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Notizen/Angewandte Mathematik/B 6 - Integralrechnung und Anwendungen
AT · Matura

B 6 - Integralrechnung und Anwendungen

Stammfunktion und unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral als Flächeninhalt, Anwendungen in Mechanik, Wirtschaft und Statistik.

6 Abschnitte·~19 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Stand 06/2026

T·0666 / 13
Prüfungsprofil
B-6.1 · Stammfunktion bestimmen und Integrationsregeln anwendenB-6.2 · Bestimmtes Integral berechnen und als Fläche interpretierenB-6.3 · Integral als Aufsummierung in Anwendungen
Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 6 - Integralrechnung und Anwendungen
    • 01Stammfunktion und unbestimmtes Integral◐
    • 02Bestimmtes Integral und Fläche◐
    • 03Integral als Aufsummierung in Anwendungen●
    • 04Mittelwert einer Funktion und Durchschnittsbestand◐
    • 05Numerische Integration: Trapezregel◐
    • 06Rotationsvolumen und ökonomische Renten●

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 7 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Stammfunktion und unbestimmtes Integral#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-6.1

Kernpunkte

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung: Statt aus dem Bestand die Änderungsrate zu gewinnen, rekonstruiert man aus einer Rate den Bestand. Den Anfang macht die Stammfunktion - eine Funktion FFF heißt Stammfunktion von fff, wenn F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x) gilt; man hat das Ableiten also „rückwärts" auszuführen.
Eine Funktion hat nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur durch eine additive Konstante unterscheiden: ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C. Anschaulich ist das eine Schar deckungsgleicher, vertikal verschobener Kurven, die an jeder Stelle dieselbe Steigung haben () - die Konstante geht beim Ableiten ja verloren.

Schar der Stammfunktionen (+C)

Stammfunktionsschar F(x) + CSchaubild von C=2, Tiefpunkt bei (0, 2), y-Achsenabschnitt bei y = 2, im Bereich x von -3 bis 3, Schaubild von C=0, Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -3 bis 3, Schaubild von C=-2, Nullstellen bei x = -2, 2, Tiefpunkt bei (0, -2), y-Achsenabschnitt bei y = -2, im Bereich x von -3 bis 3−3−2−1123−4−22468C = 2C = 0C = −2F(x)x
Abb. 1Alle Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich nur durch die Konstante CCC - sie bilden eine Schar deckungsgleicher, vertikal verschobener Kurven mit gleicher Steigung an jeder Stelle.
Abb. 1 ↓
Genau deshalb ist die Integrationskonstante +C+C+C beim unbestimmten Integral unverzichtbar; sie zu vergessen, ist der häufigste Fehler. Erst eine Zusatzbedingung (ein bekannter Funktionswert) legt CCC und damit eine bestimmte Stammfunktion fest.
Die Integration ist linear: ∫(a f+b g) dx=a∫f dx+b∫g dx\int (a\,f+b\,g)\,\mathrm{d}x=a\int f\,\mathrm{d}x+b\int g\,\mathrm{d}x∫(af+bg)dx=a∫fdx+b∫gdx. Das erlaubt, eine Summe gliedweise zu integrieren und konstante Faktoren vorzuziehen - jeder Term wird einzeln behandelt.
Die wichtigste Regel ist die umgekehrte Potenzregel ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C∫xndx=n+1xn+1​+C für n≠−1n\neq -1n=−1: Man erhöht den Exponenten um eins und teilt durch den neuen Exponenten. Der Ausschluss n=−1n=-1n=−1 ist wesentlich, weil dort durch null geteilt würde.
Diesen Sonderfall deckt ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \tfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C∫x1​dx=ln∣x∣+C ab; ebenso braucht man ∫ekx dx=1kekx+C\int \mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kx}+C∫ekxdx=k1​ekx+C. Die sicherste Kontrolle jeder Integration ist die Probe: Leitet man die gefundene Stammfunktion ab, muss wieder der Integrand herauskommen.

Vokabeln

→ Kartei
  • StammfunktionFunktion $F$ mit $F'=f$; sie ist bis auf eine additive Konstante bestimmt.
  • unbestimmtes IntegralMenge aller Stammfunktionen eines Integranden, geschrieben mit $+C$.
  • IntegrationskonstanteDie additive Konstante $C$; sie wird aus einer Anfangsbedingung bestimmt.
  • IntegrandDer zu integrierende Term.
  • LinearitätRegel, nach der Summen gliedweise und konstante Faktoren vor das Integral gezogen werden.
  • AnfangsbedingungVorgegebener Funktionswert, aus dem sich $C$ berechnen lässt.

Wichtige Stammfunktionen

∫xn dx=xn+1n+1+C  (n≠−1),∫ekx dx=1kekx+C\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq -1),\quad \int \mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kx}+C∫xndx=n+1xn+1​+C(n=−1),∫ekxdx=k1​ekx+C

CCC ist die Integrationskonstante und gehört zu jedem unbestimmten Integral. Der Ausschluss n≠−1n\neq-1n=−1 ist wesentlich: ∫x−1 dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C∫x−1dx=ln∣x∣+C.

Musterbeispiel

Polynom integrieren

∫(4x3−6x+2x) dx\int (4x^{3}-6x+\tfrac{2}{x})\,\mathrm{d}x∫(4x3−6x+x2​)dx.

  1. 01Terme einzeln

    ∫4x3 dx=x4\int 4x^{3}\,\mathrm{d}x=x^{4}∫4x3dx=x4, ∫−6x dx=−3x2\int -6x\,\mathrm{d}x=-3x^{2}∫−6xdx=−3x2, ∫2x dx=2ln⁡∣x∣\int \tfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x=2\ln|x|∫x2​dx=2ln∣x∣.

  2. 02Zusammenfügen

    F(x)=x4−3x2+2ln⁡∣x∣+CF(x)=x^{4}-3x^{2}+2\ln|x|+CF(x)=x4−3x2+2ln∣x∣+C.

Ergebnis: x4−3x2+2ln⁡∣x∣+Cx^{4}-3x^{2}+2\ln|x|+Cx4−3x2+2ln∣x∣+C.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Eine Stammfunktion ist die "Umkehrung" der Ableitung - F' = f.

  2. 2

    Vergiss nie die Integrationskonstante +C+C+C beim unbestimmten Integral.

  3. 3

    Prüfe stets durch Differenzieren.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme eine Stammfunktion zu f(x)=2x3−5x+1f(x)=2x^{3}-5x+1f(x)=2x3−5x+1. (Alle Cluster)

Maturafokus

  • Schreibe bei jedem unbestimmten Integral die Integrationskonstante CCC mit - sie ist Teil der Lösung, nicht Zierde.
  • Zerlege komplexe Integranden mit der Linearität in Summanden und ziehe konstante Faktoren heraus.
  • Behandle ∫x−1 dx\int x^{-1}\,\mathrm{d}x∫x−1dx als Sonderfall: Das Ergebnis ist ln⁡∣x∣+C\ln|x|+Cln∣x∣+C, nicht x00\tfrac{x^{0}}{0}0x0​.
  • Mache die Probe durch Ableiten der Stammfunktion - sie muss den Integranden zurückliefern.
  • Bestimme CCC aus einer gegebenen Anfangsbedingung, sobald der Kontext einen konkreten Bestand nennt.

Typische Fehler

  • Die Integrationskonstante CCC fehlt; die Aufgabe hat dann unendlich viele Lösungen und keine wurde angegeben.
  • Die Potenzregel wird auf n=−1n=-1n=−1 angewandt; dort greift stattdessen ln⁡∣x∣\ln|x|ln∣x∣.
  • Beim Integrieren verketteter Terme wird der innere Faktor nicht berücksichtigt - ∫ekx dx=1kekx+C\int\mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{k}\mathrm{e}^{kx}+C∫ekxdx=k1​ekx+C.
  • Konstante Faktoren werden mitintegriert statt herausgezogen.
  • Die Betragsstriche in ln⁡∣x∣\ln|x|ln∣x∣ fehlen; der Definitionsbereich wird dadurch unnötig eingeschränkt.

§ 01

Aktive Wiederholung

Bestimme ∫(3x2−2x+5ex) dx\int (3x^{2}-2x+5\mathrm{e}^{x})\,\mathrm{d}x∫(3x2−2x+5ex)dx.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02
§ 02

Bestimmtes Integral und Fläche#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-6.2

Kernpunkte

Das bestimmte Integral ∫abf(x) dx\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx ist eine Zahl - die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse über dem Intervall [a;b][a;b][a;b] (, ). Es verbindet die anschauliche Flächenidee mit der Stammfunktion.

Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

Bestimmtes Integral als orientierte FlächeSchaubild von f(x), Nullstellen bei x = -1.464, 5.464, Hochpunkt bei (2, 3), y-Achsenabschnitt bei y = 2, im Bereich x von -2 bis 6−2−1123456−1123abf(x)f(x)x
Abb. 2Bei nicht-negativer Funktion entspricht das Integral der Fläche.

Fläche zwischen f(x)=-0,25x²+x+2 und x-Achse

Fläche zwischen f(x) = −0,25x² + x + 2 und der x-AchseSchaubild von f, Nullstellen bei x = -1.464, 5.464, Hochpunkt bei (2, 3), y-Achsenabschnitt bei y = 2, im Bereich x von -2 bis 6−2−1123456−1123abff(x)x
Abb. 3Bestimmtes Integral entspricht der Fläche unter dem Graph zwischen den Nullstellen.
Abb. 2 ↓Abb. 3 ↓
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt diese Verbindung her: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a) mit einer beliebigen Stammfunktion FFF. Man integriert also, indem man eine Stammfunktion an den Grenzen auswertet und die Werte subtrahiert - die Integrationskonstante fällt dabei weg.
Bei einer nicht-negativen Funktion ist der Integralwert genau der Flächeninhalt. „Orientiert" heißt aber: Flächen unter der x-Achse zählen negativ. Wechselt fff im Intervall das Vorzeichen, können sich Teilflächen gegenseitig auslöschen.
Für den echten Flächeninhalt bei Vorzeichenwechsel muss man daher zuerst die Nullstellen bestimmen, über die Teilintervalle einzeln integrieren und die Beträge summieren. Eine Fläche ist nie negativ - ein negativer „Flächenwert" ist ein sicheres Zeichen, diesen Schritt übersprungen zu haben.
Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x∫ab​(f(x)−g(x))dx mit fff oben und ggg unten; die Grenzen a,ba,ba,b sind die Schnittstellen, die man zuvor aus f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) berechnet. Werden diese Schnittstellen nicht bestimmt, sind die Integrationsgrenzen falsch.
In Anwendungen trägt das Integral Bedeutung und Einheit: In der Technik ist es Arbeit, Weg oder Volumen, in der Wirtschaft Gesamtnutzen oder Konsumentenrente. Eng verwandt ist der Funktionsmittelwert fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}xfˉ​=b−a1​∫ab​f(x)dx, der im nächsten Abschnitt vertieft wird.

Vokabeln

→ Kartei
  • bestimmtes IntegralZahl $F(b)-F(a)$; im Sachkontext eine aufsummierte Wirkung.
  • IntegrationsgrenzenUntere und obere Grenze des Integrals; ihr Tausch kehrt das Vorzeichen um.
  • orientierte FlächeFlächenbilanz mit Vorzeichen; unterhalb der Achse negativ.
  • HauptsatzZusammenhang von Ableiten und Integrieren: $\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$.
  • Fläche zwischen zwei Kurven$\int_a^b |f(x)-g(x)|\,\mathrm{d}x$ zwischen den Schnittstellen.
  • Nullstelle des IntegrandenStelle, an der das Vorzeichen wechselt; sie zerlegt das Integrationsintervall.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

∫abf(x) dx=F(b)−F(a),F′(x)=f(x)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a),F′(x)=f(x)

FFF ist eine beliebige Stammfunktion von fff; die Integrationskonstante kürzt sich in der Differenz heraus. Der Satz verbindet Ableiten und Integrieren als Umkehroperationen.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Bestimmtes Integral einer linearen Funktion

Berechne ∫14(2x+3) dx\int_{1}^{4}(2x+3)\,\mathrm{d}x∫14​(2x+3)dx.

  1. 01Stammfunktion

    F(x)=x2+3xF(x)=x^{2}+3xF(x)=x2+3x.

  2. 02Auswerten

    F(4)−F(1)=(16+12)−(1+3)=28−4=24F(4)-F(1)=(16+12)-(1+3)=28-4=24F(4)−F(1)=(16+12)−(1+3)=28−4=24.

Ergebnis: Wert des Integrals: 242424.

Musterbeispiel

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph f(x)=−x2+4f(x)=-x^{2}+4f(x)=−x2+4 mit der x-Achse einschliesst.

  1. 01Nullstellen

    −x2+4=0⇒x=±2-x^{2}+4=0 \Rightarrow x=\pm 2−x2+4=0⇒x=±2.

  2. 02Integration

    ∫−22(−x2+4) dx=[−x33+4x]−22\int_{-2}^{2}(-x^{2}+4)\,\mathrm{d}x=\left[-\tfrac{x^{3}}{3}+4x\right]_{-2}^{2}∫−22​(−x2+4)dx=[−3x3​+4x]−22​.

  3. 03Auswerten

    F(2)=−83+8=163F(2)=-\tfrac{8}{3}+8=\tfrac{16}{3}F(2)=−38​+8=316​, F(−2)=83−8=−163F(-2)=\tfrac{8}{3}-8=-\tfrac{16}{3}F(−2)=38​−8=−316​, Differenz 323≈10,67\tfrac{32}{3}\approx 10{,}67332​≈10,67.

Ergebnis: Fläche 323≈10,67\tfrac{32}{3}\approx 10{,}67332​≈10,67 Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Das bestimmte Integral berechnet die orientierte Fläche unter dem Graph.

    Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

    Bestimmtes Integral als orientierte FlächeSchaubild von f(x), Nullstellen bei x = -1.464, 5.464, Hochpunkt bei (2, 3), y-Achsenabschnitt bei y = 2, im Bereich x von -2 bis 6−2−1123456−1123abf(x)f(x)x
    Abb.Bei nicht-negativer Funktion entspricht das Integral der Fläche.
  2. 2

    Bei Vorzeichenwechseln muss man die Flächen getrennt nehmen, sonst gibt es Auslöschungen.

  3. 3

    Für Flächen zwischen zwei Kurven immer obere minus untere Funktion integrieren.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme den Inhalt der Fläche, die durch die Graphen von f(x)=x2−1f(x)=x^{2}-1f(x)=x2−1 und g(x)=3−x2g(x)=3-x^{2}g(x)=3−x2 eingeschlossen wird. (HTL)

Maturafokus

  • Berechne das bestimmte Integral über ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a)∫ab​f=F(b)−F(a) und gib die eckige-Klammer-Notation im Rechenweg an.
  • Trenne Integralwert von Fläche: Unterhalb der Achse liefert das Integral negative Beiträge, die Fläche ist stets positiv.
  • Bestimme bei Vorzeichenwechsel zuerst die Nullstellen und integriere abschnittsweise mit Betrag.
  • Berechne bei zwei Kurven zuerst die Schnittstellen; sie sind die Integrationsgrenzen für ∫∣f−g∣\int|f-g|∫∣f−g∣.
  • Prüfe die Reihenfolge der Grenzen - Vertauschen kehrt das Vorzeichen um.

Typische Fehler

  • Eine Fläche wird negativ angegeben; das Integral darf negativ sein, die Fläche nicht.
  • Die Schnittpunkte zweier Kurven werden nicht berechnet, die Integrationsgrenzen sind dadurch falsch.
  • Die Integrationsgrenzen werden vertauscht; das Ergebnis erhält das falsche Vorzeichen.
  • Bei Vorzeichenwechsel wird über das ganze Intervall integriert; die Teilflächen löschen einander teilweise aus.
  • Bei der Fläche zwischen zwei Kurven wird die Differenz falsch herum gebildet, ohne den Betrag zu nehmen.

§ 02

Aktive Wiederholung

Berechne die Fläche zwischen f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 und g(x)=x+2g(x)=x+2g(x)=x+2.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03
§ 03

Integral als Aufsummierung in Anwendungen#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-6.3

Kernpunkte

Die zentrale Anwendungsidee der Integralrechnung lautet: Eine Rate (Änderung pro Zeiteinheit) aufsummiert über die Zeit ergibt die Gesamtmenge. Das Integral ∫abf(t) dt\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t∫ab​f(t)dt ist die Fläche unter der Ratenkurve und damit der über das Intervall angesammelte Gesamtwert ().

Integral einer Rate als Gesamtmenge

Gesamtmenge als Fläche unter der RateSchaubild von q(t), y-Achsenabschnitt bei y = 20, steigend, im Bereich x von 0 bis 5123451020304050q(t)q (L/h)t (h)
Abb. 4Bei einer Förderrate q(t)=20+5tq(t)=20+5tq(t)=20+5t ist die geförderte Gesamtmenge Q=∫04q(t) dtQ=\int_{0}^{4}q(t)\,\mathrm{d}tQ=∫04​q(t)dt die Fläche unter der Ratenkurve.
Abb. 4 ↓
Der erste und wichtigste Schritt jeder solchen Aufgabe ist die Unterscheidung: Ist eine Änderungsrate gegeben (dann integrieren) oder ein Bestand (dann ableiten, falls die Rate gefragt ist)? Wörter wie „pro Stunde", „Zufluss", „Geschwindigkeit" signalisieren eine Rate.
In der Mechanik ist das die Kette Beschleunigung - Geschwindigkeit - Weg: v=∫a(t) dtv=\int a(t)\,\mathrm{d}tv=∫a(t)dt und s=∫v(t) dts=\int v(t)\,\mathrm{d}ts=∫v(t)dt. Integrieren führt jeweils eine Stufe „nach oben", Ableiten eine Stufe „nach unten".
In der Wirtschaft summiert das Integral Grenzgrößen auf: Aus den Grenzkosten k′(x)k'(x)k′(x) werden die Gesamtkosten K=∫k′(x) dxK=\int k'(x)\,\mathrm{d}xK=∫k′(x)dx, und Konsumenten- bzw. Produzentenrente sind Flächen im Preis-Mengen-Diagramm. In den Naturwissenschaften liefert das Integral der Konzentration die Substanzmenge.
Bei exponentiellen Raten ergibt sich oft ein Grenzwert: Ein Zufluss q(t)=10 e−0,5tq(t)=10\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}q(t)=10e−0,5t summiert sich über lange Zeit nur zu einer endlichen Gesamtmenge, weil die Rate immer kleiner wird - das ist der mathematische Kern von „Sättigung".
Liegen nur Messwerte statt einer Formel vor oder fehlt eine elementare Stammfunktion, nähert man das Integral numerisch (Trapez- oder Simpson-Regel, siehe nächster Abschnitt). In jedem Fall gilt: Das Ergebnis trägt die Einheit f⋅tf\cdot tf⋅t (z. B. L/h⋅h=L\mathrm{L/h}\cdot \mathrm{h}=\mathrm{L}L/h⋅h=L) und ist in Worten zu deuten.

Vokabeln

→ Kartei
  • BestandsfunktionFunktion, die die vorhandene Menge zu jedem Zeitpunkt angibt.
  • ÄnderungsratenfunktionFunktion, die den Zufluss oder Abfluss je Zeiteinheit angibt; ihre Stammfunktion ist der Bestand.
  • GesamtänderungIntegral der Änderungsrate über ein Zeitintervall.
  • AufsummierungAnschauliche Deutung des Integrals als Summe unendlich vieler kleiner Beiträge.
  • AnfangsbestandBestand zum Startzeitpunkt; er legt die Integrationskonstante fest.
  • EinheitenproduktEinheit des Integrals: Einheit des Integranden mal Einheit der Variablen.

Gesamtmenge aus Rate

Q=∫abq(t) dtQ=\int_{a}^{b}q(t)\,\mathrm{d}tQ=∫ab​q(t)dt

q(t)q(t)q(t) ist eine ÄNDERUNGSRATE, etwa ein Zufluss in Lmin\tfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}}minL​; QQQ ist die im Zeitraum [a;b][a;b][a;b] aufsummierte Menge. Die Einheit des Ergebnisses ist das Produkt beider Achseneinheiten.

Musterbeispiel

Wassermenge aus Förderrate

Förderrate q(t)=20+5tq(t)=20+5tq(t)=20+5t in L/h\mathrm{L/h}L/h, für 0≤t≤40\leq t\leq 40≤t≤4.

  1. 01Integral

    Q=∫04(20+5t) dt=[20t+5t22]04Q=\int_{0}^{4}(20+5t)\,\mathrm{d}t=\left[20t+\tfrac{5t^{2}}{2}\right]_{0}^{4}Q=∫04​(20+5t)dt=[20t+25t2​]04​.

  2. 02Auswerten

    Q=(80+40)−0=120 LQ=(80+40)-0=120\,\mathrm{L}Q=(80+40)−0=120L.

Ergebnis: In 4 Stunden werden 120 L120\,\mathrm{L}120L gefördert.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Integriere immer eine Rate, um den Gesamtwert zu bekommen.

  2. 2

    Bei exponentiellen Raten ergibt sich oft ein Grenzwert.

  3. 3

    Antworten immer mit Einheit und kurzer Bedeutung.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Wasserzuflussrate eines Behälters wird durch q(t)=10e−0,5tq(t)=10\mathrm{e}^{-0{,}5t}q(t)=10e−0,5t (ttt in Stunden, qqq in L/h\mathrm{L/h}L/h) beschrieben. Berechne die in den ersten 6 Stunden insgesamt zugeflossene Wassermenge. (HTL)

Maturafokus

  • Erkenne die Rolle der gegebenen Funktion: Ist sie ein BESTAND, wird abgelesen; ist sie eine ÄNDERUNGSRATE, wird integriert.
  • Bestimme die Einheit des Integrals als Produkt der Achseneinheiten - Lmin\tfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}}minL​ mal min ergibt Liter.
  • Setze die Integrationsgrenzen aus dem Zeitfenster der Frage, nicht aus dem Definitionsbereich der Funktion.
  • Bestimme die Integrationskonstante aus dem Anfangsbestand, wenn der Gesamtbestand zu jedem Zeitpunkt gefragt ist.
  • Formuliere die Antwort als vollständigen Satz mit Zahl, Einheit und Zeitraum.

Typische Fehler

  • Es wird über den falschen Zeitraum integriert, weil die Grenzen aus der Grafik statt aus der Frage übernommen werden.
  • Die Anfangsbedingung bleibt unbeachtet; CCC wird nicht bestimmt und der Bestand startet bei null.
  • Die Einheit des Ergebnisses stimmt nicht; das Integral trägt die Einheit von fff mal der Einheit von xxx.
  • Eine Änderungsrate wird direkt als Bestand gedeutet; erst das Integral liefert die aufsummierte Größe.
  • Die Antwort bleibt eine Zahl ohne Deutung; der Operator „interpretieren" verlangt einen Satz.

§ 03

Aktive Wiederholung

Eine Pumpe fördert Wasser mit Rate q(t)=20+5tq(t)=20+5tq(t)=20+5t (ttt in Stunden, qqq in L/h\mathrm{L/h}L/h). Wie viel Wasser flossen in den ersten 4 Stunden?

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04
§ 04

Mittelwert einer Funktion und Durchschnittsbestand#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-6.2LPB-6.3

Kernpunkte

Oft interessiert nicht der Verlauf einer Größe, sondern ihr Durchschnitt über eine ganze Periode - der mittlere Lagerbestand eines Monats, die durchschnittliche Leistung einer Anlage, die mittlere Geschwindigkeit einer Fahrt. Weil die Größe stetig variiert, lässt sich dieser Durchschnitt nicht durch einfaches Mitteln einzelner Werte bilden, sondern verlangt das Integral.
Der Funktionsmittelwert einer stetigen Funktion auf [a;b][a;b][a;b] ist fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}xfˉ​=b−a1​∫ab​f(x)dx - das Integral (die Gesamtfläche) geteilt durch die Intervalllänge. Die Division durch (b−a)(b-a)(b−a) ist der entscheidende, leicht vergessene Schritt; ohne ihn erhält man nur den Integralwert, nicht den Mittelwert.
Geometrisch ist fˉ\bar ffˉ​ die Höhe eines Rechtecks über [a;b][a;b][a;b], das denselben Flächeninhalt besitzt wie die Fläche unter fff (). Man „glättet" die Kurve also zu einer waagrechten Linie gleicher Fläche - das ist die anschauliche Bedeutung des Durchschnitts.

Mittelwert einer Funktion

Funktionsmittelwert als flächengleiches RechteckSchaubild von v(t), Nullstellen bei x = 0, 12, Hochpunkt bei (6, 36), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 1224681012510152025303540Mittelwert 24v(t)v (m/s)t (s)
Abb. 5Der Funktionsmittelwert fˉ\bar ffˉ​ ist die Höhe des Rechtecks über [a;b][a;b][a;b], das dieselbe Fläche besitzt wie die Fläche unter fff - hier vˉ=24 m/s\bar v=24\,\mathrm{m/s}vˉ=24m/s.
Abb. 5 ↓
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung präzisiert das: Es gibt mindestens eine Stelle ξ∈[a;b]\xi\in[a;b]ξ∈[a;b], an der die Funktion ihren eigenen Mittelwert tatsächlich annimmt, f(ξ)=fˉf(\xi)=\bar ff(ξ)=fˉ​. Die stetige Funktion erreicht ihren Durchschnitt also irgendwo wirklich.
In Anwendungen liefert fˉ\bar ffˉ​ den gesuchten Durchschnittsbestand mit Einheit: Bei einer Geschwindigkeit v(t)=12t−t2v(t)=12t-t^{2}v(t)=12t−t2 über [0;12][0;12][0;12] ist die mittlere Geschwindigkeit vˉ=24 m/s\bar v=24\,\mathrm{m/s}vˉ=24m/s - bei dieser konstanten Geschwindigkeit wäre derselbe Weg in derselben Zeit zurückgelegt worden.
Wichtig ist die Abgrenzung: Der Funktionsmittelwert (kontinuierlich, über das Integral) ist nicht das arithmetische Mittel einiger Funktionswerte und auch nicht der Mittelwert f(a)+f(b)2\tfrac{f(a)+f(b)}{2}2f(a)+f(b)​ der Randwerte. Das arithmetische Mittel diskreter Messwerte gehört zur beschreibenden Statistik (B 7).

Vokabeln

→ Kartei
  • Integralmittelwert$\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f$; die konstante Größe mit gleicher Gesamtwirkung.
  • Intervalllänge$b-a$; Divisor bei der Mittelwertbildung.
  • DurchschnittsbestandMittlerer Bestand über eine Periode; typische Sachdeutung in HAK und HUM.
  • Mittelwertsatz der IntegralrechnungEs gibt eine Stelle $\xi$ im Intervall mit $f(\xi)=\bar f$.
  • StützstelleEinzelner Datenpunkt; ein Mittel über Stützstellen ist nur eine Näherung des Integralmittelwerts.
  • DurchschnittspreisIntegralmittelwert einer Preisfunktion über einen Zeitraum.

Mittelwert einer Funktion

fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar f=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}xfˉ​=b−a1​∫ab​f(x)dx

fˉ\bar ffˉ​ ist jene konstante Größe, die über dasselbe Intervall dieselbe Gesamtwirkung hätte. Die Division durch die Intervalllänge ist Teil der Formel; fˉ\bar ffˉ​ trägt die Einheit von fff, nicht die des Integrals.

Musterbeispiel

Mittlere Geschwindigkeit aus v(t)

Ein Fahrzeug bewegt sich mit v(t)=12t−t2v(t)=12t-t^{2}v(t)=12t−t2 (ttt in s, vvv in m/s) für 0≤t≤120\leq t\leq 120≤t≤12. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit.

  1. Schritt 1 - Integral der Geschwindigkeit

    Der zurückgelegte Weg ist ∫012(12t−t2) dt=[6t2−t33]012=864−576=288 m\int_{0}^{12}(12t-t^{2})\,\mathrm{d}t=\left[6t^{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{12}=864-576=288\,\mathrm{m}∫012​(12t−t2)dt=[6t2−3t3​]012​=864−576=288m.

  2. Schritt 2 - Durch Intervalllänge teilen

    Mittlere Geschwindigkeit vˉ=112−0⋅288=24 m/s\bar v=\tfrac{1}{12-0}\cdot 288=24\,\mathrm{m/s}vˉ=12−01​⋅288=24m/s.

  3. Schritt 3 - Interpretieren

    Bei konstanter Fahrt mit 24 m/s24\,\mathrm{m/s}24m/s wäre derselbe Weg von 288 m288\,\mathrm{m}288m in derselben Zeit zurückgelegt worden.

Ergebnis: Mittlere Geschwindigkeit vˉ=24 m/s\bar v=24\,\mathrm{m/s}vˉ=24m/s.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die momentane Leistung einer Anlage beträgt P(t)=8+2tP(t)=8+2tP(t)=8+2t (ttt in Stunden, PPP in kW) für 0≤t≤50\leq t\leq 50≤t≤5. Berechne die durchschnittliche Leistung in diesem Zeitraum. (HTL)

Maturafokus

  • Berechne den Integralmittelwert als fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}xfˉ​=b−a1​∫ab​f(x)dx - die Division durch die Intervalllänge ist Teil der Formel.
  • Deute fˉ\bar ffˉ​ als die konstante Größe, die im selben Zeitraum dieselbe Gesamtwirkung hätte.
  • Gib die Einheit von fˉ\bar ffˉ​ als Einheit von fff an, nicht als Einheit des Integrals.
  • Verwende den Integralmittelwert statt eines Mittels aus Stützstellen, wenn die Funktion stetig gegeben ist.
  • Deute das Ergebnis im Sachkontext, etwa als durchschnittlichen Lagerbestand oder Durchschnittspreis über die Periode.

Typische Fehler

  • Die Division durch (b−a)(b-a)(b−a) wird vergessen; angegeben wird dann der Integralwert statt des Mittelwerts.
  • Statt des Integralmittelwerts wird f(a)+f(b)2\tfrac{f(a)+f(b)}{2}2f(a)+f(b)​ berechnet; das stimmt nur bei linearem Verlauf.
  • Die Einheit ist falsch: fˉ\bar ffˉ​ trägt die Einheit von fff, nicht die von f⋅xf\cdot xf⋅x.
  • Der Mittelwert wird als Mittel gleichabständiger Funktionswerte genähert, obwohl die Funktion analytisch vorliegt.
  • Der Mittelwert wird auf einen anderen Zeitraum als das Integrationsintervall bezogen.

§ 04

Aktive Wiederholung

Der Lagerbestand eines Betriebs verläuft im Monat näherungsweise nach B(t)=400−30t+t2B(t)=400-30t+t^{2}B(t)=400−30t+t2 (ttt in Tagen, 0≤t≤300\leq t\leq 300≤t≤30). Berechne den durchschnittlichen Lagerbestand und interpretiere das Ergebnis.

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§ 05
§ 05

Numerische Integration: Trapezregel#

~3 Min Lesezeit●●○StandardLPB-6.2LPB-6.3

Kernpunkte

Nicht jede Funktion lässt sich elementar integrieren, und oft liegen Daten nur als Messtabelle vor - etwa stündliche Durchflusswerte eines Baches. Dann wird das Integral numerisch genähert; die Trapezregel ist das einfachste und in der SRDP gebräuchlichste Verfahren.
Die Idee: Man ersetzt die unbekannte Kurve zwischen den Messpunkten durch Geradenstücke und nähert die Fläche durch die darunterliegenden Trapeze (). Bei konstanter Schrittweite h=b−anh=\tfrac{b-a}{n}h=nb−a​ zerlegt man [a;b][a;b][a;b] in nnn gleich breite Streifen.

Trapezregel: Streckenzug statt Kurve

y₀ y₁ y₂ y₃ y₄
Abb. 6Die Trapezregel ersetzt die Fläche unter der Kurve durch Trapeze unter dem Streckenzug der Messpunkte; Randwerte zählen einfach, innere Werte doppelt.
Abb. 6 ↓
Die Trapezformel lautet ∫abf(x) dx≈h2(y0+2y1+⋯+2yn−1+yn)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \tfrac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+\dots+2y_{n-1}+y_{n}\big)∫ab​f(x)dx≈2h​(y0​+2y1​+⋯+2yn−1​+yn​). Die Gewichtung hat einen anschaulichen Grund: Die beiden Randwerte gehören zu nur einem Trapez (Faktor 111), jeder innere Wert zu zweien (Faktor 222). Innere Werte zu vergessen oder Randwerte fälschlich zu verdoppeln, ist der typische Fehler.
Die Genauigkeit steigt mit der Zahl der Stützstellen: Je kleiner hhh, desto besser schmiegt sich der Streckenzug an die Kurve. Bei einem linearen Verlauf ist die Trapezregel sogar exakt, weil dann Streckenzug und Kurve übereinstimmen.
Die Abweichung hat ein systematisches Vorzeichen, das man begründen können muss: Bei einer konvexen (linksgekrümmten) Funktion liegen die Sehnen oberhalb der Kurve, die Trapezregel überschätzt den wahren Wert; bei einer konkaven Funktion unterschätzt sie ihn. So lässt sich der Näherungswert ohne Rechnung qualitativ einordnen.
In der Matura wird die Trapezsumme meist aus einer Wertetabelle aufgestellt - mit korrekter Schrittweite und Gewichtung - und das Ergebnis im Kontext gedeutet (etwa als geflossenes Volumen in m3\mathrm{m}^{3}m3); häufig ist zusätzlich zu argumentieren, ob über- oder unterschätzt wird.

Vokabeln

→ Kartei
  • TrapezregelNäherung des Integrals durch Trapeze über gleichabständige Stützstellen.
  • SchrittweiteAbstand $h$ benachbarter Stützstellen; $h=\tfrac{b-a}{n}$.
  • StützstelleStelle, an der der Funktionswert für die Näherung bekannt ist.
  • DiskretisierungsfehlerAbweichung der Näherung vom exakten Integralwert.
  • KrümmungVorzeichen von $f''$; es entscheidet, ob die Trapezsumme über- oder unterschätzt.
  • Simpson-RegelGenauere Näherung mit Parabelbögen statt Trapezen.

Trapezregel

∫abf(x) dx≈h2(y0+2∑i=1n−1yi+yn)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \dfrac{h}{2}\left(y_{0}+2\sum_{i=1}^{n-1}y_{i}+y_{n}\right)∫ab​f(x)dx≈2h​(y0​+2i=1∑n−1​yi​+yn​)

h=b−anh=\tfrac{b-a}{n}h=nb−a​ ist die Schrittweite bei nnn gleich breiten Streifen; y0y_{0}y0​ und yny_{n}yn​ sind die Randwerte, alle INNEREN Werte werden verdoppelt. Bei linksgekrümmtem Verlauf überschätzt die Näherung den exakten Wert.

Musterbeispiel

Trapezregel aus Messtabelle

Nähere ∫04f(x) dx\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x∫04​f(x)dx aus y0=2y_{0}=2y0​=2, y1=3,5y_{1}=3{,}5y1​=3,5, y2=5y_{2}=5y2​=5, y3=5,5y_{3}=5{,}5y3​=5,5, y4=4y_{4}=4y4​=4 (h=1h=1h=1).

  1. Schritt 1 - Schrittweite

    Gleichabständige Stützstellen mit h=4−04=1h=\tfrac{4-0}{4}=1h=44−0​=1.

  2. Schritt 2 - Trapezsumme

    T=12(y0+2(y1+y2+y3)+y4)=12(2+2(3,5+5+5,5)+4)T=\tfrac{1}{2}\big(y_{0}+2(y_{1}+y_{2}+y_{3})+y_{4}\big)=\tfrac{1}{2}\big(2+2(3{,}5+5+5{,}5)+4\big)T=21​(y0​+2(y1​+y2​+y3​)+y4​)=21​(2+2(3,5+5+5,5)+4).

  3. Schritt 3 - Auswerten

    =12(2+2⋅14+4)=12⋅34=17=\tfrac{1}{2}\big(2+2\cdot 14+4\big)=\tfrac{1}{2}\cdot 34=17=21​(2+2⋅14+4)=21​⋅34=17.

Ergebnis: Näherung ∫04f(x) dx≈17\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x\approx 17∫04​f(x)dx≈17 Flächeneinheiten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Durchflussrate eines Baches wurde stündlich gemessen: t = 0, 1, 2, 3 (h) mit q = 12, 18, 22, 20 (in m3/h\mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}m3/h). Schätze das in 3 Stunden geflossene Volumen mit der Trapezregel. (HTL)

Maturafokus

  • Stelle die Trapezsumme in der Standardform auf: T=h2(y0+2y1+⋯+2yn−1+yn)T=\tfrac{h}{2}\bigl(y_{0}+2y_{1}+\dots+2y_{n-1}+y_{n}\bigr)T=2h​(y0​+2y1​+⋯+2yn−1​+yn​) - nur die INNEREN Werte werden verdoppelt.
  • Bestimme die Schrittweite als h=b−anh=\tfrac{b-a}{n}h=nb−a​ und prüfe, ob die Stützstellen wirklich gleichabständig sind.
  • Begründe die Richtung des Fehlers über die Krümmung: Bei linksgekrümmtem Verlauf liegt die Trapezsumme ÜBER dem exakten Wert, bei rechtsgekrümmtem darunter.
  • Vergleiche die Trapezsumme mit dem CAS-Wert und benenne die Abweichung samt Ursache.
  • Gib das Ergebnis mit sinnvoller Stellenzahl an - eine Näherung rechtfertigt keine sechs Nachkommastellen.

Typische Fehler

  • Die Randwerte werden verdoppelt oder die inneren Werte nicht; die Summe ist dann systematisch falsch.
  • Bei ungleichmäßigen Stützstellen wird eine feste Schrittweite hhh verwendet.
  • Der Faktor h2\tfrac{h}{2}2h​ fehlt; das Ergebnis ist dann doppelt so groß.
  • Die Richtung des Fehlers wird geraten statt über die Krümmung begründet.
  • Die Trapezsumme wird als exaktes Ergebnis ausgegeben, ohne sie als Näherung zu kennzeichnen.

§ 05

Aktive Wiederholung

Aus einer Messung liegt fff an den Stellen x = 0, 1, 2, 3, 4 mit den Werten y = 2,0; 3,5; 5,0; 5,5; 4,0 vor. Berechne ∫04f(x) dx\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x∫04​f(x)dx näherungsweise mit der Trapezregel.

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§ 06
§ 06

Rotationsvolumen und ökonomische Renten#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPB-6.3

Kernpunkte

Dieser Abschnitt bündelt zwei cluster-typische Anwendungen des Integrals: das Rotationsvolumen (technisch, HTL) und die ökonomischen Renten (kaufmännisch, HAK/HUM). Beide setzen das bestimmte Integral als Werkzeug ein, das man je nach Schwerpunkt sicher beherrschen sollte.
Rotiert der Graph von fff um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper mit Volumen V=π∫ab(f(x))2 dxV=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,\mathrm{d}xV=π∫ab​(f(x))2dx. Anschaulich besteht der Körper aus dünnen Kreisscheiben mit Radius f(x)f(x)f(x) und Fläche π f(x)2\pi\,f(x)^{2}πf(x)2, die entlang der Achse aufsummiert werden - daher das Quadrat und der Faktor π\piπ.
Rechnerisch ist entscheidend, (f(x))2\big(f(x)\big)^{2}(f(x))2 vor dem Integrieren vollständig auszumultiplizieren und den Faktor π\piπ außen vor zu lassen. Den Integranden nicht zu quadrieren oder π\piπ zu vergessen, sind die beiden klassischen Fehler bei Volumenaufgaben.
Auf der ökonomischen Seite stehen die Renten im Preis-Mengen-Diagramm. Zuerst bestimmt man aus Angebot = Nachfrage das Marktgleichgewicht (x0 ∣ p0)(x_0\,|\,p_0)(x0​∣p0​). Die Konsumentenrente KR=∫0x0pN(x) dx−p0 x0KR=\int_{0}^{x_0}p_N(x)\,\mathrm{d}x-p_0\,x_0KR=∫0x0​​pN​(x)dx−p0​x0​ ist die Fläche zwischen Nachfragekurve und Preislinie () - der Vorteil der Käufer, die mehr zu zahlen bereit gewesen wären.

Konsumentenrente im Marktgleichgewicht

KonsumentenrenteSchaubild von Nachfrage, y-Achsenabschnitt bei y = 20, fallend, im Bereich x von 0 bis 30, Schaubild von Angebot, y-Achsenabschnitt bei y = 2, steigend, im Bereich x von 0 bis 30510152025305101520GGp₀NachfrageAngebotPreis pMenge x
Abb. 7Schnittpunkt von Nachfrage und Angebot ist das Gleichgewicht (x0 ∣ p0)(x_{0}\,|\,p_{0})(x0​∣p0​); die Fläche zwischen Nachfragekurve und Preislinie p0p_{0}p0​ ist die Konsumentenrente.
Abb. 7 ↓
Spiegelbildlich ist die Produzentenrente PR=p0 x0−∫0x0pA(x) dxPR=p_0\,x_0-\int_{0}^{x_0}p_A(x)\,\mathrm{d}xPR=p0​x0​−∫0x0​​pA​(x)dx die Fläche zwischen Preislinie und Angebotskurve - der Vorteil der Anbieter, die billiger verkauft hätten. Konsumenten- und Produzentenrente nicht zu verwechseln, gelingt über ihre Lage relativ zum Marktpreis.
Beide Renten messen den ökonomischen Vorteil gegenüber der individuellen Zahlungsbereitschaft bzw. dem Angebotspreis und ergeben zusammen die gesamte Wohlfahrt. In der Matura ist neben der Rechnung stets die Interpretation als Fläche im Diagramm gefragt - und vorab die Bestimmung von x0x_0x0​ und p0p_0p0​.

Vokabeln

→ Kartei
  • RotationskörperKörper, der durch Drehung einer Fläche um eine Achse entsteht.
  • Rotationsvolumen$V=\pi\int_a^b (f(x))^{2}\,\mathrm{d}x$ bei Drehung um die x-Achse.
  • GleichgewichtspreisPreis, bei dem Angebot und Nachfrage übereinstimmen.
  • KonsumentenrenteDifferenz zwischen Zahlungsbereitschaft und tatsächlich gezahltem Preis, als Fläche dargestellt.
  • ProduzentenrenteDifferenz zwischen erzieltem Preis und Mindestforderung der Anbieter.
  • NachfragefunktionZusammenhang von Preis und nachgefragter Menge; fällt in der Regel.

Rotationsvolumen um die x-Achse

V=π∫ab(f(x))2 dxV=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,\mathrm{d}xV=π∫ab​(f(x))2dx

f(x)f(x)f(x) ist der Radius des Querschnittkreises an der Stelle xxx; deshalb wird die Funktion QUADRIERT, bevor integriert wird. Bei Drehung um die y-Achse ist stattdessen die Umkehrfunktion zu verwenden.

Konsumentenrente

KR=∫0x0pN(x) dx−p0 x0KR=\int_{0}^{x_{0}}p_{N}(x)\,\mathrm{d}x-p_{0}\,x_{0}KR=∫0x0​​pN​(x)dx−p0​x0​

pNp_{N}pN​ ist die Nachfragefunktion, x0x_{0}x0​ die Gleichgewichtsmenge und p0p_{0}p0​ der Gleichgewichtspreis. Das Integral misst die gesamte Zahlungsbereitschaft, der Rechteckanteil p0x0p_{0}x_{0}p0​x0​ die tatsächlichen Ausgaben - die Differenz ist der Vorteil der Käuferseite.

Musterbeispiel

Rotationsvolumen eines Paraboloids

Der Graph von f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ rotiert für 0≤x≤40\leq x\leq 40≤x≤4 um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

  1. Schritt 1 - Integranden quadrieren

    (f(x))2=(x)2=x\big(f(x)\big)^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x(f(x))2=(x​)2=x.

  2. Schritt 2 - Integral aufstellen

    V=π∫04x dx=π[x22]04V=\pi\int_{0}^{4}x\,\mathrm{d}x=\pi\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}V=π∫04​xdx=π[2x2​]04​.

  3. Schritt 3 - Auswerten

    V=π⋅162=8π≈25,13V=\pi\cdot \tfrac{16}{2}=8\pi\approx 25{,}13V=π⋅216​=8π≈25,13 Volumeneinheiten.

Ergebnis: Volumen V=8π≈25,13V=8\pi\approx 25{,}13V=8π≈25,13 VE.

Musterbeispiel

Konsumentenrente im Marktgleichgewicht

Nachfrage pN(x)=20−0,5xp_{N}(x)=20-0{,}5xpN​(x)=20−0,5x, Angebot pA(x)=2+0,3xp_{A}(x)=2+0{,}3xpA​(x)=2+0,3x. Bestimme Konsumentenrente.

  1. Schritt 1 - Gleichgewicht

    Angebot = Nachfrage: 20−0,5x=2+0,3x⇒18=0,8x⇒x0=22,520-0{,}5x=2+0{,}3x\Rightarrow 18=0{,}8x\Rightarrow x_{0}=22{,}520−0,5x=2+0,3x⇒18=0,8x⇒x0​=22,5, p0=20−0,5⋅22,5=8,75p_{0}=20-0{,}5\cdot 22{,}5=8{,}75p0​=20−0,5⋅22,5=8,75.

  2. Schritt 2 - Integral der Nachfrage

    ∫022,5(20−0,5x) dx=[20x−0,25x2]022,5=450−126,5625=323,4375\int_{0}^{22{,}5}(20-0{,}5x)\,\mathrm{d}x=\left[20x-0{,}25x^{2}\right]_{0}^{22{,}5}=450-126{,}5625=323{,}4375∫022,5​(20−0,5x)dx=[20x−0,25x2]022,5​=450−126,5625=323,4375.

  3. Schritt 3 - Rente berechnen

    KR=323,4375−p0⋅x0=323,4375−8,75⋅22,5=323,4375−196,875=126,5625KR=323{,}4375-p_{0}\cdot x_{0}=323{,}4375-8{,}75\cdot 22{,}5=323{,}4375-196{,}875=126{,}5625KR=323,4375−p0​⋅x0​=323,4375−8,75⋅22,5=323,4375−196,875=126,5625.

Ergebnis: Konsumentenrente KR≈126,56KR\approx 126{,}56KR≈126,56 Geldeinheiten.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Der Querschnitt eines Bauteils wird durch f(x)=0,5x+1f(x)=0{,}5x+1f(x)=0,5x+1 (0≤x≤40\leq x\leq 40≤x≤4, Angaben in cm) beschrieben und rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen. (HTL)

Maturafokus

  • Quadriere beim Rotationsvolumen die FUNKTION vor der Integration: V=π∫ab(f(x))2 dxV=\pi\int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,\mathrm{d}xV=π∫ab​(f(x))2dx.
  • Bestimme zuerst Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis aus Angebot gleich Nachfrage, bevor du eine Rente berechnest.
  • Ordne die Renten richtig zu: Die Konsumentenrente liegt ÜBER dem Marktpreis unter der Nachfragekurve, die Produzentenrente darunter über der Angebotskurve.
  • Deute die Rente ökonomisch als Vorteil gegenüber der Zahlungsbereitschaft bzw. der Mindestforderung.
  • Prüfe die Einheit: Ein Rotationsvolumen ist eine dritte Potenz einer Länge, eine Rente ein Geldbetrag.

Typische Fehler

  • Beim Rotationsvolumen wird f(x)f(x)f(x) statt (f(x))2\bigl(f(x)\bigr)^{2}(f(x))2 integriert oder der Faktor π\piπ vergessen.
  • Konsumenten- und Produzentenrente werden vertauscht; die Lage relativ zum Marktpreis entscheidet.
  • Gleichgewichtsmenge und Gleichgewichtspreis werden nicht vorher bestimmt; die Grenzen sind dann falsch.
  • Bei der Rente wird der Rechteckanteil p0⋅x0p_{0}\cdot x_{0}p0​⋅x0​ nicht abgezogen bzw. nicht addiert.
  • Die Rotationsachse wird nicht beachtet; Drehung um die y-Achse verlangt die Umkehrfunktion.

§ 06

Aktive Wiederholung

Die Nachfragefunktion lautet pN(x)=20−0,5xp_{N}(x)=20-0{,}5xpN​(x)=20−0,5x, die Angebotsfunktion pA(x)=2+0,3xp_{A}(x)=2+0{,}3xpA​(x)=2+0,3x. Berechne Gleichgewichtsmenge und -preis sowie die Konsumentenrente.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Stand 06/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Stammfunktion und unbestimmtes Integral◐
    • 02Bestimmtes Integral und Fläche◐
    • 03Integral als Aufsummierung in Anwendungen●
    • 04Mittelwert einer Funktion und Durchschnittsbestand◐
    • 05Numerische Integration: Trapezregel◐
    • 06Rotationsvolumen und ökonomische Renten●

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

B 6 - Integralrechnung und Anwendungen

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~19
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Kompetenzen
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Beispielfrage

Bestimme eine Stammfunktion zu f(x)=2x3−5x+1f(x)=2x^{3}-5x+1f(x)=2x3−5x+1. (Alle Cluster)

2 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

Siehe auch

  • B 5 - Differentialrechnung in AnwendungenDie Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung; ohne die Ableitungsregeln geht hier nichts.
  • B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, GewinnKonsumenten- und Produzentenrente sind Integrale im Preis-Mengen-Diagramm.
  • B 3 - Geometrie und TrigonometrieRotationsvolumina setzen die Volumsformeln dieses Themas voraus.

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