

→ Kartei

AuftriebNach oben gerichtete Kraft auf einen eingetauchten Körper, gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
archimedisches PrinzipDer Auftrieb entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
verdrängtes VolumenVolumen der Flüssigkeit, das der eingetauchte Körperteil einnimmt.
DichteMasse je Volumen; entscheidet über Schwimmen, Schweben oder Sinken.
SchwimmbedingungAuftrieb gleich Gewichtskraft; nur ein Teil des Körpers taucht ein.
scheinbarer GewichtsverlustDifferenz der Wägung in Luft und in Flüssigkeit; sie entspricht dem Auftrieb.

Archimedischer Auftrieb

F_{A} = \rho_{\text{fl}}\,g\,V_{\text{verd}}

$\rho_{\text{fl}}$ ist die Dichte der FLÜSSIGKEIT, $V_{\text{verd}}$ das verdrängte Volumen. Die Dichte des Körpers geht nicht ein; sie entscheidet erst im Vergleich über Schwimmen, Schweben oder Sinken.

Scheinbares Gewicht im Fluid

F_{schein}=F_{G}-F_{A}

$F_{G}$ ist die Gewichtskraft in Luft, $F_{A}$ der Auftrieb. Die Differenz ist der scheinbare Gewichtsverlust bei der Wägung unter Wasser - die Grundlage der Dichtebestimmung nach Archimedes.

Musterbeispiel

Scheinbares Gewicht eines Eisenwürfels im Wasser

Ein Eisenwürfel mit Kantenlänge $10$ cm ( $\rho_{Fe}=7874$ kg/m $^{3}$ ) hängt vollständig getaucht an einer Federwaage in Wasser ( $\rho_{W}=1000$ kg/m $^{3}$ ). Welches scheinbare Gewicht zeigt die Waage?

Volumen
$V=(0{,}10)^{3}=1{,}0\cdot 10^{-3}$ m $^{3}$ .
Gewichtskraft
$F_{G}=\rho_{Fe}\,g\,V=7874\cdot 9{,}81\cdot 10^{-3}\approx 77{,}2$ N.
Auftriebskraft
$F_{A}=\rho_{W}\,g\,V=1000\cdot 9{,}81\cdot 10^{-3}=9{,}81$ N.
Scheinbares Gewicht
$F_{schein}=F_{G}-F_{A}=77{,}2-9{,}81\approx 67{,}4$ N.

Ergebnis: Die Federwaage zeigt rund $67{,}4$ N - der Würfel scheint um den Auftrieb ( $9{,}81$ N) leichter.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Auftrieb entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit - das ist das archimedische Prinzip.
Archimedisches Prinzip - Auftrieb
Abb.Auftriebskraft gleich Gewicht der verdrängten Flüssigkeit; Gleichgewicht von Gewicht und Auftrieb.
2
Ob ein Körper schwimmt, sinkt oder schwebt, entscheidet der Vergleich seiner Dichte mit der des Fluids.
3
Schiffe schwimmen, weil ihr großes Verdrängungsvolumen die mittlere Dichte unter die von Wasser senkt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Formuliere das archimedische Prinzip und erkläre, warum ein Stahlschiff schwimmt, ein Stahlwürfel aber sinkt. Berechne den eingetauchten Volumenanteil eines Eisbergs (

\rho_{Eis}=917

kg/m

^{3}

) in Meerwasser (

\rho=1025

kg/m

^{3}

).

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Typische Fehler

Der Auftrieb wird von der Dichte des KÖRPERS abhängig gemacht; maßgeblich ist die Dichte der Flüssigkeit.
Bei teilweise eingetauchten Körpern wird das Gesamtvolumen statt des verdrängten Volumens eingesetzt.
Masse und Gewichtskraft werden verwechselt; der Faktor $g$ fehlt.
Der Auftrieb in Luft wird pauschal vernachlässigt, obwohl er bei sehr leichten Körpern zählt.
Bei einem schwimmenden Körper wird angenommen, der Auftrieb sei größer als die Gewichtskraft; im Gleichgewicht sind sie gleich.

Aktive Wiederholung

Ein Holzbalken ( $\rho=600$ kg/m $^{3}$ ) schwimmt in Wasser. Welcher Anteil seines Volumens ragt aus dem Wasser? Begründe mit der Schwimmbedingung.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: OpenStax College Physics - Archimedes Principle (OpenStax)

Aerostatik - Luftdruck und Gasgesetze#

~4 Min LesezeitStandardPHY-Fluid-2b.3

Auch Luft hat Gewicht, und das Gewicht der über uns liegenden Atmosphärensäule erzeugt den Luftdruck. Auf Meereshöhe beträgt der Normaldruck

p_{0}\approx 1013

hPa

=1{,}013

bar - das entspricht einer Kraft von rund

10

Tonnen auf jeden Quadratmeter, die wir nur deshalb nicht spüren, weil sie von allen Seiten gleich wirkt.

Anders als der Schweredruck einer Flüssigkeit nimmt der Luftdruck mit der Höhe nicht linear, sondern exponentiell ab: Weil Luft komprimierbar ist, ist sie unten dichter. Nach der barometrischen Höhenformel halbiert sich der Druck etwa alle

5{,}5

km - auf einem

5500

m hohen Gipfel herrscht also nur noch der halbe Bodendruck.

Für ein eingeschlossenes Gas bei konstanter Temperatur gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte:

p\,V=\text{const}

. Druck und Volumen sind umgekehrt proportional, im

p

-

V

-Diagramm ergibt das eine Hyperbel (). Halbiert man das Volumen, verdoppelt sich der Druck.

Isotherme - Gesetz von Boyle-Mariotte

Abb. 3Bei konstanter Temperatur sind Druck und Volumen umgekehrt proportional:

p\cdot V=\text{const}

.

Abb. 3 ↓

Der Auftrieb wirkt auch in Gasen: Ein Heißluft- oder Gasballon steigt, wenn das Füllgas (erwärmte Luft, Helium) eine geringere Dichte hat als die verdrängte Umgebungsluft. Es ist exakt dasselbe archimedische Prinzip wie im Wasser, nur mit Luft als umgebendem Fluid.

Eine häufige Fehlvorstellung ist das „Ansaugen": Ein Vakuum zieht nichts an. Wenn man am Strohhalm saugt, senkt man dort den Druck, und der höhere Außendruck der Atmosphäre drückt die Flüssigkeit hinauf. Saugheber und Pumpen funktionieren immer über solche Druckdifferenzen.

Die Größe des Luftdrucks lässt sich eindrucksvoll mit den Magdeburger Halbkugeln zeigen: Nach dem Auspumpen presst der Außendruck die Kugeln mit der Kraft

F=p\cdot A

so fest zusammen, dass selbst Pferdegespanne sie kaum trennen konnten.

Vokabeln

→ Kartei

LuftdruckDruck der Atmosphäre; auf Meereshöhe im Mittel 1013 hPa.
Boyle-Mariottesches GesetzBei konstanter Temperatur ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant.
isothermBei gleichbleibender Temperatur ablaufend.
barometrische HöhenformelBeschreibt die exponentielle Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe.
statischer AuftriebAuftrieb in einem Gas, etwa bei Heißluft- oder Heliumballons.
VakuumRaum mit stark verringertem Gasdruck; ein absolutes Vakuum ist technisch nicht erreichbar.

Gesetz von Boyle-Mariotte

p_{1}\,V_{1} = p_{2}\,V_{2}\;\text{(isotherm)}

Gilt bei KONSTANTER Temperatur und konstanter Stoffmenge. Ändert sich die Temperatur, ist stattdessen die allgemeine Gasgleichung zu verwenden.

Kraft durch Luftdruck auf eine Fläche

F = p\cdot A

$p$ ist der Druck in Pa, $A$ die Fläche in $\mathrm{m}^{2}$ . Auf einen Quadratmeter drückt die Atmosphäre mit rund $10^{5}\,\mathrm{N}$ - das entspricht dem Gewicht von etwa zehn Tonnen.

Musterbeispiel

Isotherme Kompression in der Taucherglocke

Luft $V_{1}=3{,}0$ m $^{3}$ bei $p_{1}=1{,}0$ bar wird auf $p_{2}=4{,}0$ bar komprimiert (isotherm).

Boyle-Mariotte
$p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}$ .
Auflösen
$V_{2}=\dfrac{p_{1}V_{1}}{p_{2}}=\dfrac{1{,}0\cdot 3{,}0}{4{,}0}=0{,}75$ m $^{3}$ .

Ergebnis: Das Luftvolumen schrumpft auf $0{,}75$ m $^{3}$ - ein Viertel des Ausgangswertes.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Luftdruck entsteht durch das Gewicht der darüber liegenden Atmosphärensäule.
2
Bei konstanter Temperatur sind Druck und Volumen eines Gases umgekehrt proportional - Boyle-Mariotte.
3
Ballons steigen, weil das Füllgas leichter ist als die verdrängte Umgebungsluft.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre die Entstehung des Luftdrucks und das Gesetz von Boyle-Mariotte. Beschreibe, wie ein Heissluftballon Auftrieb erzeugt, und nenne ein Experiment, das die Größe des Luftdrucks veranschaulicht.

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Typische Fehler

Boyle-Mariotte wird bei Temperaturänderung angewandt; das Gesetz gilt nur isotherm.
„Saugen" wird als aktive Kraft gedeutet statt als Erzeugen einer Druckdifferenz.
Die Luftdruckabnahme mit der Höhe wird als linear angenommen; sie verläuft exponentiell.
Der Auftrieb eines Ballons wird mit dem Gewicht der Ballonhülle verwechselt; entscheidend ist die verdrängte Luftmasse.
Bei der Saugpumpe wird eine beliebige Förderhöhe angenommen; über rund 10 m Wassersäule reicht der Luftdruck nicht mehr.

Aktive Wiederholung

Eine Taucherglocke schließt bei $1{,}0$ bar an der Oberfläche ein Luftvolumen von $3{,}0$ m $^{3}$ ein. Auf welches Volumen wird die Luft bei $30$ m Tiefe (Gesamtdruck $4{,}0$ bar) komprimiert, wenn die Temperatur konstant bleibt?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: OpenStax College Physics - Gas Laws (OpenStax)

Strömungslehre - Kontinuität und Bernoulli#

~4 Min LesezeitVertiefungPHY-Fluid-2b.4

Strömt eine inkompressible Flüssigkeit durch ein Rohr, muss in jedem Querschnitt pro Sekunde dieselbe Menge hindurch - das ist die Kontinuitätsgleichung

A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}

. Wird das Rohr enger, muss die Geschwindigkeit steigen (); deshalb spritzt ein zugehaltener Gartenschlauch weiter.

Venturi-Effekt - Strömung durch eine Rohrverengung

Abb. 4An der engen Stelle ist die Geschwindigkeit hoch und der statische Druck niedrig (

A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}

).

Abb. 4 ↓

Entlang einer Stromlinie ist in der idealen (reibungsfreien, stationären) Strömung die Summe aus statischem Druck, dynamischem Druck und Schweredruck konstant - die Bernoulli-Gleichung

p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g h=\text{const}

. Sie ist im Grunde der Energieerhaltungssatz für eine strömende Flüssigkeit, bezogen auf die Volumeneinheit.

Aus der Bernoulli-Gleichung folgt der zunächst überraschende Venturi-Effekt: Wo die Geschwindigkeit hoch ist (enge Stelle), ist der statische Druck niedrig. Die strömende Flüssigkeit „verbraucht" gleichsam statischen Druck, um den höheren dynamischen Druck

\tfrac{1}{2}\rho v^{2}

aufzubauen.

Setzt man Höhenunterschiede statt Geschwindigkeit ein, ergibt sich die Ausströmgeschwindigkeit aus einem Loch unter dem Wasserspiegel:

v=\sqrt{2 g h}

(Gesetz von Torricelli) - dieselbe Geschwindigkeit, die ein frei aus der Höhe

h

fallender Körper erreicht.

Der Venturi-Effekt erklärt zahlreiche Anwendungen: den Auftrieb einer Tragfläche (oben schnellere Strömung, geringerer Druck), den Zerstäuber, die Wasserstrahlpumpe und das Pitotrohr zur Geschwindigkeitsmessung im Flugzeug.

Reale Strömungen weichen von diesem idealen Bild ab, weil jede Flüssigkeit Viskosität (innere Reibung) besitzt und bei hoher Geschwindigkeit turbulent wird. Ob eine Strömung laminar oder turbulent ist, entscheidet die dimensionslose Reynolds-Zahl - der Übergang zum nächsten Abschnitt.

Vokabeln

→ Kartei

Kontinuitätsgleichung$A\,v=\text{const}$; die Volumenstromstärke bleibt im Rohr erhalten.
Bernoulli-Gleichung$p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g h=\text{const}$ entlang einer Stromlinie.
statischer DruckDer an der Rohrwand messbare Druckanteil.
dynamischer DruckStaudruck $\tfrac{1}{2}\rho v^{2}$; er wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.
Venturi-EffektDruckabfall in einer Verengung infolge der höheren Strömungsgeschwindigkeit.
stationäre StrömungStrömung, deren Größen an jedem Ort zeitlich konstant bleiben.

Kontinuitätsgleichung (inkompressibel)

A_{1}\,v_{1} = A_{2}\,v_{2}

$A$ ist der Rohrquerschnitt, $v$ die mittlere Strömungsgeschwindigkeit. Die Volumenstromstärke bleibt erhalten: Halber Querschnitt bedeutet doppelte Geschwindigkeit.

Bernoulli-Gleichung

p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g h = \text{const}

$p$ ist der statische Druck, $\tfrac{1}{2}\rho v^{2}$ der dynamische (Staudruck), $\rho g h$ der Schweredruck. Die Summe ist entlang einer Stromlinie konstant - vorausgesetzt, die Strömung ist stationär, reibungsfrei und inkompressibel.

Ausströmgeschwindigkeit (Torricelli)

v = \sqrt{2 g h}

$h$ ist die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über der Öffnung. Bemerkenswert: Es ist genau die Geschwindigkeit des freien Falls aus dieser Höhe - die Dichte kürzt sich heraus.

Musterbeispiel

Strömungsgeschwindigkeit in einer Rohrverengung

Wasser strömt in einem Rohr mit Querschnitt $A_{1}=10$ cm $^{2}$ und $v_{1}=2{,}0$ m/s. Das Rohr verengt sich auf $A_{2}=4{,}0$ cm $^{2}$ . Bestimme $v_{2}$ und die Druckdifferenz zwischen weitem und engem Abschnitt.

Kontinuität
$v_{2}=\dfrac{A_{1}v_{1}}{A_{2}}=\dfrac{10\cdot 2{,}0}{4{,}0}=5{,}0$ m/s.
Bernoulli (gleiche Höhe)
$p_{1}-p_{2}=\tfrac{1}{2}\rho(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(25-4)$ .
Auswertung
$p_{1}-p_{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 21=1{,}05\cdot 10^{4}$ Pa $\approx 0{,}105$ bar.

Ergebnis: $v_{2}=5{,}0$ m/s; im engen Abschnitt ist der Druck um rund $0{,}11$ bar niedriger (Venturi-Effekt).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Kontinuitätsgleichung sagt: wo das Rohr enger wird, strömt das Fluid schneller.
2
Bernoulli verbindet statischen Druck, dynamischen Druck und Schweredruck zu einem konstanten Gesamtdruck.
3
Der Venturi-Effekt erklärt Tragflächenauftrieb, Zerstäuber und Wasserstrahlpumpen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erläutere die Kontinuitätsgleichung und die Bernoulli-Gleichung. Erkläre damit den Auftrieb einer Tragfläche und berechne die Ausströmgeschwindigkeit aus einem Loch

1{,}8

m unter dem Wasserspiegel eines offenen Tanks.

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Typische Fehler

Bernoulli wird auf reibungsbehaftete oder instationäre Strömungen unbesehen angewandt.
Statischer und dynamischer Druck werden verwechselt; nur der statische wird an der Rohrwand gemessen.
Hohe Geschwindigkeit wird mit hohem statischem Druck gleichgesetzt; das Gegenteil ist der Fall.
Die Kontinuitätsgleichung wird auf die Geschwindigkeit allein angewandt; maßgeblich ist das Produkt aus Fläche und Geschwindigkeit.
Die Dichte wird in einer kompressiblen Strömung als konstant angenommen, ohne diese Annahme zu nennen.

Aktive Wiederholung

Aus einem großen offenen Wassertank strömt Wasser durch ein Loch $2{,}0$ m unter dem Wasserspiegel. Bestimme mit der Bernoulli-Gleichung die Ausströmgeschwindigkeit (Torricelli) und vergleiche sie mit dem freien Fall.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Hydrodynamik (Springer)

Oberflächenspannung und Kapillarität#

~3 Min LesezeitStandardPHY-Fluid-2b.5

Die Oberflächenspannung

\sigma

entsteht, weil ein Molekül im Inneren der Flüssigkeit von allen Seiten gleich angezogen wird, eines an der Oberfläche aber nur nach innen und zur Seite. Diese resultierende Kraft nach innen lässt sich als Energie pro Fläche oder gleichwertig als Kraft pro Länge auffassen (Einheit N/m).

Weil das Vergrößern der Oberfläche Energie kostet, streben Flüssigkeiten eine möglichst kleine Oberfläche an: Ein frei fallender Tropfen und eine Seifenblase werden kugelförmig, weil die Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat.

Ob eine Flüssigkeit eine Wand benetzt, hängt vom Wettstreit zweier Kräfte ab: der Adhäsion (Anziehung zwischen Flüssigkeit und Wand) und der Kohäsion (Anziehung der Flüssigkeitsmoleküle untereinander). Überwiegt die Adhäsion, benetzt die Flüssigkeit (Wasser auf Glas, konkaver Meniskus); überwiegt die Kohäsion, perlt sie ab (Quecksilber, konvexer Meniskus).

In engen Röhren führt das zur Kapillarität: Eine benetzende Flüssigkeit wie Wasser steigt auf (), eine nicht benetzende wie Quecksilber wird hinabgedrückt. Die Steighöhe folgt aus dem Gleichgewicht von Oberflächenkraft und Gewicht der Säule.

Kapillarität - Steighöhe in einer engen Röhre

Abb. 5Benetzende Flüssigkeit steigt in der Kapillare auf die Höhe

h=\dfrac{2\sigma}{\rho g r}

.

Abb. 5 ↓

Quantitativ gilt die Kapillarsteighöhe

h=\dfrac{2\sigma}{\rho g r}

: Sie ist umgekehrt proportional zum Röhrenradius - je enger die Kapillare, desto höher steigt die Flüssigkeit. Diese

1/r

-Abhängigkeit ist die häufigste Prüfungsaussage.

Kapillarität ist allgegenwärtig: Sie treibt das Wasser im Docht einer Kerze hoch, transportiert Wasser in Pflanzen und im Boden, zieht Lötzinn in feine Spalte und lässt Tinte ins Löschpapier dringen.

Vokabeln

→ Kartei

OberflächenspannungKraft je Länge an der Flüssigkeitsoberfläche; gleichbedeutend mit Energie je Fläche.
AdhäsionAnziehung zwischen Flüssigkeit und fester Wand.
KohäsionAnziehung der Flüssigkeitsteilchen untereinander.
MeniskusGekrümmte Flüssigkeitsoberfläche in einem engen Rohr.
KapillaritätSteigen oder Sinken einer Flüssigkeit in engen Röhren infolge der Grenzflächenkräfte.
BenetzungAusbreiten einer Flüssigkeit auf einer Oberfläche; sie tritt ein, wenn die Adhäsion überwiegt.

Kapillarsteighöhe

h=\dfrac{2\sigma}{\rho\,g\,r}

$\sigma$ ist die Oberflächenspannung in $\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ , $r$ der Kapillarradius. Die Steighöhe wächst mit $\tfrac{1}{r}$ : Ein halb so weites Rohr hebt die Flüssigkeit doppelt so hoch.

Oberflächenspannung

\sigma=\dfrac{F}{l}=\dfrac{\Delta E}{\Delta A}

Zwei gleichwertige Deutungen: Kraft je Randlänge oder Energie je neu geschaffener Fläche. Die Einheiten $\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ und $\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^{2}}$ sind identisch.

Musterbeispiel

Kapillarsteighöhe von Wasser

$\sigma=0{,}073$ N/m, $\rho=1000$ kg/m $^{3}$ , $r=0{,}50$ mm $=5{,}0\cdot 10^{-4}$ m.

Formel
$h=\dfrac{2\sigma}{\rho g r}$ .
Einsetzen
$h=\dfrac{2\cdot 0{,}073}{1000\cdot 9{,}81\cdot 5{,}0\cdot 10^{-4}}=\dfrac{0{,}146}{4{,}905}$ .
Auswertung
$h\approx 0{,}0298$ m $\approx 3{,}0$ cm.

Ergebnis: Wasser steigt rund $3{,}0$ cm; bei halbem Radius wäre die Steighöhe doppelt so groß ( $h\propto 1/r$ ).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Oberflächenspannung entsteht, weil Moleküle an der Oberfläche nach innen gezogen werden.
2
Bei benetzenden Flüssigkeiten überwiegt die Adhäsion, und das Fluid steigt in engen Röhren auf.
3
Je enger die Kapillare, desto höher steigt die Flüssigkeit - das nutzt jede Pflanze.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre die Oberflächenspannung und das Phänomen der Kapillarität auf molekularer Ebene. Nenne zwei Alltagsbeispiele und berechne die Kapillarsteighöhe in einer Röhre mit Radius

0{,}25

mm für Wasser.

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Typische Fehler

Oberflächenspannung und Druck werden verwechselt; ihre Einheiten unterscheiden sich.
Die Kapillarsteighöhe wird proportional zu $r$ angenommen statt zu $\tfrac{1}{r}$ .
Adhäsion und Kohäsion werden vertauscht; dann kommt die Meniskusform falsch heraus.
Die Oberflächenspannung wird als temperaturunabhängig behandelt; sie nimmt mit steigender Temperatur ab.
Die Kapillarität wird als Sonderfall des Auftriebs beschrieben; sie beruht auf Grenzflächenkräften.

Aktive Wiederholung

Berechne die Steighöhe von Wasser ( $\sigma=0{,}073$ N/m, $\rho=1000$ kg/m $^{3}$ ) in einer Kapillare mit Radius $0{,}50$ mm und erläutere, warum dünnere Röhren höher steigen.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: OpenStax College Physics - Cohesion and Adhesion (OpenStax)

Viskosität und reale Strömungen#

~3 Min LesezeitVertiefungPHY-Fluid-2b.6

Die Viskosität (Zähigkeit)

\eta

beschreibt die innere Reibung eines Fluids: Benachbarte Flüssigkeitsschichten, die aneinander vorbeigleiten, bremsen sich gegenseitig. Honig hat eine hohe, Wasser eine niedrige Viskosität - deshalb fließt Honig zäh und langsam, Wasser leicht.

Bei niedriger Geschwindigkeit ist die Strömung laminar: Das Fluid bewegt sich in geordneten, parallelen Schichten. Bei hoher Geschwindigkeit schlägt sie in eine turbulente Strömung mit Wirbeln um, in der sich die Schichten chaotisch durchmischen.

Welcher Fall vorliegt, entscheidet die dimensionslose Reynolds-Zahl

Re=\dfrac{\rho v d}{\eta}

. Kleine Werte (etwa

Re<2300

im Rohr) bedeuten laminare, große Werte turbulente Strömung. Weil sie dimensionslos ist, erlaubt sie den Vergleich ganz unterschiedlicher Strömungen vom Blutgefäß bis zur Pipeline.

Auf eine langsam (laminar) durch ein zähes Fluid bewegte Kugel wirkt nach dem Stokesschen Gesetz die Reibungskraft

F=6\pi\eta r v

. Da sie mit der Geschwindigkeit wächst, stellt sich beim Sinken rasch ein Kräftegleichgewicht ein: Gewicht

=

Auftrieb

+

Stokes-Reibung, und die Kugel sinkt von da an mit konstanter Endgeschwindigkeit ().

Sinkende Kugel - Kräfte bei Endgeschwindigkeit

Abb. 6Bei konstanter Sinkgeschwindigkeit gilt

F_{G}=F_{A}+F_{R}

(Gewicht = Auftrieb + Stokes-Reibung).

Abb. 6 ↓

In einer laminaren Rohrströmung beschreibt das Gesetz von Hagen-Poiseuille den Durchfluss; er wächst mit der vierten Potenz des Radius. Eine Halbierung des Gefäßradius senkt den Durchfluss also auf ein Sechzehntel - in der Medizin der Grund, warum schon eine geringe Verengung eines Blutgefäßes große Wirkung hat.

Wegen Viskosität und Turbulenz weichen reale Strömungen stets von der idealen Bernoulli-Beschreibung ab: Ein Teil der Strömungsenergie wird in Wärme dissipiert, und es treten Strömungswiderstände auf, die das ideale Modell nicht kennt.

Vokabeln

→ Kartei

ViskositätMaß für die innere Reibung eines Fluids; Formelzeichen $\eta$.
laminare StrömungGeordnete Schichtenströmung ohne Durchmischung.
turbulente StrömungWirbelbehaftete, durchmischte Strömung.
Reynolds-ZahlDimensionslose Kennzahl; sie entscheidet über laminar oder turbulent.
Stokessches Gesetz$F=6\pi\eta r v$; Reibungskraft auf eine langsam umströmte Kugel.
SinkgeschwindigkeitKonstante Endgeschwindigkeit, wenn Gewicht, Auftrieb und Reibung im Gleichgewicht stehen.

Reynolds-Zahl

Re=\dfrac{\rho\,v\,d}{\eta}

$\rho$ ist die Dichte, $v$ die Geschwindigkeit, $d$ eine charakteristische Länge und $\eta$ die dynamische Viskosität. Die Zahl ist DIMENSIONSLOS; im Rohr gilt oberhalb von rund 2300 die Strömung als turbulent.

Stokessche Reibungskraft

F_{Stokes}=6\pi\,\eta\,r\,v

$\eta$ ist die Viskosität, $r$ der Kugelradius, $v$ die Relativgeschwindigkeit. Die Formel gilt nur für kleine Kugeln in LAMINARER Umströmung, also bei kleiner Reynolds-Zahl.

Musterbeispiel

Stokessche Reibung einer sinkenden Kugel

$r=1{,}0$ mm $=1{,}0\cdot 10^{-3}$ m, $v=0{,}02$ m/s, $\eta=1{,}5$ Pa s.

Formel
$F=6\pi\eta r v$ .
Einsetzen
$F=6\pi\cdot 1{,}5\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}02$ .
Auswertung
$F\approx 5{,}65\cdot 10^{-4}$ N.

Ergebnis: Die Reibungskraft beträgt rund $5{,}7\cdot 10^{-4}$ N; bei konstanter Sinkgeschwindigkeit halten sich Gewicht, Auftrieb und Reibung im Gleichgewicht.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Viskosität beschreibt die innere Reibung eines Fluids - Honig ist zäher als Wasser.
2
Die dimensionslose Reynolds-Zahl entscheidet, ob eine Strömung laminar oder turbulent ist.
3
Im Stokesschen Bereich fällt eine Kugel mit konstanter Geschwindigkeit, weil sich alle Kräfte ausgleichen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Erkläre den Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Strömung und die Bedeutung der Reynolds-Zahl. Was beschreibt das Stokessche Gesetz, und warum sinkt ein Teilchen in einer zähen Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit?

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Typische Fehler

Viskosität und Dichte werden verwechselt; Honig ist zäh, aber nicht besonders dicht.
Die Reynolds-Zahl wird mit einer Einheit versehen; sie ist dimensionslos.
Das Stokessche Gesetz wird auf turbulente Umströmung angewandt, wo es nicht mehr gilt.
Der Auftrieb wird bei der Sinkgeschwindigkeit vergessen; das Ergebnis kommt zu groß heraus.
Die Temperaturabhängigkeit wird verallgemeinert - Flüssigkeiten und Gase verhalten sich gegenläufig.

Aktive Wiederholung

Eine kleine Kugel ( $r=1{,}0$ mm) sinkt mit konstanter Geschwindigkeit $v=0{,}02$ m/s in Glyzerin ( $\eta=1{,}5$ Pa s). Berechne die Stokessche Reibungskraft und erläutere, warum die Sinkgeschwindigkeit konstant ist.

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Quellen: Demtröder Experimentalphysik 1 - Viskosität (Springer)