FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Sinus- und Kosinusfunktion#

~4 Min LesezeitStandardFA-6.1

Am Einheitskreis ordnet man jedem Winkel den

y

-Wert (Sinus) und den

x

-Wert (Kosinus) des zugehörigen Kreispunktes zu. Lässt man den Winkel im Bogenmaß nicht nur über

[0,\,2\pi)

, sondern über alle reellen Zahlen laufen, so werden aus den beiden Seitenverhältnissen zwei auf ganz

\mathbb{R}

definierte Funktionen

\sin

und

\cos

. Genau dieser Schritt - vom Winkel im Dreieck zur Funktion einer reellen Variablen - ist der Kern des Themas und die Brücke von der Trigonometrie (AG 4) zur Beschreibung periodischer Vorgänge.

Beide Funktionen sind auf ganz

\mathbb{R}

definiert und periodisch mit der Periode

2\pi

: Nach einem vollen Umlauf wiederholt sich jeder Wert, formal

\sin(x+2\pi)=\sin x

. Der Graph ist die vertraute Wellenlinie, die zwischen den Werten

-1

und

1

pendelt; der Wertebereich ist also das abgeschlossene Intervall

[-1,\,1]

(). Höher oder tiefer kommt eine reine Sinus- oder Kosinuskurve nie - eine Tatsache, die jede spätere Amplitudenbetrachtung trägt.

Sinus-Schwingung f(x)=\sin x

Abb. 1Periode

2\pi

, Amplitude

1

.

Abb. 1 ↓

Die Nullstellen verraten den Rhythmus der Welle:

\sin x

wird bei allen ganzzahligen Vielfachen von

\pi

null, also bei

x=k\pi

mit

k\in\mathbb{Z}

, während

\cos x

um eine Viertelperiode versetzt bei

x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi

verschwindet. Dazwischen liegen die Extrema:

\sin x

erreicht sein Maximum

1

bei

x=\tfrac{\pi}{2}

und sein Minimum

-1

bei

x=\tfrac{3\pi}{2}

. Wer diese markanten Stellen kennt, kann jede Sinuskurve ohne Wertetabelle skizzieren.

Die Symmetrie der beiden Funktionen ist gegensätzlich: Der Sinus ist eine ungerade Funktion, denn

\sin(-x)=-\sin x

, sein Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Kosinus dagegen ist gerade,

\cos(-x)=\cos x

, und damit achsensymmetrisch zur

y

-Achse. Anschaulich folgt das aus dem Einheitskreis: Spiegelt man den Winkel an der

x

-Achse, kehrt sich die Höhe (

\sin

) um, die waagrechte Lage (

\cos

) bleibt unverändert.

Sinus und Kosinus sind nicht zwei unabhängige Funktionen, sondern dieselbe Welle in zwei Phasen: Verschiebt man den Sinus um eine Viertelperiode nach links, erhält man genau den Kosinus, kurz

\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos x

. Deshalb genügt es, eine der beiden Kurven wirklich zu beherrschen - die andere ist nur ihre um

\tfrac{\pi}{2}

verschobene Schwester. Ergänzend koppelt der trigonometrische Pythagoras

\sin^{2}x+\cos^{2}x=1

beide Werte an jeder Stelle aneinander.

Der Einheitskreis bleibt das Anschauungsmodell: Dort liefern Sinus und Kosinus direkt die Koordinaten

(\cos x\,|\,\sin x)

des Winkelpunktes, und Wertebereich wie Symmetrie lassen sich ablesen statt auswendig lernen. In Anwendungen tritt diese reine Welle fast nie nackt auf, sondern in der allgemeinen Form

f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+d

: Der Vorfaktor

A

streckt die Amplitude,

\omega

staucht die Periode gemäß

T=\tfrac{2\pi}{\omega}

, und

\varphi

wie

d

verschieben die Kurve. Diese vier Stellschrauben sind das Thema der folgenden Abschnitte.

Vokabeln

→ Kartei

AmplitudeHalbe Höhe zwischen Maximum und Minimum.
PeriodeLänge eines vollständigen Schwingungsdurchgangs.
NulldurchgangStelle, an der der Graph die Achse schneidet.
BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge; $180^{\circ}$ entsprechen $\pi$.
Punktsymmetrie$f(-x)=-f(x)$; Eigenschaft des Sinus.
Achsensymmetrie$f(-x)=f(x)$; Eigenschaft des Kosinus.

Allgemeine Schwingung

f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+d

$A$ ist die Amplitude, $\omega$ steuert die Periode, $\varphi$ die Phase und $d$ die Mittellage. Jeder Parameter hat genau eine Wirkung.

Periode

T=\dfrac{2\pi}{\omega}

Je größer $\omega$ , desto kürzer die Periode. Deshalb ist $\omega$ selbst nie die Periode, sondern deren Kehrwert mal $2\pi$ .

Musterbeispiel

Periode und Nullstellen von $f(x)=\sin(2x)$

Bestimme für $f(x)=\sin(2x)$ die Periode, alle Nullstellen im Intervall $[0,\,\pi]$ und die Lage des ersten Maximums.

Periode
Aus dem Argument folgt $\omega=2$ , also $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ . Die Kurve schwingt damit doppelt so schnell wie $\sin x$ .
Nullstellen
$\sin(2x)=0$ gilt für $2x=k\pi$ , also $x=\tfrac{k\pi}{2}$ . Im Intervall $[0,\,\pi]$ sind das $x=0$ , $x=\tfrac{\pi}{2}$ und $x=\pi$ .
Erstes Maximum
Der Sinus ist maximal, wenn sein Argument $\tfrac{\pi}{2}$ beträgt: $2x=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}$ , dort ist der Funktionswert $1$ .

Ergebnis: Periode $T=\pi$ ; Nullstellen bei $x=0$ , $x=\tfrac{\pi}{2}$ und $x=\pi$ ; erstes Maximum bei $x=\tfrac{\pi}{4}$ mit Funktionswert $1$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit Periode $2\pi$ .
Sinus-Schwingung f(x)=\sin x
Abb.Periode $2\pi$ , Amplitude $1$ .
2
Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um $\tfrac{\pi}{2}$ .
3
Aus Einheitskreis und Bogenmaß folgen direkt Wertebereich und Symmetrie.

Typische Fehler

Der Rechner steht im Gradmodus, obwohl der Graph über dem Bogenmaß gezeichnet ist.
Amplitude und Periode werden vertauscht.
Der Wertebereich $[-1;1]$ wird bei der Kontrolle nicht genutzt.
Sinus und Kosinus werden in der Verschiebungsrichtung vertauscht.
Die Symmetrieeigenschaft wird geraten statt über $f(-x)$ geprüft.

Aktive Wiederholung

Skizziere eine vollständige Periode der Funktion $f(x)=\sin(2x)$ und gib Periode und Nullstellen an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Sinus Kosinus (IQS)

Amplitude, Periode, Phase, Verschiebung#

~4 Min LesezeitStandardFA-6.2FA-6.5

Eine reine Sinuskurve schwingt stets zwischen

-1

und

1

mit der Periode

2\pi

um die Nulllinie. Reale periodische Vorgänge - eine Temperatur, ein Wasserstand, eine Wechselspannung - haben aber eine eigene Höhe, einen eigenen Takt, eine eigene Mittellage und einen eigenen Startpunkt. Die allgemeine Schwingung

f(x)=A\sin(\omega(x-x_{0}))+d

stellt dafür vier Stellschrauben bereit: Amplitude

A

, Kreisfrequenz

\omega

, horizontale Verschiebung

x_{0}

und vertikale Verschiebung

d

.

Die Amplitude

A

ist die halbe Differenz zwischen Maximum und Minimum,

A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}

- also der maximale Ausschlag aus der Mittellage nach oben oder unten, nicht der Spitzenwert selbst. Pendelt eine Temperatur etwa zwischen

14

und

26

Grad, beträgt die Amplitude

A=\tfrac{26-14}{2}=6

und nicht

26

. Diese Verwechslung von Höchstwert und Amplitude ist der häufigste Fehler überhaupt.

Die Kreisfrequenz

\omega

steckt im Argument und bestimmt den Takt über

T=\dfrac{2\pi}{\omega}

: Ein größeres

\omega

presst mehr Schwingungen in dieselbe Strecke, die Periode wird also kürzer. Wichtig ist, dass

\omega

und die Periode

T

nicht dasselbe sind - der typische Patzer

T=\omega

unterschlägt den Faktor

2\pi

. Die Frequenz

f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}

zählt die Schwingungen pro Zeiteinheit und ist damit der Kehrwert der Periode.

Der Summand

d

ist die Mittellage, also der Durchschnitt aus Maximum und Minimum:

d=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}

. Er hebt oder senkt die gesamte Schwingung parallel zur

y

-Achse, um die sie dann symmetrisch pendelt. Im Temperaturbeispiel liegt die Mittellage bei

d=\tfrac{26+14}{2}=20

Grad - die Welle schwingt mit Amplitude

6

um diese Ruhelage.

Die Phasen- oder Horizontalverschiebung

x_{0}

schiebt die Kurve im wörtlichen Sinn nach rechts (bei negativem Vorzeichen nach links):

f(x)=A\sin(\omega(x-x_{0}))+d

hat ihren ersten steigenden Nulldurchgang genau bei

x=x_{0}

. Multipliziert man das Argument aus, entsteht die Form

A\sin(\omega x+\varphi)+d

mit

\varphi=-\omega\,x_{0}

- der Phasenwinkel

\varphi

und die Verschiebung

x_{0}

sind also über den Faktor

\omega

verknüpft und dürfen nicht verwechselt werden.

Aus einer gemessenen Kurve liest man die vier Größen der Reihe nach ab:

A

und

d

aus Höchst- und Tiefstwert,

\omega

aus der Periode (Abstand zweier gleichartiger Punkte, etwa zweier Maxima) und

x_{0}

aus dem Zeitpunkt eines markanten Punktes wie des ersten Maximums. Mit dem Schieberegler lässt sich der Einfluss jeder Größe einzeln erproben. Dieses Aufstellen einer Schwingungsgleichung aus realen Daten ist die Standardaufgabe der Modellierung.

Vokabeln

→ Kartei

MittellageWaagrechte, um die die Schwingung pendelt; Parameter $d$.
PhasenverschiebungHorizontale Verschiebung $c$.
KreisfrequenzParameter $b$; er staucht oder streckt die Periode.
FrequenzAnzahl der Schwingungen je Zeiteinheit; Kehrwert der Periode.
AmplitudeHalbe Höhe zwischen Maximum und Minimum.
SchwingungsdauerZeit für einen vollständigen Durchgang.

Amplitude und Mittelwert

A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2},\quad d=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}

Aus Maximum und Minimum lassen sich Amplitude und Mittellage direkt ablesen: die halbe Differenz und der Mittelwert.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Tagesgang Temperatur modellieren

Die Temperatur eines Früh-Sommer-Tages schwingt zwischen $14^{\circ}$ C (Minimum um $5$ Uhr) und $26^{\circ}$ C (Maximum um $17$ Uhr). Stelle eine Sinusfunktion auf.

Amplitude und Mittelwert
$A=\tfrac{26-14}{2}=6$ und $d=\tfrac{26+14}{2}=20$ .
Periode
$T=24$ h, also $\omega=\tfrac{2\pi}{24}=\tfrac{\pi}{12}$ .
Phase
Maximum bei $t=17$ h: $\sin(\omega(17-x_{0}))=1\Rightarrow \omega(17-x_{0})=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x_{0}=11$ .

Ergebnis: $T(t)=20+6\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}(t-11)\right)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Amplitude misst die halbe Spannweite zwischen Maximum und Minimum.
2
Die Periode liest du aus der Zeit zwischen zwei gleichartigen Punkten - z.B. zwei Maxima.
3
Phase und Mittelwert liefern Anfangsbedingungen, die exakt zur Realdatenkurve passen müssen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Höhe der Gondel eines Riesenrades modelliert die Funktion

h(t)=35-30\cos\!\left(\tfrac{\pi}{10}t\right)

(

t

in Minuten). Bestimme Periode, maximale Höhe und Zeitpunkt der ersten maximalen Höhe.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

$b$ wird selbst als Periode gelesen statt als $\tfrac{2\pi}{T}$ .
Das Vorzeichen der Phasenverschiebung wird vertauscht.
Die Amplitude wird als volle Höhe zwischen Maximum und Minimum angegeben.
Die Mittellage $d$ wird bei negativen Werten vergessen.
Die Klammer um $b(t-c)$ entfällt; die Verschiebung wird dann falsch skaliert.

Aktive Wiederholung

Eine Schwingung erreicht Maximum $7$ , Minimum $-1$ , Periode $4$ s, erstes Maximum bei $t=0{,}5$ . Stelle eine Funktionsgleichung auf.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Schwingungsfunktionen (Mathago)

Trigonometrische Gleichungen#

~3 Min LesezeitVertiefungFA-6.1FA-6.5

Während

2x-1=0

genau eine Lösung hat, besitzt eine trigonometrische Gleichung wie

\sin x=c

unendlich viele: Weil die Sinuskurve periodisch ist, schneidet die waagrechte Gerade

y=c

sie in jeder Periode erneut. Eine einzelne Lösung anzugeben genügt daher nie - gefragt ist entweder die vollständige Lösungsmenge oder die Lösungen in einem vorgegebenen Intervall.

Der Taschenrechner liefert mit

\arcsin c

zunächst nur einen Wert im Bereich

\left[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\right]

. Innerhalb einer Periode gibt es aber einen zweiten Schnittpunkt, der spiegelbildlich zur Stelle

\tfrac{\pi}{2}

liegt. Die vollständige Lösung lautet deshalb

x=\arcsin c+2k\pi

oder

x=\pi-\arcsin c+2k\pi

mit

k\in\mathbb{Z}

; das angehängte

2k\pi

erzeugt durch die Periodizität alle weiteren Lösungen.

Für

\cos x=c

verläuft alles analog, nur ist die Kosinuskurve symmetrisch zur

y

-Achse statt zur Stelle

\tfrac{\pi}{2}

. Die beiden Lösungsäste fallen daher zu

x=\pm\arccos c+2k\pi

zusammen. In beiden Fällen ist die Gleichung nur für

-1\le c\le 1

lösbar, denn außerhalb des Wertebereichs

[-1,\,1]

schneidet die Gerade

y=c

die Kurve gar nicht.

In Anwendungen ist meist ein Intervall vorgegeben, etwa

[0,\,2\pi)

oder ein Zeitraum in Stunden. Dann setzt man in den allgemeinen Lösungen nacheinander

k=0,\,1,\,2,\dots

(und nötigenfalls

k=-1

) ein und behält nur jene Werte, die im geforderten Bereich liegen. Alle Lösungen werden am Ende aufsteigend sortiert angegeben, damit keine übersehen wird.

Steht statt

\sin x

ein ganzes Schwingungsmodell

A\sin(\omega(x-x_{0}))+d=w

da, isoliert man zuerst die Sinusfunktion: durch

A

dividieren und

d

subtrahieren, bis

\sin(\dots)=c

dasteht. Erst danach wendet man das Arcsinus-Schema auf das gesamte Argument

\omega(x-x_{0})

an und löst zum Schluss nach

x

auf. So wird etwa aus

2{,}5+1{,}8\sin(\dots)=3{,}4

zunächst

\sin(\dots)=0{,}5

.

Häufig ist nur der erste Zeitpunkt gesucht, zu dem ein Wert auftritt - dann nimmt man die kleinste Lösung im Sachbereich. Ein CAS findet die Lösungen über den Befehl „solve", doch jede Lösung muss am Originalmodell und am Sachkontext geprüft werden: Ein negativer Zeitpunkt oder ein Wert jenseits des Beobachtungszeitraums scheidet aus, auch wenn er die Gleichung formal erfüllt.

Vokabeln

→ Kartei

HauptwertVom Rechner gelieferte Lösung im Grundbereich der Arkusfunktion.
ArkussinusUmkehrfunktion des Sinus auf $[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}]$.
PeriodizitätWiederholung der Lösungen im Abstand der Periode.
LösungsmengeAlle Werte, die die Gleichung erfüllen.
GrundbereichIntervall, auf dem die Umkehrfunktion definiert wird.
NebenlösungZweite Lösung je Periode aus der Symmetrie.

Lösungsmenge der Sinusgleichung

\sin x=c\Rightarrow x=\arcsin c+2k\pi\;\text{oder}\;x=\pi-\arcsin c+2k\pi

Der Rechner liefert nur den Hauptwert. Die zweite Lösung je Periode und die Periodizität $2k\pi$ müssen von Hand ergänzt werden.

Musterbeispiel

Erstes Auftreten eines Hochwasserstands

Der Wasserstand schwankt gemäß $h(t)=2{,}5+1{,}8\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}(t-3)\right)$ (Stunden). Wann erreicht der Pegel zum ersten Mal $3{,}4$ m?

Gleichung
$2{,}5+1{,}8\sin(\dots)=3{,}4\Rightarrow \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}(t-3)\right)=0{,}5$ .
Arcsinus
$\tfrac{\pi}{6}(t-3)=\tfrac{\pi}{6}\Rightarrow t-3=1\Rightarrow t=4$ .

Ergebnis: Der Pegel erreicht den Wert erstmals nach $4$ Stunden.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Trigonometrische Gleichungen haben in der Regel unendlich viele Lösungen.
2
Achte auf das Intervall und den symmetrischen zweiten Lösungsast.
3
Prüfe in Anwendungen, ob die Lösung im Sachzusammenhang gültig ist.

Typische Fehler

Nur der Hauptwert wird angegeben; die zweite Lösung je Periode fehlt.
Die Periodizität wird nicht ergänzt.
Beim Tangens wird $2k\pi$ statt $k\pi$ addiert.
Die Lösungen werden nicht auf das geforderte Intervall eingeschränkt.
$|k|>1$ wird nicht als lösungslos erkannt.

Aktive Wiederholung

Löse $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)=0{,}5$ für $t\in[0,\,24]$ und gib alle Lösungen an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS trigonometrische Gleichungen (IQS)

Tangensfunktion#

~3 Min LesezeitStandardFA-6.1

Der Tangens entsteht als Verhältnis der beiden Grundfunktionen,

f(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}

, und misst anschaulich, wie steil die Verbindung vom Ursprung zum Einheitskreispunkt ansteigt. Diese Steigungsdeutung macht ihn zum Bindeglied zwischen Winkel und Geradensteigung und damit zur wichtigsten Winkelfunktion der Geometrie.

Da durch

\cos x

dividiert wird, ist der Tangens überall dort definiert, wo der Kosinus nicht null ist. An den Stellen

x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi

wird

\cos x=0

, dort hat der Tangens Definitionslücken. Sein Definitionsbereich ist also

\mathbb{R}

ohne diese Stellen,

\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}

.

Anders als Sinus und Kosinus hat der Tangens die kürzere Periode

\pi

, nicht

2\pi

. Der Grund: Verschiebt man

x

um

\pi

, wechseln Zähler und Nenner gleichzeitig das Vorzeichen, und im Quotienten heben sich die beiden Vorzeichen wieder auf - der Wert wiederholt sich also schon nach einer halben Sinusperiode.

An jeder Definitionslücke besitzt der Graph eine senkrechte Asymptote: Nähert sich

x

der Stelle

\tfrac{\pi}{2}

, strebt

\tan x

gegen

+\infty

bzw.

-\infty

. Auf jedem einzelnen Ast ist der Tangens streng monoton steigend und durchläuft alle reellen Werte - sein Wertebereich ist ganz

\mathbb{R}

, nicht das beschränkte

[-1,\,1]

. Zudem ist er ungerade,

\tan(-x)=-\tan x

, der Graph also punktsymmetrisch zum Ursprung.

Die geometrische Hauptanwendung ist der Steigungswinkel einer Geraden: Schließt eine Gerade mit der

x

-Achse den Winkel

\alpha

ein, so ist ihre Steigung

k=\tan\alpha

. Umgekehrt gewinnt man den Steigungswinkel aus der Steigung über die Umkehrfunktion,

\alpha=\arctan k

- eine Gerade mit

k=1

steigt also unter

\arctan 1=45^{\circ}

.

In der Matura wird der Tangens vor allem in zwei Rollen geprüft: als Funktion mit charakteristischen Definitionslücken und Asymptoten, deren Periode

\pi

klar von der Periode

2\pi

der Sinusfunktion zu unterscheiden ist, und als Werkzeug für Steigungswinkel - derselbe Zusammenhang

k=\tan\alpha

deutet später auch die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen als Steigungswinkel (Thema AN).

Vokabeln

→ Kartei

Tangensfunktion$\tan x=\tfrac{\sin x}{\cos x}$.
PolstelleDefinitionslücke mit unbeschränkt wachsenden Werten.
senkrechte AsymptoteGerade an einer Polstelle.
AstZusammenhängendes Kurvenstück zwischen zwei Polstellen.
NeigungswinkelWinkel zur Waagrechten; sein Tangens ist die Steigung.
ArkustangensUmkehrfunktion auf $(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2})$.

Tangensfunktion und Steigungswinkel

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},\qquad k=\tan\alpha

Der Tangens ist zugleich Quotient zweier Winkelfunktionen und die Steigung einer Geraden. Deshalb rechnet man Neigungswinkel damit um.

Musterbeispiel

Steigungswinkel aus der Steigung

Eine Gerade hat die Steigung $k=1$ . Bestimme den Steigungswinkel.

Ansatz
$\tan\alpha=k=1$ .
Arcustangens
$\alpha=\arctan 1$ .
Wert
$\alpha=45^{\circ}$ bzw. $\tfrac{\pi}{4}$ .

Ergebnis: Die Gerade steigt unter $45^{\circ}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Tangens ist der Quotient aus Sinus und Kosinus und hat die Periode Pi.
2
An den Nullstellen des Kosinus entstehen senkrechte Asymptoten.
3
Der Tangens des Steigungswinkels ist genau die Steigung einer Geraden.

Typische Fehler

Die Periode wird als $2\pi$ angegeben.
Die Polstellen bleiben im Definitionsbereich.
Der Tangens wird als beschränkt beschrieben; sein Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$ .
Die Monotonie wird über die Polstelle hinweg behauptet.
Steigung in Prozent und Neigungswinkel werden gleichgesetzt.

Aktive Wiederholung

Bestimme den Steigungswinkel einer Geraden mit der Steigung $k=1$ und gib die Periode von $\tan x$ an.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Winkelfunktionen AHS (IQS)

Transformationen von Winkelfunktionen#

~3 Min LesezeitStandardFA-6.2

Die allgemeine Sinusschwingung

f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+d

entsteht aus der Grundkurve

\sin x

durch vier Transformationen, die unabhängig voneinander wirken. Wer ihre Bedeutung kennt, kann jeden Funktionsterm sofort in eine Skizze übersetzen und umgekehrt aus einer Kurve die Gleichung rekonstruieren - beides sind klassische Maturaaufgaben.

Der Vorfaktor

A

steuert die Amplitude, also die halbe Schwingungshöhe: Er streckt die Kurve in

y

-Richtung, sodass sie zwischen

d-A

und

d+A

pendelt. Bei

f(x)=3\sin(2x)+1

etwa ist

A=3

, die Welle reicht also von

-2

bis

4

(). Ein negatives

A

würde die Kurve zusätzlich an der Mittellage spiegeln.

Transformierte Sinuskurve f(x)=3\sin(2x)+1

Abb. 2Amplitude

3

, Periode

T=\pi

, Mittellage

y=1

; Maximum bei

x=\tfrac{\pi}{4}

.

Abb. 2 ↓

Die Kreisfrequenz

\omega

staucht die Kurve in

x

-Richtung und bestimmt die Periode über

T=\dfrac{2\pi}{\omega}

: Ein größeres

\omega

bedeutet eine kürzere Periode, also mehr Schwingungen pro Strecke. Für

\omega=2

ergibt sich

T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi

- die Kurve schwingt doppelt so schnell wie die Grundfunktion.

Die Phasenverschiebung

\varphi

schiebt den Graphen waagrecht, der Summand

d

verschiebt ihn senkrecht und legt die Mittellage

y=d

fest. Während

d

unmittelbar ablesbar ist, ist die tatsächliche waagrechte Verschiebung nicht

\varphi

selbst, sondern

-\dfrac{\varphi}{\omega}

- man muss

\varphi

erst durch die Kreisfrequenz teilen, um vom Phasenwinkel auf eine Strecke auf der

x

-Achse zu kommen.

Genau dieser Faktor

\tfrac{1}{\omega}

ist die häufigste Falle: Eine Phase

\varphi

einfach als Verschiebung um den Betrag

\varphi

zu deuten ist falsch. Beim umgekehrten Weg - aus einem Graphen die Gleichung zu gewinnen - liest man zuerst Mittellage

d

und Amplitude

A

aus Höchst- und Tiefstwert ab, dann die Periode

T

und daraus

\omega=\tfrac{2\pi}{T}

, und schließlich aus der waagrechten Lage eines markanten Punktes die Phase.

So liest man an

f(x)=3\sin(2x)+1

unmittelbar ab: Amplitude

3

, Periode

\pi

, Mittellage

y=1

, keine Phasenverschiebung. Dieselben vier Kenngrößen bilden die Grundlage der periodischen Modellierung im folgenden Abschnitt, wo sie nicht aus einem fertigen Term, sondern aus gemessenen Daten bestimmt werden.

Vokabeln

→ Kartei

StreckungMultiplikation des Funktionswerts mit einem Faktor.
StauchungMultiplikation des Arguments mit einem Faktor über eins.
VerschiebungAdditive Änderung von Argument oder Funktionswert.
SpiegelungVorzeichenwechsel; an der Achse bei $-f(x)$.
innere VerkettungUmformung im Argument der Funktion.
äußere VerkettungUmformung des Funktionswerts.

Allgemeine Sinusschwingung

f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+d,\qquad T=\dfrac{2\pi}{\omega}

Dieselbe Schwingungsform, hier zusammen mit der Periodenformel. Vor dem Ablesen der Phasenverschiebung ist $\omega$ auszuklammern.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Kenngrößen ablesen

Bestimme Amplitude, Periode und Mittellage von $f(x)=3\sin(2x)+1$ .

Amplitude
Der Vorfaktor ist $A=3$ , die Amplitude beträgt also $3$ .
Periode
$\omega=2$ , somit $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ .
Mittellage
Der Summand $d=1$ verschiebt die Mittellage auf $y=1$ .

Ergebnis: Amplitude $3$ , Periode $\pi$ , Mittellage $y=1$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Der Vorfaktor vor dem Sinus ist die Amplitude und damit die halbe Schwingungshöhe.
2
Die Periode berechnest du als zwei Pi geteilt durch die Kreisfrequenz.
3
Der konstante Summand verschiebt die gesamte Schwingung senkrecht.

Typische Fehler

Die Verschiebungsrichtung wird umgekehrt.
Die Phasenverschiebung wird nicht durch $b$ dividiert.
Streckung und Verschiebung werden in der Reihenfolge vertauscht.
Eine Spiegelung durch $-a$ bleibt unerkannt.
Die vertikale Verschiebung $d$ wird beim Ablesen der Amplitude mitgezählt.

Aktive Wiederholung

Bestimme Amplitude, Periode und senkrechte Verschiebung von $f(x)=3\sin(2x)+1$ .

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)

Periodische Vorgänge modellieren#

~3 Min LesezeitVertiefungFA-6.2FA-6.3

Viele Vorgänge in Natur und Technik wiederholen sich in festem Takt: die Gezeiten, die Tageslänge im Jahresverlauf, die Wechselspannung im Stromnetz oder der Tagesgang der Temperatur. Solche periodischen Vorgänge lassen sich näherungsweise durch ein Sinus- oder Kosinusmodell der Form

f(t)=A\sin(\omega(t-t_{0}))+d

beschreiben (). Modellieren heißt hier, aus wenigen gemessenen Eckdaten die vier Parameter zu bestimmen.

Idealisiertes Gezeitenmodell H(t)=3+2\sin\!\left(\tfrac{π}{6}t\right)

Abb. 3Wasserstand über einen Tag; Mittellage

3

m, Amplitude

2

m, Periode

T=12

h.

Abb. 3 ↓

Den Anfang machen Höchst- und Tiefstwert: Aus ihnen ergeben sich Amplitude und Mittellage als

A=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}

und

d=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}

. Schwankt etwa die Tageslänge zwischen

8

und

16

Stunden, so ist

A=\tfrac{16-8}{2}=4

und

d=\tfrac{16+8}{2}=12

- die Mittellage ist also der Durchschnitt, die Amplitude die halbe Spannweite der Werte.

Die Kreisfrequenz folgt aus der bekannten Periode des Vorgangs über

\omega=\dfrac{2\pi}{T}

. Bei einem Jahresrhythmus ist

T=365

Tage, also

\omega=\dfrac{2\pi}{365}

; bei einem Tagesrhythmus

T=24

Stunden. Entscheidend ist,

T

in derselben Einheit wie die Variable

t

einzusetzen, damit das Modell maßstabsgetreu bleibt.

Die Phasenverschiebung

t_{0}

wird schließlich so gewählt, dass das Modell den beobachteten Hochpunkt trifft: In der Sinusform liegt das erste Maximum bei

t=t_{0}

, sodass

t_{0}

direkt der Zeitpunkt des beobachteten Höchstwerts ist. Liegt umgekehrt schon zum Startzeitpunkt

t=0

ein Maximum vor, ist die Kosinusform

d+A\cos(\omega t)

oft die bequemere Wahl.

Ob man Sinus oder Kosinus ansetzt, hängt damit nur vom gewählten Nullpunkt der Zeit ab - beide Modelle beschreiben dieselbe Kurve, lediglich die Phasenkonstante unterscheidet sich. Nach dem Aufstellen gehört stets eine Probe dazu: Liefert das Modell zu den bekannten Zeitpunkten tatsächlich Höchst- und Tiefstwert?

Zur vollständigen Lösung gehört die Reflexion der Modellgrenzen: Reale Vorgänge sind selten exakt sinusförmig. Gezeiten werden durch Wetter und Küstenform verzerrt, die Tageslänge folgt nicht ganz einer reinen Sinuskurve, und Messdaten streuen. Das Sinusmodell ist eine bewusste Idealisierung - in der Matura wird ausdrücklich erwartet, dass man seine Aussagekraft im Sachkontext interpretiert und seine Grenzen benennt.

Vokabeln

→ Kartei

periodischer VorgangVorgang, der sich in gleichen Abständen wiederholt.
ZeitnullpunktFestgelegter Startzeitpunkt der Modellierung.
MittellageMittlerer Wert, um den der Vorgang schwingt.
SchwingungsdauerDauer eines vollständigen Durchgangs.
ExtremwertHöchster oder tiefster Wert des Modells.
ModellgrenzeBereich, außerhalb dessen das Modell nicht mehr trägt.

Kenngrößen eines periodischen Modells

A=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2},\quad d=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2},\quad \omega=\dfrac{2\pi}{T}

Die drei Parameter werden aus den Daten gewonnen: Amplitude und Mittellage aus Maximum und Minimum, $\omega$ aus der Periode.

Musterbeispiel

Tageslänge modellieren

Die Tageslänge schwankt zwischen $8$ und $16$ Stunden. Bestimme Amplitude und Mittellage.

Amplitude
$A=\dfrac{16-8}{2}=4$ Stunden.
Mittellage
$d=\dfrac{16+8}{2}=12$ Stunden.
Periode
Ein Jahr, also $T=365$ Tage und $\omega=\dfrac{2\pi}{365}$ .

Ergebnis: Modell der Form $L(t)=12+4\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{365}(t-t_{0})\right)$ mit passendem $t_{0}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Amplitude und Mittellage gewinnst du aus dem Höchst- und Tiefstwert des Vorgangs.
2
Die Kreisfrequenz folgt aus der bekannten Periode des Vorgangs.
3
Reflektiere am Ende, wie gut das idealisierte Sinusmodell die Realität trifft.

Typische Fehler

Der Zeitnullpunkt bleibt unbenannt; die Phasenverschiebung wird dadurch beliebig.
Die Periode wird aus zwei benachbarten Nullstellen statt aus einem vollen Durchgang gelesen.
Die Parameter werden ohne Einheiten gedeutet.
Der Rechner steht im Gradmodus.
Das Modell wird ohne Vorbehalt weit in die Zukunft fortgeschrieben.

Aktive Wiederholung

Die Tageslänge schwankt zwischen $8$ h und $16$ h über ein Jahr. Stelle ein Sinusmodell mit Amplitude und Mittellage auf.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS periodische Modelle AHS (IQS)

FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen

Kernpunkte

Periode und Nullstellen von f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x)

Kernpunkte

Tagesgang Temperatur modellieren

Kernpunkte

Erstes Auftreten eines Hochwasserstands

Kernpunkte

Steigungswinkel aus der Steigung

Kernpunkte

Kenngrößen ablesen

Kernpunkte

Tageslänge modellieren

Quellen

Periode und Nullstellen von $f(x)=\sin(2x)$