B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Funktionsbegriff und Darstellungsformen#

~4 Min LesezeitBasisB-4.1

Der Funktionsbegriff ist das Bindeglied zwischen zwei Größen, die voneinander abhängen - Höhe von der Zeit, Kosten von der Stückzahl, Umsatz vom Monat. Eine Funktion ordnet jedem Argument

x

genau einen Funktionswert

f(x)

zu; diese Eindeutigkeit ist das definierende Merkmal (). Zu jedem

t

gehört genau eine Höhe, nie zwei.

Funktion als eindeutige Zuordnung

Abb. 1Jeder Zeit

t

wird genau ein Funktionswert

f(t)

zugeordnet - hier liest man zur Stelle

t=3

den Wert

f(3)\approx 4

ab.

Abb. 1 ↓

Dieselbe Funktion lässt sich auf vier Weisen darstellen: als Wertetabelle, als Graph, als Formel und als verbale Beschreibung. In der Matura wird ständig zwischen diesen Formen gewechselt - aus einer Tabelle den Term bestimmen, aus dem Graphen Eigenschaften ablesen, einen Sachverhalt in Worte fassen. Jede Form betont eine andere Facette.

Definitionsmenge

D

und Wertemenge

W

legen fest, welche Eingaben und Ausgaben überhaupt zugelassen sind. Im Sachkontext müssen sie sinnvoll eingeschränkt werden: Zeit

t\geq 0

, Stückzahlen ganzzahlig, eine Höhe nicht negativ. Eine mathematisch definierte Funktion gilt also oft nur auf einem realitätsgerechten Ausschnitt.

Bestimmte Stellen tragen in Anwendungen feste Bedeutungen: Der Funktionswert

f(0)

ist der Anfangs- oder Startwert (Achsenabschnitt), die Nullstellen

f(x)=0

markieren Schwellen - den Zeitpunkt, zu dem ein Vorrat aufgebraucht oder der Boden erreicht ist. Diese Stellen liest man gezielt aus Graph oder Term ab.

Monotonie und Symmetrie helfen, eine Funktion einzuordnen: streng monoton steigend bedeutet durchgehende Zunahme, streng monoton fallend durchgehende Abnahme; gerade Funktionen sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Solche Eigenschaften erlauben Aussagen über das Verhalten, noch bevor man einzelne Werte berechnet.

In der Matura zählt schließlich die Verknüpfung von Symbol und Bedeutung: Variablen werden mit Einheit und Kontext eingeführt („

t

in Jahren ab 2020"), und Ausdrücke wie

f(3)=4

oder

f^{-1}(0)

werden in Worten gedeutet - „nach

3

Sekunden beträgt die Höhe

4\,\mathrm{m}

". Das Vertauschen von Argument und Funktionswert ist hier der klassische Fehler.

Vokabeln

→ Kartei

FunktionEindeutige Zuordnung, die jedem Argument genau einen Funktionswert zuweist.
DefinitionsbereichMenge aller zulässigen Argumente; im Sachkontext meist zusätzlich eingeschränkt.
WertebereichMenge aller tatsächlich angenommenen Funktionswerte.
ArgumentEingangsgröße der Funktion; auf der waagrechten Achse aufgetragen.
ModellgültigkeitBereich, in dem ein Funktionsmodell die Wirklichkeit brauchbar beschreibt.
ExtrapolationAuswertung eines Modells außerhalb des Datenbereichs; nur mit ausdrücklichem Vorbehalt zulässig.

Lineare Funktion: Steigung k, Achsenabschnitt d

f(x)=k\,x+d,\quad k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x},\quad d=f(0)

$k$ ist die Steigung mit der Einheit y je Einheit x, $d$ der Funktionswert an der Stelle null. Im Sachkontext ist $d$ typischerweise die Grundgebühr oder der Fixkostenanteil.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterbeispiel

Lineare Funktion aus zwei Punkten

Lineare Funktion $f$ mit $f(1)=2{,}5$ und $f(4)=10$ .

Steigung
$k=\tfrac{10-2{,}5}{4-1}=2{,}5$ .
Achsenabschnitt
$d=2{,}5-k\cdot 1=0$ .

Ergebnis: $f(x)=2{,}5\,x$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Eine Funktion ordnet jedem Eingangswert genau einen Ausgangswert zu.
2
Du kannst sie tabellarisch, grafisch oder als Formel ausdrücken - wähle die geeignete Form.
3
In Anwendungen ist der Kontext entscheidend - Variable mit Bedeutung verknüpfen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Zuordnung gibt für jeden Tag des Jahres die mittlere Temperatur in Wien an. Begründe, warum es sich um eine Funktion handelt. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Funktionswert und Argument werden vertauscht: $f(3)=7$ heißt „an der Stelle 3 ist der Wert 7", nicht umgekehrt.
Der Definitionsbereich passt nicht zum Kontext - negative Zeiten oder Stückzahlen bleiben zugelassen.
Die Verbalisierung fehlt; der Operator „interpretieren" verlangt einen vollständigen Satz mit Einheit.
Eine Zuordnung mit zwei Werten je Argument wird als Funktion bezeichnet; je Argument darf es nur einen Funktionswert geben.
Das Modell wird über seinen Gültigkeitsbereich hinaus extrapoliert, ohne diese Grenze zu benennen.

Aktive Wiederholung

Eine Funktion $f$ mit $D=[0;\,12]$ beschreibt die Höhe in Metern als Funktion der Zeit in Sekunden. Beschreibe, was $f(3)=4$ und $f^{-1}(0)$ konkret bedeuten.

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Quellen: BMBWF BHS-Lehrplan Angewandte Mathematik (HTL) (BMBWF) · Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF)

Polynomfunktionen und Nullstellen#

~3 Min LesezeitStandardB-4.1

Polynomfunktionen sind die flexibelsten „glatten" Modellfunktionen: Mit wenigen Koeffizienten bilden sie Produktions-, Verkehrs- oder Wachstumsverläufe nach, die steigen, fallen und Extremstellen haben. Ein Polynom

f(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}

vom Grad

n

hat höchstens

n

reelle Nullstellen und maximal

n-1

lokale Extrempunkte.

Das Lösen läuft über die Nullstellen: Rationale Nullstellen lassen sich oft erraten (sie stecken unter den Teilern von

\tfrac{a_0}{a_n}

) und dann per Polynomdivision abspalten. So zerfällt etwa

x^{3}-6x^{2}+11x-6

über die Probe

f(1)=0

schrittweise in

(x-1)(x-2)(x-3)

- die drei Nullstellen werden unmittelbar sichtbar ().

Kubische Funktion mit drei Nullstellen

Abb. 2Die faktorisierte Form

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

macht die drei Nullstellen sichtbar; dazwischen liegen ein Hoch- und ein Tiefpunkt.

Abb. 2 ↓

Die faktorisierte Form ist das eigentliche Ziel: Steht das Polynom als Produkt von Linearfaktoren da, liest man jede Nullstelle direkt ab. Eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt, statt sie zu schneiden.

Das Verhalten im Unendlichen bestimmen Grad und Leitkoeffizient allein: Bei geradem

n

und

a_n>0

steigt

f

auf beiden Seiten gegen

+\infty

(parabelartig), bei ungeradem

n

läuft es von

-\infty

nach

+\infty

. Eine Parabel (Grad 2) hat einen Scheitel, ein kubisches Polynom (Grad 3) höchstens ein lokales Maximum und ein lokales Minimum.

In Anwendungen ist die Gültigkeitsgrenze entscheidend: Ein Polynommodell beschreibt einen Vorgang nur in einem begrenzten Bereich. Eine Produktionsfunktion wie

-\tfrac{1}{6}t^{3}+\dots

liefert für große

t

negative Werte und wird damit unrealistisch - der dominante höchste Term bestimmt das Langzeitverhalten.

In der Matura wird daher beides geprüft: die rechnerische Nullstellenbestimmung (raten, dividieren, faktorisieren) und das Beurteilen des Modells im Kontext - bis zu welchem Zeitpunkt die Funktion sinnvolle Werte liefert und ab wann eine Extrapolation unzulässig wird.

Vokabeln

→ Kartei

PolynomfunktionFunktion der Form $a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}$ mit natürlichen Exponenten.
GradHöchster vorkommender Exponent; er bestimmt Randverhalten und Höchstzahl der Nullstellen.
LeitkoeffizientKoeffizient der höchsten Potenz; sein Vorzeichen legt die Richtung der Äste fest.
PolynomdivisionVerfahren zum Abspalten eines Linearfaktors nach gefundener Nullstelle.
VielfachheitWie oft ein Linearfaktor auftritt; entscheidet über Schnitt oder Berührung der x-Achse.
RandverhaltenVerlauf der Funktion für sehr große und sehr kleine Argumente.

Polynom n-ten Grades

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}

$n$ ist der Grad, $a_{n}\neq0$ der Leitkoeffizient. Der Grad begrenzt die Anzahl reeller Nullstellen nach oben, der Leitkoeffizient bestimmt gemeinsam mit dem Grad das Randverhalten.

Musterbeispiel

Nullstellen eines kubischen Polynoms

Bestimme die Nullstellen von $f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$ .

Rationale Nullstelle raten
Teiler von $-6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Probe $f(1)=1-6+11-6=0$ , also $x_{1}=1$ .
Polynomdivision
$x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$ .
Restpolynom faktorisieren
$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ .

Ergebnis: Nullstellen $x_{1}=1$ , $x_{2}=2$ , $x_{3}=3$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Prüfe zuerst, ob das Polynom in einfache Faktoren zerlegt werden kann.
2
Versuche rationale Nullstellen durch Probieren der Teiler des konstanten Glieds.
3
Beurteile das Modell im Kontext - extrapoliere nicht über den sinnvollen Bereich.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Tagesproduktion (in Stück) eines Werks wird durch

P(t)=-\tfrac{1}{6}t^{3}+\tfrac{3}{2}t^{2}-2t+10

(

t

in Stunden seit Schichtbeginn) modelliert. Bestimme den Wert nach

4

Stunden und beurteile, ob das Modell langfristig realistisch ist. (HTL/HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Bei der Polynomdivision werden die Vorzeichen falsch verteilt; die Probe durch Rückmultiplizieren unterbleibt.
Nullstellen werden übersehen, weil nicht systematisch unter den Teilern des Absolutglieds geraten wird.
Das Polynom wird außerhalb des Definitions- bzw. Gültigkeitsbereichs ausgewertet.
Fehlende Potenzen werden bei der Polynomdivision nicht mit dem Koeffizienten null aufgefüllt.
Der Grad wird mit der Anzahl der Nullstellen gleichgesetzt; ein Polynom vom Grad $n$ hat HÖCHSTENS $n$ reelle Nullstellen.

Aktive Wiederholung

Bestimme alle Nullstellen von $f(x)=x^{3}-7x+6$ und gib das Monotonieverhalten an.

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Quellen: BMBWF BHS-Lehrplan Angewandte Mathematik (HTL) (BMBWF) · Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF)

Exponential- und Logarithmusfunktionen#

~4 Min LesezeitStandardB-4.2

Exponentielles Wachstum ist der Motor hinter Zinsen, Populationen und radioaktivem Zerfall: Nicht ein fester Betrag, sondern ein fester Prozentsatz kommt pro Zeitschritt hinzu oder fällt weg. Die Exponentialfunktion

f(x)=a\cdot b^{x}

mit

b>0

,

b\neq 1

beschreibt das - Wachstum für

b>1

, Zerfall für

0<b<1

().

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Abb. 3Wachstumsfaktor

a > 1

liefert J-Kurve,

a < 1

asymptotischen Zerfall.

Abb. 3 ↓

Der Unterschied zum linearen Modell ist der Kern dieses Themas: Lineares Wachstum addiert in gleichen Schritten denselben Betrag (konstante Differenzen), exponentielles multipliziert mit demselben Faktor (konstante Quotienten). Anfangs wirkt das exponentielle Modell harmlos, überholt das lineare aber unweigerlich (, ).

Lineares Wachstum (jährliche Werte)

Abb. 4Lineares Modell

L(t)=100+50t

: gleichbleibende Zunahme von

50

pro Jahr (zum exponentiellen Vergleich siehe nebenstehenden Graphen

E(t)=100\cdot 1{,}10^{t}

).

Exponentielles Wachstum E(t)=100·1,10t

Abb. 510 % jährliches Wachstum, Verdopplungszeit ca. 7,3 Jahre.

Abb. 4 ↓Abb. 5 ↓

Die alternative Schreibweise

f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}

trennt Anfangswert

a

und stetige Wachstumsrate

k

sauber:

k>0

bedeutet Wachstum,

k<0

Zerfall. Der Zusammenhang zur prozentualen Änderung ist

b=1+r=\mathrm{e}^{k}

- ein Wachstumsfaktor

b=1{,}07

entspricht also

7\,\%

Zunahme pro Schritt.

Zwei charakteristische Zeiten beschreiben das Tempo unabhängig vom Anfangswert: die Verdopplungszeit

T_{2}=\tfrac{\ln 2}{k}

und die Halbwertszeit

T_{1/2}=-\tfrac{\ln 2}{k}

. Beim Zerfall ist

k<0

, sodass

T_{1/2}

positiv herauskommt - die Halbwertszeit als positive Zahl trotz negativen Exponenten anzugeben, ist hier die Standard-Stolperfalle.

Die Logarithmusfunktion

g(x)=\log_{a}(x)

ist die Umkehrfunktion von

f(x)=a^{x}

und damit das Werkzeug, um die Zeit aus dem Exponenten zu holen. Sie hat die Nullstelle

g(1)=0

und keinen

y

-Achsenabschnitt, da

g(0)

nicht definiert ist - der Graph schmiegt sich für

x\to 0^{+}

an die negative

y

-Achse.

In Anwendungen wird genau diese Umkehrung gebraucht: „Nach wie vielen Jahren?" führt auf eine Exponentialgleichung, die man logarithmiert. Die Antwort ist eine Verdopplungs- oder Halbwertszeit, die man im Kontext deutet - und bei „ganzen Jahren" je nach Frage aufrundet.

Vokabeln

→ Kartei

ExponentialfunktionFunktion der Form $N(t)=N_{0}\cdot q^{t}$ bzw. $N_{0}\cdot\mathrm{e}^{kt}$.
WachstumsfaktorFaktor $q$ je Periode; er multipliziert den Bestand.
WachstumsrateRelative Änderung je Periode; $p=q-1$.
ZerfallskonstanteNegativer Exponent $k$ in $\mathrm{e}^{kt}$; steuert die Geschwindigkeit der Abnahme.
VerdopplungszeitZeitspanne, in der sich der Bestand verdoppelt; $t=\tfrac{\ln 2}{k}$.
natürlicher LogarithmusLogarithmus zur Basis $\mathrm{e}$; Umkehrfunktion der e-Funktion.

Exponentialfunktion (Wachstum/Zerfall)

f(x)=a\cdot b^{x}\;\text{oder}\;f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}

$a$ ist der Anfangswert bei $x=0$ , $b$ der Wachstumsfaktor je Einheit und $k=\ln b$ die Wachstumskonstante. $b>1$ bzw. $k>0$ bedeutet Wachstum, $0<b<1$ bzw. $k<0$ Abnahme.

Verdopplungs- und Halbwertszeit

T_{2}=\dfrac{\ln 2}{k},\quad T_{1/2}=-\dfrac{\ln 2}{k}

$k$ ist die Wachstums- bzw. Zerfallskonstante. Beim Zerfall ist $k$ negativ, weshalb das Minuszeichen die Halbwertszeit positiv macht; beide Zeiten sind vom Anfangsbestand unabhängig.

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Exponentieller Zerfall - Halbwertszeit

Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von $T_{1/2}=8{,}1$ Tagen. Welcher Anteil ist nach $30$ Tagen noch vorhanden?

Modell
$N(t)=N_{0}\cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ .
Einsetzen
$\tfrac{N(30)}{N_{0}}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30/8{,}1}=0{,}5^{3{,}704}\approx 0{,}0768$ .
Interpretation
Nach $30$ Tagen sind noch ca. $7{,}7\,\%$ der ursprünglichen Menge vorhanden.

Ergebnis: Restmenge $\approx 7{,}7\,\%$ .

Musterbeispiel

Verdopplungszeit beim Sparkonto

Ein Sparbuch wird mit $3\,\%$ pro Jahr verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

Wachstumsgleichung
$K_{n}=K_{0}\cdot 1{,}03^{n}=2K_{0}$ .
Durch K₀ teilen
$1{,}03^{n}=2$ .
Logarithmieren
$n=\tfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx \tfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx 23{,}45$ .
Aufrunden
Erstmals nach $24$ vollen Jahren ist das Kapital verdoppelt.

Ergebnis: Nach rund 24 Jahren ist die Verdopplung erreicht.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne das Modell - prozentuale Änderungen pro Periode bedeuten exponentiell.
Exponentielles Wachstum vs. Zerfall
Abb.Wachstumsfaktor $a > 1$ liefert J-Kurve, $a < 1$ asymptotischen Zerfall.
2
Verdopplungs- und Halbwertszeit ergeben sich direkt aus $\ln 2$ geteilt durch den Wachstumsfaktor.
3
Vergleiche immer Werte am Anfang und nach einer charakteristischen Zeit - das prüft die Plausibilität.
Exponentielles Wachstum E(t)=100·1,10t
Abb.10 % jährliches Wachstum, Verdopplungszeit ca. 7,3 Jahre.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Anzahl einer Tierpopulation lässt sich durch

N(t)=350\cdot 1{,}04^{t}

(

t

in Jahren) beschreiben. Bestimme die Verdopplungszeit und interpretiere sie. (HUM/HTL)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Lineares und exponentielles Wachstum werden verwechselt; die Tabelle wird nicht auf Differenzen und Quotienten geprüft.
Die Halbwertszeit wird negativ angegeben. Der Exponent ist negativ, die Zeitspanne bleibt positiv.
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor werden gleichgesetzt: $p=0{,}04$ gegenüber $q=1{,}04$ .
Der Anfangswert wird aus einem beliebigen Datenpunkt statt aus $t=0$ abgelesen.
Exponentielles Wachstum wird unbegrenzt fortgeschrieben, obwohl reale Bestände gesättigt sind - die Modellgrenze gehört genannt.

Aktive Wiederholung

Eine Bakterienkultur wachst mit $7\,\%$ pro Stunde. Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl verdoppelt hat?

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Winkel- und periodische Funktionen#

~3 Min LesezeitStandardB-4.3

Viele technische und natürliche Vorgänge wiederholen sich periodisch - Wechselspannung, Schallwellen, Gezeiten, saisonale Umsätze. Solche Schwingungen modelliert man mit Sinus- und Kosinusfunktion, den periodischen Grundbausteinen mit Periode

2\pi

und Wertebereich

[-1,\,1]

.

Die allgemeine Schwingung

f(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi)+d

entsteht aus dem reinen Sinus durch vier Parameter mit klarer Bedeutung:

A

ist die Amplitude (halbe Schwingungsweite),

d

die Mittellage (Verschiebung nach oben),

\omega

die Kreisfrequenz und

\varphi

die Phasenverschiebung (). Die Funktion schwingt damit zwischen

d-A

und

d+A

.

Allgemeine Sinusschwingung

Abb. 6Schwingung

f(t)=4\sin(0{,}5\,t)+10

: Mittellage

d=10

, Amplitude

A=4

(Werte zwischen

6

und

14

), Periode

T=\tfrac{2\pi}{0{,}5}\approx 12{,}6

.

Abb. 6 ↓

Die Kreisfrequenz hängt über

\omega=\tfrac{2\pi}{T}

mit der Periodendauer

T

zusammen, der Zeit für eine volle Schwingung. Die Frequenz

f=\tfrac{1}{T}

zählt die Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz angegeben - bei Netzwechselspannung etwa

50\,\mathrm{Hz}

.

Hier ist sauber zu trennen: Frequenz

f

(Schwingungen pro Sekunde) und Kreisfrequenz

\omega=2\pi f

(Bogenmaß pro Sekunde) unterscheiden sich um den Faktor

2\pi

. Ebenso ist die Phasenverschiebung

\varphi

(waagrechte Verschiebung) nicht die Mittellage

d

(senkrechte Verschiebung) - beide zu verwechseln, ist die häufigste Fehlerquelle.

Da das Argument

\omega t+\varphi

ein Winkel ist, rechnet man im Bogenmaß (

360^{\circ}=2\pi

,

90^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}

), und der Rechnermodus muss auf RAD stehen. Aus einem gegebenen Graphen liest man die Parameter umgekehrt ab: Mittellage und Amplitude aus Hoch- und Tiefpunkt, die Periode aus dem Abstand zweier Hochpunkte.

In Anwendungen folgt die Interpretation der Parameter: Bei der Wechselspannung

U(t)=U_0\sin(\omega t)

ist

U_0

die Spitzenspannung und

U_{\text{eff}}=\tfrac{U_0}{\sqrt 2}

der Effektivwert (

230\,\mathrm{V}

im Netz), bei Gezeiten gibt

d

den mittleren Wasserstand und

A

den Tidenhub an.

Vokabeln

→ Kartei

AmplitudeHalbe Schwankungsbreite; maximaler Ausschlag um die Mittellinie.
PeriodeKleinste Zeitspanne, nach der sich der Verlauf wiederholt.
Kreisfrequenz$\omega=\tfrac{2\pi}{T}$; der Faktor vor der Variablen im Argument.
FrequenzAnzahl der Schwingungen je Sekunde; $f=\tfrac{1}{T}$, Einheit Hertz.
PhasenverschiebungWaagrechte Verschiebung des Verlaufs; steht additiv im Argument.
MittellinieWaagrechte, um die die Schwingung symmetrisch verläuft.

Allgemeine Sinusschwingung

f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+d,\quad \omega=\dfrac{2\pi}{T}

$A$ ist die Amplitude (halbe Schwankungsbreite), $\omega$ die Kreisfrequenz, $\varphi$ die Phasenverschiebung im Argument und $d$ die Lage der Mittellinie. Die Periode folgt als $T=\tfrac{2\pi}{\omega}$ , die Frequenz als $f=\tfrac{1}{T}$ .

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Wechselspannung analysieren

$U(t)=230\sqrt{2}\cdot \sin(2\pi\cdot 50\cdot t)$ V; bestimme Amplitude und Effektivwert.

Amplitude
$U_{0}=230\sqrt{2}\approx 325{,}3\,\mathrm{V}$ .
Effektivwert
$U_{\text{eff}}=\tfrac{U_{0}}{\sqrt{2}}=230\,\mathrm{V}$ .
Periodendauer
$T=\tfrac{1}{50}=0{,}02\,\mathrm{s}=20\,\mathrm{ms}$ .

Ergebnis: Amplitude $\approx 325{,}3$ V, Effektivwert $230$ V, Periode $20$ ms.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Sinus- und Kosinusfunktion sind die Grundbausteine aller Schwingungen.
2
Erkenne die Parameter Amplitude, Periode und Verschiebung sofort am Graph.
3
Achte bei Anwendungen auf den Modus deines Taschenrechners.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Funktion

f(t)=4\sin(0{,}5\cdot t)+10

beschreibt die Wassertiefe in einem Hafen. Bestimme Periodendauer, Maximalwert und Minimalwert. (HUM)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Frequenz und Kreisfrequenz werden verwechselt; der Faktor $2\pi$ fehlt.
Die Phasenverschiebung wird als senkrechte Verschiebung gedeutet; sie steht im Argument und verschiebt waagrecht.
Der Rechnermodus bleibt auf DEG, obwohl das Argument im Bogenmaß vorliegt.
Die Amplitude wird als gesamte Schwankungsbreite angegeben; sie ist deren Hälfte.
Bei saisonalen Modellen wird die Periode geraten statt aus dem Sachkontext übernommen - bei Monatsdaten ist sie 12.

Aktive Wiederholung

Eine Wechselspannung wird durch $U(t)=325\cdot \sin(2\pi\cdot 50\cdot t)$ (in Volt, $t$ in Sekunden) beschrieben. Bestimme Amplitude, Periodendauer und Frequenz.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Funktionen vergleichen und kombinieren#

~3 Min LesezeitStandardB-4.4

Selten steht eine Funktion allein - meist will man zwei Modelle gegenüberstellen (Tarif A gegen B, Kosten gegen Erlös) oder aus einfachen Funktionen eine zusammengesetzte bauen. Beim Vergleich gehören Schnittpunkte, Definitionsbereich und Werteverlauf zusammen betrachtet.

Die Schnittstellen sind der Kern jedes Vergleichs: Man setzt

f(x)=g(x)

und löst. An den Lösungen sind beide Funktionen gleich; dazwischen liegt jeweils die eine über der anderen. Für

f(x)=2x^{2}-4

und

g(x)=x^{2}+5

etwa schneiden sich die Kurven bei

x=\pm 3

, und im Bereich

|x|<3

verläuft

f

unterhalb von

g

().

Zwei Funktionen vergleichen

Abb. 7Die Parabeln

f(x)=2x^{2}-4

und

g(x)=x^{2}+5

schneiden sich bei

x=\pm 3

; dazwischen (

|x|<3

) verläuft

f

unterhalb von

g

.

Abb. 7 ↓

Die Verkettung

(f\circ g)(x)=f(g(x))

schaltet zwei Funktionen hintereinander: Zuerst wirkt die innere Funktion

g

, dann die äußere

f

. Sie ist nicht das Produkt

f(x)\cdot g(x)

- diese Verwechslung ist ein häufiger Fehler. Verkettungen modellieren mehrstufige Prozesse, etwa „Menge hängt vom Preis ab, Preis von der Zeit".

Die Umkehrfunktion

f^{-1}

dreht die Zuordnung um und existiert nur, wenn

f

umkehrbar (bijektiv) ist - in Anwendungen oft erst nach Einschränkung auf einen monotonen Teilbereich. Sie beantwortet die Rückwärtsfrage: nicht „welcher Wert bei dieser Zeit?", sondern „bei welcher Zeit dieser Wert?".

Vier Transformationen verändern einen Graphen vorhersehbar:

f(x-a)

verschiebt um

a

nach rechts,

f(x)+c

um

c

nach oben,

c\cdot f(x)

streckt vertikal und

-f(x)

spiegelt an der

x

-Achse. Besonders die waagrechte Verschiebung wirkt entgegen der Intuition -

f(x-a)

verschiebt nach rechts, nicht nach links.

In Anwendungen läuft der Vergleich oft auf die Frage „worauf reagiert das Modell stärker?" hinaus - dann vergleicht man Änderungsraten bzw. Steigungen. In der Matura sind Schnittstellen exakt zu berechnen und das Ergebnis im Sachkontext zu deuten (ab welcher Menge das eine Modell günstiger ist).

Vokabeln

→ Kartei

SchnittstelleArgument, an dem zwei Funktionen denselben Wert annehmen.
UmkehrfunktionFunktion, die die Zuordnung umdreht; existiert nur bei strenger Monotonie.
VerkettungHintereinanderausführung $f(g(x))$; die innere Funktion wird zuerst ausgewertet.
TranslationVerschiebung des Graphen; waagrecht im Argument, senkrecht additiv.
StreckungÄnderung des Maßstabs; ein Faktor vor der Funktion streckt senkrecht.
MonotonieGleichbleibendes Steigungsverhalten über ein Intervall; Voraussetzung der Umkehrbarkeit.

Verkettung

(f\circ g)(x)=f(g(x))

Die INNERE Funktion $g$ wird zuerst ausgewertet, ihr Ergebnis geht in $f$ ein. Die Verkettung ist nicht das Produkt und im Allgemeinen auch nicht vertauschbar: $f(g(x))\neq g(f(x))$ .

Musterbeispiel

Schnittstellen zweier Funktionen

Bestimme Schnittstellen von $f(x)=2x^{2}-4$ und $g(x)=x^{2}+5$ .

Gleichsetzen
$2x^{2}-4=x^{2}+5 \Rightarrow x^{2}=9$ .
Lösungen
$x=\pm 3$ .
Vergleich
Für $|x|<3$ : $f<g$ ; für $|x|>3$ : $f>g$ .

Ergebnis: Schnittstellen $x=\pm 3$ , $f<g$ auf $(-3;\,3)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Beim Vergleich zweier Funktionen sind Schnittstellen die Schlüsselinformation.
2
In Anwendungen prüfe, in welchem Bereich welche Funktion dominiert.
3
Verkettungen können komplexe Modelle aus einfachen Bausteinen aufbauen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben sind

f(x)=3x+2

und

g(x)=x^{2}-2x+3

. Bestimme die Schnittstellen. (Alle Cluster)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Die Verkettung wird mit dem Produkt verwechselt; $f(g(x))$ ist nicht $f(x)\cdot g(x)$ .
Die Umkehrfunktion wird ohne Einschränkung des Definitionsbereichs gebildet, obwohl die Funktion nicht monoton ist.
Die Translation läuft in die falsche Richtung: $f(x-2)$ verschiebt nach rechts, nicht nach links.
Die Schnittstelle wird berechnet, aber nicht gedeutet - der Punkt, ab dem ein Tarif günstiger ist, bleibt ungenannt.
Beim Vergleich wird nur ein Wert eingesetzt; die Aussage gilt dann nicht für das ganze Intervall.

Aktive Wiederholung

Vergleiche $f(x)=2x^{2}-4$ und $g(x)=x^{2}+5$ . Bestimme Schnittstellen und Bereich, in dem $f<g$ gilt.

Passende Aufgaben üben50 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten#

~3 Min LesezeitVertiefungB-4.1B-4.4

Sobald eine Größe als Verhältnis modelliert wird - Durchschnittskosten pro Stück, Konzentration pro Volumen -, entstehen gebrochen-rationale Funktionen: Quotienten zweier Polynome

f(x)=\tfrac{z(x)}{n(x)}

mit

n(x)\neq 0

. Ihr neues Merkmal sind Definitionslücken und das Verhalten an Asymptoten.

Der erste Schritt ist stets der Definitionsbereich: An den Nullstellen des Nenners ist die Funktion nicht definiert, sie werden ausgeschlossen (

D=\mathbb{R}\setminus\{x\mid n(x)=0\}

). Diese Stellen vorab zu bestimmen, verhindert den häufigsten Fehler - mit verbotenen Werten weiterzurechnen.

An einer Nennernullstelle entscheidet der Zähler über die Art der Lücke. Ist der Zähler dort ungleich null, liegt eine Polstelle vor: eine senkrechte Asymptote, an der der Graph gegen

\pm\infty

strebt (). Ist der Zähler dort ebenfalls null, ist die Lücke nach Kürzen behebbar - der Graph hat nur ein „Loch", keine Asymptote. Pol und behebbare Lücke zu verwechseln, kostet regelmäßig Punkte.

Gebrochen-rationale Funktion mit Asymptoten

Abb. 8Die Funktion

f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}

hat die senkrechte Asymptote (Polstelle)

x=3

und die waagrechte Asymptote

y=2

.

Abb. 8 ↓

Das Verhalten für

x\to\pm\infty

liefert die waagrechte oder schräge Asymptote über den Gradvergleich: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, gilt

y=0

; sind die Grade gleich, ist die Asymptote der Quotient der Leitkoeffizienten (nicht

y=0

!); ist der Zählergrad um eins größer, entsteht eine schräge Asymptote.

Anschaulich ist eine Asymptote eine Linie, der sich der Graph beliebig nähert, ohne sie zu erreichen. Für

f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}

etwa folgt aus gleichem Grad die waagrechte Asymptote

y=\tfrac{2}{1}=2

, aus der Nennernullstelle die Polstelle

x=3

.

In wirtschaftlichen Anwendungen tragen diese Begriffe Bedeutung: Bei den Durchschnittskosten

\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}

erklärt die schräge Asymptote die Fixkostendegression, und das Minimum von

\bar K

ist das Betriebsoptimum. In der Matura prüfen die Operatoren „bestimmen" (Lücken, Asymptoten) und „untersuchen" (Verhalten an den Rändern) genau dieses Zusammenspiel.

Vokabeln

→ Kartei

gebrochen-rationale FunktionQuotient zweier Polynomfunktionen.
PolstelleDefinitionslücke, an der die Funktionswerte betragsmäßig über alle Grenzen wachsen.
behebbare LückeDefinitionslücke, die durch Kürzen verschwindet; der Graph hat dort ein Loch.
senkrechte AsymptoteSenkrechte Gerade, der sich der Graph an einer Polstelle nähert.
waagrechte AsymptoteWaagrechte Gerade, der sich der Graph für große Argumente nähert.
LeitkoeffizientKoeffizient der höchsten Potenz; er entscheidet über die waagrechte Asymptote bei Gradgleichheit.

Gebrochen-rationale Funktion

f(x)=\dfrac{z(x)}{n(x)},\quad D=\mathbb{R}\setminus\{x\mid n(x)=0\}

$z$ und $n$ sind Polynome; der Definitionsbereich schließt alle Nullstellen des Nenners aus. Ob dort eine Polstelle oder eine behebbare Lücke liegt, entscheidet sich daran, ob sich der Linearfaktor kürzen lässt.

Musterbeispiel

Definitionsbereich, Polstelle und Asymptote

Untersuche $f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}$ .

Schritt 1 - Definitionsbereich
Nenner null bei $x=3$ , also $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$ .
Schritt 2 - Polstelle
Bei $x=3$ ist der Zähler $2\cdot 3+4=10\neq 0$ - es liegt eine Polstelle (senkrechte Asymptote $x=3$ ) vor.
Schritt 3 - Waagrechte Asymptote
Gleicher Grad (1 und 1): $y\to \tfrac{2}{1}=2$ für $x\to\pm\infty$ , also waagrechte Asymptote $y=2$ .

Ergebnis: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$ , Polstelle bei $x=3$ , waagrechte Asymptote $y=2$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Durchschnittskostenfunktion lautet

\bar K(x)=\tfrac{0{,}5x^{2}+200}{x}

. Bestimme den Definitionsbereich und untersuche das Verhalten für

x\to 0^{+}

und

x\to\infty

. (HAK)

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Typische Fehler

Die Nennernullstellen bleiben im Definitionsbereich; die Funktion wird dort ausgewertet.
Polstelle und behebbare Lücke werden verwechselt, weil das Kürzen übersehen wurde.
Die waagrechte Asymptote wird bei gleichem Grad mit $y=0$ angegeben statt mit dem Quotienten der Leitkoeffizienten.
Das einseitige Verhalten an der Polstelle wird nicht getrennt untersucht; ein Vorzeichenwechsel bleibt unbemerkt.
Die senkrechte Asymptote wird als Teil des Graphen gezeichnet; sie ist eine Hilfslinie, kein Funktionswert.

Aktive Wiederholung

Untersuche $f(x)=\dfrac{2x+4}{x-3}$ auf Definitionsbereich, Polstelle und waagrechte Asymptote.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)