AG 2 - Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Lineare Gleichungen und Ungleichungen#

~4 Min LesezeitBasisAG-2.1

Lineare Gleichung als Nullstelle einer Geraden

Abb. 1Die Lösung von

2x-4=0

ist die Nullstelle

x=2

der Geraden

y=2x-4

- ihr Schnittpunkt mit der

x

-Achse.

Eine lineare Gleichung

ax+b=0

enthält die Unbekannte nur in erster Potenz und besitzt - sofern

a\neq 0

- genau eine Lösung

x=-\tfrac{b}{a}

. Geometrisch ist das die einzige Nullstelle der Geraden

y=ax+b

.

Gelöst wird durch Äquivalenzumformungen: dieselbe Zahl auf beiden Seiten addieren oder subtrahieren, mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder dividieren. Jede dieser Operationen lässt die Lösungsmenge unverändert - die Waage bleibt im Gleichgewicht.

Bei Ungleichungen kommt eine zusätzliche Regel hinzu: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Das Übersehen dieses Vorzeichenwechsels ist der häufigste Punkteverlust im ganzen Kapitel.

Bruchgleichungen multipliziert man mit dem Hauptnenner; weil dabei der Nenner verschwindet, legt man vorher die Definitionsmenge fest und prüft am Ende, ob eine gefundene Lösung eine verbotene Nennernullstelle ist.

Lösungsmengen von Ungleichungen gibt man als Intervall (

(-\infty,2]

) oder in Mengenschreibweise (

\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}

) an: eckige Klammer bzw.

\le

heißt „Rand gehört dazu", runde Klammer bzw.

<

heißt „Rand ausgeschlossen".

Anschaulich beantwortet das Lösen die Frage, wo die Gerade

y=ax+b

den Wert null annimmt - dieselbe Nullstellensuche begegnet später bei jeder linearen Funktion (Thema FA) wieder.

Jede Äquivalenzumformung erhält die Lösungsmenge, und genau darauf beruht das ganze Verfahren: Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder dividieren. Zwei Operationen sind KEINE Äquivalenzumformungen und müssen eigens abgesichert werden - das Multiplizieren mit einem Term, der null werden kann, und das Quadrieren beider Seiten. Beide können Scheinlösungen erzeugen, weshalb am Ende die Probe steht.

Bei Ungleichungen kommt eine Regel hinzu, die den häufigsten Fehler des Kapitels erzeugt: Multiplikation oder Division mit einer NEGATIVEN Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um. Aus

-2x\le8

folgt deshalb

x\ge-4

und nicht

x\le-4

. Die Lösungsmenge wird anschließend als Intervall angegeben, mit der richtigen Klammerart an jeder Grenze.

Drei Fälle sind bei linearen Gleichungen zu unterscheiden und sollten benannt werden, wenn die Aufgabe einen Parameter enthält: Bei

a\neq0

gibt es genau eine Lösung, bei

a=0

und

b\neq0

keine, bei

a=0

und

b=0

unendlich viele. In Sachaufgaben trägt jede dieser Antworten eine eigene inhaltliche Bedeutung - etwa „die beiden Tarife sind nie gleich teuer" oder „sie sind immer gleich teuer".

Vokabeln

→ Kartei

ÄquivalenzumformungUmformung, die die Lösungsmenge erhält.
ScheinlösungWert, der die umgeformte, nicht aber die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
LösungsmengeMenge aller erfüllenden Werte.
ParameterFester, aber unbestimmter Wert in der Gleichung.
allgemeingültigFür jeden Wert der Variablen erfüllt.
unlösbarVon keinem Wert erfüllt; die Lösungsmenge ist leer.

Lösung der linearen Gleichung ax+b=0, a≠0

x=-\dfrac{b}{a}

Die geschlossene Lösung der linearen Gleichung. Die Bedingung $a\neq0$ ist wesentlich - für $a=0$ ist die Gleichung entweder unlösbar oder allgemeingültig.

Musterbeispiel

Lineare Ungleichung mit Vorzeichenwechsel

Löse $-2(x-3)+1\geq 5$ .

Klammer auflösen
$-2x+6+1\geq 5\Rightarrow -2x+7\geq 5$ .
7 subtrahieren
$-2x\geq -2$ .
Durch -2 dividieren
Ungleichheitszeichen umkehren: $x\leq 1$ .

Ergebnis: Lösungsmenge: $\mathbb{L}=(-\infty,\,1]$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Trenne zuerst die Variablen auf eine Seite und die Konstanten auf die andere.
2
Bei Ungleichungen denke vor jeder Multiplikation oder Division an das Vorzeichen.
3
Prüfe jede gefundene Lösung am Originalausdruck, besonders bei Bruchgleichungen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Gleichung

a\cdot x+b=c\cdot x+d

mit

a\neq c

. Drücke

x

allgemein durch

a

,

b

,

c

und

d

aus.

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Typische Fehler

Beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl bleibt das Zeichen stehen.
Der Definitionsbereich einer Bruchgleichung wird nach dem Multiplizieren nicht mehr geprüft.
Die Lösung wird ohne Einheit oder ohne Antwortsatz angegeben.
Bei $a=0$ wird trotzdem durch $a$ dividiert.
Die Gleichheitsstelle wird angegeben, obwohl nach einem Bereich gefragt ist.

Aktive Wiederholung

Löse $\dfrac{2x-1}{x+2}=3$ und gib den Definitionsbereich sowie die Lösungsmenge an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: AHS-Lehrplan Mathematik - Algebra und Geometrie (BMBWF)

Quadratische Gleichungen und Satz von Vieta#

~4 Min LesezeitStandardAG-2.2

Die allgemeine quadratische Gleichung

ax^{2}+bx+c=0

(mit

a\neq 0

) löst man mit der großen Lösungsformel

x_{1,2}=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

; in der Normalform

x^{2}+px+q=0

verkürzt sie sich zur kleinen Formel

x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{(\tfrac{p}{2})^{2}-q}

.

Der Term unter der Wurzel - die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

- entscheidet schon vor dem Rechnen über die Anzahl reeller Lösungen:

D>0

liefert zwei,

D=0

genau eine (Berührpunkt),

D<0

keine reelle Lösung. zeigt diese drei Lagen der Parabel zur

x

-Achse.

Diskriminante und Lösungsanzahl

Abb. 2D > 0 zwei Schnittpunkte, D = 0 Berührpunkt, D < 0 keine reelle Lösung.

Abb. 2 ↓

Die faktorisierte Form

a(x-x_{1})(x-x_{2})=0

macht die Nullstellen unmittelbar sichtbar, denn ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt).

Der Satz von Vieta verknüpft Koeffizienten und Lösungen direkt:

x_{1}+x_{2}=-\tfrac{b}{a}

und

x_{1}\cdot x_{2}=\tfrac{c}{a}

. Damit rät man ganzzahlige Lösungen oft schneller, als die Formel sie liefert, und kontrolliert jedes Ergebnis im Kopf.

Die quadratische Ergänzung formt

ax^{2}+bx+c

in die Scheitelform

a(x-d)^{2}+e

um und liefert direkt den Scheitel

S(d\mid e)

- die Brücke zur quadratischen Funktion (Thema FA). zeigt eine konkrete Parabel mit ihren beiden Nullstellen und dem tiefsten Punkt.

Parabel f(x)=x²-x-2 mit Nullstellen

Abb. 3Nullstellen bei

x=-1

und

x=2

; Scheitel bei

(0{,}5\,|\,-2{,}25)

.

Abb. 3 ↓

Anschaulich ist jede Lösung der Gleichung ein Schnittpunkt der Parabel

y=ax^{2}+bx+c

mit der

x

-Achse: Die Diskriminante misst gewissermaßen, ob und wie weit die Parabel diese Achse erreicht.

Die Diskriminante

D=b^{2}-4ac

entscheidet vor jeder Rechnung, wie viele reelle Lösungen zu erwarten sind:

D>0

ergibt zwei,

D=0

eine doppelte,

D<0

keine reelle. Geometrisch bedeutet das, dass die Parabel die

x

-Achse schneidet, berührt oder verfehlt - und im Sachkontext, dass ein Wurf sein Ziel trifft, streift oder verfehlt. Diese drei Übersetzungen sind das Standardrepertoire der Interpretationsaufgaben.

Der Satz von Vieta liefert für die Normalform

x^{2}+px+q=0

die Beziehungen

x_{1}+x_{2}=-p

und

x_{1}\cdot x_{2}=q

. Er ist zweifach nützlich: als schnelle Probe für gefundene Lösungen und als Weg, einfache Gleichungen im Kopf zu lösen, weil man zwei Zahlen mit vorgegebener Summe und vorgegebenem Produkt sucht.

Vor dem Griff zur Lösungsformel lohnt stets ein Blick auf die Struktur. Fehlt das absolute Glied, klammert man

x

aus und liest eine Lösung sofort ab; fehlt das lineare Glied, genügt Wurzelziehen mit

\pm

; steht eine binomische Formel da, ist die Faktorzerlegung schneller und weniger fehleranfällig. Und in Sachaufgaben gehört zu jeder verworfenen Lösung eine Begründung - negative Zeiten und negative Längen sind keine gültigen Antworten.

Vokabeln

→ Kartei

NormalformDarstellung $ax^{2}+bx+c=0$; Voraussetzung der Lösungsformel.
Diskriminante$D=b^{2}-4ac$; sie entscheidet über die Anzahl reeller Lösungen.
Satz von VietaBeziehungen zwischen Koeffizienten und Lösungen der Normalform.
doppelte LösungFall $D=0$; die Parabel berührt die $x$-Achse.
ScheitelpunktExtremstelle der Parabel bei $x=-\tfrac{b}{2a}$.
quadratische ErgänzungUmformung in die Scheitelform; sie liefert auch die Lösungsformel.

Lösungsformel quadratische Gleichung ax²+bx+c=0

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Die große Lösungsformel liefert beide Lösungen auf einmal. Der Bruchstrich reicht unter das GESAMTE $-b\pm\sqrt{\dots}$ , nicht nur unter die Wurzel.

Diskriminante - bestimmt Anzahl reeller Lösungen

D=b^{2}-4ac

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Lösungszahl: positiv zwei, null eine, negativ keine reelle. Damit beantwortet man Existenzfragen ohne zu rechnen.

Satz von Vieta

x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},\quad x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}

Verknüpft Summe und Produkt der Lösungen mit den Koeffizienten. Als schnelle Probe für gefundene Lösungen unschlagbar.

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Musterbeispiel

Quadratische Gleichung mit ABC-Formel

Löse $2x^{2}-3x-5=0$ und gib den größeren Lösungswert an.

Koeffizienten
$a=2$ , $b=-3$ , $c=-5$ .
Diskriminante
$D=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$ .
$D=49$
Lösungen
$x_{1,2}=\dfrac{3\pm 7}{4}$ .
Auswertung
$x_{1}=\tfrac{10}{4}=2{,}5$ , $x_{2}=\tfrac{-4}{4}=-1$ .

Ergebnis: Größere Lösung: $x_{1}=2{,}5$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne zuerst, ob du die Gleichung in der Normalform vor dir hast.
2
Die Diskriminante verrät schon vor der Rechnung, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Diskriminante - bestimmt Anzahl reeller Lösungen
$D=b^{2}-4ac$
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Lösungszahl: positiv zwei, null eine, negativ keine reelle. Damit beantwortet man Existenzfragen ohne zu rechnen.
3
Vieta hilft, das Ergebnis schnell zu kontrollieren - Produkt und Summe der Lösungen müssen passen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die quadratische Gleichung

x^{2}+px+q=0

hat die Lösungen

x_{1}=2

und

x_{2}=-5

. Bestimme

p

und

q

.

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Typische Fehler

Vorzeichenfehler bei $-b$ in der Lösungsformel, besonders bei negativem $b$ .
Die Diskriminante wird nicht geprüft; bei $D<0$ werden nicht existierende reelle Lösungen behauptet.
Beide Lösungen werden übernommen, ohne die kontextwidrige zu verwerfen.
Der Scheitel wird mit einer Nullstelle verwechselt.
Die Gleichung wird nicht auf null gebracht, bevor die Formel angewandt wird.

Aktive Wiederholung

Löse $x^{2}+6x+5=0$ über den Satz von Vieta (ohne Lösungsformel).

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Quellen: IQS SRDP Grundkompetenzen Algebra (IQS)

Lineare Gleichungssysteme#

~4 Min LesezeitStandardAG-2.3

Lineares Gleichungssystem als Schnitt zweier Geraden

Abb. 4Jede Gleichung ist eine Gerade; die eindeutige Lösung

S(2\mid 1)

ist ihr Schnittpunkt. Parallele Geraden bedeuten keine, identische unendlich viele Lösungen.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) sucht Werte, die mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen. In zwei Variablen ist jede Gleichung eine Gerade, und die Lösung ist ihr Schnittpunkt - in der Abbildung der Punkt

S(2\mid 1)

des Systems

3x+2y=8

,

x-y=1

.

Genau die Lage der Geraden bestimmt die Lösungsanzahl: Schneiden sie sich, gibt es eine Lösung; sind sie parallel, keine; sind sie identisch, unendlich viele. Algebraisch zeigt sich das beim Eliminieren als falsche Aussage (

0=5

) bzw. als wahre Aussage (

0=0

).

Zum Lösen stehen Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren bereit; sie sind gleichwertig, und man wählt das, das die wenigsten Brüche erzeugt. Das Additionsverfahren eliminiert eine Variable, indem man die Gleichungen passend skaliert und addiert.

Systeme mit drei Unbekannten löst der Gauss-Algorithmus systematisch: Man bringt das System in obere Dreiecksform und liest die Variablen von unten nach oben zurück (Rückwärtseinsetzen).

Die Determinante

\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

ist der Schnelltest eines

2\times 2

-Systems: Ist sie ungleich null, gibt es genau eine Lösung; ist sie null, liegen die Sonderfälle „keine" oder „unendlich viele" vor.

In Kontextaufgaben (Mischungen, Preise, Bewegung) lautet der Ablauf stets: Variablen benennen, je eine Gleichung pro Bedingung aufstellen, lösen, Probe machen und das Ergebnis als vollständigen Satz interpretieren.

Die drei Lösungsverfahren sind gleichwertig, aber nicht gleich praktisch: Das Einsetzverfahren lohnt, wenn eine Variable bereits freigestellt ist; das Additionsverfahren, wenn sich Koeffizienten leicht gleich machen lassen; das Gleichsetzungsverfahren, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst vorliegen. Bei drei Unbekannten arbeitet man systematisch mit dem Gauß-Verfahren und erzeugt schrittweise eine Stufenform.

Geometrisch beschreibt ein lineares System aus zwei Gleichungen zwei Geraden, und daraus folgen genau drei Fälle: Die Geraden schneiden einander in einem Punkt (genau eine Lösung), verlaufen parallel (keine Lösung) oder fallen zusammen (unendlich viele Lösungen). Rechnerisch erkennt man den zweiten Fall an einer falschen Aussage wie

0=5

und den dritten an einer immer wahren wie

0=0

.

In Sachaufgaben entscheidet die Modellierung über die Punkte, nicht die Rechnung. Deshalb gehört an den Anfang jeder Lösung die Festlegung „

x

= Anzahl der Erwachsenenkarten,

y

= Anzahl der Kinderkarten" samt Einheit, und ans Ende die Probe mit BEIDEN Gleichungen sowie ein Antwortsatz. Ergebnisse müssen im Kontext sinnvoll sein - Personenzahlen sind ganzzahlig und nichtnegativ.

Vokabeln

→ Kartei

GleichungssystemMehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
EinsetzverfahrenEine Gleichung freistellen und in die andere einsetzen.
AdditionsverfahrenGleichungen so vielfachen und addieren, dass eine Variable entfällt.
Gauß-VerfahrenSystematisches Erzeugen einer Stufenform bei mehreren Unbekannten.
eindeutig lösbarGenau ein Wertepaar erfüllt alle Gleichungen.
StufenformUmgeformtes System, das rückwärts auflösbar ist.

Determinante einer 2x2-Matrix

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

Ist die Determinante null, sind die beiden Gleichungen linear abhängig - das System hat keine oder unendlich viele Lösungen.

Musterbeispiel

Lineares Gleichungssystem - Eliminationsverfahren

Löse das System $\begin{cases}3x+2y=8\\ x-y=1\end{cases}$ .

Aus zweiter Gleichung umformen
$x=y+1$ .
Einsetzen
$3(y+1)+2y=8\Rightarrow 5y+3=8\Rightarrow y=1$ .
Rückeinsetzen
$x=1+1=2$ .
Probe
$3\cdot 2+2\cdot 1=8$ und $2-1=1$ stimmen.

Ergebnis: Lösungspaar: $(x\,|\,y)=(2\,|\,1)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Schreib das System zunächst in eine übersichtliche Form mit gleich ausgerichteten Variablen.
2
Eliminiere eine Variable durch geschicktes Addieren oder Einsetzen.
3
Setze den gefundenen Wert in die einfachere Gleichung ein und kontrolliere am Schluss mit beiden Originalgleichungen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Schüler*innengruppe kauft 4 Bleistifte und 3 Hefte um

7{,}50

Euro; eine zweite Gruppe kauft 2 Bleistifte und 5 Hefte um

9{,}00

Euro. Bestimme den Stückpreis für einen Bleistift bzw. ein Heft.

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Typische Fehler

Die Variablenbedeutung wird vertauscht; das Ergebnis kehrt sich um.
Beim Addieren wird ein Vorzeichen übersehen, weil die Gleichungen nicht sortiert wurden.
Ein widersprüchliches System wird erzwungen gelöst statt als unlösbar benannt.
Nur eine Gleichung wird zur Probe herangezogen.
Der Antwortsatz fehlt; das Ergebnis bleibt eine nackte Zahl.

Aktive Wiederholung

Löse das System $\begin{cases}2x+3y=12\\ x+y=5\end{cases}$ mit dem Additionsverfahren.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Quellen: Mathago Lernpfad lineare Gleichungssysteme (Mathago)

Bruch-, Wurzel- und Betragsgleichungen#

~4 Min LesezeitVertiefungAG-2.1AG-2.2

Wurzelgleichung als Schnittpunkt zweier Graphen

Abb. 5Die Lösung von

\sqrt{2x+3}=x

ist der einzige Schnittpunkt von

y=\sqrt{2x+3}

und

y=x

bei

x=3

; der beim Quadrieren entstehende Wert

x=-1

ist eine Scheinlösung.

Diese Gleichungstypen teilen ein gemeinsames Problem: Beim Umformen kann sich der Lösungsumfang ändern. Deshalb steht am Anfang stets die Definitionsmenge und am Ende stets die Probe - beides ist beurteilungsrelevant.

Bruchgleichungen multipliziert man mit dem Hauptnenner und löst die entstehende polynomiale Gleichung; jede Nullstelle eines Nenners ist aus der Lösungsmenge auszuschließen, weil dort der ursprüngliche Term gar nicht definiert ist.

Wurzelgleichungen löst man, indem man die Wurzel isoliert und quadriert. Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung - es kann Scheinlösungen erzeugen -, daher muss jede gefundene Lösung durch Einsetzen in die Originalgleichung bestätigt werden.

Betragsgleichungen

|x-a|=b

(mit

b\ge 0

) zerfallen in die zwei Fälle

x-a=b

und

x-a=-b

; die Lösungsmenge ist die Vereinigung beider. Für

b<0

gibt es keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ wird.

Quadratische Ungleichungen löst man über die Nullstellen und eine Vorzeichentabelle: Zwischen den Nullstellen wechselt

ax^{2}+bx+c

das Vorzeichen, und man liest ab, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt ist.

In Sachkontexten ist nach dem Rechnen immer die Zulässigkeit zu prüfen - negative Strecken, gebrochene Stückzahlen oder Zeiten vor dem Start scheiden aus, auch wenn sie die Gleichung formal erfüllen.

Bruchgleichungen verlangen zwingend zwei zusätzliche Schritte, die in der Bewertung eigens gewichtet werden: Zuerst wird der Definitionsbereich bestimmt, indem man die Nullstellen des Nenners ausschließt, und am Ende wird jede gefundene Lösung dagegen geprüft. Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner ist nämlich nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn dieser nicht null wird - andernfalls entstehen Scheinlösungen.

Bei Wurzelgleichungen ist es das Quadrieren, das die Lösungsmenge vergrößern kann, weil aus

a=-b

durch Quadrieren

a^{2}=b^{2}

wird. Auch hier ist die Probe deshalb Pflicht und nicht Kür. Zusätzlich gilt für die Wurzel selbst der Definitionsbereich

\text{Radikand}\ge0

, und der Wurzelwert ist stets nichtnegativ - eine Gleichung wie

\sqrt{x}=-3

hat gar keine Lösung.

Betragsgleichungen und -ungleichungen werden über die Fallunterscheidung gelöst oder, schneller, über die Abstandsdeutung:

|x-a|<r

beschreibt alle Punkte mit einem Abstand kleiner

r

von

a

, also das Intervall

(a-r;a+r)

;

|x-a|>r

beschreibt die beiden äußeren Bereiche. Genau diese Unterscheidung - ein Intervall gegen zwei getrennte Bereiche - ist der am häufigsten geprüfte Punkt des Abschnitts.

Vokabeln

→ Kartei

BruchgleichungGleichung mit der Unbekannten im Nenner.
DefinitionsbereichMenge der zulässigen Werte; Nennernullstellen sind ausgeschlossen.
WurzelgleichungGleichung mit der Unbekannten unter der Wurzel.
ScheinlösungDurch nichtäquivalente Umformung entstandener, unzulässiger Wert.
FallunterscheidungGetrennte Behandlung der Bereiche mit verschiedenem Vorzeichen.
ProbeEinsetzen der Lösung in die URSPRÜNGLICHE Gleichung.

Betragsgleichung

|x-a|=b\;\Leftrightarrow\;x=a+b\;\lor\;x=a-b\;\text{für}\;b\geq 0

Der Betrag zerfällt in zwei Fälle. Für $b<0$ gibt es gar keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ wird.

Musterbeispiel

Wurzelgleichung mit Probe

Löse $\sqrt{2x+3}=x$ .

Definitionsbereich
Argument der Wurzel: $2x+3\geq 0\Rightarrow x\geq -1{,}5$ ; rechte Seite verlangt $x\geq 0$ .
Quadrieren
$2x+3=x^{2}\Rightarrow x^{2}-2x-3=0$ .
Lösungsformel
$x_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}$ , also $x_{1}=3$ oder $x_{2}=-1$ .
Probe
$x=3$ : $\sqrt{9}=3$ , $\checkmark$ . $x=-1$ : $\sqrt{1}=1\neq -1$ , unzulässig.

Ergebnis: Einzige Lösung: $x=3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Schreib zuerst den Definitionsbereich auf und merke ihn dir bis zum Schluss.
2
Isoliere die Wurzel oder den Bruch, bevor du quadrierst oder mit dem Nenner multiplizierst.
3
Setze jede potenzielle Lösung zurück in die Originalgleichung ein - Quadrieren erzeugt Scheinwurzeln.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung

x^{2}-x-6\le 0

in

\mathbb{R}

.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner entfällt die Prüfung des Definitionsbereichs.
Nach dem Quadrieren wird die Probe weggelassen; eine Scheinlösung bleibt stehen.
$\sqrt{x}=-3$ wird als lösbar behandelt.
Bei $|x|>a$ wird das innere Intervall angegeben statt der beiden äußeren Bereiche.
Beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einem Term unbekannten Vorzeichens wird nicht fallunterschieden.

Aktive Wiederholung

Löse $\sqrt{x+5}=x-1$ und gib die zulässigen Lösungen an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Grundkompetenzkatalog (IQS)

Exponentialgleichungen lösen#

~3 Min LesezeitStandardAG-2.1

Exponentialgleichung grafisch lösen

Abb. 6Die Lösung von

2^{x}=8

ist die

x

-Koordinate des Schnittpunkts der Kurve

y=2^{x}

mit der Ziellinie

y=8

- hier

x=3

.

Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten, etwa

a\cdot b^{x}=c

. Grafisch sucht man den Schnittpunkt der Exponentialkurve

y=a\cdot b^{x}

mit der waagrechten Ziellinie

y=c

- die Abbildung zeigt das am einfachen Fall

2^{x}=8

mit der Lösung

x=3

.

Rechnerisch isoliert man zuerst die reine Potenz und logarithmiert dann, denn der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion: Aus

a\cdot b^{x}=c

wird

x=\tfrac{\ln(c/a)}{\ln b}

.

Stehen beide Seiten als Potenz derselben Basis, geht es noch direkter über den Exponentenvergleich

b^{x}=b^{y}\Rightarrow x=y

- so löst man

2^{x}=8=2^{3}

sofort zu

x=3

.

In Wachstums- und Zerfallsmodellen ist das Logarithmieren der Schlüssel zur gesuchten Zeit: Verdopplungszeit

t=\tfrac{\ln 2}{\ln b}

(bzw.

\tfrac{\ln 2}{k}

bei stetigem Wachstum), Halbwertszeit analog mit

\ln\tfrac{1}{2}

.

Eine Exponentialfunktion

b^{x}

mit

b>0

ist immer positiv; eine Gleichung wie

b^{x}=-5

hat also keine Lösung. Im Sachkontext verwirft man außerdem Ergebnisse, die etwa eine negative Zeit bedeuten würden.

Anschaulich macht der Logarithmus aus der sperrigen Frage „mit welchem Exponenten?" eine einfache Division zweier Logarithmen - dieselbe Idee trägt später die Logarithmusfunktion und die Ableitung von

\mathrm{e}^{x}

(Themen FA, AN).

Das Lösungsverfahren folgt einer festen Reihenfolge, deren Verletzung der häufigste Fehler ist: Zuerst wird die Potenz vollständig ISOLIERT, also der konstante Vorfaktor durch Division beseitigt, und erst danach logarithmiert. Wer sofort logarithmiert, zieht den Vorfaktor fälschlich in den Exponenten. Aus

250\cdot1{,}04^{n}=400

wird also zuerst

1{,}04^{n}=1{,}6

und dann

n=\tfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}04}\approx11{,}98

.

Die Logarithmengesetze tragen die gesamte Umformung: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen, der eines Quotienten die Differenz, und der einer Potenz das Produkt aus Exponent und Logarithmus. Genau das letzte Gesetz holt die Unbekannte aus dem Exponenten herunter. Für Summen gibt es KEIN entsprechendes Gesetz -

\ln(a+b)

lässt sich nicht zerlegen.

Zur vollständigen Lösung gehört die Deutung im Sachkontext samt Rundungsentscheidung. Bei Wachstumsaufgaben ist meist nach der ersten VOLLEN Periode gefragt, in der eine Schwelle überschritten wird - dann wird auf 12 aufgerundet, auch wenn 11,98 herauskommt. Und der Definitionsbereich des Logarithmus ist mitzuprüfen: Sein Argument muss positiv sein, negative Zwischenergebnisse sind zu verwerfen.

Vokabeln

→ Kartei

ExponentialgleichungGleichung mit der Unbekannten im Exponenten.
ExponentenvergleichBei gleicher Basis dürfen die Exponenten gleichgesetzt werden.
WachstumsfaktorFaktor je Periode; $q>1$ bedeutet Zunahme.
HalbwertszeitZeit bis zur Halbierung des Bestands; $t=\tfrac{\ln 2}{|k|}$.
VerdopplungszeitZeit bis zur Verdopplung; vom Anfangswert unabhängig.
stetiges WachstumModell $N_{0}\mathrm{e}^{kt}$ mit konstanter relativer Änderungsrate.

Lösung der Exponentialgleichung

a\cdot b^{x}=c\;\Leftrightarrow\;x=\dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}

Steht die Unbekannte im Exponenten, holt der Logarithmus sie herunter. Der Faktor $a$ muss vorher isoliert werden.

Musterbeispiel

Verdopplungszeit bestimmen

Ein Kapital wächst mit Faktor $1{,}05$ pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt?

Ansatz
Verdopplung bedeutet $1{,}05^{x}=2$ .
Logarithmieren
$x\cdot\ln(1{,}05)=\ln 2$ , also $x=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$ .
Numerisch
$x\approx 14{,}21$ Jahre.

Ergebnis: Nach rund $14{,}2$ Jahren ist das Kapital verdoppelt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Bei Exponentialgleichungen steht die Unbekannte im Exponenten und wird durch Logarithmieren befreit.
2
Isoliere zuerst die Potenz, dann setze den Logarithmus auf beiden Seiten an.
3
Die Verdopplungszeit folgt aus dem Ansatz, dass der Wachstumsfaktor hoch der Zeit gleich zwei ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Bestand wächst gemäß

N(t)=500\cdot 1{,}04^{t}

(

t

in Jahren). Berechne, nach wie vielen Jahren der Bestand erstmals

750

überschreitet.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Es wird logarithmiert, bevor die Potenz isoliert ist.
$\ln(a+b)$ wird zerlegt.
Der Basiswechsel wird mit vertauschtem Bruch angesetzt.
Ein negatives Logarithmusargument bleibt unbemerkt.
Das Ergebnis wird abgerundet, obwohl erst die nächste volle Periode die Bedingung erfüllt.

Aktive Wiederholung

Löse $4\cdot 1{,}08^{x}=20$ nach $x$ und interpretiere das Ergebnis als Anzahl von Verzinsungsperioden.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Exponentialgleichungen AHS (IQS)

Textaufgaben und Modellierung mit Gleichungen#

~4 Min LesezeitStandardAG-2.1AG-2.3

Modellierung: Schnittpunkt als Break-even

Abb. 7Zwei Kostenmodelle

K_{1}(x)=20+0{,}10x

und

K_{2}(x)=0{,}30x

sind bei

x=100

Einheiten gleich teuer - der Schnittpunkt ist die gesuchte Break-even-Menge.

Modellieren heißt, eine in Worten beschriebene Situation in eine Gleichung oder ein Gleichungssystem zu übersetzen, sie zu lösen und das Ergebnis wieder in die Sprache der Aufgabe zurückzuübersetzen.

Der verlässliche Ablauf hat fünf Schritte: relevante Größen benennen, eine Variable festlegen, jede beschriebene Beziehung als Gleichung formulieren, lösen und schließlich im Sachkontext interpretieren.

Viele Aufgaben folgen wiederkehrenden Standardansätzen: Mischungsaufgaben über „Menge mal Anteil", Bewegungsaufgaben über

s=v\cdot t

, Zinsaufgaben über den Wachstumsfaktor. Erkennt man den Typ, ist die Gleichung halb aufgestellt.

Einheiten müssen über die gesamte Rechnung konsistent geführt werden - Stunden nicht mit Minuten, Meter nicht mit Kilometern mischen -, sonst stimmt das Ergebnis zahlenmäßig nicht.

Nicht jede mathematische Lösung ist im Sachkontext zulässig: negative Längen, gebrochene Stückzahlen oder Zeiten vor dem Start werden verworfen, auch wenn sie die Gleichung erfüllen.

Die Antwort gehört als vollständiger Satz mit Einheit formuliert; gerade in Typ-2-Aufgaben gibt es Punkte für die Interpretation, nicht nur für die Zahl - die Rückübersetzung in den Kontext ist Teil der Leistung.

Die Modellierung folgt einem Vierschritt, der sich in jeder Textaufgabe wiederholt und den man ausdrücklich hinschreiben sollte: Variablen mit Bedeutung und Einheit festlegen, die Beziehungen des Textes als Gleichungen formulieren, das System lösen, das Ergebnis im Sachkontext deuten und auf Plausibilität prüfen. Punkte gibt es für jeden dieser Schritte einzeln - wer nur die Rechnung abgibt, verschenkt die Hälfte.

Die Übersetzung sprachlicher Wendungen in Terme ist der eigentliche Kern und lohnt das Üben: „um 20 % mehr" wird zum Faktor

1{,}2

, „drei Jahre älter als" zu

x+3

, „das Doppelte von" zu

2x

, „im Verhältnis 3 zu 5" zu

\tfrac{x}{y}=\tfrac{3}{5}

, „je … desto weniger" zu einem konstanten Produkt. Besondere Vorsicht gilt bei „um" gegen „auf": „steigt um 20 %" bedeutet Faktor 1,2, „steigt auf 20 %" bedeutet Faktor 0,2.

Zum Abschluss gehört immer die Plausibilitätsprüfung, und sie fällt in Sachaufgaben besonders leicht: Negative Zeiten, negative Stückzahlen, Prozentsätze über 100 oder Personenzahlen mit Nachkommastellen verraten einen Modellfehler sofort. Ebenso gehört die Gültigkeitsgrenze des Modells benannt - eine lineare Preisfunktion gilt nicht für beliebig große Mengen, und ein exponentielles Wachstum nicht auf Dauer.

Vokabeln

→ Kartei

ModellierungÜbersetzung eines Sachverhalts in mathematische Beziehungen.
AnsatzFormulierung der Gleichung aus dem Text; sie trägt den Großteil der Punkte.
GrundwertBezugsgröße einer Prozentangabe.
MultiplikatorFaktor, der eine prozentuelle Änderung ausdrückt.
PlausibilitätsprüfungKontrolle des Ergebnisses am Sachverstand.
ModellgrenzeBereich, außerhalb dessen das Modell die Wirklichkeit nicht mehr beschreibt.

Ablauf der Modellierung

\text{Beziehung}\;\Rightarrow\;\text{Gleichung}\;\Rightarrow\;\text{Lösung}\;\Rightarrow\;\text{Interpretation}

Der Kreislauf jeder Anwendungsaufgabe: Sachverhalt in eine Gleichung übersetzen, lösen, zurückdeuten. Der letzte Schritt entscheidet über die Punkte.

Musterbeispiel

Altersaufgabe modellieren

Der Vater ist dreimal so alt wie der Sohn; in $10$ Jahren nur doppelt so alt. Bestimme beide Alter.

Variable
Sohn heute $x$ Jahre, Vater $3x$ Jahre.
Gleichung
In $10$ Jahren: $3x+10=2(x+10)$ .
Lösen
$3x+10=2x+20\Rightarrow x=10$ .

Ergebnis: Der Sohn ist $10$ , der Vater $30$ Jahre alt.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Lies den Text und benenne zuerst die gesuchte Größe als Variable.
2
Übersetze jede beschriebene Beziehung in eine Gleichung und achte auf die Einheiten.
3
Prüfe die Lösung am Sachkontext und formuliere die Antwort als vollständigen Satz.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Anbieter A verlangt 20 € Grundgebühr plus 0,10 € je Einheit, Anbieter B nur 0,30 € je Einheit. Stelle beide Kostenfunktionen auf und berechne, ab welcher Einheitenzahl Anbieter A günstiger ist.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Variablen werden ohne Bedeutung eingeführt; der Ansatz ist dann nicht bewertbar.
„um" und „auf" werden verwechselt.
Die Einheit fehlt im Ergebnis.
Die Plausibilitätsprüfung unterbleibt.
Der Antwortsatz fehlt, obwohl die Aufgabe eine Deutung verlangt.

Aktive Wiederholung

Ein Vater ist dreimal so alt wie sein Sohn; in $10$ Jahren nur noch doppelt so alt. Stelle eine Gleichung auf und bestimme die heutigen Alter.

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Quellen: Mathago Modellierungsaufgaben (Mathago)